kỹ thuật biến đối để tìm nguyên hàm tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các l...
Trang 1KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI VI PHÂN ĐỂ TÌM NGUYÊN HÀM
Soạn thảo bởi: Lê Trung Tín, Tổ: Toán, Trường THPT Hồng Ngự 2
I Tóm tắt lí thuyết
Trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11 cơ bản có định nghĩa vi phân như sau
Định nghĩa 1 Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại
x ∈ (a; b) Giả sử ∆x là số gia của x Ta gọi f0(x).∆x là vi phân của hàm số y = f (x) tại x ứng với số gia ∆x Ký hiệu dy = df (x) = f0(x).∆x
Chú ý: Với hàm số y = x ta có dx = ∆x Nên dy = df (x) = f0(x)dx = y0dx
Dựa vào các tính chất của đạo hàm, ta được các tính chất cho vi phân như sau
Tính chất Cho u = u(x), v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định, ta có
du v
= vdu − udv
v2 = du
v
+udv
v2 v = v(x) 6= 0 (4)
Các vi phân đặc biệt cần nhớ:
Cho a 6= 0, b ∈ R, ta có:
• xαdx = d xα+1
α + 1
Mở rộng
−→ (ax + b)αdx = d (ax + b)α+1
a(α + 1)
với α 6= −1
• 1
xdx = d (ln |x|)
Mở rộng
ax + bdx = d
ln |ax + b|
a
• exdx = d (ex)Mở rộng−→ eax+bdx = d eax+b
a
• sin xdx = −d (cos x)Mở rộng−→ sin (ax + b)dx = −d cos (ax + b)
a
• cos xdx = d (sin x)Mở rộng−→ cos (ax + b)dx = d sin (ax + b)
a
cos2xdx = d (tan x)
Mở rộng
cos2(ax + b)dx = d
tan (ax + b)
a
sin2xdx = −d (cot x)
Mở rộng
sin2(ax + b)dx = −d
cot (ax + b)
a
• √ dx
x2+ a = d ln
x +√
x2+ a
• √x2+ adx = d x
√
x2+ a + a ln x +√
x2+ a 2
!
Trang 2Các công thức nguyên hàm:
F
Z
Z du
u = ln |u| + C
II Các thí dụ minh họa:
Thí dụ 1 Tìm nguyên hàm :
Z (2x + 1) cos 2xdx
Lời giải
Ta có:
(2x + 1) cos 2xdx = (2x + 1)d sin 2x
2
= d
(2x + 1)sin 2x
2
−sin 2x
2 d(2x + 1)
= d
(2x + 1)sin 2x
2
− sin 2xdx
= d
(2x + 1)sin 2x
2
+ d cos 2x
2
= d
(2x + 1)sin 2x
cos 2x 2
Vậy,
Z
(2x + 1) cos 2xdx =
Z d
(2x + 1)sin 2x
cos 2x 2
= (2x + 1)sin 2x
cos 2x
Thí dụ 2 Tìm nguyên hàm :
Z
x2exdx
Lời giải
Ta có:
x2exdx = x2d (ex)
= d (x2ex) − exd(x2)
= d (x2ex) − 2xexdx
= d (x2ex) − xd(2ex)
= d (x2ex) − (d(2xex) − 2exdx)
= d (x2ex− 2xex) + d(2ex)
Vậy,
Z
x2exdx =
Z
d x2ex− 2xex + d(2ex) =
Z
d ex(x2− 2x + 2) = ex(x2− 2x + 2) + C.
