SKKN- Bat dang thuc - batpt

lời nói đầuQua quá trình giảng dạy môn toán THCS theo chơng trình cải cách, tôi thấy rằng: Đa số học sinh khi giải một bài toán bất đẳng thức gặp rất nhiều khó khăn.. Đặc biệt là đối với

A lời nói đầu

Qua quá trình giảng dạy môn toán THCS theo chơng trình cải cách, tôi

thấy rằng: Đa số học sinh khi giải một bài toán bất đẳng thức gặp rất nhiều

khó khăn Nhất là việc định hớng để tìm ra một lời giải của bài toán bất

đẳng thức rất quan trọng Đặc biệt là đối với học sinh THCS mới bắt đầu

vào giải các bài toán bất đẳng thức

Đứng trớc vấn đề đó tôi tự hỏi: Vì sao lại nh vậy? Lập một cuộc điều tra

tiếp cận đối tợng, đồng thời rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy câu

hỏi đó dần mới hiện rõ ra Đó chính là do các em mới bắt đầu tiếp xúc về

chách chứng minh bất đẳng thức, sự định hớng cách giải của các em cha có,

đây cũng là công việc không quá đơn giản nhng khá quan trọng

Phần bất đẳng thức ở THCS , học sinh mới bắt đầu làm quen với phần

chứng minh một số bài toán đơn giản và chủ yếu đợc giới thiệu trong các

sách tham khảo Do đó hầu hết học sinh khi làm bất đẳng thức còn rất bỡ

ngỡ, không biết nên thực hiện nh thế nào Chính vì vậy tôi muốn trao đổi

cùng các bạn một số vấn đề trong rất nhiều vấn đề của phần chứng minh các bất đẳng thức đó là việc định hớng phơng pháp giải các bài toán bất đẳng

thức

Với nội dung đó, tôi đã đặt tên cho đề tài:

bất đẳng thức và ứng dụng.”

I Mục đích nghiên cứu

ở nội dung đề tài này, qua đây tôi sẽ trình bày một số phơng pháp

giải các bài toán bất đẳng thức Đồng thời định hớng cho bản thân một

ph-ơng pháp dạy học đúng đắn áp dụng cho các đối tợng học sinh, nhất là học sinh khá giỏi Giúp bạn đọc có thể định hớng và vận dụng khi giải bài toán bất đẳng thức

Bớc đầu biết cách áp dụng vào một số bài tập đơn giản có liên quan

đến bất đẳng thức, góp phần vào nâng cao chất lợng dạy và học ở các trờng

TH Nhất là đối với học sinh khá giỏi

II nhiệm vụ nghiên cứuTìm ra một số giải pháp nhằm nâng cao hiệu quả của việc giảng dạy BĐT cho học sinh

III khách thể nghiên cứu

- Trên cơ sở tuân theo SGK chuẩn môn Toán

SBT Toán

- Dựa vào một số sách tham khảo :

*Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8, 9 (Bùi Văn Tuyên)

*Nâng cao và phát triển toán 8, 9 (Vũ Hữu Bình – Chủ biên)

*Các bài toán THCS chọn lọc (Lê Hồng Đức)

*Toán học tuổi trẻ

* 23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp (Nguyễn Văn Vĩnh - Chủ biên)

- Đối tợng : Các em học sinh trung học

Iv phơng pháp nghiên cứunội dung đề tài này,tôi có sử dụng một số phơng pháp nghiên cứu sau:

- Phơng pháp nghiên cứu lí luận thực tiễn

- Phơng pháp quan sát đối tợng

- Phơng pháp phỏng vấn – vấn đáp

- Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm.

- Phơng pháp phân tích

- Phơng pháp tổng hợp

V dàn ý công trình nghiên cứu

A Lời nói đầu

I Mục đích nghiên cứu

II Nhiệm vụ nghiên cứu

II Khách thể nghiên cứu

III Phơng pháp nghiên cứu

B Nội dung

I Các tính chất của bất đẳng thức

II các bất đẳng thức cần nhớ

III Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức

IV Các ứng dụng của bất đẳng thức

V Một số bài toán vận dụng

C Kết luận.

* a2 ≥ 0; với mọi a,dấu đẳng thức xảy ra khi a = 0.

* a ≥ 0; với mọi a,dấu đẳng thức xảy ra khi a = 0

* a ≥a ; dấu đẳng thức xảy ra khi a ≥ 0

* a+b ≤a +b ; dấu đẳng thức xảy ra khi a.b ≥ 0

* a−b ≥a −b ; dấu đẳng thức xảy ra khi a.b > 0 và a >b

* a2 +b2 ≥ 2ab ; dấu đẳng thức xảy ra khi a = b

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Ví dụ 2 : Chứng minh các bất đẳng thức :

4 1 1

=

− +

x

x x

x x

x x

(vì (x-1)2 ≥ 0 ;x> 0)

) (

2 )

(

4 ) ( 4

1

b a ab

b ab a

b a ab

ab b a a b a b b a

− + + +

= +

−

) (

)

≥ +

−

=

b a ab

1

2 2

Bất đẳng thức cuối đúng; suy ra : a2 +b2 +c2 ≥ ab+bc+ca.

