PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P2 Thầy Đặng Việt Hùng.
Trang 1Dạng 2 PP lượng giác hóa
Nếu hàm f(x) có chứa 2 2
a −x thì đặt
(a sin ) cos
a sin
sin cos
Nếu hàm f(x) có chứa a2+x2 thì đặt
2
( tan )
cos tan
tan
cos
adt
dx d a t
t
a
t
MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU:
Ví dụ 1 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
4
−
∫ dx
x
2=∫ 1− ; =1
1
−
∫ x dx
x
4=∫ 9− ; =3
Hướng dẫn giải:
(2sin ) 2 cos 2 cos 2sin
2 cos
4 4 4sin 2 cos 4
t
Từ phép đặt 2sin arcsin 1 arcsin
b) Đặt
(sin ) cos sin
1 1 sin cos
= →
Khi đó 2 1 2 cos cos 1 cos 2 1 1 cos 2 1sin 2
Từ
2
cos 1 sin 1 sin sin 2 2sin cos 2 1
arcsin
=
2 2
arcsin 1
1
2 2
x
c) Đặt
(sin ) cos sin
1 1 sin cos
= →
Khi đó,
2
sin cos 1 os2 1 1
1
t x
−
−
Từ
2
cos 1 sin 1 sin sin 2 2sin cos 2 1
arcsin
=
2 3
arcsin 1
1
2 2
x
d) Đặt
(3sin ) 3cos 3sin
9 9 9sin 3cos
Khi đó, 4 2 9 2 9sin 3cos 3cos2 81 sin cos2 2 81 sin 22 81 1 os4
Tài liệu bài giảng:
03 PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 281 1 1 81 1
os4 sin 4
t
Từ
2 2
2
cos 1 sin 1
2 9
3 9 arcsin
3
x
x t
Mặt khác,
os2 1 2sin 1 2 1 sin 4 2sin 2 os2 2 1 1
Từ đó ta được
4
arcsin
x
Ví dụ 2 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) 1 2 ;( 1)
1
dx
x
+
4
x dx
x
+
∫
Hướng dẫn giải:
a) Đặt
2
(tan ) (1 tan ) (1 tan )
1 tan
1 1 tan
dt
t
+
+ = +
Từ giả thiết đặt x=tant⇔ =t arctanx→ =I1 arctanx+C
b) Ta có I2 =∫ x2+2x+5dx =∫ (x+1)2+4 (d x+ → =1) t x= +1 I ∫ t2+4dt
Đặt
2
2
2 (2 tan )
cos
2 tan
2
.cos
4 4 4 tan
cos cos
du
u
u
u u
2
(sin ) 1 (1 sin ) (1 sin ) 1 (sin ) 1 (sin ) 1 1 sin
1 sin 2 (1 sin )(1 sin ) 2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin
Từ phép đặt
2 tan tan 1 sin 1 os 1
Từ đó ta được
2
1
1
u
+
c) Đặt
2 2
2 (2 tan ) 2(1 tan )
os
2 tan
4 4 tan 4
dt
c t
2
4 tan 2(1 tan ) sin sin cos sin (sin )
cos cos
+
Đặt
2 2
2
1 (1 ) (1 )
1 2 (1 )(1 ) 1
u
−
2
1 1 (1 ) (1 ) (1 )(1 ) (1 ) (1 ) (1 )(1 )
du
ln 1 ln 1
Trang 3Từ giả thiết
2 3
2
1
x
x
− +
Ví dụ 3 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) 1
2
1
dx
I
x
=
−
2 2
4
dx I
=
−
2
2 2
dx I
=
∫
Hướng dẫn giải:
a) Đặt
2
2
2 2
2
1 cos
cos sin sin
sin
1 cot
sin
t dt
t dt
dx d
dx
t
x
t
−
−
sin (cos ) (cos ) 1 (1 cos ) (1 cos ) 1 1 cos
(cos ) ln sin 1 cos (1 cos )(1 cos ) 2 (1 cos )(1 cos ) 2 1 cos
Từ phép đặt
2 2
1
1 1
1
x
x
− +
−
−
−
b) Đặt
2
2 2
2 2 cos 2 cos sin sin
8cot
4 2 cot 4
sin sin
x
t t
x
t t
= =− = −
Khi đó, 2
2
sin cos 8cot 4 4
4 sin
sin
t
t
−
−
Từ
2 2
c)
( )
1
2
( 1)
t x
= −
−
Đặt
2
2
2 2
2
3 3 cos
3 cos sin sin
3
sin
3 3 cot
sin
u du
dt
u
t
u
=
− =
3 cos sin (cos ) (cos )
sin 1 cos (1 cos )(1 cos ) sin 3 cot
3
I
t
−
−
1 (1 cos ) (1 cos ) 1 1 cos
(cos ) ln
2 (1 cos )(1 cos ) 2 1 cos
∫
Từ
2 2
3
1
−
Chú ý: Tổng hợp các kết quả ta thu một số kết quả quan trọng sau:
Trang 42dx 2 1arc tan x C.
∫
2
C
+
∫
2
C
−
∫
dx
±
∫
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1)
2
4
x dx
I
x
=
+
2
1 x
x
−
2
4
x dx I
x
=
−
∫
4) 4
2
1
3 2
=
−
2
2 5
dx I
x
=
−
∫