CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

sin4 4 y x   TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Phương pháp phân tích thực chất là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng các nhân

Trang 1

Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM Bài giảng đang được hoàn thiện mong các bạn thông cảm và góp ý theo địa chỉ

Loinguyen1310@gmail.com

SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM Tìm nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm và các phép biến đổi đại số

1

(1 tan ) tancos x dx  x dx  xC

adua

u u

cosudusinuC

sinuducosuC

2

cos

du tgu C

C e

a dx

e(ax b) 1 (ax b)

1ln

dx

ax b C a

dx

ax b C a

2

ln22

a u





Trang 2

2

2 2

Trang 3

0)

(

2

khix x

x

khix e x F

2

0)

(

khix x

khix e x

2

0)

('

khix x

khix e x F

x

- Với x = 0, ta có:

1lim

0

)0()(lim

lim0

)0()(lim

0

0 2

0 0

F x F F

x

e x

x x

F x F F

x

x x

Nhận xét rằng: F’ 0  F’ 0  1 F’ 0  1

    , có nghĩa là hàm số F(x) có đạo hàm tại điểm x = 0

01

2

0)

(

khix x

khix e x

Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R

Ví dụ 2: Tìm xem các hàm số sau là nguyên hàm của các hàm số nào ?

a F x  x n x 1 cosx + sinx + tanx + cotx + e x a x lnx loga x

Trang 4

b    

2

'2x

Bài 3: Xác định nguyên hàm F(x) của: I (1 2 x3x2 nx n1)dx biếtF 0 0

Bài 4: Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số f x   sinx1 sin x biết rằng 1

Trang 5

x x

Áp dụng: tính

3 2

dx I

11

TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT

SỐ HÀM THƯỜNG GẶP VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM Bài 1: (SGK – ban nâng cao T 141) Tìm các nguyên hàm:

Trang 6

x

y  c ysin3x.cos 3xcos3x.sin 3x

d yloga xlnx e ysinmx.cosnx(m, n là hằng số)

Bài 4: Tìm các nguyên hàm sau:

d y (p qx)3

x

  e ycospx.cosqx (với m, n, p, q là các hằng số)

TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ BẰNG CÁCH ĐƯA MỘT BIỂU THỨC

VÀO DẤU VI PHÂN (NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỢP)

Cho hàm số y f x  xác định trên a b và có đạo hàm trên đoạn đó ta có , 

1 Vi phân của hàm số y f x kí hiệu là : dy hoặc df ( Vi phân của biến là dx)

2 Công thức tính: dy y dx' hoặc   ' 

df x  f x dx Muốn tính vi phân của một hàm số ta lấy đạo hàm của hàm số đó nhân với vi phân của biến số

3 Vi phân của các hàm số thường gặp:

x y

Trang 7

x



1.ln ln(ln )

22 ytan4x 23 ytan5 x 24 ycot3x

25 ytan2 x cot2 x 26 y x e x2 1 27 sin4

4

y x  

TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH

Phương pháp phân tích thực chất là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng các nhân tử mà nguyên hàm của mỗi nhân tử đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết

)()

()

5 Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp của hàm lượng giác

Với mục đích biến đổi tích thành tổng (với hàm phân thức phải có tử là tổng và mẫu là tích)

Trang 8

Trang 9

( 1)

x dx I

Trang 10

1

x dx I

Trang 11

Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 Bài 12: Tìm các nguyên hàm sau

3

2 3 3

4 I tan2xdx (1 tan 2x1)dx tanx x C

5.I tan4xdx(tan4xtan2xtan2x 1 1)dxtan2x(tan21)dx(tan2x1)dxdx

3

tan

tan3

Trang 12

Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 Bài 1: Tìm nguyên hàm:  2002 1  2003 1  2004

hoặc phân tích 1sin2xcos2 x thì I tan cotx xC

a I tan2xdxtan –x xC b 2 sin 3 cos 2 1cos 5 cos

     d I  tanx– cotx2dxtanxcotx– 4xC

e 2cos 2 2 cot – tan

x x

Trang 13

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính tích phân Phương pháp đổi biến số để

xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau:

)

(

)()

Trang 14

b Nếu f(x) là hàm số xác định và liên tục trên đoạn [a,b], hàm số x φ t  xác định và liên tục trên đoạn [,

] và thoả mãn các điều kiện sau:

i Tồn tại đạo hàm ’(t) liên tục trên đoạn [, ]







( ) '( ) )

( Tuy nhiên cái khó của phương pháp này là cách chọn hàm x = (t)

hay u = (x) sao cho phù hợp với từng bài toán cụ thể

Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ:

