(Hình học 10 - Chương III) Bài giảng: Ba đường cônic

Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG

MẶT PHẲNG

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

Đ6 ba đờng côníc

bài giảng theo chơng trình chuẩn

I Đờng chuẩn của đờng Côníc

Định nghĩa: Đờng chuẩn của Elíp (Hyperbol) ứng với tiêu điểm Fi (i = 1,2) là đờng thẳng(i) (i = 1,2) vuông góc với trục đối xứng chứa các tiêu điểm nằm về cùng một phía với Fi

đối với trục đối xứng còn lại và cách tâm của Elíp (Hyperbol) một đoạn

e

a

với e là tâmsai và a là độ dài nửa trục lớn (trục thực)

a Với Elíp (E):

b

ya

x

2

2 2

x

2

2 2

Đờng chuẩn của cả ba đờng Conic đều có tình chất chung sau đây:

Định lý 1: Điều kiện cần và đủ để một điểm nằm trên đờng Conic là khoảng cách từ điểm

đó tới tiêu điểm và đến đờng chuẩn tơng ứng bằng tâm sai e của đờng Conic đó

Định nghĩa 2: Đờng Côníc (C) là tập hợp điểm có tỷ số các khoảng cách từ đó đến một

điểm cố định và đến một đờng thẳng cố định không đi qua điểm cố định ấy, bằng mộthằng số dơng e

Hằng số dơng e chính là tâm sai của đờng Côníc (C)

y

x O

II tiếp tuyến của ba đờng côníc

Định lý 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đờng Côníc (C) và đờng thẳng (d) có phơng trình:

(d): Ax + By + C = 0, với A2 + B2 > 0

Điều kiện cần và đủ để (d) tiếp xúc với (C) là:

Phơng trình của (C) Điều kiện cần và đủ (d) tiếp xúc với (C)

b

ya

x

2

2 2

Để khắc phục tình trạng trên, chúng ta sử dụng phơng pháp sau:

Viết lại hệ (I) dới dạng:

Khi đó, hệ có nghiệm duy nhất

 đờng thẳng () tiếp xúc với đờng tròn (T)

x2

2 2

Định lý 3: Trong mặt phẳng Oxy cho đờng Côníc (C) phơng trình tiếp tuyến với (C) tại

điểm M0(x0, y0) thuộc (C) tơng ứng với các dạng của phơng trình (C) nh sau:

Phơng trình của (C) Phơng trình tiếp tuyến với (C) tại

M(x0, y0) (C)

b

ya

x

2

2 2

xx

2

0 2

0  

b

ya

x2

2 2

xx

2

0 2

0  

Parabol (P): y2 = 2px (d): yy0 = p(x + x0)

Chú ý: Đối với Elíp (E) dựa trên kết quả trên cùng với phép co f trục Ox tỉ số k = 

ba

chúng ta có thể giải đợc bài toán:

" Cho Elíp (E): 1

b

ya

x

2 2 2

MB 1 B 2 tiếp xúc với (E) "

phơng pháp giải Các dạng toán thờng gặpờng gặp

Bài toán 1 Chứng minh đờng cong (C) là một đờng côníc

Bớc 2: Biện luận theo A, B, C ta đợc dạng của đờng cong

Ví dụ 1: Biện luận theo m hình dạng của đờng (C) có phơng trình:

(C): (m1)x2 + my2 = m2m

Giải

Ta lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Biến đổi phơng trình của (C) về dạng:

Vậy với điểm F(1, 0) và đờng thẳng (): x = m, ta có nhận xét:

 Với m < 0, thì (C) là tập 

 Với m = 0, thì (C): x2 = 0  (C): x = 0 là phơng trình trục Oy

 Với

m 011m

thì (C) là phơng trình của Parabol điểm (có dạng y2 = 0)