Thí dụ 3 Tìm nguyên hàm :
Z
x ln xdx
Lời giải
Ta có:
x ln xdx = ln xd x2
2
= d x2
2 ln x
−x
2
2 d (ln x) = d
x2
2 ln x
− x
2dx = d
x2
2 ln x
− d x
2
4
Vậy,
Z
x ln xdx =
Z
d x2
ln x
− d x
2
=
Z
d x2
ln x − x
2
= x
2
ln x −x
2
+ C
Trang 3Thí dụ 4 Tìm nguyên hàm : √ dx
x2 + a
Lời giải
dx
√
x2+ a =
d(√
x2+ a)
dx + d(√
x2+ a)
x +√
x2+ a =
d(x +√
x2+ a)
x +√
x2+ a = d ln
x +√
x2 + a
Vậy,
√
x2+ a =
Z
dln
x +√
x2 + a
= ln
x +√
x2+ a
Thí dụ 5 Tìm nguyên hàm :
x2+ adx
Lời giải
x2+ adx = d x√
x2+ a − xd(√x2+ a)
= d x√
x2+ a − x
2
√
x2+ adx
= d x√
x2+ a −√x2+ adx +√ a
x2+ adx
⇒ 2√x2+ adx = d x√
x2+ a +√adx
x2+ a
Chú ý: √ dx
x2+ a =
d(√
x2+ a)
dx + d(√
x2+ a)
x +√
x2 + a =
d(x +√
x2+ a)
x +√
x2 + a = d ln
x +√
x2+ a
Do đó:
2√
x2+ adx = d x√
x2+ a + ad ln
x +√
x2+ a
⇒√x2+ adx = d x
√
x2+ a + a ln x +√
x2+ a 2
!
Vậy,
Z √
x2+ adx = x
√
x2+ a + a ln x +√
x2+ a
Thí dụ 6 Tìm nguyên hàm :
Z
x2dx
√
x2 + 1
Lời giải
Ta có:
x2dx
√
x2+ 1 = xd
√
x2+ 1
= d x√
x2+ 1 −√x2+ 1dx
= d x√
x2+ 1 − d x
√
x2 + 1 + ln x +√
x2+ 1 2
!
= d x√
x2+ 1 − x
√
x2+ 1 + ln x +√
x2+ 1 2
!
Vậy:
√
x2+ 1 =
Z
d x√
x2+ 1 − x
√
x2+ 1 + ln x +√
x2+ 1 2
!
= x√
x2+ 1 − x
√
x2+ 1 + ln x +√
x2+ 1
Trang 4Thí dụ 7 Tính nguyên hàm: dx
x2√
x2+ 9
Lời giải
dx
x2√
x2+ 9 =
d √
x2+ 9
x3 = 1
x2 d
√
x2+ 9 x
! +
√
x2+ 9dx
x2
!
⇔ √ dx
x2+ 9 = d
√
x2+ 9 x
! +
√
x2+ 9dx
x2
⇔ √ dx
x2+ 9 = d
√
x2+ 9 x
!
x2√
x2+ 9 +
dx
√
x2+ 9
x2√
x2+ 9 = −
1
9d
√
x2 + 9 x
!
= d −
√
x2+ 9 9x
!
Vậy,
Z
dx
x2√
x2+ 9 =
Z
d −
√
x2+ 9 9x
!
= −
√
x2+ 9
Thí dụ 8 Tính nguyên hàm:
Z
x2√
x2+ 9dx
Lời giải
Ta có:
x2√
x2+ 9dx =√
x2+ 9d x3
3
= d x
3√
x2 + 9 3
!
− x
3
3 d
√
x2+ 9
= d x
3√
x2 + 9 3
!
4
3√
x2+ 9dx
= d x
3√
x2 + 9 3
!
− x
4− 81
3√
x2+ 9dx −
81
3√
x2+ 9dx
= d x
3√
x2 + 9 3
!
−
√
x2+ 9(x2− 9)
81
3√
x2+ 9dx
⇔ 3x2√
x2+ 9dx = 3d x
3√
x2+ 9 3
!
−√x2+ 9(x2− 9)dx −√ 81
x2+ 9dx
⇔ 4x2√
x2+ 9dx = d x3√
x2+ 9 + 9√x2+ 9dx − √ 81
x2+ 9dx
⇔ 4x2√
x2+ 9dx = d x3√
x2+ 9 + 9d x
√
x2+ 9 + 9 ln x +√
x2+ 9 2
!