Ví dụ 3 : Chứng minh các bất đẳng thức :

a a2 +b2 + 1 ≥ab+a+b với mọi số thực a, b

ab b

b a ab

<=> 2 4 ab≤ a+ b <=> a− 2 4 ab+ b ≥ 0

<=>(4 a− 4 b)2 ≥ 0

Bất đẳng thức cuối đúng; suy ra :

4 2

ab b a

Vậy a b 2

b+ ≥a (với a và b cùng dấu)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b

3 dùng các tính chất của bất đẳng thức

Ví dụ 1 : Cho a+ b > 1 Chứng minh : a4 +b4 >

4

1

(5)Mặt khác : (a2 - b2)2 ≥ 0 => a4 - 2a2b2 + b4 ≥ 0 (6)

b b

c a

c c

b b

a

+ +

≥ + + 22 22

2

2

Giải:

áp dụng bất đẳng thức x2 +y2 ≥ 2xy (xảy ra đẳng thức khi x = y).

c

a c

b b

a c

b b

2

2 2

2

=

≥ +

Tơng tự :

a

b a

c c

b

2

2

2 2

2

≥ +

b

c a

c b

a

2

2

2 2

2

≥ +

b c

a a

b b

c a

c c

b b

a

+ +

≥ + + 22 22

2 2

Ví dụ 3: Cho x và y là các số thực Chứng minh rằng: x + ≥ +y x y

Dấu"=" xảy ra khi và chỉ khi xy ≥ 0

Ví dụ 4: Cho a và b là hai số không âm Chứng minh rằng: a b ab

- Giả sử xảy ra mệnh đề trái với yêu cầu cần chứng minh

- Chứng tỏ điều giả sử đó là sai (tức là mâu thuẫn với kiến thức nào đó đã biết)

- Kết luận yêu cầu cần chứng minh là đúng

Ví dụ 1 : Cho a2 - b2 ≤ 2 Chứng minh rằng : a+b≤ 2

Giải:

Giả sử a + b > 2, Bình phơng hai vế(hai vế đều dơng ), ta đợc :

Mặt khác ta có : 2ab ≤ a2 + b2 => a2 + b2 + 2ab ≤ 2(a2 + b2 )

Mà 2(a2 + b2)≤ 4 (giả thiết),do đó : a2 + b2 + 2ab ≤4 (2)

Mâu thuẫn với (1)

c a b

c a b

c a b

a d

c b

+ +

<

c a

c b c

b a

a c b a

a

+

<

+ + (v× c > 0)

b a

a c b a

c a b

b a c

b c c a

c b a c

c

+ +

+ +

<

c a

c b c

b a b

6 Dùng bất đẳng thức tam giác

*Nếu a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác thì a,b,c > 0 và :

.

;

c b a c

b>a−c ⇒b2 > (a−c) 2

c>b−a ⇒c2 > (b−a) 2

=> 2 2 2 ( ) (2 ) (2 )2

a b c a c b c b

>

abc ca

bc ab c

b

( 2

2

1

2

2 2 2







= + +

= +

+

ca bc ab

c b a

= + +

− +

+

1

2 2

2

ca bc

ab

ca bc ab c

= +

c b a

( ) a

ca bc ab

c b a







= + +

c b

−=

++

1 2

2

c c ab

c b a

Theo định lí Viet: a, b là hai nghiệm của f( )x =x2 −(2 −c)x+ 1 − 2c+c2

Vì f( )x có hai nghiệm nên :

0 0 4 3 2

1 4

4 , , 3

2 ; dấu đẳng thức xảy ra khi a = b

b, Bất đẳng thức áp dụng với ba số không âm : ∀a,b,c ≥ 0

+ ; dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c

c, Bất đẳng thức áp dụng với n số không âm :∀a1,a2, ,a n ≥ 0

a

2 1 2

1+ + + ≥ ; dấu đẳng thức xảy ra khi a1 =a2 = =a n

Ví dụ 1: Chứng minh rằng :

+

+ +

+

c a

a b

c a

= +

+ +

+

c a

c

b c

b

a a b

c a c

b c b

+ + +

+

=

b a a c c b

+ + + + + + +

=

b a a c c b a c c b b a

+ +

≥

a c c b b a a c c b b

c a c a c

b c b c

b

+ + + + + + + +

2 2

2

áp dụng bđt Côsi cho hai số dơng :

a c b c b

a c

b c b

+

≥ + +

2 2

a c

2

a b c a

2 1

a b

a b

2a +b = + a +b ≥ a+b

b, ( 2 2 2) ( 2 2 2)( 2 2 2) ( )2

1 1 1

3a +b +c = + + a +b +c ≥ a+b+c

c, ( ) ( ) ( ) ( )2

1 2 2

1 2 2

2 2

1

2

1

b a b

a b

[ ( 2 2)( 2 2) ]2

1 1 4

1 2

1 8

10 Bất đẳng thức Tsêb sep.

a, Bất đẳng thức Tsêbsep cho hai cặp số (a;b) (, A;B)

i, Nếu cả hai cặp số đều là tăng hoặc đều giảm tức là :

