Ba đường Conic

Ba đ ờng conicTiết 40: elip Đườngư elipư làư loạiư đườngư thườngư gặpư trongư thựcưtế,ưvíưdụ: - Bóng của một đ ờng tròn trên mặt đất bằng phẳng d ới ánh sáng mặt trời là một đ ờng elip..

Bµi gi¶ng: Ba ® êng conic

Gi¸o viªn: NguyÔn ThÞ Ph ¬ng Anh

Tuyªn Quang

Đ 4 Ba đ ờng conic

Tiết 40: elip

Đườngư elipư làư loạiư đườngư thườngư gặpư trongư

thựcưtế,ưvíưdụ:

- Bóng của một đ ờng tròn trên mặt đất

bằng phẳng d ới ánh sáng mặt trời là

một đ ờng elip

- Ta đổ một ít n ớc màu vào một

cốc thuỷ tinh hình trụ Nếu ta

nghiêng cốc n ớc đi thì mặt

thoáng của n ớcđ ợc giới hạn bởi

1) Định nghĩa: Cho F1, F2 cố định, F1F2 = 2c

của điểm M.

2) Ph ơng trình chính tắc của elip:

M y

0

Với cách chọn hệ trục toạ độ

nh vậy, toạ độ 2 tiêu điểm F 1 , F 2

là bao nhiêu ?

x

2) Ph ơng trình chính tắc của elip:

* F1(- c; 0), F2(c; 0)

Cho điểm M(x;y) tuỳ ý, Tính F 1 M 2 , F 2 M 2 ?

1) Định nghĩa: Cho F1, F2 cố định, F1F2 = 2c

M y

2) Ph ơng trình chính tắc của elip:

* F1(- c; 0), F2(c; 0)

M(x;y)  F1M 2 = (x + c) 2 + y 2

F2M 2 = (x - c) 2 + y 2

 F1M2 - F2M2 =

F1M2 + F2M2 =

4cx 2(x2 + c2 + y2)

Với mọi điểm M(x,y), xét MF1F2 ta luôn có:

F1M -F2M F1F2 = 2c < 2a  (F1M - F2M)2 - 4a2  0

1) Định nghĩa: Cho F1F2 = 2c, F1, F2 cố định

M y

elip (E) = M(x;y) / F1M + F2M = 2a ,(0 < c < a)

F1M 2 - F2M 2 = 4cx ; F1M 2 + F2M 2 = 2(x 2 + c 2 + y 2 ); (F1M F– F 2M) 2 – 4a 2  0

M(x;y)  (E)  F1M + F2M = 2a  (F1M + F2M)2 - 4a2 = 0

 (F1M + F2M)2 - 4a2  (F1M - F2M)2 - 4a2  = 0

 (F1M2 - F2M2)2 - 8aa2 (F1M2+ F2M2) + 16a4 = 0

16­c 2 x 2

­­c 2 x 2­ – F­a 2 x 2 ­-­a 2 c 2 ­-­a 2 y 2 ­+­a 4 ­=­0

­­x 2­ (a 2­ – F­c 2 )­+­a 2 y 2 ­=­a 2 (a 2 ­– F­c 2 )

­­x 2 b 2­ +­a 2 y 2 ­=­a 2 b 2­­ (­víi­b 2 ­=­a 2 ­– F­c 2 ­)­

2 2

1



– F­16a 2 (x 2 ­+­c 2 ­+­y 2 ) +­16a 4 ­=­0

( để ý rằng a > b >0 ).

1

Với b 2 ư=ưa 2 ư– Fưc 2

(1)

2) Ph ơng trình chính tắc của elip:

x

y

0

M

Trong mặt phẳng Oxy, cho 2 điểm

F1(-c;0) và F2(c;0)

Xét elip (E) = M(x;y) / F1M + F2M = 2a ,(0 < c < a)

Điều kiện cần và đủ để điểm M(x;y) thuộc (E) là:

ưưưưưchínhưtắc của e líp (E)

elip





1 2

MF + MF = 2a

MF - MF = 4cx

NhËn xÐt:

 

 

1

2

§iÓm M(x; y) n»m trª n

elip (E) th × :

cx

MF a

a cx

a

M y

VËy ph ¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña (E) lµ

2 2

1

tiªu ®iÓm lµ F1( ) vµ ®iÓm M ( ) n»m trªn (E)  5 ; 0 4 2

1;

3

Lêi gi¶i:

Ph ¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elip: víi b 2 ­=­a 2 ­– F ­ c 2

2 2

2 2

x y

1

a  b 

PT chÝnh t¾c cña elip cã d¹ng:

2 2

2 2

1

(E) Cã mét tiªu ®iÓm F1( )  c =  5 ; 0 5

M ( )  (E)  1; 4 2 (1)

1

b 2 ­=­a 2 ­– F­c 2­

 b2 ­= a 2 ­– F­5­­­(2) ThÕ (2) vµo (1) ta ® îc:

1

a  9( a  5 )  ­9a 4 ­– F­86a 2 ­+­45­=­0

a 9

2

a  5 / 9 ­<­c 2 ( lo¹i)

 b2 = 4

PT chÝnh t¾c cña elip: víi b 2 ­=­a 2 ­– F ­ c 2 ­­(1)

2 2

2 2

x y

1

a  b 

3) H×nh d¹ng cña elip:

Cho elip (E) cã PT (1) vµ M(x0;y0)

 (E) Hái c¸c ®iÓm M1(-x0;y0),

M2(x0;-y0), M3(-x0;-y0) cã n»m trªn

(E) kh«ng?

elip

3) Hình dạng của elip:

a) Elip có các trục đối xứng

là Ox, Oy và có tâm đối xứng

là gốc O

elip PT chính tắc của elip: với b 2 ư=ưa 2 ư– F ư c 2

2 2

2 2

x y

1

a  b 

M

M1

M2

M3

O

y

x

A2

A1

B2

B1

3) Hình dạng của elip:

a) Elip có các trục đối xứng

là Ox, Oy và có tâm đối

xứng là gốc O.