Cách 2: Ta xét dựa trên các tính chất đại số:

ym

 m > 1thì (C) là phơng trình của Elíp

 Với

m(m1) < 0  0 < m < 1thì (C) là phơng trình của Hypebol

Bài tập đề nghị Bài 1 Chứng tỏ rằng phơng trình:

m2x2 + (m29)y)y2 + 18my9)ym2 = 0, với m > 0

là phơng trình của một Cônic Biện luận theo m hình dạng của Cônic đó

Bài 2 Chứng tỏ rằng phơng trình:

Ax2 + By2 + F = 0, với A.F < 0

a Là phơng trình của một đờng tròn có tâm O(0, 0) nếu A = B

b Là phơng trình của một Elíp có đỉnh O(0, 0) nếu AB và A.B > 0 Tìm toạ độ cáctiêu điểm, phơng trình các đờng chuẩn của Elíp

c Là phơng trình của một Hyperbol có đỉnh O(0, 0) nếu A  B và A.B < 0 Tìm toạ độcác tiêu điểm, phơng trình các đờng chuẩn của Hyperbol.

Bài 3 Chứng tỏ rằng phơng trình:

Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0, với A.B > 0

a Là phơng trình của một Elíp nếu A E)

C4

DA4

C(

2 2



 > 0 Tìm toạ độ các tiêu

điểm, phơng trình các đờng chuẩn của Elíp

b Là phơng trình của một Hyperbol nếu A E)

C4

DA4

C(

2 2



 < 0 Tìm toạ độ cáctiêu điểm, phơng trình các đờng chuẩn của Hyperbol

C4

DA4

a Là phơng trình của một Parabol nếu C  0

b Là phơng trình của một đờng thẳng nếu C = 0 và B24AD = 0

c Là phơng trình của hai đờng thẳng nếu C = 0 và B24AD > 0

Giải

Với M(x, y)  (E) ta có:

),

|

) 1 y ( ) 3 x ( 2 2

 4[(x + 3)2 + (y1)2] = (y + 2)2  4x2 + 3y2 + 24x12y + 36 = 0

38

)2y(2

)3x

Đó chính làphơng trình của Elíp (E)

Ví dụ 2: Lập phơng trình của Hypebol, biết tiêu điểm F(2, 3), đờng chuẩn ứng với tiêu

điểm đó có phơng trình 3xy + 3 = 0 và tâm sai e = 5

Giải

Với M(x, y)  (H) ta có:

),

|

)3y()2x

 16x2 + 9)yy2 + 24xy + 7x2x19)y6y44 = 0.

Đó chính là phơng trình của Parabol (P)

Bài tập đề nghị Bài 5 Lập phơng trình chính tắc của Parabol (P) biết tiêu điểm là O và đờng chuẩn (d):

xy2 = 0

Bài 6 Lập phơng trình chính tắc từ đó suy ra phơng trình tham số của Elíp (E), biết:

a Tâm O, tiêu điểm đều ở trên Ox, đi qua điểm M( 3 , 1) và khoảng cách giữahai đờng chuẩn bằng 6

Bài 7 Lập phơng trình chính tắc của Hypebol biết tâm sai e = 2, một tiêu điểm F(1, 1)

và phơng trình đờng chuẩn ứng với tiêu điểm đó là (): xy2 = 0

Bài toán 3 Sử dụng đờng chuẩn của các đờng côníc giải toán.

phơng pháp chung

Sử dụng kết quả trong định nghĩa

Ví dụ 1: Cho Elíp (E) có phơng trình:

(E): 4x2 + 16y2 = 64

a Xác định các tiêu điểm F1, F2, tâm sai và vẽ Elíp

b M là một điểm bất kỳ trên Elíp Chứng tỏ rằng tỷ số khoảng cách từ M tới tiêu

điểm phải F2 và tới đờng thẳng x =

H M

I1I

b Ta biết rằng ứng với tiêu điểm F2( 12 , 0) là đờng chuẩn (2): x =

3

8

, do đó:

))(,

1 ) y x 3 2

8

y4

x12 12



 Vậy, tâm đờng tròn (C1) thuộc Hypebol

8

y4

x2 2



Bài tập đề nghị Bài 8 Cho Hypebol (H) có phơng trình:

b

ya

x2

2 2

2



a Tính độ dài phần đờng tiệm cận chắn bởi hai đờng chuẩn

b Tính khoảng cách từ tiêu điểm đến các tiệm cận

c Chứng minh rằng chân đờng vuông góc hạ từ một tiêu điểm tới các đờng tiệm cậnnằm trên đờng chuẩn

Bài 9 Tính góc  (0 <   9)y00) giữa các đờng tiệm cận của Hyperbol, biết khoảng cáchgiữa các tiêu điểm gấp 2 khoảng cách giữa các đờng chuẩn

Bài toán 4 Lập phơng trình tiếp tuyến của côníc (C)

Bớc 2: Xác định điều kiện tiếp xúc của (d) và (C)

Bớc 3: Kết luận về tiếp tuyến (d)

Chú ý: Điều kiện K thờng gặp:

1 Tiếp tuyến đi qua điểm M cho trớc, khi đó:

a Nếu M(x0, y0)  (C), ta có ngay phơng trình tiếp tuyến bằng phơng pháp phân đôitoạ độ

b Nếu M(x0, y0)  (C), ta giả sử:

(d): A(xx0) + B(yy0) = 0  (d): Ax + ByAx0By0 = 0

2 Tiếp tuyến song song với đờng thẳng (): Ax + By + C = 0, khi đó:

|

| a

|

| b a

2 1kk1

kk





, với k1, k2 theo thứ tự là hsg của (d), ()

Cách 2: Đi tìm tiếp điểm rồi sử dụng phơng pháp phân đôi toạ độ để giải.

1 Trong những trờng hợp riêng cách 2 tỏ ra hiệu quả hơn

2 Đối với Elíp ta còn có thể sử dụng phơng pháp họ tiếp tuyến, nh sau:

Với Elíp (E) có phơng trình:

b

ya

x2

2 2

t sin a x

, t  [0, 2)

Bớc 2: Vì M  (E) nên M(asint, bcost)

Bớc 3: Khi đó phơng trình tiếp tuyến của (E) tại điểm M có dạng:

x

2 2 2

2





Ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Chuyển phơng trình Hyperbol về dạng tham số:

t cos a x

}

Bớc 2: Điểm M  (H) nên M(

tcos

= 1  (d): xy + 1 = 0

b Nhận xét rằng M  (C), do đó phơng trình tiếp tuyến (d) có dạng:

(d): (y4)(24) = 2[(x2) + (12)]  (d): xy + 1 = 0

Nhận xét: Nh vậy, trong ví dụ trên bởi M  (C) do đó các phơng trình tiếp tuyến đợc xác

định bằng phơng pháp phân đôi toạ độ, dựa theo quy tắc:

Ví dụ 2: Cho điểm M(3, 4) và Elíp (E) có phơng trình:

(E):

4

y 9)y

x2 2

 = 1

a Chứng minh rằng qua M có thể kẻ đợc 2 tiếp tuyến đến (E)

b Xác định phơng trình 2 tiếp tuyến và lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai tiếp

điểm của (E) với hai tiếp tuyến trên

Giải

a Điểm M(3, 4), suy ra:

) E

M

4

169)y

9)y

 > 1  M nằm ngoài (E)  qua M kẻ đợc 2 tiếp tuyến đến (E)

b Ta lựa chọn một trong ba cách giải sau:

Cách 1: Đờng thẳng (d) đi qua M có phơng trình:

(d): A(x3) + B(y + 4) = 0  (d): Ax + By3A + 4B = 0

Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của (E) khi:

