Ba đường Cônic

Bài toán 1: Cho elip E có phương trình sau:a Tính tâm sai e... Nhắc lại định nghĩa Parabol... Định nghĩa đường conicTừ định nghĩa trên, kết hợp với tính chất của elip, parabol, hyperbol,

Bài toán 1: Cho elip (E) có phương trình sau:

a) Tính tâm sai e

b) Cho , đường thẳng , tính tỉ số

1

25 9

25 ( ) : 0

4

x

( ; )

MF

d M 

6 6 1;

5

M 

 

 

2 2 25 9 4

c a b e

a a

Giải

a)

1

4 29 5

5 5

M

MF  a ex    25 25 29

( ; ) 1

M

d M  x    

6 6 1,

5

x  y 

2 2 1 24

25 9 25 25

x y

M E

b) Ta có thỏa

1 29 4 4

* ( ; ) 5 29 5

MF

d M   

Vậy

x

= e

Nhấp vào hình

2 2

1

9 16

x y

 

9

5

x

4 10;

3

M   

Bài toán 2: Cho Hyperbol (H) có phương trình sau:

a) Tính tâm sai e

b) Cho , đường thẳng , tính tỉ số 2

( ; )

MF

d M 

Giải

a) 2 2 9 16 5

c a b e

a a

2

5 5 10 9

3 10

M

c

a



M

d M  x     

4 10,

3

x  y 

b) Ta có thoả

2 2 10 1

2 5 ( ; ) 3

MF

d M  

Nhấp vào hình

Nhắc lại định nghĩa

Parabol

1

25 9

x y

25 ( ) : 0

4

x

  

Phải chăng đường thẳng là đường chuẩn của elip

( theo như định nghĩa đường chuẩn của Parabol)

2 2

1

9 16

x y

 

9

5

x

Phải chăng đường thẳng là đường chuẩn của hyperbol

( theo như định nghĩa đường chuẩn của Parabol)

Người soạn: Nguyễn Ngọc Khang

Đối tượng: Lớp 10A1

Ban nâng cao

BA ĐƯỜNG CONIC

Bài toán

Cho elip có phương trình chính tắc:

Đường thẳng:

Với điểm M bất kì thuộc elip, tính tỉ số

1 : x a 0 ; 2 : x a 0

x y

a b

a  b   

; ( ; ) ( ; )

d M  d M 

a e

e

x

y

Với M(x;y) thuộc elip, ta có

1

c

a

1

Suy ra

Chứng minh tương tự:

1 1

( ; )

MF

e

d M  

2

2

MF

e

d M  

BA ĐƯỜNG CONIC

Cho elip có phương trình chính tắc:

Khi đó đường thẳng

x y

a b

a  b   

Với mọi điểm M của elip ta luôn có

BA ĐƯỜNG CONIC

gọi là đường chuẩn của (H), ứng với tiêu điểm

e

e

  

 

F  c

 

2 ;0

F c

gọi là đường chuẩn của (H), ứng với tiêu điểm

2 Đường chuẩn của hyperbol

gọi là đường chuẩn của (H), ứng với tiêu điểm

e

e

  

 

F  c

 

2 ;0

F c

gọi là đường chuẩn của (H), ứng với tiêu điểm

Cho hyperbol (H) có phương trình chính tắc:

Tương tự elip, khi đó đường thẳng

2 2 1

a  b 

Với mọi điểm M nằm trên (H) ta luôn có

( 1)

BA ĐƯỜNG CONIC

BA ĐƯỜNG CONIC

Đường thẳng chính là đường chuẩn của

1

25 9

x y

25 ( ) : 0

4

x

  

Từ đó ta thu được kết quả trong bài toán 1 và 2 như sau:

2 2

1

9 16

x y

 

9

5

x

Đường thẳng chính là đường chuẩn của

3 Định nghĩa đường conic

Từ định nghĩa trên, kết hợp với tính chất của elip, parabol, hyperbol, ta có

Elip là đường conic có tâm sai e<1 Parabol là đường conic có tâm sai e=1 Hyperbol là đường conic có tâm sai e>1

Cho điểm F cố định và đường thẳng cố định không đi qua F

Tập hợp các điểm M sao cho tỉ số bằng một số dương e

cho trước gọi là đường conic.

Điểm F gọi là tiêu điểm, gọi là đường chuẩn và e gọi là tâm sai

của đường conic



( ; )

MF

d M 

BA ĐƯỜNG CONIC

Đây là đường conic với các tâm tỉ cự ( 0.2 ; 0.4 ; 0.6 ; 0.8 ; 1 ; 1.5 ; 2 ; 2.5 ; 3) Tiêu điểm là gốc tọa độ O, đường chuẩn x=1 (đường màu trắng)

ÁP DỤNG

Viết phương trình đường conic có đường chuẩn là đường thẳng x-y-1=0, tiêu điểm F=(0;1) và tâm sai e=2.

2 ( 1) 2

2

MH









Giải

MF

Vậy M thuộc conic đã cho nếu

 2

Tức là

Đó là phương trình cần tìm của conic.Vì tâm sai e = 2 >1 nên conic này là hyperbol

BA ĐƯỜNG CONIC