bai giang suc ben vat lieu

Xét về mặt nội lực ta có thể định nghĩa: Dầm chịu uốn ngang phẳng là dầm chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó có hai thành phần nội lực là mômen uốn Mx và lực cắt Qy nằm trong mặt phẳng quán tính trung tâm.

kiÓm tra bµi cò

• C©u hái:

ThÕ nµo lµ thanh chÞu xo¾n thuÇn tóy? C«ng thøc tÝnh øng suÊt tiÕp lín nhÊt cña thanh cã mÆt c¾t ngang trßn?

KiÓm tra bµi cò

M W

CHÖÔNG 8

UỐN NGANG PHẲNG

A Mục đích - Yêu cầu

1 Mục đích

2 Yêu cầu

B Nội dung bài giảng

8.1 Nội lực và biểu đồ nội lực 8.2 Uốn thuần tuý

a Khỏi niệm: Nếu trục của một thanh bị uốn cong dưới tác dụng của ngoại lực thì

ta gọi thanh đó chịu uốn.

8.1 Nội lực và biểu đồ nội lực

8.1.1 Khái niệm chung

b.Ví dụ: Quan s¸t - Mét ng­ ư êi nh¶y cÇu

MÆt ph¼ng t¶i träng

y

x z

o

a

b

c d

m

P

q

a Biểu đồ nội lực: Là đồ thị biểu diễn sự biến thiên của Qy và Mx trên các mặt cắt dọc theo trục thanh.

+ Tính phản lực

+ Phân đoạn, lập biểu thức của nội

lực trong từng đoạn.

+ Tiến hành vẽ.

8.1.2 Nội lực và biểu đồ nội lực

b.Phưương pháp vẽ biểu đồ nội lực

+ Với biểu đồ mô men uốn:

- Nếu mô men uốn Mx > 0

ta biểu diễn xuống phía dưới trục chuẩn.

- Nếu mô men uốn Mx < 0

ta biểu diễn lên phía trên trục chuẩn.

Mx Mx

z

1 1 A

c)

z

1 1

A

d)

Mx < 0

- Mô men uốn có dấu

dương nếu nó làm cho

a)

z

1 1

1

A

d)

z YA

1 1

A

c)

- Lực cắt Q có dấu âm nếu quay pháp

tuyến ngoài 900 ngược chiều

kim đồng hồ sẽ trùng với Q

* Quy ước dấu của nội lực

- Lực cắt Q có dấu dưương nếu quay

pháp tuyến ngoài của mặt cắt 900 theo

chiều kim đồng hồ sẽ trùng với Q

- Mô men uốn có dấu âm nếu nó

làm cho phần dầm đang xét

dãn thớ trên

Vẽ biểu đồ nội lực của dầm như hình ư

m

YB YA

Hình

Ví dụ 1 :

- §o¹n AC YA

z1

Mx1QY1

YB YA

Qy m/l

z l

=

Vẽ biểu đồ nội lực của dầm nhưư hình

1

1

qA

l

Ví dụ 2:

1 Xác định phản lực liên kết

Viết phưương trình cân bằng tĩnh học ta xác định đưược:

YA = YB= ql/2

1

1

qA

l

B

Mx

11

qA

8.2 UỐN THUẦN TÚY PHẲNG

21

8.2.1 Định nghĩa 8.2.2 Ứng suất trên mặt cắt ngang 8.2.3 Điều kiện bền của thanh chịu uốn thuần túy

8.2.1 Kh¸i niÖm

Mét dÇm chÞu uèn thuÇn tuý khi trªn mäi mÆt c¾t ngang cña dÇm chØ cã mét thµnh phÇn m« men uèn n»m trong mÆt ph¼ng qu¸n tÝnh chÝnh trung t©m

8.2 UỐN THUẦN TÚY PHẲNG

 Xét trường hợp chịu lực của trục bánh

xe tàu hỏa như hình vẽ

 Ta có biểu đồ lực cắt và mômen uốn

 Trên đoạn đoạn BC mọi mặt cắt chỉ

có mômen uốn, còn lực cắt bằng không Như vậy đoạn BC chịu uốn phẳng thuần túy

8.2.2 Ứng suất trên mặt cắt ngang

khi cho thanh chịu uốn, ta kẻ

những đường thẳng song song

và vuông góc với trục thanh, tạo

với nhau thành các ô vuông

Sau đó ta cho thanh chịu

mômen uốn ở hai đầu thanh

Quan sát thí nghiệm

Các đường thẳng song song

với trục thanh khi bị biến dạng trở thành những đường cong vẫn song song với trục thanh.