9)yA2 + 4B2 = (3A + 4B)2  12B224AB = 0  







 A 2 B 0 B

 Với B = 0, ta đợc tiếp tuyến

1 4 y 9)y

 



 0 y 3 x

 M1(3, 0)

 Với B = 2A, ta đợc tiếp tuyến

(d2): A(x3) + 2A(y + 4) = 0  (d2): x + 2y + 5 = 0

và toạ độ tiếp điểm M2 là nghiệm của hệ:

1 4 y 9)y

5 9)y x

) 0 , 3 ( M qua

2 1

9)y(M

)0,3(M2

03x:)d(2

t cos 2 1 t sin

t cos 2 1 t sin

cos

0 t cos

t cos 2 1 t sin

&

5

4 t cos

1 t sin

&

0 t cos

 Với sint = 1 và cost = 0, thay vào (1) đợc tiếp tuyến

(d1): x3 = 0 và toạ độ tiếp điểm là M1(3, 0)

, thay vào (1) đợc tiếp tuyến

(d2): x + 2y + 5 = 0 và toạ độ tiếp điểm là M2(

) 0 , 3 ( M qua

2 1

 (M1M2): x3y3 = 0

Nhận xét: Nh vậy thông qua ví dụ trên chúng ta đã biết cách lập phơng trình tiếp tuyến

đối với một Côníc có dạng chính tắc Một câu hỏi đợc đặt ra rất tự nhiên là " Với các

Côníc có các trục song song với các trục toạ độ thì sử dụng phơng pháp gì ? ", câu trả lời

là lựa chọn một trong hai cách:

Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm rồi sử dụng phơng pháp phân đôi toạ độ để giải

Cách 2: Thực hiện phép tịnh tiến để đa chúng về dạng chính tắc

Để minh hoạ chúng ta sẽ thấy trong các ví dụ sau:

Ví dụ 3: Cho điểm M(2, 9)y) và Hypebol (H) có phơng trình:

(H):

16

)1y(9)y

)1x

Để xác định phơng trình tiếp tuyến ta có hai cách giải sau:

Cách 1: Gọi M(x0, y0) là tiếp điểm của (H) với tiếp tuyến (d) cần tìm, ta đợc:

M(x0, y0)  (H) 

16

)1y(9)y

)1x( 0 2 0 2

1y(9)y

)1x)(

1x

Vì M  (d) nên:

16

)1y)(

19)y(9)y

)1x)(

12

2 x

13,6(M

)1,2(M2

1

 Với tiếp điểm M1 ta đợc tiếp tuyến (d1): x + 2 = 0

 Với tiếp điểm M2 ta đợc tiếp tuyến (d2): 5x + 3y17x = 0

Vậy, qua M kẻ đợc hai tiếp tuyến (d1) và (d2) tới (H)

Lu ý: Khi đó toạ độ các tiếp điểm đều thoả mãn (*), do đó phơng trình đờng thẳng đi qua

1 x X

1 X xKhi đó, trong hệ trục IXY, ta có:

16

Y 9)y

X2 2



 và M(3, 8)

Trong hệ trục IXY, đờng thẳng (d) đi qua M có phơng trình:

(d): A(X + 3) + B(Y8) = 0  (d): AX + BY + 3A8B = 0

Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của (H)

9)yA216B2 = (3A8B)2  80B248AB = 0 

 Với B = 0, ta đợc tiếp tuyến

(d1): A(X + 3) = 0  (d1): X + 3 = 0,

 Với B =

5

A3

, ta đợc tiếp tuyến

(d2): A(X + 3) +

5

A3

(Y8) = 0  (d1): 5X + 3Y9)y = 0,Chuyển phơng trình của (d1), (d2) sang hệ trục Oxy, ta đợc:

(d1): x + 2 = 0 và (d2): 5x + 3y17x = 0

Vậy, qua M kẻ đợc hai tiếp tuyến (d1) và (d2) tới (H)