(E) cắt Ox tại A 1 , A 2 ; cắt Oy tại B 1 , B 2.

Các em h y tìm toạ độ ãy tìm toạ độ

của 4 điểm này ?

elip PT chính tắc của elip: với b 2 ư=ưa 2 ư– F ư c 2

2 2

2 2

x y

1

a  b 

M

M1

M2

M3

O

y

x

A2

A1

B2

B1

M

M1

M2

M3

O

y

A2

A1

B2

B1

PT chính tắc của elip: với b 2 ư=ưa 2 ư– F ư c 2

2 2

2 2

x y

1

a  b 

3) Hình dạng của elip:

a) Elip có các trục đối xứng

là Ox, Oy và có tâm đối xứng

là gốc O

elip

b) Elip cắt Ox tại A1(-a;0), A2(a;0)

cắt Oy tại B1(0;-b), B2(0;b) Các điểm A1,, A2, B1, B2 gọi là các đỉnh của elip

Đoạn thẳng A1A2 gọi là trục lớn và A1A2 = 2a

c) Mọi điểm của elip đều nằm trong hình chữ nhật kích th ớc 2a, 2b, giới hạn bởi các đ ờng thẳng hình chữ nhật đó x  a, y b

Đoạn thẳng B1B2 gọi là trục nhỏ và B1B2 = 2b

d) Tâm sai của elip:  c

e

a

Nhận xét:

+ 0 < e <1

Do

a



a c

2 2

c 1

a  

2

Nên:

- Nếu tâm sai e càng bé (tức là càng gần 0) thì b càng gần a và hình chữ nhật cơ sở càng gần với hình vuông, do đó đ ờng elip càng béo“béo” ”

- Nếu tâm sai e càng lớn (tức là càng gần 1) thì tỷ

số b/a càng gần 0 và hình chữ nhật cơ sở càng dẹt , do đó đ ờng elip càng gầy

e, Elip và phép co đ ờng tròn:

Bài toán: Trong mặt phẳng tọa độ, cho đ ờng tròn (C)

có ph ơng trình: x2 + y2 = a2 và một số k (0<k<1) Với mỗi điểm M(x;y) trên (C) lấy điểm M (x ; y ) sao ’(x’; y’) sao ’(x’; y’) sao ’(x’; y’) sao

cho x = x và y = ky.’(x’; y’) sao ’(x’; y’) sao

Tìm tập hợp các điểm M’(x’; y’) sao

Kết luận:

Phép co về trục hoành theo

hệ số k biến đ ờng tròn (C)

thành elip (E)

x

y

0

M(x; y)

y

2

( ) E

(C)

PT chính tắc của elip: với b 2 ư=ưa 2 ư– F ư c 2

2 2

2 2

x y

1

a  b 

elip

Ví dụ 2: Tìm những điểm trên elip (E)

nhìn 2 tiêu điểm

d ới một góc vuông?

1

20  4 

x

y

0 M

Lời giải:

Taưcó:ưa 2 ư=ư20,ưb 2 ư=ư4 ư ưc 2 ư=ư20ư– Fư4ư=ư16ưưcư= ư4

DoưđóưF 1 F 2 ư=ư2cư=ư8 TaưcóưM(x,y)(E) sao cho)ưsaoưcho F MF 1 2 90 0

ư2(x 2 ư+ưc 2 ư+ưy 2 )ư=ư64  x2 ư+ưy 2 ư=ư16

ToạưđộưMưlàưnghiệmưcủaưhệưPT:

Vậyưcóư4ưđiểmưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưthoảưm nưbàiưtoán. ( 15 , 1) ,(  15 , 1) ãy tìm toạ độ



 



2

2



 



x = ± 15

y = ±1







2 2

2 2

x + 5y = 20

x + y = 16

Kiến thức cần nhớ:

2) Ph ơng trình chính tắc của (E):

với b2ư=ưa2ư-ưc2 , a >b >0.

2 2

2 2

1

3) Hình dạng của elip.

elip

1) Định nghĩa: Cho F1F2 = 2c, F1, F2 cố định

elip (E) = M(x;y) / F1M + F2M = 2a ,( a >c >0).

Bài tập về nhà

2) Bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 97 sách giáo khoa;

3) Một đ ờng hầm xuyên qua

núi có chiều rộng là 20m, mặt

cắt thẳng của đ ờng hầm có

dạng nửa elip nh hình bên

Biết rằng tâm sai của elip là e

= 0,5

elip

y

Hãy tìm toạ độ y tìm chiều cao của hầm đó ?

1) Vẽ các đ ờng cong:

2 2

4  1 

2 2

1  4 

bµi häc h«m nay dõng ë ®©y.

xin ch©n thµnh c¶m ¬n

C¸c thÇy c« gi¸o vµ c¸c em häc sinh