Các đường vuông góc với

trục thanh khi bị biến dạng vẫn thẳng và vuông góc với trục thanh.

Những góc vuông khi bị biến

dạng vẫn vuông.

25

8.2.2 Ứng suất trên mặt cắt ngang

b Các giả thiết:

Giả thiết về mặt cắt ngang (Becnuli): Mặt cắt ngang của thanh ban đầu phẳng và vuông góc với trục thanh thì khi bị biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục thanh

Giả thiết về các thớ dọc: Trong quá trình biến dạng các thớ dọc không ép lên nhau và cũng không đẩy xa nhau

Biến dạng tương đối của dầm:

Các thớ phía trên bị co lại,

càng về phía trên càng co nhiều hơn

các thớ càng về phía dưới lại càng dãn nhiều hơn

27

8.2.2 Ứng suất trên mặt cắt ngang

Theo giả thiết ở mặt cắt ngang phẳng

⇒ trên mặt cắt ngang của thanh chỉ có thành phần ứng suất pháp.

Theo giả thiết về các thớ dọc ⇒ trên các mặt cắt của phân tố song song với trục z không có ứng suất pháp

c Sự liên hệ giữa ứng suất và biến dạng :

8.2.2 Ứng suất trên mặt cắt ngang

Để tính biến dạng dài tương đối của dầm, ta tách ra một đoạn thanh dz bởi hai mặt cắt 1-1 và 2-2.

Sau biến dạng hai mặt cắt này làm với nhau một góc dϕ

Thớ trung hòa có bán kính cong là ρ

 Các thớ trung hòa không bị biến dạng nên vẫn có độ dài bằng độ dài ban đầu:

ρ.dϕ = dz

30

Xét thớ

Khi bị biến dạng trở thành cung:

y là khoảng cách thớ cd đến thớ trung hòa

8.2.2 Ứng suất trên mặt cắt ngang

ab cd dz= =

c'd ' (= ρ + y)dϕ

Vậy biến dạng dài tương đối của thớ cd

Xét một phân tố diện tích dF bao quanh B Phân tố nội lực tác dụng trên đó là σ zdF ta

Thay vào ta có:

Vậy đ ờng trung hoà ư ox phải trùng với trục trung tâm của mặt cắt ngang Do đó hệ trục oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm

8.2.2 Ứng suất trờn mặt cắt ngang

ρ σ

Để thuận tiện cho việc tính toán, ta có thể viết dưới dạng:

8.2.2 Ứng suất trờn mặt cắt ngang

x z

x

M

y J

Vẽ biểu đồ nội lực của dầm như hình ư

YB YA

Hình 5

Ví dụ :

- §o¹n AC YA

z1

Mx1QY1

YB YA

Qy m/l

z l

=

8.2 UỐN THUẦN TÚY PHẲNG

41

8.2.1 Định nghĩa 8.2.2 Ứng suất trên mặt cắt ngang

8.2.3 Điều kiện bền của thanh chịu uốn thuần túy

a.Biểu đồ ứng suất pháp

42

b.Công thức tính ứng suất pháp cực đại

Trường hợp đường trung hòa không chia đôi chiều cao thì trị

số tuyệt đối của ứng suất kéo lớn nhất và ứng suất nén lớn nhất

ynm ax

y ynmax

b.Công thức tính ứng suất pháp cực đại

Trong trường hợp đường trung hòa chia đôi chiều cao của

mặt cắt như mặt cắt ngang của hình chữ nhật, hình vuông, hình tròn, hình chữ I, thì trị số tuyệt đối của ứng suất kéo lớn nhất

và ứng suất nén lớn nhất bằng nhau và ta có thể tính bằng công thức:

Với hình chữ nhật:

x y

x

b.h

J 12 b.hW

2 2

2 y

y

h.b

J 12 h.bW

2 2

= = =

b.Công thức tính ứng suất pháp cực đại

Trong trường hợp đường trung hòa chia đôi chiều cao của

mặt cắt như mặt cắt ngang của hình chữ nhật, hình vuông, hình tròn, hình chữ I, thì trị số tuyệt đối của ứng suất kéo lớn nhất

và ứng suất nén lớn nhất bằng nhau và ta có thể tính bằng công thức:

Với hình tròn:

x y

c ĐIỀU KIỆN BỀN

Vì thanh ở trạng thái ứng suất đơn, nên điều kiện bền của

thanh là: Ứng suất trong thanh không vượt quá ứng suất cho phép

8.1 NỘI LỰC VÀ BIỂU ĐỒ NỘI LỰC

8.2 UỐN THUẦN TÚY PHẲNG

49

8.3 UỐN NGANG PHẲNG THANH THẲNG

8.3.1 Định nghĩa

8.3.2 Thí nghiệm – quan sát biến dạng

8.3.3 Công thức tính ứng suất pháp

8.3.4 Công thức tính ứng suất tiếp

8.3.5 Sự phân bố ứng suất trên một số mặt cắt đơn giản

8.3.1 ĐỊNH NGHĨA

Xét về mặt nội lực ta có thể định nghĩa: Dầm chịu uốn ngang

phẳng là dầm chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó

có hai thành phần nội lực là mômen uốn Mx và lực cắt Qy nằm trong mặt phẳng quán tính trung tâm

51

z

x y

O

Qy

Mx

8.3.1 ĐỊNH NGHĨA

Thí dụ:

Dựa vào biểu đồ nội lực của

dầm trên hình vẽ chúng ta thấy ngay ở mặt cắt ngang 1-1

nào đó của dầm đều có hai thành phần nội lực là mômen uốn Mx và lực cắt Qy

Biểu đồ mômen uốn

q

l

b

x y

h

8.3.2 THÍ NGHIỆM – QUAN SÁT BIẾN DẠNG

Trên bề mặt ngoài của thanh có tiết diện hình chữ nhật chịu

uốn ngang phẳng Ta kẻ những đường thẳng song song và vuông góc với trục thanh

Mx

y

Mx

8.3.2 THÍ NGHIỆM – QUAN SÁT BIẾN DẠNG

Sau biến dạng ta thấy những đường song song với trục thanh

vẫn song song với trục thanh, còn những đường vuông góc thì không còn thẳng nữa, chúng trở thành những đường cong

8.3.2 THÍ NGHIỆM – QUAN SÁT BIẾN DẠNG

Tại điểm B của mặt cắt ngang ta tách

ra một phân tố hình hộp

Chúng ta nhận thấy các góc vuông của

phân tố không còn vuông góc nữa

 Chứng tỏ phân tố ấy bị biến dạng

trượt và trên mặt của nó có ứng suất

tiếp

Như vậy, trên mặt cắt ngang của thanh

ngoài ứng suất pháp σz còn có ứng suất

tiếp

z

x y

O

Q y

τ y z

8.3.3 CÔNG THỨC TÍNH ỨNG SUẤT PHÁP

x z

x

M

y J

8.3.4 CÔNG THỨC TÍNH ỨNG SUẤT TIẾP

Giả sử mặt cắt ngang của dầm là

một hình chữ nhật hẹp, chiều rộng b

nhỏ hơn nhiều so với chiều cao h

Xét ứng suất tiếp tại điểm A(x,y)

trên mặt cắt ngang1-1 nào đó.Qua A

kẻ đường thẳng song song với trục ox

cắt biên của mặt cắt tại B và C, cắt

zx

OyOx

ττ

τ

PP

8.3.4 CÔNG THỨC TÍNH ỨNG SUẤT TIẾP

Ta nhận thấy: theo định luật đối ứng

của ứng suất tiếp Nếu trên mặt cắt

ngang có τzx thì trên mặt cạnh phải có

8.3.4 CÔNG THỨC TÍNH ỨNG SUẤT TIẾP

8.3.4 CÔNG THỨC TÍNH ỨNG SUẤT TIẾP

Để tính τzy ta áp dụng công thức Durapski :

dMQ

dz

=

8.3.5 SỰ PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRÊN MỘT SỐ MẶT CẮT ĐƠN GIẢN

Muốn vậy kẻ AC đi qua B và song

song Ox Chiều dài của đoạn cắt AC:

y

τ ma x

B

Biểu đồ ứng suất tiếp

8.3.5 SỰ PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRÊN MỘT SỐ MẶT CẮT ĐƠN GIẢN

Mômen tĩnh của phần bị cắt

τ ma x

Ta nhận thấy luật phân bố của

τzy dọc theo chiều cao là một đường

Uèn ph¼ng cña thanh th¼ng

a 2a

q

y

x O

h

b

[ ] σ

Uèn ph¼ng cña thanh th¼ng

2 2

m a

2

Uèn ph¼ng cña thanh th¼ng

R

mC=qa 2

Uèn ph¼ng cña thanh th¼ng

R mC=qa

2 C E

q YA

2

E

Z

a q

qa q

Q

zE = A = =

2 2

.

