giải ĐỀ THI TOÁN CAO CẤP C1

Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng: 2 2 dx arctgx x π + Theo tiêu chuẩn so sánh 1, suy ra tích phân đã cho hội tụ.. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số... Khảo sát sự hội tụ của chuỗi

Bài giải ĐỀ THI TOÁN CAO CẤP C1 08-09 Bài 1

2

1 1

acrtgx

+

−

C1

2 2

2

1 2ln

1

x

x

2

1 2

1

x

x

−

C2

2

2

x

x

−

+

b)

Bài 2

Vẽ hình

Diện tích hình phẳng:

4 0

4

0

Bài 3

Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng:

2

2

dx

arctgx x

π

+

Theo tiêu chuẩn so sánh 1, suy ra tích phân đã cho hội tụ

Bài 4 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

a)

1

1

n

tg

n

∞

=

∑ Ta có

1

1

n

tg n n

→∞ = và

1

1

n n

∞

=

∑ phân kì

Theo tiêu chuẩn so sánh 2,

1

1

n

tg n

∞

=

∑ phân kì

b)

2

2 ln

n

n n n

−

∞

=

∑

1

n n

n n

− − +

−

Suy ra lim 1 lim12 1 ln(ln 1) 12lim 1limln(ln 1) 12

n

n

+

Theo tiêu chuẩn D’Alembert, chuỗi số đã cho hội tụ

Bài 5 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi lũy thừa

a) ( )2

1

2 2

n n

x n

∞

=

−

∑

2

X = −x , chuỗi đã cho trở thành

1 2

n n

X n

∞

=

∑

Bán kính hội tụ

1

1 2

lim

n

R

n n

→∞

+

Suy ra, miền hội tụ là ( )2

X < ⇔ x− < ⇔ − < ⇔ < <x x

Khi x = 1, chuỗi đã cho trở thành chuỗi số

( )2

n

−

=

Khi x = 3, chuỗi trở thành chuỗi số:

( )2

n

=

∑ ∑ : chuỗi phân kì

Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 1< <x 3

b)

2

2

1 1

n n n n

x n n

∞

∑

2

2

n

R

e n

n

n

Miền hội tụ 1 x 1

− < < Khi x 1

e

= , chuỗi trở thành chuỗi số

2

2

1 1

n n n n

e n

n

−

∞

∑ Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy,

1

2

1

1

n n n

e n

e n

−

Khi x 1

e

= − chuỗi trở thành chuỗi số

( )

2

2

1 1

n n n n

n

−

∞

=

−

+

∑ Xét chuỗi trị tuyệt đối ( )

−

=

Vậy miền hội tụ của chuỗi lũy thừa trên là 1 x 1

− ≤ ≤