Ba đường conic

Bai giang s6 15 BA SUONG CONIC Bài giảng này đề cập đến phương pháp giải các bài toán về elip, hypebol va parabol là ba đường conic được đề cập đến trong hình học giải tích phẳng trong

Bai giang s6 15

BA SUONG CONIC

Bài giảng này đề cập đến phương pháp giải các bài toán về elip, hypebol va

parabol là ba đường conic được đề cập đến trong hình học giải tích phẳng trong

nhà trường phô thông hiện nay So với các bài toán về đường thẳng, đường tròn,

các bài toán về ba đường conic tuy có mặt không nhiều trong các đẻ thi tuyển sinh

môn Toán trong những năm 2002-2009, nhưng nó là một trong những chủ đề

không thể thiếu được trong việc ôn luyện thì môn Toán vào các trường Đại học,

Cao đăng hiện nay

§1 LẬP PHƯƠNG TRÌNH CÁC ĐƯỜNG CONIC

VÀ TÌM CÁC YẾU TỐ CỦA NÓ!

Phương pháp giải các bài tập thuộc loại này là phải thuộc các dạng phương

trình chính tắc của các đường conic, thuộc các công thức liên quan đến conic như

cách tính bán kính qua tiêu

Thí dụ 1: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối A-2008)

Cho elip với tâm sai e=—- và hình chữ nhật cơ sở của nó có chu vi băng 20

Viết phương trình chính tắc của elip

Giải x2 y2

Elip có phương trình chính tắc là: at =1.(1)

a

Tir gia thiết, ta có:

"¬' =5=7=s 2 =5 (doa>0, b>0)

Hình chữ nhật cơ sở của elip có hai cạnh là 2a, 2b Từ giả thiết, ta có:

2a+2b+20>a+b= I0

Vậy có hệ phương trình sau để xác định a, b: b 2 =|

a 3

Thay vào (1) ta thay elip cé phương trình chính tặc là : > + 7" 1

! Về định nghĩa các tính chất cơ bán của ba đường conic, bạn đọc có thể tìm thấy trong mọi SGK

Hình học lớp 10 Ở đây, chúng tôi bỏ qua và không nhắc lại chỉ tiết phần này

272

SS SSS

ng

SX

=

KỄ

=

x oes

wakes wow’

gS

\ SS

ess

Na

ng

gi

ng:

ww

oo

®

Ằ

SN

Rag

a

`

s

we we

Thi du 2: (Dé thi tuyển sinh khối D — 2005)

2 2 Trong mặt phăng tọa độ cho điểm C(2;0) và clip (E): “+ * =1 Tim hai

liễm A, B é€ (E), biết rằng A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và ABC là tam

xiác đều

Giả sử A(Xo; Yo) va B(Xo; —yo) la hai diém

thuộc (E) và đối xứng nhau qua trục hoành (có

thê giả sử yọ> 0) Khi đó AB = 2vyụ \ A

Vì ABC là tam giác đều, nên ta có: rT RS

B

eo yb +(2-x9)* =4y3 @ (2=x9)? =38) NO

Vi A(X; Yo) € (E) nén ta co: 2 2

Xo , YO - 1 (2)

4 4

Tir hé (1) (2) ta dé dang suy ra xp =2; yo= Ova mm

Do yạ>0 nên x; =: Yo =3 Từ đó hai điểm cần tìm có tọa độ là:

Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết rắng elip có tam O, tiéu diem trên

Ox qua M(— 3, 1) và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 6

, x2 2

Giả sử elip (E) có phương trình chính tắc: aD + 7) =I

Vi M(-V3, 1) <> (E) nén co: Stet, @)

Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là: (2) = -22 s6,

e e e

ẹ Cc

#tưyg t6

Từ (1) (2) ) suy ra hệ sau: 4a“ a“ —c

Thay (5) vào (4) và có: cÌ— 4c + 4= 0 =c=2

273

siNNg SSS

ng

|

Š 8

Yawk

a

=

®

eer

ề

NY

`

⁄ be g %

a

& ⁄ wwe vế 2%

ssn

về SRS

sử N®

2 2

Vậy (E) có phương trình: = + > =I

Thi du 4:

Cho elip có phương trình: ete" | Tim điểm M sao cho MF; = 2MF;, ở

đây F,, F, lan lượt là tiêu điểm trái và tiêu điểm phải của (E)

Giải

Theo công thức tính bán kính qua tiểu điểm và giả sử M = (Xo; yo) ta cd:

ở đây a ~25,c= 3 nên X5

A56

9

25 16

Vay trên (E) có hai điểm phải tìm M, =| -——;——— | và M;=|——; -—— |

Thi du 5:

Lập phương trình hepebol (H), biết răng tiêu điểm trên Ox, độ dài tiêu cự là se

kính qua tiêu điểm kia

1/ Gọi F¡, F; lần lượt là hai tiêu điểm trái và phải của (H) thì ,

F, = (—5; 0) va F2= (5; 0) Gia str M = (X09; yo) e (H), khi đó:

274

MF, =(-5—Xo:-¥q)sMFy =(5-Xy3-Yo)-

Lai cd: MF, ME; =| MEF, |.| MF, |cos60°

(ở đâya=4;c =5)

Từ (1) @) suy ra hệ phương trình sau để xác định (X03 Yo):

'25xx2„ v2 6+ 5xg)(I6-5xg)| |-800+32x2 +32y2 =|256 2x2 | (4)

Xo + Yo mm

Giải hệ (3) (4) dễ đảng ta có: Xã - 132 :Yệ = = 243

Vậy trên (H) có bốn điểm phải tìm:

2/ Ta có: MF¡ = 2MF¿ hoặc MF; = 2MF)

+ Nếu MF¡=2ME; ta có: |4 + S*9 _- -10Xo |

x _ 48

Vậy có hệ phương trình 9x9 — Oyo = 144 ° °

+ Tuong ty sé thay trường hợp MF;=2MF; dẫn đến một hệ vô nghiệm (các

bạn tự nghiệm lại)

48 V11 a $ 18

12

Vậy có hai điểm cần tìm : M (2 5 ; 5 ,

Thí dụ 7:

1/ Cho (C) là đường cong có phương trình: y + 4y— 4x =0 Bằng phép tịnh

tiến trục tọa độ, chứng minh (C) là một parabol Xác định tiêu điểm và đường

chuân của parabol này

2/ Cùng câu hỏi như phần 1/ với (C): x’?+ 6x —y + 8 = 0

Giải

L/ Viết lại (C) dưới dang: (y + 2)’- 4 — 4x =0 © (y +2} = 4(1 +x) (1)

Thực hiện phép thay đổi: Ñ c2 „ thì từ (1) ta có: V`= 4X (2)

=yt

275

SV

§

sr

REN

SSX Se!

`

SS

c7

RN —x%

vn nu

we

oN

%8

Nhu vay (2) co dang Y?= 2pX Trong hé toa d6 mdi (X; Y), đây là parabol có

tham số tiêu p = 2 (2p = 4 © Pe 2) Parabol nhận (0;0) làm đỉnh; trục đối xứng

Y =0; Tiêu điểm (1;0) (chú ý > = 1), đường chuẩn là X = 2 =-I

Trở về biến cũ: parabol (P): y’' + 4y - x= 0 nhận điểm S(-l+-2) làm đỉnh;

trục đối xứng là y = —2; tiêu điểm F(0; -2) và đường chuẩn x = ~2

ay

À

_ 4 -1

\

t

`

Y4

x

^

^A:x+2=0 2/ Viết lại (P) dưới dạng: (x + 3)—-y— =0 (x+3)=ytl

Y=y+l

Từ (3) suy ra, trong hệ (X; Y), (3) có dạng X” *=2pY Khi dé ta cd 2p = 1

Trở về biến cũ thì (P) là parabol nhận (—3;-1) làm đỉnh, trục đối xứng là

1

P2 Vậy parabol nhận (0;0) làm đỉnh, trục đối xứng là X =0, tiêu điểm là lo

và đường chuẩn Y = (0-4),

x =—3; tiéu diém F(-3; -: ) va duong chuan y = |

Cho parabol y° = 4x và hai điểm A(0; 4), B(6; 4)

1/ Tìm trên (P) điểm C sao cho ABC

là tam giác vuông tại A

2/ Tìm trên (P) điểm C sao cho tam

giác ABC có diện tích bé nhất

Giải 1/ Dễ thấy đường thắng nối AB có phương trình: 4x + 3y + 12 = 0

Vậy đường thăng d vuông góc với AB

có dạng: -3x + 4y + m = 0

‘ @&+L——————-

276

os

= Koons

ey Xow!

eX

Seas"

® QRS

y

xg

soos

SN

& WS ors

ere xu» ere Senn

rN

Ss aos

bồ

Do (d) qua A(0; 4) > -16+m=0 => m= 16 Vay d: -3x + 4y + ló = 0

Từ đó điểm C là nghiệm của hệ phương trình:

than

Vậy C¡(16; 8), C ls -$) là hai điểm phải tìm

2/ Ta có Saact 5 AB.CH, Do AB không đổi nên SaAsc đạt giá trị nhỏ nhất khi

CH nhỏ nhất Gọi C(Xo; Yo) € (P), ta có (theo công thức tính khoảng cách từ một

điểm đến một đường thắng)

[4x9 +3y9 +12] y2 +3yạ +12|

5

=—(yg si +3y)+12)=— Yo ) (x +—~| 1 +—I 2

Vì thế CH nhỏ nhất khi yors =0 © y=- ; (khi ấy MS)

Vì lẽ ấy (33-3) là điểm duy nhất trên (P) sao cho tam giác CAB có diện

tích bé nhất

§ 2 BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CONIC VỚI CÁC ĐƯỜNG KHÁC

Trong mục này xét các bài toán về sự tương giao của đường conic với đường

thăng, đường tròn hoặc giữa các conic với nhau:

Phương pháp giải đều dựa vào kết quả sau:

Cho hai đường lần lượt có phương trình f(x,y) = m; g(x,y)=n

Khi đó số giao điểm của hai đường bằng số nghiệm của hệ phương trình:

L (xy)=m ()

Khi đó tọa độ (x;y) Của các giao điểm chính là nghiệm của hệ phương trình trên

Như vậy bài toán về sự tương giao của các đường quy về khảo sát hệ phương

trinh dang (1) va (2)

Thí dụ 1

Cho (H): Ts =] và đường thang d: 2x -y +m=0

1/ Chứng minh rằng với mọi m, (H) và d luôn cắt nhau tại A, B thuộc hai

nhánh khác nhau của (H) (giả sử xa < xạ)

2/ Tìm M sao cho BF;= 2AF), & day F,(—3; 0) va F,(3; 0) là các tiêu điểm của (H)

277

os

=

Ân

aN

Xo’

€ ầ Ñ

Nos

® ess

§

xg

săn

xu» ere Senn

rN

N suy

x

X_yY Ly 1/ Xét hệ phương trình: 4] 8 ()

Tir (1) dan dén phuong trinh: 4x?— 4mx - mm’ - 8 = 0 (1)

>

m” +8

Vi - <0 với mọi m, nên (1) luôn có hai nghiệm trái dâu với mọi m

Vậy (H) và d luôn cắt nhau tại A, B, trong đó xạ < Xp

OX Ada

a

Đo A, B thuộc hai nhánh khác nhau của (H) (XxA < xp}),

ox

a

b) Ta có: BF:= 2AFt <= =2

`

NỀN: Xa<—=â: x;> á Vị — >ÏÌ nên từ (2) suy ra:

a

<©>3xp- l =-2_-6xa ©6xA†+3xg+L=0

Đo xa, xp là hai nghiệm của (1), nên theo định lí Vi-ét ta có:

