ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN CAO CẤP A1
-* -ĐỀ THI:
Câu I (2,5đ)
1 Giải phương trình 12
0
z z trên
2 Tìm m để hàm số 22
sin
x
f x
liên tục trên
Câu II (2,5đ)
1 Tính đạo hàm của hàm 1 ln
4 arctan
x
f x
tại x1
2 Cho hàm 2
1 x 1
f x x e Tính 2014
0
Câu III (2,0đ)
1 Tính tích phân suy rộng 2
0
x
I xe dx
2 Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng
2
2 1
ln
dx
Câu IV (3,0 đ)
1 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
1
3 2
1 !
2 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 2
1
n
n
n x
3 Khai triển thành chuỗi Fourier hàm f x tuần hoàn với chu kì T 2 và được xác định bởi
3
2 3
2
f x
Trang 2
ĐÁP ÁN
I
(2,5đ)
1
(1,5đ)
12
0 0
0
z z
z z
0,5
z z i
2
(1đ)
f x là hàm sơ cấp nên liên tục trên tập xác định của nó
f x liên tục trên 2
0,
x
e m x
0,5
0
m
( do 2
0,
x
II
(2,5đ) 1
(1,25đ)
1 ln 1
1 1 4 arctan
x
f x f
0,5
' 1
f
0,75
2
(1,25đ)
2 x x 2 1
2
2
1
x
(A) (B)
0,5
Xét chuỗi (A):
2014 2014 2
0
2012
n
n n
cho nên 2014 2014!
0 2013.2014 2012!
Xét chuỗi (B):
2014 2014
0
2014
n
n n
cho nên 2014
0 1
Vậy 2014
0 2013.2014 1
0,5
III
(2đ)
1
(1đ)
2 0
lim
b x b
I x e dx
Đặt u x 2 x
dv e dx
2
x
du dx
0,25
b
2 2
0
lim
b x b
b
b e e
2
lim
b b
b
b
e
0,5
Trang 32
(1đ)
2 ln
0, [1, 2)
5 6
Khi x 2 :
2
2
x
0,5
Mà
2
0
1
2 x dx
hội tụ (do 1 1
2
) nên tích phân suy rộng đề cho hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 2
0,5
IV
(3đ)
1
(1đ)
Khi n ,
1 ! 1 !
0,5
Mà chuỗi
1
3
1 !
n
hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alambert nên chuỗi đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 2
0,5
2
(1đ)
Bán kính hội tụ R 1, suy ra khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa là (-1,1)
0,5
Tại x1, chuỗi 2
1
n
n
phân kì vì không thỏa điều kiện cần để chuỗi hội tụ
0,25
Tại x 1, chuỗi 2
1
1 n
n
n
phân kì vì không thỏa điều kiện cần
để chuỗi hội tụ
Vậy miền hội tụ của chuỗi lũy thừa là (-1,1)
0,25
3
(1đ)
0
1
1
2
n
n
n
2
n
n
n
Gọi S x là chuỗi Fourier của f x , ta có :
1
Tại xk2 và 3 2
2
x k
, S x f x
0,25