− 81d ln x +√
x2+ 9
⇔ x2√
x2 + 9dx = d x
3√
x2 + 9
9x√
x2+ 9 + 81 ln x +√
x2+ 9
x +√
x2+ 9 4
!
⇔ x2√
x2 + 9dx = d x
3√
x2 + 9
9x√
x2+ 9 − 81 ln x +√
x2+ 9 8
!
Vậy,
Z
x2√
x2 + 9dx = x
3√
x2 + 9
+9x
√
x2+ 9 − 81 ln x +√
x2+ 9
Trang 5Thí dụ 9 Tìm nguyên hàm :
ln x
ln x + 2
2 dx
Lời giải
Ta có:
ln x
ln x + 2
2
dx = dx − 4(ln x + 2)dx
(ln x + 2)2 + 4dx
(ln x + 2)2
= dx − 4
d
x
ln x + 2
+ xd (ln x + 2) (ln x + 2)2
(ln x + 2)2
= dx − 4d
x
ln x + 2
(ln x + 2)2 + 4dx
(ln x + 2)2
= d
x − 4x
ln x + 2
Vậy,
Z
ln x
ln x + 2
2
dx =
Z d
x − 4x
ln x + 2
= x − 4x
Thí dụ 10 Tìm nguyên hàm :
Z x ln(x + 1) (x + 1)2 dx
Lời giải
Ta có:
x ln(x + 1)
(x + 1)2 dx = ln(x + 1)dx
x + 1 − ln(x + 1)dx
(x + 1)2
= ln(x + 1)dx
x + 1 − ln(x + 1)d(x + 1)
(x + 1)2
= d ln2
(x + 1) 2
− (x + 1)d (ln(x + 1))
(x + 1)2 − d ln(x + 1)
x + 1
= d ln2(x + 1)
2
− d (ln(x + 1))
x + 1 + d
ln(x + 1)
x + 1
= d ln2
(x + 1) 2
− dx (x + 1)2 + d ln(x + 1)
x + 1
= d ln2(x + 1)
2
+ d
1
x + 1
+ d ln(x + 1)
x + 1
= d ln2(x + 1)
1
x + 1 +
ln(x + 1)
x + 1
Vậy,
Z
x ln(x + 1)
(x + 1)2 dx = ln
2
(x + 1)
1
x + 1 +
ln(x + 1)
Thí dụ 11 Tìm nguyên hàm :
Z (x + 1)2ex2−1x dx
Trang 6Lời giải.
(x + 1)2ex2−1x dx = x2x(x+1)2 +12d
ex2−1x
= (x + 1)
2
x2+ 1
d
x2ex2−1x
− ex2−1x d (x2)
= (x + 1)
2
x2+ 1
d
x2ex2−1x
− 2xex2−1x dx
⇔ (x2+ 1)ex2−1x dx = d
x2ex2−1x
− 2xex2−1x dx
⇔ (x + 1)2ex2−1x dx = dx2ex2−1x
Vậy, I =
Z 2
1
d
x2ex2−1x
2
1 = x2ex2−1x + C
Đang cập nhật
Hồng Ngự, ngày 15 tháng 3 năm 2014
... data-page="2">Các công thức nguyên hàm:
F
Z
Z du
u = ln |u| + C
II Các thí dụ minh họa:
Thí dụ Tìm nguyên hàm :
Z (2x + 1) cos 2xdx... 2x
cos 2x
= (2x + 1)sin 2x
cos 2x
Thí dụ Tìm nguyên hàm :
Z
x2exdx
Lời giải
Ta có:
x2exdx... class="text_page_counter">Trang 3
Thí dụ Tìm nguyên hàm : √ dx
x2 + a
Lời giải
dx
√
x2+