Bài tập đề nghị Bài 10 Cho Elíp (E) có phơng trình:

(E):

4

y 9)y

x2 2

 = 1

Viết phơng trình các tiếp tuyến của (E), biết tiếp tuyến:

a Đi qua điểm A(3, 0)

b Đi qua điểm B(2, 3)

c Song song với đờng thẳng (1): x2y + 6 = 0

d Vuông góc với đờng thẳng (2): xy = 0

e Tạo với đờng thẳng (3): 2xy = 0 một góc bằng 600

Bài 11 Cho Hyperbol (H) có phơng trình:

(H):

16

y 9)y

x2 2

 = 1

Viết phơng trình các tiếp tuyến của (H), biết tiếp tuyến:

a Đi qua điểm A(3, 0)

b Đi qua điểm B(3, 2)

c Song song với đờng thẳng (1): xy + 1 = 0

d Vuông góc với đờng thẳng (2): x2y + 3 = 0

e Tạo với đờng thẳng (3): x2y4 = 0 một góc bằng 450

Bài 12 Cho Parabol (P) có phơng trình:

(P): y2 = 2x

Viết phơng trình các tiếp tuyến của (P), biết tiếp tuyến

a Đi qua điểm A(2, 2)

b Đi qua điểm B(2, 3)

c Song song với đờng thẳng (1): 3x4y + 1 = 0

d Vuông góc với đờng thẳng (2): 4x3y + 7x = 0

e Tạo với đờng thẳng (3): 2xy = 0 một góc bằng 600

Bài toán 5 Lập phơng trình tiếp tuyến chung của hai côníc.

là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2)

Bớc 2: Thiết lập điều kiện tiếp xúc của (d) với (C1) và (C2)

Bớc 3: Kết luận về tiếp tuyến chung (d)

Chú ý Với bài toán tiếp tuyến chung của đờng tròn, Elíp và Hypebol với một đờng Côníc

khác ta còn có thể sử dụng phơng pháp họ tiếp tuyến.

Ví dụ 1: Lập phơng trình tiếp tuyến chung của:

9)y

y 4

|C

 Với A = 2B và C = 5B, ta đợc tiếp tuyến (d1): 2x + y + 5 = 0

 Với A = 2B và C = 5B, ta đợc tiếp tuyến (d2): 2x + y5 = 0

 Với A = 2B và C = 5B , ta đợc tiếp tuyến (d3): 2xy5 = 0

 Với A = 2B và C = 5B, ta đợc tiếp tuyến (d4): 2xy + 5 = 0

Vậy (E) và (C) có 4 tiếp tuyến chung là (d1), (d2), (d3) và (d4)

Cách 2: Họ tiếp tuyến (dt) của (C) có dạng:

(dt): x.sint + y.cost = 5 , t[0, 2)

Đờng thẳng (dt) tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi

4sin2t + 9)ycos2t = 5  5cos2t = 1

d(O, (dt)) = R 

t cos 4 t sin 9)y

| 6

3 , ta đợc tiếp tuyến (d4): 2xy + 5 = 0

Vậy (E) và (C) có 4 tiếp tuyến chung là (d1), (d2), (d3) và (d4)

Ví dụ 2: Lập phơng trình tiếp tuyến chung của:

2 x x

11 x 7x x

4

y 9)y

x2 2



 và (C): x2 + y2 = 9)y

b (E1): 1

4

y 9)y

Cách 1: Thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Lấy điểm M(x0, y0)  (E), ta có:

1 b

y a

x

2

2 0 2

2 0

xx

2

0 2

Bớc 2: Chứng minh tính chất K dựa vào điều kiện ràng buộc (1)

Cách 2: Thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Chuyển phơng trình Elíp (E) về dạng tham số:

(E):





t cos b y

t sin a x

t sin a x

0 0

(1)Phơng trình tiếp tuyến tại M có dạng:

Chú ý: Để bắt đầu cho việc chứng minh các tính chất tiếp tuyến của Elíp, chúng ta đi

phát biểu và chứng minh định lý Pascal (tính chất quang học và âm học) cho tiếp tuyến

của Elíp

Định lý (Pascal): Tiếp tuyến của Elíp tạo với hai bán kính qua tiêu điểm ứng với tiếp

điểm những góc bằng nhau

Chứng minh

Xét điểm M0(x0, y0) tuỳ ý trên Elip, ta có:

1b

xx

2

0 2

 Nếu M0(x0, y0) là một đỉnh của (E) thì hiển nhiên định lý đúng

 Giả sử M0(x0, y0) không là đỉnh của (E), tiếp tuyến với (E) tại M0 cắt Ox tại N Ta

đi chứng minh M0N là đờng phân giác ngoài của góc đỉnh M0 trong F1M0F2.Toạ độ điểm N là nghiệm hệ phơng trình

1 b

yy a

xx

2 0 2

x

acx

ac

2 0acx

acx

aex

exa



 

2

1NF

Suy ra M0N là đờng phân giác ngoài của góc đỉnh M0 trong F1M0F2

Ví dụ 1: Cho Elíp (E) có phơng trình:

b

ya

x2

2 2

Cách 1: Hai tiêu điểm là F1(c, 0), F2(c, 0) với c2 = a2b2

Lấy điểm bất kỳ M0(x0, y0)  (E), khi đó:

1b

y

| b x c a b |(b x ) (a y )



2 2 2 2 4 2 0

b | (b x c a b ) |(b x ) (a y )

2 0

Thay (3) vào (2), ta đợc F1H1.F2H2 = b2 (đpcm)

Chú ý:

1 Nếu ta giả sử phơng trình tiếp tuyến (d) có dạng y = kx + m thì không thoả mãn giả

thiết "tiếp tuyến bất kỳ ", trong trờng hợp đó cần xét thêm hai tiếp tuyến dạng x = a.

Cách 2: Chuyển phơng trình Elíp (E) về dạng tham số:

Phơng trình tiếp tuyến tại M có dạng:

2 Bạn đọc hãy chứng minh thêm hai tính chất sau:

a Giả sử F1H2 và F2H1 cắt nhau tạiN Chứng minh rằng MN là phân giác của góc

Bài 16 Cho Elíp (E) có phơng trình:

4

y8

x2 2



có F1, F2 là các tiêu điểm của nó, M(E)

a Chứng minh rằng tiếp tuyến với (E) tại M là đờng phân giác ngoài của góc F1MF2

b Tiếp tuyến tại M của (E) cắt đờng chuẩn (2) tại N Chứng minh rằng tiêu điểm F2

x2

2 2

x2 2



 Gọi A1A2 là trục lớn của Elíp Dựng các tiếp tuyến A1t1, A2t2 Một tiếp tuyến đi qua M

 (E) cắt A1t1, và A2t2 tại T1 và T2

b Chứng minh rằng tích A1T1.A2T2 không phụ thuộc và M

c Tìm quĩ tích giao điểm N của A1T2, và A2T1 khi M chạy trên (E)

d Xác định tạo độ điểm M sao cho FT1T2 có diện tích nhỏ nhất, trong đó F là mộttrong hai tiêu điểm của (E)

e Tìm điểm M thuộc (E) sao cho tiếp tuyến với (E) tại M tạo với các trục toạ độmột tam giác có diện tích lớn nhất

Bài toán 7 Chứng minh tính chất tiếp tuyến của Hypebol.

y a

x

2

2 0 2

2 0

xx

2

0 2

Bớc 2: Chứng minh tính chất K dựa vào điều kiện ràng buộc (1)

Cách 2: Thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Gọi (d): Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến của (H), khi đó:

 Điều kiện tiếp xúc là: C2 = A2a2 B2b2 (3)

 Toạ độ tiếp điểm T là: