Đề thi toán cao cấp 3 trường ĐHSPKT Hưng Yên - đề số 6 pptx

Tìm cực trị của hàm 2.. Tại điểm N1,1 hàm số sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với truc Ox một góc 30 0 3.. Tại điểm N đó hãy tìm hướng để hàm z thay đổi nha

TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Khoa Khoa học cơ bản

Đề số: 06

Học phần: Toán cao cấp 3

Ngày thi:

Thời gian làm bài: 90 phút

Câu 1: Cho hàm số:

z    xy  x

1 Tìm cực trị của hàm

2 Tại điểm N(1,1) hàm số sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với truc Ox một góc 30 0

3 Tại điểm N đó hãy tìm hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất Biểu diễn trên hình vẽ

Câu 2: Trong không gian Oxyz, tìm trọng tâm của tam giác đồng chất

ABC với A (3, 0, 0), B (0, 2, 0), C(0, 0, 1)

C

I x y dx  x y dy , trong đó C là đường ellip

2 2

2 2 1

x y

a b  lấy theo chiều ngược kim đồng hồ

Câu 4: Giải phương trình vi phân:

y’’-4y’+4y=e x x 2x 1

thoả mãn điều kiện khi x=0 thì y=0 và y’=0

Giảng viên ra đề 1: Khoa / Bộ môn

Giảng viên ra đề 2:

y z

B C

A O

Câu 1: Tìm cực trị của hàm

z   xy  x

z’

x=x2+x-y-1=0

z’

2 2

y

 =0 →y=2x+1 Thay vào z’

x ta có:

x  x x  x  x  Nghiệm x1= -1 → y1= -1 M1 (-1, -1)

x2 = 2 → y2= 5 M2 (2, 5)

M1 (-1, -1) M2 (2, 5)

z''xx 2x 1 r -1 5

z''xy  1s -1 -1

'' 1

2

yy

2

1 2

s2 - rt (-1)2+1

2>0 (-1)2-5

2<0 Không cực trị Cực trị

r=5 >0 cực tiểu

2 z’

x(N)= 1+1-1-1=0

z’

y(N)=-1+1 1

2 2 =-1 1

1 os 0

3 2

z

c

l





Tại điểm N(1,1) hàm số sẽ \ giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với truc Ox một góc 30 0

3 Hướng thay đổi nhanh nhất là -j

Câu 2: Tìm trọng tâm của tam giác đồng nhất ABC với A(3,0,0), B(0,2,0),

C(0,0,1)

Phương trình mặt phẳng:

2

-2

y

x N

3 2

z

  

Đường thẳng AB: 1

3 2

 

1) Khối lượng của tam giác:

1

xy

D

dxdy



2) Tìm xG:

2 2

0 0

xy

x





→xG = 1

3) Tìm yG:

3 3

2 2

0 0

y s

yds dy ydx



3 4) Tìm zG:

2 2

3 0

x

x s

zds dx dy dx y y





→zG=1

3

Toạ độ trọng tâm (1, 2

3, 1

3).

Câu 3:

( ) ( )

C

I x y dx  x y dy Tham số hoá đường cong C ta có:

2

y

x B

A C

os , sin , 0 2

2

0

( ) ( ) [ ( os sin )a sin ( os sin ) os ]d

C



0

2

0

Áp dụng công thức Green với P x y Q x y  ,  

Q P 1 1 0

x y

 

   

 

Vậy I = 0

Câu 4: Giải phương trình vi phân:

y’’-4y’+4y= 2

1

x

e x x 

thoả mãn điều kiện khi x=0 thì y=0 và y’=0

 Phương trình thuần nhất: y’’-4y’+4y=0

Phương trình đặc trưng: 2  4  4 0 →( 1)2 0

→1  2  2→y1 e2x , y2 xe2x

 Phương trình không thuần nhất: Phương pháp hằng số biến thiên:

 ' 2 ' 2

0

c e c xe

c e c xe e e x x

 ' '

' '

0

c c x

c c x x x

PT2-2PT1→c2' x x1

→c2=

x x dx  x  x dx   x  x dx

=  52  32 *

2

5 x  3 x c Thay vào tìm c1 ta có:

c  c x  x x 

→ c1   x2 x  1 dx

Đặt x+1=t → x2  t 12  t2 2 1t

Vậy y=

 72  52  32 1* 2  52  32 * 2

2

Thay điều kiện ta có:

* 1

16 105

15

Thang điểm

x=x2+x-y-1=0 (0.25)

z’

2 2

y

 =0 (0.25)

M1 (-1, -1) (0.25)

M2 (2, 5) (0.25)

M1 không cực trị (0.25)

M2 cực tiểu (0.25)

Tại điểm N(1,1) hàm số sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với truc Ox một góc 30 0 (0.25)

Hướng thay đổi nhanh nhất là –j (0.25)

Bài 2(3 đ): Vẽ được hình (0.5)

Lập phương trình mặt phẳng

1

3 2

3

y   (0.5) Khối lượng 7

Lập tích phân tính xG (0.25)

Tính tích phân tính xG suy ra kết quả 1 (0.25)

Lập tích phân tính yG (0.25)

Tính tích phân tính yG suy ra kết quả 2/3 (0.25)

Lập tích phân tính zG (0.25)

Tính tích phân tính zG suy ra kết quả 1/3 (0.25)

Bài 3(1 đ): Tham số hoá đường cong C ta có:

x ac   y b       (0.25)

2

0

[ ( os sin )a sin ( os sin ) os ]d

C

I x y dx x y dy







2 2 2

0

2 2

[ sin 2 os2 ] 2

2

0





 





(0.5)

Áp dụng công thức Green với P x y Q x y  ,  

Q P 1 1 0

x y

 

   

  (0.25)

Bài 4: Lập phương trình thuần nhất. (1/2)

Tính nghiệm thuần nhất (1/2)

Lập C2 x x dx1 (1/2)

Tính C2=  52  32 *

2

5 x  3 x c (1/2) Lập c1   x2 x  1 dx (1/2)

Tính C1=  72  52  32 *

1

Thay biểu thức trên ta được 1* 16

105

* 2

4 15