Tìm nguyên hàm

TÌM NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐCác bạn xem định nghĩa, các tính chất của nguyên hàm và bảng các nguyên hàm cơ bản trong SGK.. Ở đây chỉ tổng kết các phương pháp tìm nguyên hàm của một hàm số..

TÌM NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ

Các bạn xem định nghĩa, các tính chất của nguyên hàm và bảng các nguyên hàm

cơ bản trong SGK Ở đây chỉ tổng kết các phương pháp tìm nguyên hàm của một hàm số

1 Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản

Nếu f (x) , 1 f (x) , ., 2 f (x) là các hàm có nguyên hàm cơ bản thìn

f (x)= α f (x)+ α f (x) + + α f (x) có nguyên hàm tìm được nhờ tính chất :

f (x)dx = α f (x)dx+ α f (x)dx + + α f (x)dx

Khi sử dụng tính chất này cần lưu ý cách viết : 1 a

a

−α

α = ; k k1

a =a

Thí dụ 1 : Tìm các nguyên hàm

1 x2 1dx

x

+

∫ ; 2 ∫3x (x 1) dx+ 2

Giải :

1

2

5 x

−

2

2.Sử dụng vi phân để tìm nguyên hàm

Bảng nguyên hàm cơ bản vẫn đúng nếu thay ký hiệu đối số x, bởi bất cứ ký hiệu nào khác Kết hợp với phép tính vi phân, các bạn có thể tìm được nguyên hàm của các lớp hàm phong phú hơn

Thí dụ 2 : Tìm nguyên hàm : x dx22

x −1

Chú ý : 1 1 1 dx 1 1 d(x 1) 1 1 d(x 1)

−

+

Thí dụ 3 : Tìm nguyên hàm :

1 x dx62

x −1

∫ ; 2 ∫x(x 2) dx+ 10

Giải :

1

3

−

2 ∫x(x 2) dx+ 10 =∫[(x 2) 2](x 2) d(x 2)+ − + 10 + =

[(x 2) 2(x 2) ]d(x 2) (x 2) (x 2) C

Thí dụ 4 : Tìm nguyên hàm

1 sin 2xdx2

1 cos x+

sin 2x

∫

Giải :

sin 2xdx d(1 cos x)

ln(1 cos x) C

1 cos x 1 cos x

+

2 sin 2xdx 12 sin x.cos xdx 12 dx 2 1 d(tgx)2 tgx 12ln | tgx | C

tgx.cos x

Thí dụ 5 : Tìm nguyên hàm (x241)dx

− +

2

1

1

x

 − 

Đặt u x 1

x

= + ⇒ du = 1 12 dx

x

 − 

2

1

x

+ = − Do đó :

2

2 2

1

x

+ +

3 Phương pháp nguyên hàm từng phần

Các bạn sử dụng công thức udv uv∫ = −∫vdu Như vậy để tìm f (x)dx∫ thì phải nhìn f(x)dx là udv Giả sử f(x)dx = f (x).f (x)dx với 1 2 f (x) là đa thức thì việc1 lựa chọn u, dv, hoàn toàn phụ thuộc vào f (x) Nếu 2 f (x) là các hàm lượng giác2 ngược, hàm logarit, hàm vô tỉ thì đặt u f (x)= 2 Nếu f (x) là các hàm lượng giác,2 hàm mũ thì đặt u = f (x) Tuy nhiên, đó chỉ là gợi ý chính, trong từng bài cụ thể và1 những tình huống phức tạp hơn các bạn phải thử vận dụng theo nhiều cách để chọn cách thích hợp

Thí dụ 6 : Tìm nguyên hàm :

1 ∫ x2−1dx 2 ∫x(ln x) dx2

Giải :

1 Đặt u= x2−1 ⇒ 2

xdx du

=

− ; dv = dx ⇐ v = x (chú ý chiều mũi tên này,

hiện nay đang bị viết ngược rất nhiều !) Ta có :

I =

2

Lưu ý : ( 2 )

2

x

−

2

− +

=

2

2

− +

− +

∫

2 Đặt u (ln x)= 2 ⇒ du 2ln xdx

x

= ; dv = xdx ⇐ v 1x2

2

= Khi đó :

I x(ln x) dx (x ln x) x ln xdx

2

Lại đặt u = lnx ⇒ du dx

x

= ; dv = xdx ⇐ v 1x2

2

= , ta có :

x ln xdx x ln x xdx x ln x x C

Vậy I 1(x ln x)2 1x ln x2 1x2 C

Bài tập tương tự

Tìm các nguyên hàm của các hàm số :

1 f (x) 6x5

=

+ ;

f (x)

+

=

3 f (x) sin x cos x2 2

a sin x b cos x

=

−

4 f(x) = sin( x ) ;

5 f (x) 2 x3

x 4x 3

=

6 f (x) 2000x19991000

=

7 f (x) 14

cos x