2

mí +8

x _ 3m+l

Thay (11) vào (Š) và có: 63m” + 36m — 68 = 0

_-6+16/2

21

Đó là các giá trị cần tìm của tham số m

Thí dụ 2:

oa m

Cho elip (E) có phương trình 5 + T_ =1 và đường thăng d: 2x +15y—10=0

Chứng minh d cắt (E) tại hai điểm phan biét A, B, trong d6 A € Ox Tim d6 dai

doan AB

Giai

Số giao điểm của d và (E) bằng số nghiệm của hệ phương trình:

278

gamer

SS Rees

SK

x Lens S83

& \ Rant

x enn

Ñ

—

wh snd

#wwy

SX QRS

SSS

swWWw

x

`

Ñ See

K

§

„se

à

vu

3

x Rag, ~

= Bag

gs Ria, ~

= Bag gens

SI QQ

ot

Bagg

ga

—+—=

Vậy A(5; 0) và B(— 4; 5) R6 rang A € Ox va AB = 2/55,

Thí dụ 3:

Cho elip (E) co phuong trinh: 2s + 9

và điểm M(1;1) Viét phuong trinh đường thăng

qua M va cat (E) tai hai diém phan biét A, B sao

cho M là trung điểm của AB

Đường thẳng qua M có hai dạng:

1/ Néu x = I khi do dé thay x = 1 cắt (E) tại

Ai, Bị (xem hình vẽ) và ta có ngay:

MB;> 3 > MAI

Vì thế loại khả năng này

Khi đó tọa độ (x:y) của các giao điểm A, B của d với (E) là nghiệm của hệ Xeon

Khi thỏa mãn (3), giả sử hệ (1) (2) có hai nghiệm phân biét (x); y1), (x23 yo) - wes

Thi du 4:

Cho hai elip: E¡: x+y? =] và E¿: * xử -Ị,

Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của hai elip nói trên

279

Giai Gọi tọa độ (x; y) là các giao điểm của (E¡) và (Ea) là nghiệm của hệ phương trình:

2

—+ y =| 16 of! 2 +l6y° y=16 2 =16 432 _ 28 5

|

9 4

Điều đó chứng tô rằng E¡ va E; cắt nhau tại 4 điểm phân biệt

Ngoài ra ta có: xˆ + y? “1 suy ra bon giao diém cua chúng năm trên đường

tròn (C): x2 + y2 = n

(C) chính là đường tròn cần tìm

§3 CÁC BÀI TOÁN ĐỊNH TÍNH VỀ BA ĐƯỜNG CONIC

Loại 1: Các bài toán sử dụng định nghĩa của ba đường conic

Thi du 1: Cho parabol (P) y’=2px và đường thẳng A di động đi qua tiêu điểm

F của parabol và cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N Chứng minh rằng các đường

tròn đường kính MN luôn tiếp xúc với một đường thăng cô định

Giải

Kẻ NH và MK vuông góc với đường y

Theo định nghĩa của parabol ta có: ⁄

Goi I la trung diém MN,

ta có: H = 5 (NH + MK), J la hinh

chiéu cua I trén (A) (do IJ là đường trung

bình của hinh thang NHKM)

Nhu vay IJ = 5 MN

Điều đó chứng tỏ rằng đường tròn đường kính MN luôn luôn tiếp xúc với

280

Sern săn

Ñ

`

VN,

§ N

Ñ §

Load

x

Ens

š sàng

sg want Sey

AN

& Ñ

sR

Ñ

`

Ñ

` Ens

š NẴNG

hà

`

se

®

bề uy

Thi du 2:

Cho hai duong tron (C;) cé tam F,, bán kính R;; (C;), có tâm F¿, bán kính Rạ,

trong đó R¡ > R› và 0 < FIF;< Rị— Rạ Gọi M là tâm các đường tròn (C) di động

sao cho (C) tiếp xúc trong với (C¡) và tiếp xúc ngoài với (C;) Tìm quỹ tích của M

Giải Gọi M là tâm của (C) tiếp xúc ngoài với (Ca) tại B, còn tiếp xúc trong với (C))

Do MA = MB (cùng bằng bán kính của (C) Z

Do đó từ (]) suy ra: MFI + MF;= Rị + R¿= const /

Theo dinh nghia cua elip, ta suy ra quỹ tích | ;

của M là elip nhận F; và F; là hai tiêu điểm với \(g N củ

(Co): (x — SP + y?= 25

Khi đó, ta có: Fi(—5; 0) và R¡= 2l; F›(Š5; 0) và R;= 5

Ta có Rị + R;ạ= 26 suy ra: a= 13;

F\F2=10;c=5;b=12

Vậy quỹ tích của M là elip với phương trình: /

Cho đường tròn tâm F¡ bán kính bằng 2a và

một điểm F; ở ngoài đường tròn Tìm quỹ tích tâm

M của đường tròn qua F; và tiếp xúc với đường

tròn nói trên

Xét hai khả năng sau:

* Đường tròn tâm M bán kính r tiếp xúc ngoài

với đường tròn (F¿; 2a) Gọi tiếp điểm là I Ta có

MF, = MI + IF, = MF, + 2a

* Đường tròn tâm M bán kính r tiếp xúc trong

với đường tròn (F¡ 2a) Gọi I là tiếp điểm, ta có:

Vậy từ (3) đi đến quỹ tích tâm M các đường Vo t an SY

tron di qua F, va tiép xtic véi duéng tron (F}; 2a) la” J we

hypebol nhan F),F, lam hai tiéu diém va truc thy ae ee

281

SEE Sous Saux

YF

—

38

à =

=

Ñ

oS SRT

‘ = and SET

Si grr eos Nang gees

`

¬

yg

a

®

`

Xét ví dụ cụ thể sau: Đường tròn tâm F¡(—5; 0) Khi đó c = 5; 2a=R =4

= a=2, do đó: b = c° — a’ = 21 Vay quy tích tâm M là hypebol (H) với phương

2 v2

trình: =—— =]

4 2I

Thí dụ 4:

x2 v2

Trên mặt phăng cho elip (E) có phương trình: 2s + 3 =I,

có hai tiêu diém F,, F2; A va B la hai diém trén (E) sao cho AF, + BF2= 8

Tinh AF + BF

Giai

2 2

Từ: X =Ị suy ra (E) có trục lớn 2a = 10

25 ló

Theo định nghĩa clip thì: (AF, + AF2) = (BF, + BF›) = 10

= AF;+ BF, =(AF,+ AF») + (BF¡ + BF;) — (AF; + BF»)

=10+10-8=12

Loại 2: Một số bài toán định tính về ba đường conic:

Thi dul:

2 2 Cho hypebol (H): th =1, M(ạ; yo) là một điểm bất kì trên (H) Gọi A a 2

va A' là hai tiệm cận của (H) Chứng minh rằng đại lượng d(M, A).d(M, A') không

phụ thuộc vào vị trí của M trên (H)

Giải

Dễ thấy A: yv= x = bx-ay=0vàA`:y= Py <> bx + ay = 0

|bxo -ayo| |bxo +ayo| _ |b?x; —a" yp

Va? +b? Va? +b? a? +b?

a Thay (2) vào (]) và có:

a?bŸ

d(M,A).d(M,A') mm const = đpcm

a +

282

si

Ñ

và

Ñ Nay ges

`

Rant!

=

®

gì ates wast

ng

s

`

eee

§

và g

SER

se

Skee

¬

at aos®

š $

Ñ

Sas

RS

=>

Ñ

“Sas

RS

=>

Ñ

“Sas

Sag

vu