A Đổi biến số nghịch đặt u  x

Loại 1: Đối với hàm lượng giác:

Dạng 1: Tìm nguyên hàm:I  f cosaxb sinaxb dx

đặt u cosax b du 1sinax b dx

a

TQ: I  fcosn x sinxdx với nR

cossin

x



Dạng 2: Tìm nguyên hàm:I  fsinxcosxdx đặt usinxducosxdx

TQ: I  fsinn xcosxdxvới n R

x x



Dạng 3: Tìm nguyên hàm:

2 2

sin

sin 2cos

x x



Trang 15

dx I







Dạng 6: Tìm nguyên hàm: I f sinxcosxsinxcosx dx

đặt usinxcosxdu sinxcosx dx

Loại 2: Đối với hàm số mũ là logarit:

Trang 16

Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 Dấu hiệu

t t

a x

0,cos

22

,sin

0,2

,2

,sin

t

a x

t t

t

a x

x a

Trang 17

x

x x

Trang 18

Trang 19

Dựa vào công thức tính tích phân từng phần,để tính tích phân I  f x dx  ta tiến hành theo các bước sau:

Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng:

- Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng

- Tích phân vdu được xác định một cách dễ dàng hơn so với I

Một số dạng thường gặp:

Dạng 1:

sin( )

n ax

Trang 20

- Từ hai lần tích phân từng phần ta có mối quan hệ giữa hai tích phân này

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: Tính nguyên hàm: I e xcosxdx

Vậy I1 e xsinxdxuvvdu e xcosxcosxe dx x

Thay I1 vào I ta được 2I e xsinxcosxC

Vậy 1 (sin cos )

2

dx x

x x x

1ln(

2 2

dx x

x x

1

1ln

2

2 2

2

x v

x

dx dx

x x x

x du

dx x

x dv

x x

Trang 21

Để tính những tích phân loại này bao giờ cũng đặt ulnx với P x( ) lnxdx; và uP x( )với các tích phân còn lại

Trang 22

Bài 3: (SGK – ban nâng cao T 145) Tìm các nguyên hàm:

x

cos

x dx J

x

2 3

cossin

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH CỦA VÀI LỚP HÀM ĐẶC BIỆT

Để xác định tích phân các hàm số hữu tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp cơ bản sau:

- Phương pháp tam thức bậc hai

- Phương pháp phân tích

- Phương pháp đổi biến

- Phương pháp tích phân từng phần

- Sử dụng các phương pháp khác nhau: có thể kết hợp việc dùng công thức đổi biến số với kĩ thuật phân tích

ra số hạng đơn giản hoặc tích phân từng phần

Tuy nhiên: chọn cách sử dụng phương pháp nào cần phải căn cứ vào dạng của từng bài toán cụ thể

A Tích phân hàm phân thức ( )

( )

P x I

Q x

 với P(x) và Q(x) là đa thức của x

- Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức

- Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp

1 Q(x) chỉ gồm toàn nghiệm đơn thức  1, 2, , n

Trang 23

3 Sử dụng các phép biến đổi cơ bản để tính tích phân các hàm hữu tỉ

Dùng thuật thêm, bớt để đưa về dạng cơ bản

Trang 24

Trang 25

ln1

x x



Trang 26

4 31

NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ VÔ TỈ

Để xác định tích phân của các hàm số vô tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp sau:

- Phương pháp tam thức bậc hai

Tuy nhiên: Chọn cách sử dụng phương pháp nào cần phải căn cứ vào dạng của từng bài toán cụ thể

a c bx ax a

x ax bx cdx St t dt

R

b ax t

1,

a c bx ax a

R

b ax t

1,

40

a c bx ax a

R

b ax t

1,

ax bx c





Trang 27

bx ax x

2 2

a t

x a c bx ax

c bx ax x

x t c bx ax

c c xt c bx ax

b ax

7

4x

x

dx I

Giải:

Trang 28

dt x

udu u

du u I

tan 3 tan

3

3 2

2

cos3

11tan.33

1tan3

2

x x x

2 2

1

132

1

4

321

t

dt t t x

xdx x

dt x

21

2

11

x dx

x

x x x

12

11

2 1

 11

x x

1

2

1

x t x

Trang 29

Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 Giải:

4 2

2

4 2

x

C t t

t dt t t

t

dt t

t dt t

t t

4 2

4 4

5 3

5

2 4 2

2 2 2

2

4

644

ln364

4

64ln364

25636

164

4.2

4

2

416

t t t

Trang 30

dt t t

tdt x

x

tdt x

12

111

xdx I

Thực hiện phép đổi biến:

Đặt: t  1  x2  t2  x2  1

Suy ra: tdt xdx và

t

dt t

t

tdt x

121

21

2

C x C

t t

6 arctan 4 ln

11

Trang 31

2

dx I

dx t

2 2

2142

(1 )

t x

t

tdt x

t





Dạng : Giả sử tính tích phân của  f x dx 

+ ( )f x  f x( ,a x,b x,c x ) Thì đặt s x  với s là BSCNN của (a, b, c, ) t





NGUYÊN HÀM CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC

Để xác định tích phân của các hàm số lượng giác, ta thường sử dụng các phương pháp sau:

- Sử dụng các nguyên hàm cơ bản

- Các hàm phân thức hữu tỉ đối với các hàm lượng giác

- Sử dụng các phép biến đổi lượng giác đưa về các nguyên hàm cơ bản

- Phương pháp đổi biến

Đối với các dạng tích phân:I Rsin , cosx x dx , ta giải bằng cách đổi biến lựa chọn một trong

các hướng sau:

Trang 32

Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 Hướng 1: Nếu Rsin , cosx x Rsin , cosx x thì sử dụng phép đổi biến tcos x

Hướng 2: Nếu R sinx, cosx   R sinx, cosx  thì sử dụng phép đổi biến tsin x

Hướng 3: Nếu Rsin , cosx  x Rsin , cosx x thì sử dụng phép đổi biến ttan x

Hướng 4: Mọi trường hợp đều có thể đưa về tích phân các hàm hữu tỉ bằng phép đổi biến tan

Trang 33

sin( )

2sin

x x

Trang 34

ln6

cos12

x

x x

Trang 35

Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 Bài 1: Tìm nguyên hàm: tan tan( )

cos cos( )

4

dx J

sin4

Trang 36

2

tan2

2 3 sin 2 cos 2 1 3 sin 2 (1 cos 2 ) 3sin 2 3 sin cos cos

Trang 37

Trang 38

2sin1tan

cos

1

t x

t

t x t

Biến đổi: a1sinxb1cosxc1  A a 2sinxb2cosxc2B a 2cosxb2sinx c

Sau đó đưa về dạng quen thuộc để giải

x tg

x t

Trang 39

2

2 ln 2 sin cos 1 ln

22

x tg



Bài 2: Tìm nguyên hàm:

2 0

sin3cos45

cos3

sin

4

6cos

C x

x

x x

B A x

x

x x

( sin cos )( 3 sin cos ) (sin cos )

Trang 40

2

62

3

40

14

Trang 41

dx I

Trang 42

Trang 43

Ha bâc nâng cung

+ Rsin , cosx x Rsin , cosx x tức là R lẻ đối với sinx ta đặt tcosx

+ Rsin , cosx  x Rsin , cosx x ta đặt tsinx

+ Rsin , cosx  x Rsin , cosx x ta đặt ttan x

Trường hợp 4:R(sin ;cos )x x dx

2 sin2

2sin



dx x

x I

Giải: Ta có nhận xét rằng:

Từ nhận xét đó giúp ta định hướng được phép biến đổi

Đặt:tsinx, khi đó dt cosxdx

Trang 44

I sin cos

Cách làm: biến đổi tích sang tổng

phép biến đổi lượng giác

- Công thức nhân đôi

a sin 2x2 sin cosx x

b cos 2x 1 2 sin2x2 cos2x 1 cos2xsin2 x

2 2

1

1 cotsin x  x e

Trang 45

Trang 46

Trang 47

Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 Bài 33: (ĐHNT CS П – 2000) Tìm các nguyên hàm:

1

khi b c b

x x I

)()()(

C x B x G x F

C x A x G x F

Trang 48

Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01672 207 933 or 01694 013 498 Bước 3: Từ hệ trên ta nhận được: F x A x B x C.

Đối với phương pháp này, điều khó là cách tìm hàm số g(x) như thế nào để sao cho việc giải bài toán là dễ

x x

G

x

F

C x x x

G

x

F

C x dx x

G

x

F

x x

x x x

g

x

f

C x x x

x

x x d dx x x

x x

ln2

1)('

)(

)

(

cossin

ln)(

)

(

')

(

)

(

1cossin

cossin

lncos

sin

)cos(sincos

sin

cossin

x x

sin cos

x dx

x x

sin cos

x dx

Trang 49

Ta có:

1( ln cos s inx )2

( ln cos s inx )2

xdx I

Định dạng
Số trang	49
Dung lượng	2,11 MB