Chương III - Bài 1: Vectơ trong không gian

Các véc tơ cùng phương b.. Các véc tơ cùng hướng c.. Các véc tơ ngược hướng... Gọi M,N lần l ợt là trung điểm của AB và CD.

A

B C

D

1.Vect¬ trong kh«ng gian

1/ Định nghĩa :

Véc tơ trong không gian là một

đoạn thẳng định hướng

Ký hiệu :

Ví dụ 1:

Cho tứ diện SABC

a)Hãy chỉ ra các véc tơ có điểm

đầu là S, điểm cuối là các đỉnh

còn lại của tứ diện ?

b) Các véc tơ đó có cùng nằm

trong một mặt phẳng không ?

AB

, , , , , a b x y    

S

A

B

C

A D

B C

d.Vect¬ b»ng nhau: DA = CB

E

F

a Các véc tơ cùng phương

b Các véc tơ cùng hướng

c Các véc tơ ngược hướng

1.Vect¬ trong kh«ng gian

A O

C

a) PhÐp céng vect¬:

Qui t¾c ba ®iÓm :

Qui t¾c hinh binh hµnh :

b PhÐp trõ vect¬ :

c PhÐp nh©n vect¬ víi mét sè thùc k:

Cïng h íng víi nÕu k > 0

Ng îc h íng víi nÕu k < 0

và

d TÝch v« h íng cña hai vÐc t¬:

2/Các phép toán véc tơ trong không gian

B

OA AC OC   

OA OB BA  OA OB OC  

OA OB                        OA OB                       OA OB

ka 

.

ka   k a 

a 

a 

AC BD AD BC  

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

B'

C' A'

D

C

D'

a)Chứng minh rằng :

A

C

D B

Giải

Theo qui tắc ba điểm ta có:               AC                AD                DC

Do đó :               AC                BD                              AD                DC  BD

                             

b  a

c 

Gäi M,N lÇn l ît lµ trung ®iÓm cña AB vµ CD, G lµ träng t©m tø

diÖn

b) Chøng minh r»ng :

0

GA GB GC GD                                            

2

GC GD                                 GN

 GA GB   2GM

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

A

C

D B

n

m

g

Ta cã:

                                                                                         

0

MA MB MC MD   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

 Ta cã:  

                                                           

4MG

 

(MG GA   )

(MG GB)

   

(MG GC)

   

(MG GC)

   

4MG

 

Trong không gian ba véc tơ gọi là

đồng phẳng nếu các giá của chúng

cùng song song với một mặt phẳng

b c

b c

* Nhận xét:

thi ba

véc tơ đồng phẳng

bốn điểm O, A, B, C cùng

nằm trên một mặt phẳng

a

1 định nghĩa:

OA                a OB                                b OC  c 

, ,

a b c   

A B

C

a) định lí 1

cho ba véc tơ trong đó

không cùng ph ơng

đồng phẳng   duy

nhất k, l sao cho

, ,

a b c   

, ,

a b c   

,

a b 

c   ka lb   

a 

b  c



A

B

C

O

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD Gọi M,N lần l ợt

là trung điểm của AB và CD

A

C

B D

M

N

P

Q

Mà

1 2

MP  BC

1 2

MQ  AD

1 1

2 2

MN  BC  AD

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

=>

, ,

a b c  

x 

x ma nb       pc 

không đồng

phẳng Khi đó với mọi

véc tơ ta đều tìm đ ợc duy nhất

một bộ ba số m,n,p sao cho :

A'

B'

C B

A

D

Ví dụ:

Cho hinh hộp ABCD.A’B’C’D’ có

Gọi I là trung điểm của BG.Hãy biểu

diễn qua ba véc tơ

AD a AB b AA    c

'

A I

, ,

2

Trong đó

a b c

     

O

a

b

c 

x 

D’

A

B