B A b a bB

b

a

thì ta có : . 2

2 2

B A b a bB

b, Bất đẳng thức Tsêbsep cho hai dãy mỗi dãy gồm ba số (a;b;c) (, A;B;C).

i, Nếu cả hai dãy số đều là tăng hoặc đều giảm tức là :

c b

c b

a

thì ta có:

3

3 3

C B A c b a cC bB

c b

c b

a

thì ta có:

3

3 3

C B A c b a cC bB

Dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi : a = b = c hoặc A = B =C

c, Cho hai dãy số n số :(a1 ;a2 ; ;a n) và (b1;b2; ;b n).

i, Nếu cả hai dãy số đều là tăng hoặc đều giảm tức là :

b

a a

a

2 1

2 1

b

a a

a

2 1

2 1

thì ta có:

n

b b

b n

a a

a n

b a b

a b

.

2 2 1

b

a a

a

2 1

2 1

b

a a

a

2 1

2 1

thì ta có:

n

b b

b n

a a

a n

b a b

a b

.

2 2 1

Dấu bằng xảy ra khi có một dãy “dừng”, tức là:

-hoặc a1 =a2 = =a n.-hoặc b1 =b2 = =b n

Ví dụ 1: Cho a, b, c là ba số dơng Chứng minh rằng :

2

3

≥ +

+ +

+

c a c

b c b a

b a S

a

.Vai trò của a, b, c ngang nhau nên có thể coi rằng 0 ≤a≤b≤c, thế thì

1 1

b a S

3 1

− +

−

=

c S b S a S c S b S a

11.Bất đẳng thức BECNULI.

i Bất đẳng thức Becnuli.

Nếu a > -1, thì với mọi số tự nhiên n ta có : (1 +a)n ≥ 1 +na

Dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi: hoặc a = 0 hoặc n = 0 hoặc n = 1

ii Bất đẳng thức Becnuli mở rộng :

Giả sử a > -1 với mọi số thực α ≥ 1 ta có : (1 +a)α ≥ 1 + αa.

Dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi: hoặc a = 0 hoặc α = 1

2007 2007

2006 2

2008 2008

1 1

n n

n

b

k b

k b b

c c

k n

2 1

iii các ứng dụng của bất đắng thức

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Vậy với a, b, c là ba cạnh của tam giác đều thì 1 b 1 c 1 a 8

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (x - 5)(2 -x) ≥ 0 hay 2 ≤ x ≤ 5

Vậy phơng trình có nghiệm với mọi x thoả mãn 2 ≤ x ≤ 5

3- Dùng để chứng minh phơng trình bậc hai có nhiệm, có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 1: Cho phơng trình: x2 + 2mx + (m - 1) = 0 với m là tham số

Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt

  > 0 với mọi giá trị của m

Vậy phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọ giá trị của m

iv một số bài toán vận dụng

Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau với a, b,c bất kỳ:

ca a

3,

c b a a

c c

b b

2 2

1

Dấu bằng trong bất đẳng thức xảy ra lúc tam giác ABC có đặc điểm gì?

Bài 5: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b ,c, chu vi 2p

= +

+

9

5

2 2

2 y z x

z y

≥ +

+ +

+

c a c

b c b a

2,

2 3

2 2 2

≥ +

+ +

+

c a c

b c b a

Bµi 8: Cho a2 +b2 +c2 = 1

Chøng minh: a+ 3b+ 5c≤ 35

Bµi 9: Cho a, b, c ≥ 0 vµ a + b + c ≤ 3 Chøng minh r»ng:

c b a c

c b

b a

a

+

+ +

+ +

≤

≤ +

+ +

+

1 1

1 1

1 2

3 1

1 1

1

2, NÕu ab < 1 th×

ab b

2 1

1 1

Bµi 12: Cho a3 + =b3 2 Chøng minh r»ng: a b 2+ ≤

Bµi 13: Cho 0 x 3≤ ≤ vµ 0 y 4≤ ≤ T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc:

C kết luậnQua nội dung đề tài này, tôi mong muốn rằng sẽ giải quyết đợc một bớc khó khăn ban đầu khi các em mới tiếp cận và vận dụng bất đẳng thức Là bớc quan trọng để các em tiếp thu và giải quyết bài toán bất đẳng thức, nhằm nâng cao trình

độ cho các em

ở đề tài này tôi cũng chỉ mới trình bày một số phơng pháp chứng minh bât

đẳng thức Trong thực tế khi làm bài còn có rất nhiều cách khác nhau, do đó tôi rất mong các đồng nghiệp góp ý thêm để đề tài đợc hoàn thiện hơn, giúp các em đợc tốt hơn trong học tập và nghiên cứu

Qua thực tế trong giảng dạy cho học sinh đề tài đã đạt đợc một số kết quả sau:

1/ Học sinh biết cách chứng minh một bất đẳng thức

2/Dựa vào các phơng pháp này,đã biết áp dụng vào bài toán liên quan đến bất đẳng thức

3/Học sinh đợc nang cao kiến thức để thực hiện tốt các bài tập

… ooo@ooo …