2

qa

a qa a

qa

M E = − =

⇒

IV Uèn ph¼ng cña thanh th¼ng

R

mC=qa 2

C E

q YA

XA

MX +

Uốn phẳng của thanh thẳng

Bài tập

* Kiểm tra bền cho dầm theo = 160MN/m2; a = 1m;

q = 10kN/m

- Điều kiện bền theo [σ] :

Từ biểu đồ nội lực ta thấy mặt cắt tại C là nguy hiểm

3

10 3

10

20

m MN

≈

= −−

σ

) (

10

3 6

3 , 0 2 ,

0 6

. 2 2 3 3

m

h b

8.3.5 SỰ PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRÊN MỘT SỐ MẶT CẮT ĐƠN GIẢN

b.Hình chữ I

 Giả sử mặt cắt ngang chịu uốn ngang

phẳng là hình chữ I Để đơn giản hóa

ta có thể coi mặt cắt bao gồm 3 hình chữ

nhật ghép lại hình chữ nhật lòng rộng d

Cao(h-2t) và 2 hình chữ nhật đế rộng b cao t

Ta thấy ứng suất tiếp ở phần đế rất bé so với phần lòng

Vì vậy ta chỉ xét sự phân bố ứng suất tiếp τzy ở phần lòngMặt cắt chữ I

8.3.5 SỰ PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRÊN MỘT SỐ MẶT CẮT ĐƠN GIẢN b.Hình chữ I

Ứng suất tiếp trên phần lòng:

Sx: mômen tĩnh của nửa mặt cắt chữ I

đối với trục Ox

71

Lấy điểm A(x,y) bất kỳ thuộc lòng :

Ta nhận thấy luật phân bố của τzy dọc theo chiều cao là một đường parabol bậc hai Khi y = 0 ⇒ τzy có trị số lớn nhất

x y

8.3.5 SỰ PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRÊN MỘT SỐ MẶT CẮT ĐƠN GIẢN

Tại điểm C tiếp giáp giữa

lòng và đế:yc=h/2-t

72

τ ma x

τ 1

x y

O

Qy

d

t h

Ứng suất tiếp trên phần lòng

2 2

y x

x

h( t)2

8.3.5 SỰ PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRÊN MỘT SỐ MẶT CẮT ĐƠN GIẢN

73

Tại trục trung hòa Ox,

ứng suất tiếp τzy đạt giá trị lớn nhất (y = 0) τ ma

x

τ 1

x y

O

Qy

d

t h

Ứng suất tiếp trên phần lòng

y x max

x

Q S

J d

τ =

8.3.5 SỰ PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRÊN MỘT SỐ MẶT CẮT ĐƠN GIẢN

c.Hình tròn

 Giả sử mặt cắt ngang chịu uốn ngang

phẳng là hình tròn Bán kính R và lực cắt

trên mặt cắt này là Qy, Xét ứng suất tiếp

trên đường BC//ox cách ox một

khoảng bằng y

 Ta thấy rằng tại các Điểm biên B,C

ứng suất tiếp Tiếp tuyến với chu vi

đường tròn,Do đối xứng ứng suất tại D có phương y,thành phần ứng suất τzy trên BC phân bố đều

74

Q y

8.3.5 SỰ PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRÊN MỘT SỐ MẶT CẮT ĐƠN GIẢN Hình tròn

Biến thiên của τzy là

đường bậc 2, Tại các điểm

trên trục trung hòa (y = 0)

ứng suất tiếp lớn nhất:

τ ma x

Q y

⇒ τ = −

8.4 KIỂM TRA BỀN

8.4.KIỂM TRA BỀN

Trên mặt cắt ngang của một dầm chịu uốn ngang phẳng có

hai loại ứng suất:

Ứng suất pháp σz do Mx gây ra

Ứng suất tiếp τzy do Qy gây ra

Nhưng không phải trạng thái ứng suất tại mọi điểm trên mặt

cắt là như nhau

x y

z

Q y

M x

Khảo sát trường hợp tiết

diện chữ nhật hẹp σ mi

n

σ ma x

Biểu đồ σ z

τ ma x

Biểu đồ τ zy

x y

z

Q y

M x

8.4.KIỂM TRA BỀN

Ta nhận thấy:

Các điểm ở mép trên cùng (A) và dưới cùng (D):

Các điểm ở trên đường trung hòa (B):

Tại điểm (C) bất kỳ: BC

A

D

σ mi n

σ ma x

Biểu đồ σ z

τ ma x

σ = σ



τ = τ



8.4.KIỂM TRA BỀN

Ta chưa tìm ngay được phân tố nào nguy hiểm nhất, cho nên

đối với dầm chịu uốn ngang phẳng ta phải kiểm tra bền cho cả

KIỂM TRA BỀN

Trạng thái ứng suất trượt thuần túy: (chọn tại mặt cắt có |Qy|max)

Vật liệu dẻo:

Thuyết bền ứng suất tiếp cực đại (thuyết bền 3)

Thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng cực đại (thuyết bền 4)

Vật liệu dòn: Ta dùng thuyết bền Mohr.

KIỂM TRA BỀN

Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt: (chọn tại mặt cắt có |Mx| và |Qy| cùng lớn), đối với mặt cắt chữ I ta chọn nơi tiếp giáp giữa lòng và để để kiểm tra

Uèn ph¼ng cña thanh th¼ng

Uèn ph¼ng cña thanh th¼ng

h

b q

( ) = − / 2 + = 0

2

2

l

q l

Uèn ph¼ng cña thanh th¼ng

qa qa

q YA

Uèn ph¼ng cña thanh th¼ng

q YA

2 2

2

2

ql l

l q

l

l q

M E = − =

⇒

8 l2

q

Uèn ph¼ng cña thanh th¼ng

q YA

XA

Mx

.l2q

Uèn ph¼ng cña thanh th¼ng

3

10 3

10

20

m MN

≈

= −−

σ

) (

10

3 6

3 , 0 2 ,

0 6

20 8

4

10 8

. 2 2

m kN

l q

Uèn ph¼ng cña thanh th¼ng

Q y y

2

3 2

3

max = =

τ

)(

202

4

102

10.63

,0.2,0.h 2 m2b

F = = = −

) /

( 10

5 10

6 2

20

2

τ

Bài 3: Cho dÇm mÆt c¾t ch÷ I sè hiÖu 24 chÞu uèn

a 2a

y

x O

Uèn ph¼ng cña thanh th¼ng

[ ] σ

[ ]τ =

* Tính và vẽ biểu đồ nội lực Q, M.

- Xác định phản lực tại các gối đỡ A và B.

a 2a

q

y

x O

a P

a P a R

3

2

4 3

2

R D

q YA

qa q

Q

zE = A = 2 = 2 ⇒ = − =

2

2 2 2

R D

q YA

* KiÓm tra bÒn cho dÇm theo = 160MN/m2 ; a = 1m;

3

10 317

10

40

m MN

≈

σ

Thép I số hiệu 24a có: Sx = 178cm3 = 178.10-6 m3.

d = 5,6 mm = 5,6.10-3 m; Jx = 3800 cm4 = 3800 10-8 m4

Từ biểu đồ nội lực ta thấy mặt cắt tại A và đoạn BC là nguy hiểm

- Điều kiện bền theo :

Vậy MN/m2 nên dầm thoả m n điều ã

S Q

73 ,

16 10

6 , 5 10 3800

10 178

10

20

3 8

6 3

Uèn ph¼ng cña thanh th¼ng

a 2a

y

x O

h

b

[ ] σ

Uèn ph¼ng cña thanh th¼ng

a P

a P a R

3

2

4 3

2

Uèn ph¼ng cña thanh th¼ng

2qa

P = 2qa

QBP = QBT + YB = - 2qa + 2qa = 0

Uèn ph¼ng cña thanh th¼ng

R D

q YA

Uèn ph¼ng cña thanh th¼ng

R D

q YA

Uèn ph¼ng cña thanh th¼ng

3

10 3

10

40

m MN

≈

= −−

σ

) (

10

3 6

3 , 0 2 ,

0 6

. 2 2 3 3

m

h b

10 10

CHÚC CÁC BẠN HỌC TỐT