Đồ thị câu II.
Trang 1Trường ĐH Sư phạm kĩ thuật TP HCM Đề thi môn Toán cao cấp A1 (MATH130101)
Thời gian: 90 phút Câu I (3.5 điểm)
1 Cho số phức z = 1 + i
1 −√ 3i Tính z
2016và √5
z
2 Cho hàm số
f (x) =
x · ln(3x + 1)
ex 2
− 1 khi x > 0
3 cos x + x khi x ≤ 0
a Khảo sát sự liên tục của hàm f (x) tại x = 0
b Tính f0(1)
Câu II (1.5 điểm)
Khảo sát và vẽ đường cong r =√
3 + 2 sin φ trong tọa độ cực
Câu III (2.0 điểm)
1 Tính tích phân suy rộng I =R02√ x
2 − xdx.
2 Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộngR+∞
1
x3+ 2
x5− x + 3. Câu IV (3.0 điểm)
1 Khảo sát sự hội tụ của chuỗi sốP+∞
n=1
n
n + 1
n(n+1)
2 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừaP+∞
n=1
xn
n2+ n.
3 Khai triển thành chuỗi Fourier hàm f (x) tuần hoàn với chu kì T = 2π và được xác định bởi
f (x) =
(
3 khi0 < x < 3π
2
0 khi 3π2 ≤ x ≤ 2π
Trang 2ĐÁP ÁN
√ 3
4 +1+
√ 3
4 i = z = √1
2 cos7π12 + i sin7π12 0.5
z2016= 1
( √ 2) 2016 cos7π·201612 + i sin7π·201612 0.5
5
√
z = 1
10 √ 2
cos 7π12 +2kπ
5 + i7π12 +2kπ
5
0.5 với k = 0, 1, 2, 3, 4
2a limx→0+f (x) = limx→0+ x ln(3x+1)
e x2 −1 = limx→0+ 3x2
limx→0−f (x) = limx→0−(3 cos x + x) = 3 0.25
limx→0−f (x) = limx→0+f (x) = f (0) nên hàm số liên tục tại 0 0.25 2b Với x > 0, f0(x) =
ln(3x + 1) +3x+13x (ex2−1) − 2x2· ex2· ln(3x + 1)
f0(1) = (ln 4+
3)(e−1)−2e ln 4
r0= 2 cos φ
2√
3 + 2 sin φ, r
tan w = 3 + 2 sin φ
cos φ , tan w = ∞ ⇔ φ =
π
Bảng biến thiên
3
0.25
Câu III 1 I = lima→2−R
a 0 x
√
I = lima→2−R
√ 2−a
√
I = lima→2−
2t 3
3 − 4t|
√ 2−a
√
I =8
√ 2
2 f (x) = x
3+ 2
x5− x + 3, g(x) =
1
x2, limx→+∞f (x)
R+∞
1
1
R+∞
1
x3+ 2
x5− x + 3dx hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 2. 0.25 Câu IV 1 limn→+∞ n
√
un= limn→+∞
n n+1
n+1
2 r = limn→+∞
an
a n+1
= limn→+∞ n2+3n+2
Tại x = 1,P+∞
n=1
(−1)n
n2+ n đan dấu,
1
n2+ n giảm và → 0 khi n → +∞ 0.25 nên hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz
Tại x = −1,P+∞
n=1
1
n2+ n có
1
n2+ n ∼ 1
P+∞
n=1
1
n2 hội tụ nênP+∞
n=1
1
n2+ n hội tụ
3 a0= 1
π
R2π
0 f (x)dx = 1
π
R3π/2
0 3dx = 3x
π |3π/20 = 9
an= 1 π
R2π
an= 1πR3π/2
0 3 cos(nx)dx = nπ3 sin(nx) |3π/20 = nπ3 sin 3nπ
2
bn =π1R2π
bn =π1R3π/2
0 3 sin(nx)dx = −3nπ cos(nx) |3π/20 = −3nπ
cos 3nπ 2
− 1
x 6= 3π/2 + 2kπ, 2kπ: f (x) = a0
2 +
P+∞
n=1[ancos(nx) + bnsin(nx)]
Trang 3Đồ thị câu II
...Tại x = −1,P+∞
n=1
1
n2+ n có< /sup>
1
n2+ n ∼ 1
P+∞
n=1