Tìm cực trị của hàm.. Tại A0,1 hãy tìm hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất, biểu diễn trên hình vẽ.. Áp dụng công thức Green kiểm chứng kết quả.
Trang 1TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Khoa Khoa học cơ bản
Đề số: 05
Học phần: Toán cao cấp 3
Ngày thi:
Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1: Cho hàm số :
1 2 5 3 3 2 2
z x x xy y y y
1 Tìm cực trị của hàm
2 Tại A(0,1) hàm số sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm A theo hướng lập với trục Ox một góc 150 0
3 Tại A(0,1) hãy tìm hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất, biểu diễn trên hình vẽ
Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, dung tích phân mặt tính
khối lượng của tam giác phẳng ABC với A(5,1,3), B(1,6,2), C(5,0,4) Với hàm mật độ ( , )x y x.
OmAnO
y
x
trong đó OmA là cung parabol
2
y x ; OnA là đường thẳng y x
Áp dụng công thức Green kiểm chứng kết quả
Câu 4: Giải hệ phương trình vi phân:
,
8 2
x x
thoả mãn điều kiện x=0 thì y=0 và z=0
Giảng viên ra đề 1: Khoa / Bộ môn
Giảng viên ra đề 2:
Trang 2y
z
C A
B O
Câu 1: Tìm cực trị:
,
5
4
4
x
y
z y x
x y
y y y y y
2 2
y x 2 1
y x Vậy hàm số có 2 điểm tới hạn là 1
13 1
12 6
M 2
1 3 ( , )
4 2
M 1
13 1
12 6
M 2
1 3 ( , )
4 2
M
z,,xx 1 r -1 -1
,, 1
xy
z s 1 1
,, 6 6
yy
z y t -5 3
2
s rt 1-5=-4 1+3=4>0
có cực trị không cực trị
Do r=-1 <0 nên hàm số đạt cực đại tại 1
13 1
12 6
2 , 1
( )
4
x
z A z A ,y( ) 1
1 os5 1 os 3 1 0
z
l
Vậy hàm z sẽ giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm A theo hướng lập với trục Ox một góc 150 0
3 Vậy hướng thay đổi nhất là: 1
4 i j
Câu 2:
+ Vẽ hình
+ Lập phương trình mặt phẳng ABC:
x y z
2
y
x A
Trang 3-2 -1 1 2 3 4 5 6
-2
2 4 6
x
y
B
A
C
-0.5 0.5 1 1.5 -0.5
0.5 1 1.5
x y
O
A n m
4( 5) 4( 1) 4( 3) 0 5 1 3 0
Khối lượng của tam giác:
1 ( )x ( )y 1 ( 1) ( 1) 3
mxdsx Z Z dxdy x dxdy xdxdy
Trong đó D là hình chiếu của mặt phẳng ABC lên mặt phẳng Z= 0
Phương trình đường thẳng BC:
6( 1) 4( 6)
Phương trình đường thẳng AB:
Vậy:
5 29
2
3 15
5
1
x
x
Câu 3:
I ctg dy dx ctg dy dx
Trên cung OmA: y x x 2, : 0 1
1
1
0
1 2 2
2 0
1
2 0
(ar 2 1)
1
0 1 1
x
x
dx x
Trên cung OnA : y x x , : 0 1
4
y
dy dx ctg ctg
x
Trang 40
OnA
y
ctg dy dx dx
x
I I I
+ Áp dụng công thức Green : p 1,Q arctg y
x
2
1
0 1
2 0
1
2
y x
x
x y dx
x
1
x
x
, dv dx v x
2
2 0
x
x
Câu 4:
,
8 2
x x
z,, 2 z, 15 z 2 ex 4 e 3x
+ Giải phương trình thuần nhất :z,, 2z, 15z 0
Phương trình đặc trưng : 2
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: C e1 3x C e2 5x
+ Tìm nghiệm của (1) bằng phương pháp biến thiên hằng số:
Trang 5' 3 ' 5
2
0
2
1
8
1
8
x
5
4
+ Thay vào điều kiện:
0
Vậy nghiệm của hệ là:
Trang 6Câu 1:
5
4
4
x
y
z y x
x y
0.25
Tìm ra 2 điểm tới hạn 1
13 1
12 6
4 2
Do r=-1 <0 nên hàm số đạt cực đại tại 1
13 1
12 6
Hàm số không đạt cực trị tại 2
1 3 ( , )
4 2
M
0.5
hàm số sẽ giảm nếu dịch chuyển ra khỏi
điểm A theo hướng lập với trục Ox một góc 150 0
hướng thay đổi nhất là: i j
0.25 0.25
Câu 2:
(2đ)
+ Lập phương trình mặt phẳng ABC:
9
z x y
0.5
1 ( )x ( )y 3
mds Z Z dxdy dxdy 0.5
5 29
3 15 1
53
3
x
x
0.5
Câu 3:
(3.5 đ) Trên cung OmA:
2, : 0 1
1 1 0
1 2 2
2 0
1
2 0
(ar 2 1)
1
0 1 1
x
x
dx x
0.25 0.25
0,5
Trên cung OnA
1
0
OnA
y ctg dy dx dx x
Trang 7+ Áp dụng công thức Green
D
y
x y
0.5
1
2 0
1 4
Câu 4:
(3đ)
,, 2 , 15 2 x 4 3x
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:
0.5
2
1
8
0.25
0.25
x
0.25
5
4
0.25 0.25
0
0.25 0.25
0.25
0.25