BAT DANG THUC TU DE TOI KHO

Bất đẳng thức 1 cú nhiều cỏch chứng minh ở đõy đưa ra hai cỏch chứng minh phổ biến nhất.. chứng minh bất đẳng thức này cũng cú nhiều cỏch chứng minh xin dành cho bạn đọc.. Thứ hai: Khi

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

I GIỚI THIỆU 1/ Bđt Cauchy cho 2 số không âm

Cho 2 số thực không âm a, b Ta luôn có bđt:

Dấu bằng xảy ra <=> a = b.

2/ Bđt Cauchy cho n số không âm

Với n số thực không âm , ta có:

Dấu bằng xảy ra <=> tất cả các số hạng đều bằng nhau.

+ Nhận xét 1: Nếu bđt đúng với n số thì nó cũng đúng với 2n số.

Thật vậy, áp dụng Cauchy cho n số không âm:

Vậy bđt đúng với 2n số, và do đó cũng đúng khi n là một luỹ thừa của 2.

+ Nhận xét 2: Nếu bđt đúng với n số thì nó cũng đúng với n - 1 số.

Ta cm như sau:

Ta đặt:

Khi đó ta có:

B BÀI TẬP Bài 1 Cho a, b, c > 0 CMR: 3 3 3 ( )

+ Từ a3, muốn xuất hiện 2

a bc, áp dụng cô si cho 2 số a3; abc

HD:

+ Quan sát VT và VP, VP =

2 2 2

a b c+ ++ Từ hạng tử a2

b c+ , muốn xuất hiện a, áp dụng cô si cho hai số

+ Từ a3

b c+ , muốn xuất hiện a

2, áp dụng cô si cho hai số 3 ; ( )

+ Từ a, muốn xuất hiện 3 a, áp dụng cô si cho 3 số: a; 1; 1

+ Từ a, muốn xuất hiện 3 2

Bài 16 Cho x, y > 0, thỏa x + y = 1 Tìm GTNN của Q xy 1

x x

= ⇔ = ; 5 10 2

4 2

y

y y

= ⇔ = )+ (3 6) (5 10) (2 3 6 10)

+ ĐS: Hệ phương trình vô nghiệm.

Bài 24 Cho a, b, c > 0, thỏa: a2000 +b2000 +c2000 = 3

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = a = 2004 668

3 = ).

+ ĐS: Min P = 3.(668)9

MỠ RỘNG

Bài toỏn: Với hai số dương x và y ta cú: 1 1 1( 1)

4

+ (1)

Đẳng thức xảy ra khi x =y.

Bất đẳng thức (1) cú nhiều cỏch chứng minh ở đõy đưa ra hai cỏch chứng minh phổ biến nhất

Cỏch 1 Với hai số dương x và y ta cú:

Và đẳng thức xảy ra khi x =y

Tổng quỏt: Cho hai số x, y dương và a, b là hai số bất kỡ ta cú:

+ .Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi a b

x = y ( chứng minh bất đẳng thức này cũng cú nhiều

cỏch chứng minh xin dành cho bạn đọc)

Biện pháp thực hiện.

Để làm đợc việc này cần có nhiều việc phải làm

Thứ nhất: yêu cầu và rèn luyện cho học sinh nắm vững các lý thuyết cơ bản nh

côsi,bunhiacopski,trêbsep, các cách chứng minh thông thờng

Thứ hai: Khi cho các em làm bài tập tôi đặc biệt hớng cho các em phân tích các

bài toán bằng cách trả lời câu hỏi:

-Vai trò các số hạng nhân tử có bình đẳng không?

-Bất đẳng thức có xảy ra dấu bằng không? Nếu xảy ra thì thì các số hạng phải thoả mãn điều kiện nào Từ đó cho phép áp dụng bât đẳng thức hợp với giả thuyết của bài toán

Thứ ba : Khuyến khích các em biến đổi các bất đẳng thức về bất đẳng thức quen

thuộc đặc biệt là bất dẳng thức (1)

Thứ t: Sau khi khuyến khích các em giải bài toán theo nhiều cách, nhiều công

cụ Tổng quát bài toán.Công việc này rất có lợi cho t duy cũng nh khả năng tổng hợp kiến thức của các em

Thực hiện

Bài toán 1 Cho ba số dương a, b, c, ta có:

Áp dụng (1) ta có ngay điều phải chứng minh

* Phát triển: Áp dụng (2) cho 3 số a+b, b+c, c+a ta được:

Chú ý: Nếu thêm giả thiết 1 1 1 4

a b c+ + = thì bài toán 2 là nội dung câu V, Đề thi Đại học và Cao đẳng khối A, năm 2005

Bài toán 3 Chứng minh rằng với a, b, c dương:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay tam giác ABC đều.

Bài toán 5 Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0, x +

1>0, y + 1 > 0, z + 4 > 0 Hãy tìm giá trị lớn nhất của

Bài toán 6 : Chøng minh r»ng : 62x 4 62y 4 62z 4 14 14 14

Bài toán 7 : Cho 3 số thực dương a, b và c thoả :ab+bc+ca = abc chứng minh

Suy ra ®iÒu ph¶i chứng minh

Bài toán 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Vậy MinA=0 khi x = y = z = t.

Trên đây là một số bài toán áp dụng bất đẳng thức (1) sau đây là một số bài tập tương tự:

Bài 1 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh các bất đẳng thức:

Bài 4 Cho tam giác ABC có chu vi a + b + c = k (không đổi), BC = a, CA =

b, AB = c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 5 Cho tam giỏc ABC cú chu vi 2p=a+b+c (a,b, c là độ dài 3 cạnh) Chứng

+ + .(Bất đẳng thức s-vac) Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi

Giải :áp dụng bất đẳng thức (6) ta có :

a b c+ + =

Giải :

Bài toán 4 : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc

DÊu b»ng s¶y ra khi vµ chØ khi

131

DÊu b»ng s¶y ra khi vµ chØ khi x= = =y z 1

Bài toán 7 : Cho 3 số thực dương x,y,z >o thoả : x y z+ + ≥3 Tìm GTNN của

( )2 2

Bài toán 8 : Với x, y, z là số dương và x y z ≥1

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1⇒điều phải chứng minh

Tổng quát : ta có bài toán sau: với x x1, , ,2 x n n( ≥ 2) là số dương và x x1 .2 x n ≤1

suy ra điều phải chứng minh.

dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi a=b=c=3

Bài toán 10 Cho { , , 0

+ +

+ +

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 13 ⇒đpcm.

Bài toỏn 11: Cho x, y, z là các số thực dơng thay đổi và thoả mãn điều kiện:

xyz = 1 Tìm GTNN của biểu thức: P = 2( ) 2( ) 2( )

z x z

y z y

x

+

+ +

+ +

3 3

3

,với

x, y ,z là cỏc số dương thoả món điều kiện x+y+z≥ 6