b Tìm m để phơng trình có một nghiệm là -1.. a Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.. b Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dơng.. c Tìm m để phơng trình có một
Trang 1GV: Nguyễn Thành Tuyên - Trờng THCS Mờng Lai - Huyện Lục Yên
Phơng trình bậc hai và hệ thức vi ét
A/ Lý thuyết:
1/ Công thức nghiệm:
Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) (1)
Ta có = b2 – 4ac ( = b’' 2 – ac)
(1) vô nghiệm <=> < 0 ( < 0)'
(1) có nghiệm kép <=> = 0 ( = 0) x' 1 = x2 =
a
b
2
(x1= x2 =
a
b'
) (1) có hai nghiệm phân biệt <=> > 0 ( > 0)'
x1 =
a
b
2
( x1 =
a
b '
) ; x2 =
a
b
2
( x2 =
a
b '
(1) có nghiệm <=> 0 (' 0)
2/ Hệ thức Vi – ét:
Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì:
S = x1 + x2 =
a
b
và P = x1.x2 =
a c
3/ Hệ quả (nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai):
Phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a 0)
- Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có nghiệm x1 = 1; x2 =
a c
- Nếu a – b + c = 0 thì phơng trình có nghiệm x1 = -1; x2 =
a
c
4/ Hệ thức Vi – ét đảo:
Nếu hai số x, y thoả mãn x + y = S và x.y = P thì hai số x, y là nghiệm của phơng trình: X2 – SX + P = 0
( áp dụng: để tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng và dùng để lập phơng trình bậc hai khi khi biết trớc hai nghiệm )
5/ Chú ý (Điều kiện cần và đủ ):
Để PT (1) có hai nghiệm trái dấu <=> a.c < 0
Để PT (1) có hai nghiệm cùng dấu 0
0
p
Để PT (1) có hai nghiệm cùng dơng <=>
0
P S
Để PT (1) có hai nghiệm cùng âm <=>
0
P S
6 ẹieàu kieọn veà nghieọm soỏ cuỷa phửụng trỡnh baọc hai:
ẹũnh lyự : Xeựt phửụng trỡnh : ax2bx c 0 (1)
Pt (1) voõ nghieọm
0 0
c
0 0
a
Pt (1) coự nghieọm keựp
0 0
a
Pt (1) coự hai nghieọm phaõn bieọt
0 0
a
Pt (1) coự hai nghieọm
0 0
a
Pt (1) nghieọm ủuựng vụựi moùi x
0 0
c
ẹaởc bieọt
Neỏu pt(1) coự heọ soỏ a,c thoaỷ a.c < 0 thỡ pt(1) luoõn coự hai nghieọm phaõn bieọt
7 So saựnh moọt soỏ vụựi caực nghieọm cuỷa tam thửực baọc hai f(x) ax2 bxc (a 0)
Trang 2GV: Nguyễn Thành Tuyên - Trờng THCS Mờng Lai - Huyện Lục Yên
1 1
1 1
Tam thửực co ựhai nghieọm x thoỷa
a.f( ) 0 x
0 Tam thửực co ựhai nghieọm x thoỷa
a.f( ) 0
2
2 2
2 2
, x x
, x x
0
1 1
1
0 Tam thửực co ựhai nghieọm x thoỷa
a.f( ) 0 x
S 2 Tam thửực co ựhai nghieọm x thoỷa
moọt nghieọm thuoọc khoaỷng ( ; ) vaứ
nghieọm
2 2
2
, x x
0 , x
coứn laùi naốm ngoaứi ủoaùn [ ; ]
f( ).f( ) 0
B/ Bài tập
Bài 1: Cho phơng trình: 2x2 + mx – 5 = 0
a) Tìm m để phơng trình có một nghiệm là 1 Tìm nghiệm còn lại
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm là -1 Tìm nghiệm còn lại
Bài 2: Cho phơng trình: x2 + 2(m - 1)x – 2m +5 = 0
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn:
*
1
2
2
1
x
x
x
x
= 2
* x1 + x2 + 2x1x2 6
Bài 3: Cho phơng trình: x2 – 2x + m + 2
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu? Trái dấu?
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thảo mãn:
* x1 + x2 + 2x1x2 6
* x1 + x2 + 4x1x2 = 10
Bài 4: Cho phơng trình: x2 – 8x + m + 5 = 0
a) Giải phơng trình với m = 2
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dơng
c) Tìm m để phơng trình có một nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia Tìm các nghiệm trong tr-ờng hợp này
Bài 5: Cho phơng trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m = 0
a) Chứng tỏ rằng(CTR) phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình CTR: A = x1 + x2 –x1x2 không phụ thuộc vào m
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:
x1 + x22 - 3x1x2 = 6
Bài 6: Cho phơng trình: x2 – (2m – 1)x + m2 – m – 2 = 0
a) CTR: Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm m để 2x1x2 + x1 + x2 3
Bài 7: Cho phơng trình: x2 + 2x + 2m + 5 = 0
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép? Hai nghiệm phân biệt?
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình Tính A = x1 + x2 theo m
c) Tìm m để A = 10
d) Lập phơng trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm là y1 =
2
1
x , y2 =
1
1
x
Bài 8: Cho phơng trình: x2+ (m + 1)x + m = 0
a) Giải phơng trình với m = 3
b) CTR: Phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm m để x1 x2 + x1x2 = 10
Bài 9: Cho phơng trình: x2 – 2x + m – 2 = 0
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu?
Trang 3GV: Nguyễn Thành Tuyên - Trờng THCS Mờng Lai - Huyện Lục Yên
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:
3
10
1
2 2
1
x
x x
x
Bài 10: Cho phơng trình: 3x2 – 4x + m – 1 = 0
a) Giải phơng trình với m = 6
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu? Trái dấu?
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn x1 = 3x2
Bài 11:
Cho phơng trình: x2 – 4x + m = 0
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm
b) Với giá trị nào của m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + x22 = 12
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x1 + x2
Bài 12: Cho phơng trình: x2 – 3x - m + 2 = 0 (1)
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu? Cùng dấu?
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 2 Tìm nghiệm còn lại
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thảo mãn: x1 + x2 = 8
d) Lập phơng trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm gấp đôi các nghiệm của phơng trình (1)
Bài 13:
Cho phơng trình: x2 – 2(a – 1)x + 2a - 5 = 0
a) CMR: Phơng trình luôn có nghiệm với mọi a
b)Tìm a để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn: x2 < 1 < x1
Bài 14:
Cho phơng trình: x2 + (m +1)x + m - 1 = 0
a) CMR: Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để A = x1 x2 + x1x2 – 4x1x2 đạt giá trị lớn nhất
Bài 15: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình:
2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0 (1)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Ax1x2 2x1 2x2
Bài tập 16 : Cho phơng trình x210x m 2 (1)0
Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi giá trị của
m 0 Nghiệm mang dấu nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn ?
Bài tập 17:
Cho phơng trình x2 ( m 1) x m 2 m 2 0 (1) (với m là tham số)
a) Giải phơng trình trên với m = 2
b) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu m
c) Gọi 2 nghiệm của phơng trình đã cho là x1, x2 Tìm m để biểu thức
A
đạt giá trị lớn nhất
Bài tập 18: Cho phơng trình : x2 ( m 1) x m 2 m 2 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m
b) Gọi 2 nghiệm là x1 và x2 tìm giá trị của m để x12x22 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài tập 19:
Cho phơng trình 2 x2 ( m 2) x 7 m2 0
Tìm giá trị dơng của m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt
đối bằng nghịch đảo của nghiệm kia
Bài tập 20 :
Xét phơng trình : x4 2( m2 2) 5 m2 3 0 (1) với m là tham số
1 Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phơng trình (1) luôn có 4 nghiệm phân biệt
2 Gọi các nghiệm của phơng trình (1) là x x x x1, , ,2 3 4 Hãy tính theo m giá trị của biểu
x x x x
Bài tập 21:
Trang 4GV: Nguyễn Thành Tuyên - Trờng THCS Mờng Lai - Huyện Lục Yên
Cho phơng trình x2 2( m 1) x m 0 ( mlà tham số)
a) Chứng minh : Phơng trình đã cho luôn luôn có nghiệm với mọi m
b) Trong trờng hợp m > 0 và x x1, 2 là các nghiệm của phơng trình nói trên hãy tìm
GTLN của biểu thức
2 2
1 2 1 2
1 2
x x x x A
x x
Bài tập 22 :
Xét phuơng trình mx2+ (2m -1) x + m -2 = 0 (1) với m là tham số
a ) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn x12 x22 x x1 2 4
b) Chứng minh rằng nếu m là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp thì phơng trình có nghiệm số hữu tỉ
Bài tập 23 : Tìm hai số x y biết x2 + y2 = 25 và xy = 12
Bài tập 24 : Cho phơng trình x2- ax + a - 1 = 0 có 2 nghiệm x x1, 2
a) Không giải phơng trình hãy tính giá trị biểu thức
2 2
1 2
2 2
1 2 2 1
3 x 3 x 3
M
x x x x
b) Tìm a để tổng các bình phơng 2 nghiệm số đạt GTNN ?
Bài tập 25 : Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k , phơng trình
1 7 x2+ kx -23 = 0 có 2 nghiệm trái dấu
2 12 x2+70x + k2+1 = 0 không thể có 2 nghiệm trái dấu
3 x2- ( k +1)x + k = 0 có một nghiệm bằng 1
Bài tập 26 : Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh
1 mx2 - 2(m +1)x + m + 2 = 0
2 (m -1) x2 + 3m + 2m + 1 = 0
3 (1 – 2m) x2 + (2m +1)x -2 = 0
Bài tập 27 : Cho phơng trình x2- 2m + m - 4 = 0
1 Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm đối nhau Tính 2 nghiệm đó
2 Định m để phơng trình có 2 nghiệm thực dơng
Bài tập 28
Cho phơng trình x2 - mx +1 = 0 ( m là tham số )
1 Giải phơng trình trên khi m = 5
2 Với m = 5 , giả sử phơng trình đã cho khi đó có 2 nghiệm là x x1, 2
Không giải phơng trình , hãy tính giá trị của biểu thức
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2
A
x x x x
Bài tập 29 : Cho phơng trình : 2 x2 5 x 1 0
Tính x1 x2 x2 x1 (Với x1 , x2là 2 nghiệm của phơng trình)
Bài tập 30 : a) Xác định m để phơng trình 2 x2 2 mx m 2 2 0 có 2 nghiệm phân biệt b) Gọi 2 nghiệm là x1 , x2 , Tìm GTNN của biểu thức
A 2 x x1 2 x1 x2 4
Bài tập 31 :
1) Chứng tỏ rằng phơng trình x2 4 x 1 0có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm là x và 12 2
2
x
Trang 5GV: Nguyễn Thành Tuyên - Trờng THCS Mờng Lai - Huyện Lục Yên
2) Tìm m để phơng trình x2 2 mx 2 m 3 0 có hai nghiệm cùng dấu Khi đó hai
nghiệm cùng dấu âm hay cùng dấu dơng ?
Bài tập 32 :
Cho phửụng trỡnh: 2 2 3 2 0
mx m
Tỡm m ủeồ phửụng trỡnh (1) coự 2 nghieọm x1, x2 thoỷa maừn 1 x 1 x2
Bài tập 33 :
Xaực ủũnh m ủeồ phửụng trỡnh : 2 ( 5 ) 4 5 0
x coự nghieọm x1 ; 4