Luận Văn Các phép đạo hàm trên đại số banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊNTRƯƠNG VĂN ĐẠI CÁC PHÉP ĐẠO HÀM TRÊN ĐẠI SỐ BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ CHUYÊN NGÀNH TOÁN GIẢI TÍCH ĐẮK LẮK, 2016... BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN

TRƯƠNG VĂN ĐẠI

CÁC PHÉP ĐẠO HÀM TRÊN ĐẠI SỐ

BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ

CHUYÊN NGÀNH TOÁN GIẢI TÍCH

ĐẮK LẮK, 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN

TRƯƠNG VĂN ĐẠI

CÁC PHÉP ĐẠO HÀM TRÊN ĐẠI SỐ

BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Toán Giải Tích.

Mã số: 60.46.01.02

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Hữu Quang

ĐẮK LẮK, 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của chính tôi, với sự hướng dẫncủa Thầy, PGS.TS Nguyễn Hữu Quang

Các kết quả trong luận văn được sử dụng và trích dẫn chính xác với sự trântrọng và lòng biết ơn đối với các Nhà khoa học

MỤC LỤC

Mục lục i

LỜI CẢM ƠN iii BẢNG KÍ HIỆU iv MỞ ĐẦU 1 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1 Đại số 4

1.2 Đại số Banach 10

1.3 Đồng cấu đại số 17

1.4 Ideal đại số 20

2 ĐẠO HÀM TRÊN ĐẠI SỐ BANACH 25 2.1 Định nghĩa và các ví dụ về đạo hàm 25

2.2 Ánh xạ ad 27

2.3 Một số tính chất của đạo hàm trên đại số Banach 30

2.4 Đạo hàm trên đại số Rn∗ 34

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Tây Nguyên dưới sự hướngdẫn tận tình của thầy PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc đến thầy, người đã đặt bài toán và tận tình hướng dẫn tác giảtrong quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn này

Trong quá trình học tập và nghiên cứu, thông qua các bài giảng, hội nghị vàseminar, tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ cũng như có được những

ý kiến đóng góp quý báu của các Thầy Cô ở Trường Đại học Tây Nguyên Tácgiả xin chân thành cảm ơn

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo nhà Trường Đại học Tây Nguyên,Phòng Sau đại học - Trường Đại học Tây Nguyên và Bộ môn Toán - Khoa KHTN

và CN - Trường Đại học Tây Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giảtrong thời gian học tập tại trường

Đặc biệt, cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn

bè, các học viên trong lớp Cao học Toán Giải tích K09 đã cộng tác, giúp đỡ tácgiả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Đắk Lắk, tháng 11 năm 2016

Đây là kết quả kinh điển về đạo hàm trên đại số Banach được Wermer (1925)

và Singer (1924) trình bày trong một bài báo của họ ([10]), theo đó nhiều nhàtoán học đã mở rộng các kết quả đó cho các đại số Jordan, các C∗− đại sốCác phép đạo hàm có nhiều ứng dụng trong nhiều nghành của toán học cũngnhư trong vật lí, khoa học kĩ thuật, Đặc biệt các phép đạo hàm trên đại số

là công cụ hữu hiệu thường được sử dụng để khảo sát độ cong, độ xoắn của cácđại số

Cho đến thời điểm hiện nay việc nghiên cứu các tính chất của các phép đạohàm trên các đại số, đại số Banach vẫn được nhiều nhà toán học trong và ngoàinước quan tâm ([6], [7], [8], , [12] )

Năm 2010, Sultanow ([11]), đã trình bày các tính chất cơ bản về đạo hàmLie của các dạng trên đại số Banach giao hoán B và ứng dụng nó để xét độcong, độ xoắn của B

Năm 2013, Yong So Jung ([8]), đã trình bày về phép đạo hàm tổng quát,đạo hàm trên các vành và đạo hàm trên các đại số Banach

Năm 2014, Arslan và Inceboz ([6]), đã trình bày về một số đặc trưng của

các phép đạo hàm Jordan tổng quát trên các đại số Banach.

Năm 2015, Koustantina Panagiot và Juan De Pe’rez ([12]), đã trình bày vềđạo hàm Lie trên siêu mặt thực trong không gian CP2

và CH2 với liên thôngtuyến tính tổng quát kiểu Tanaka -Webster;

Ta quay lại với định nghĩa đạo hàm trên đại số, giả sử A là một đại số( tương ứng đại số Banach), một phép đạo hàm trên A là ánh xạ tuyến tính

d : A → A thỏa mãn d(x, y) = d(x).y + xd(y), ∀x, y ∈ A Hiện nay nhiềunhà toán học quan tâm đến hai bài toán:

Bài toán 1: Tìm điều kiện để d là ánh xạ liên tục;

Bài toán 2: Tìm điều kiện để dlà một phép đạo hàm trong (nghĩa là tìm điềukiện để d(x) = ax − xa ∀x ∈ A và a cố định trong A)

Để tập dượt nghiên cứu khoa học, chúng tôi tiếp cận hướng nghiên cứu trênnhằm tìm hiểu một cách có hệ thống một số các tính chất của các phép đạohàm trên đại số Banach Trên cơ sở tài liệu tham khảo, dưới sự hướng dẫn củaPGS.TS Nguyễn Hữu Quang, chúng tôi đã thực hiện đề tài "Các phép đạohàm trên đại số Banach"

Ngoài Phần mở đầu, Kết luận, và Danh mục tài liệu tham khảo, Luận vănđược bố cục thành hai chương

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trình bày các kiến thức cơ bảncần thiết nhất cho việc tìm hiểu nghiên cứu ở chương tiếp theo Các kiến thứcnày bao gồm đại số, đại số Banach, đồng cấu và ideal đại số

Chương 2 ĐẠO HÀM TRÊN ĐẠI SỐ BANACH Đây là chương chứanội dung chính của luận văn, chương này tập trung nghiên cứu về các phép đạohàm trên đại số, đại số Banach Đầu tiên chúng tôi tập hợp một số định nghĩa

và tính chất đã có về phép đạo hàm trên đại số, đại số Banach trong các tài liệutham khảo sau đó trình bày chi tiết và hệ thống lại theo một logic riêng phù

hợp với nội dung của luận văn tiếp theo đó chúng tôi đề xuất đại số Banach Rn∗

từ đó nghiên cứu một số tính chất của các phép đạo hàm trên đại số này

• : A × A → A(a, b) 7→ a • bthỏa mãn

2) Nếu tích trong (hay phép nhân trong) của đại số A có tính kết hợp thì ta nói

A là đại số kết hợp;

3) Đại số A được gọi là có đơn vị nếu trong A tồn tại phần tử e sao cho

ea = ae = a, ∀a ∈ A, phần tử e được gọi là đơn vị của A;

4) Phần tửa ∈ A được gọi là khả nghịch nếu tồn tại b ∈ A sao choab = ba = ekhi đó ta gọi b là phần tử nghịch đảo của a và kí hiệu là a−1;

5) Nếu tích trong có tính chất giao hoán thì A được gọi là đại số giao hoán; Nếutích trong có tính chất kết hợp thì A được gọi là đại số kết hợp; Nếu ab = 0với mọi a, b ∈ A thì A được gọi là đại số tầm thường;

6) Giả sử C là một tập con của đại số A Khi đó C được gọi là đại số con của

A nếu C khép kín với các phép toán trên A

Nhận xét 1.1.3 Giả sử A là một đại số, khi đó phần tử đơn vị (nếu có) vàphần tử nghịch đảo của một phần tử x (nếu có) trong A là duy nhất

Chứng minh Thật vậy, giả sử trái lại tức là tồn tại e0 ∈ A sao cho e0a = ae0 =

a, ∀a ∈ A Khi đó ta có e = ee0 = e0e = e0 Như vậy phần tử đơn vị là duynhất, tương tự ta giả sử x0 và x” là hai phần tử nghịch đảo của x trong A Ta

có xx0 = x0x = e = xx” = x”x, suy ra x0 = x”

Ví dụ 1.1.4 Ta kí hiệu R[x] là tập hợp tất cả các đa thức một biến trên trường

số thực Trên R[x] ta trang bị các phép toán xác định như sau

i) (f + g)(x) = f (x) + g(x), ∀f, g ∈ R[x];

ii) (λf )(x) = f (x) + g(x), ∀λ ∈ R, ∀f ∈ R[x];

iii) (f g)(x) = f (x)g(x), ∀f, g ∈ R[x]

Khi đó R[x] là một đại số kết hợp trên R

Chứng minh Thật vậy, Rõ ràng R[x]là một không gian vectơ với hai phép toáni) và ii) Mặt khác ∀f, g ∈ R[x], ∀λ ∈ R và ∀x ∈ R ta có

((f + g)h)(x) = ((f + g)(x))h(x)

= (f (x) + g(x))h(x)

= f (x)h(x) + g(x)h(x)

= (f h)(x) + (gh)(x), ∀x ∈ R.Suy ra (f + g)h = f h + gh Tương tự ta cũng thu đượcf (g + h) = f g + f h.Cuối cùng giả sử f, g ∈ R[x], ta có

((f h)h)(x) = (f h)(x)h(x)

= f (x)g(x)h(x)

= f (x)(gh)(x)

= (f (gh))(x), ∀x ∈ R.Suy ra (f g)h = f (gh) Vậy R[x] là một đại số kết hợp trên R

Ví dụ 1.1.5 Ta kí hiệu F (Rn) = 

f : Rn → R|f trơn F (Rn) được trang

bị các phép toán như sau

Với mọi f, g, h ∈ F (Rn) , α ∈ R, ta có:

f (g + h)(x) = f (x)(g + h)(x)

= f (x)[g(x) + h(x)]

= f (x)g(x) + f (x)h(x)

= (f g + f h)(x)Suy ra f (g + h) = f g + f h

Cuối cùng giả sử f, g, h ∈F (Rn) Khi đó tính giao hoán của F (Rn) đượcsuy ra từ định nghĩa của phép toán (iii) kết hợp với tính giao hoán của R Hơnnữa,

;ii) λA = λaij

;

Chứng minh Thật vậy, như ta đã biết với hai phép toán (i) và (ii) thì Mn lậpthành một không gian vectơ trên R.

Suy ra A(λB) = (λA)B = λ(AB)

Ví dụ 1.1.7 Với mọi a (a1, a2, a3) , b (b1, b2, b3) ∈ R3 và λ ∈ R, ta trang bị baphép toán

i) a + b = (a1+ b1, a2+ b2, a3 + b3);

ii) λa = (λa1, λa2, λa3);

iii) a ∧ b = (a2b3 − a3b2, a3b1− a1b3, a1b2 − a2b1)

Khi đó R3 cùng với ba phép toán trên lập thành một đại số trên R

Chứng minh Thật vậy, với hai phép toán (i) và (ii), R3 lập thành một khônggian véctơ Mặt khác ta có

1.2 Đại số Banach

Định nghĩa 1.2.1 ([2]) Cho A là đại số có đơn vị e trên R, A được gọi là đại

số Banach nếu A được trang bị thêm một chuẩn k.k thỏa mãn các điều kiệnsau

i) A là một không gian Banach với chuẩn k.k;

ii) kxyk ≤ kxkkyk, ∀x, y ∈ A;

iii) chuẩn của phần tử đơn vị kek = 1

Nhận xét 1.2.2 ([2]) Phép nhân trong trên A là liên tục

Chứng minh Thật vậy, giả sử {(xn, yn)} là một dãy tùy ý trong A × A và(xn, yn) → (x, y) ∈ A × A, n → ∞ Khi đó,

xn → x ∈ A, n → ∞ và yn → y ∈ A, n → ∞ Ta có

kxnyn − xyk = kxnyn − xyn + xyn − xyk

= k(xn − x)yn+ x(yn − y)k

≤ k(xn − x)ynk + kx(yn − y)k

≤ k(xn − x)kkynk + kxkk(yn − y)k → 0, n → ∞

Ví dụ 1.2.3 Không gian C với phép nhân trong là phép nhân các số phức theonghĩa thông thường cùng với chuẩn kzk = |x| + |y| , ∀z = x + yi ∈ C lập thànhmột đại số Banach có đơn vị là 1 Thật vậy, C là không gian vectơ trên R Mặtkhác, ∀z1 = x1+ y1i, z2 = x2 + y2i, z3 = x3+ y3i ∈ C, ∀λ ∈ R ta có:

Vậy C là một đại số Banach.

Ví dụ 1.2.4 Giả sử E là một không gian Banach Kí hiệu B(E) là không giancác toán tử liên tục từ E vào E Như ta đã biết B(E) là không gian Banachvới chuẩn

kf k = Sup

kxk=1

kf (x)k, ∀f ∈ B(E)

Khi đó B(E) là đại số Banach với phép nhân trong là phép hợp thành các toán

tử, có phần tử đơn vị là toán tử đồng nhất idE và kidEk = 1 Thật vậy, rõ ràngB(E) là một đại số trên K, với K = R hoặc K = C Mặt khác, ∀f, g ∈ B(E)

ta có

kf gk = Supkxk=1kg(f (x))k

≤ kgkkf (x)k

≤ kgkkf k

Vậy B(E) là một đại số Banach

Bây giờ ta kí hiệu Rn∗=a = (a0, a1, , an−1), ai ∈ R, ∀i = 0, 1, 2, , n − 1 Trên Rn∗ ta trang bị các phép toán như sau

i) Phép cộng

a + b = (a0+ b0, a1 + b1, , an−1 + bn−1), ∀a = (a0, a1, , an−1);

b = (b0, b1, , bn−1) ∈ Rn

∗;ii) Phép nhân với vô hướng

αa = (αa0, αa1, , αan−1), ∀a = (a0, a1, , an−1) ∈ Rn∗, ∀α ∈ R;

iii) Phép nhân trong

k, k : Rn

∗ −→ R

a 7−→ kakXác định bởi

Chứng minh Thật vậy, rõ ràng Rn∗ là một không gian vectơ trên trường số thực

R có cơ sở là {e0; e1; ; en−1} với ei = (0, , 1, , 0), (số 1 ở vị trí thứ i) bâygiờ ta lần lượt kiểm tra ánh xạ k, k thỏa mãn các tính chất của một chuẩnVới mọi a(a1, a2, , an−1) ∈Rn∗, ta có

và có cơ sở là {e0, e1, , en−1} với ei = (0, , 1, 0), (số 1 ở vị trí thứ i).Chứng minh Thật vậy, với a(a0, , an−1), b(b0, , bn−1) ∈Rn

Suy ra a(b + c) = ab + ac.

Tính toán tương tự ta thu được (b + c)a = ba + ca

Với mọi λ ∈ R, a(a0, a1, , an−1), b(b0, b1, , bn−1) ∈Rn

Tính toán tương tự ta thu được λ(a.b) = a.(λb)

Vậy λ(a.b) = (λa).b = a.(λb.), ∀a = (a0, a1, , an−1), b = (b0, b1, , bn−1).Tích trong có tính kết hợp Thật vậy,

∀x(x0; ; xn−1), y(y0; ; yn−1), z(zo; ; zn−1) ∈Rn

∗.Giả sử,(xy)z = (a0; an−1),

Như vậy, (xy)z = x(yz).

Với mọi x(x0; ; xn−1, y(y0; ; yn−1)), ta có:

i} là dãy Cauchy trong R Do R đầy đủ nên tồn tại x0i ∈ R; vớimọi i = 0, 1, , n − 1 : xk

Vì kxnk ≤ kxkn và kxk < 1 nên chuỗi tuyệt đối vì thế hội tụ.

Định nghĩa 1.3.1 ([2]) ChoA, B là hai đại số trên trường K(K= R hoặc K =

C) Một ánh xạ tuyến tínhϕ : A −→ B được gọi là một đồng cấu từ A vào Bnếu ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b), ∀a, b ∈ A

Chú ý 1.3.2 Ánh xạ ϕ : A −→ B; x 7→ 0, ∀x ∈ A là một đồng cấu và đượcgọi là đồng cấu tầm thường Trong suốt mục này chúng tôi luôn giả thiết mộtđồng cấu là một ánh xạ khác không

Ví dụ 1.3.3 Từ Ví dụ 1.1.3 ta biết rằng R[x] là đại số các đa thức một biếntrên trường số thực R Mặt khác ta cũng dễ dàng kiểm tra được R là một đại sốvới phép nhân trong là một đại số Banach, kết hợp và có đơn vị Với mỗi λ ∈Rxét ánh xạ

ϕλ : R[x] −→ R

f 7−→ f (λ)Khi đó ϕλ là một đồng cấu từ R[x] đến R Thật vậy, ∀f, g ∈ R[x], ∀α ∈ R tacó

ϕλ(f + g) = (f + g)(λ) = f (λ) + g(λ)

= ϕλ(f ) + ϕλ(g)

ϕλ(αf ) = (αf )(λ) = αf (λ)

= αϕλ(f )

Mệnh đề 1.3.5 ([1]) Giả sử A, B là hai đại số trên trường K và ϕ : A → B

là một đẳng cấu đại số Khi đó ϕ−1 : B → A cũng là một đẳng cấu đại số.Chứng minh Thật vậy, vì ϕ là đẳng cấu nên ϕ là song ánh, do đó ϕ−1 cũng làsong ánh Mặt khác, giả sử∀f0, g0 ∈ B, ∀a, b ∈ K sao choϕ(f ) = f0, ϕ(g) = g0,

Mệnh đề 1.3.6 ([1]) Giả sử A, B, C là các đại số trên K Các ánh xạ ϕ :

A → B và ψ : B → C là các đồng cấu đại số Khi đó ánh xạ ψ ◦ ϕ : A → Ccũng là một đồng cấu đại số

Chứng minh Với mọi f, g ∈ G; a, b ∈ K, ta có

Vậy ψ ◦ ϕ là một đồng cấu đại số.

Mệnh đề 1.3.7 ([2]) Cho A, B là hai đại số phức giao hoán có đơn vị lần lượt

là e và e0 Giả sử ϕ là một đồng cấu từ A đến B Khi đó

b) Giả sử x là phần tử khả nghịch trong A khi đó, từ đẳng thức

e0 = ϕ(e) = ϕ(x−1x) = ϕ(x−1ϕ(x))

Ta suy ra ϕ(x) 6= 0

Mệnh đề 1.3.8 ([2]) Giả sử A là một đại số Banach có đơn vị e, x ∈ A,kxk < 1 và ϕ là một đồng cấu phức trên A Khi đó, |ϕ(x)| < 1

Chứng minh Ta sẽ chỉ ra với mọi λ ∈ C mà |λ| ≥ 1 thì ϕ(x) 6= λ Thật vậy,

vì |λ ≥ 1| nên kλ−1xk < 1 Bởi vậy, theo Mệnh đề 1.2.8 suy ra e − λ−1x khảnghịch trong A Mặt khác, theo Mệnh đề 1.3.6 ta có

|λ|kxk)

= |ϕ(x)|

Định nghĩa 1.4.1 ([2]) Giả sử A là một đại số Banach giao hoán Tập con

J ⊂ Ađược gọi là một ideal nếu J là đại số con củaA vàxa ∈ J, ∀x ∈ J, ∀a ∈A

Ideal A được gọi là thực sự nếu J 6= A Ideal thực sự J được goị là cực đạinếu không nằm trong bất kì một ideal thực sự khác J nào của A

Nhận xét 1.4.2 Giao của một họ tuỳ ý các ideal của đại số Banach A là mộtideal của A

Mệnh đề 1.4.3 ([2]) Mỗi ideal thực sự của A đều chứa trong một ideal cựcđại của A Đặc biệt, nếu a ∈ A không khả nghịch luôn tồn tại một ideal cựcđại trong A chứa a.

Chứng minh Đặt Ω = {I/J ⊂ I, I là ideal thực sự củaA} Vì J ∈ Ω nên

Ω 6= ∅ Ta đưa vào Ω quan hệ thứ tự bao hàm I1, I2 ∈ Ω, I1 ≤ I2 ⇔ I1 ⊆ I2

Ta kiểm tra lại Ω thoả mãn bổ đề Zorn

Giả sử (Iα)α là họ con sắp thứ tự của Ω , đặt I = ∪αIα suy ra J ⊆ I Với mọi

x ∈ I, a ∈ Atồn tại α0 sao cho x ∈ Iα0 vì Iα0 là ideal của Anên ax ∈ Iα0 ⊂ I,nên I là ideal của A

Nếu I = A thì tồn tại α sao cho e ∈ Iα suy ra Iα = A, trái với giả thiết Iα

là ideal thực sự của A Suy ra I ∈ Ω và I ≥ Iα, ∀α Theo bổ đề Zorn, Ω cóphần tử tối đại, ký hiệu I∗, suy ra I∗ ⊃ J và I∗ là ideal tối đại của A chứa J.Đặc biệt, nếu a ∈ A không khả nghịch Ta đặt J = aA = {ax|x ∈ A} Ta

dễ dàng kiểm tra được J là một ideal thực sự trong A chứa a Do vậy, từ chứngminh trênJ chứa trong một ideal tối đạiI trongA, lúc đó ta có a ∈ J ⊂ I.Nhận xét 1.4.4 ([2]) Nếu A là một đại số Banach và J là một ideal của Athì J cũng là một ideal trong A

Mệnh đề 1.4.5 ([2]) Mọi ideal cực đại đều là tập đóng

Chứng minh Giả sử J là một ideal cực đại của A, khi đó J không chứa mộtphần tử khả nghịch nào của A và hiển nhiên J 6= A và GA là tập tất cả cácphần tử khả nghịch của A Khi đó J ∩ GA = ∅ suy ra J ⊆ A \ GA mà GA làtập mở trong A, nên A \ GA là tập đóng trong A Từ đây ta được

J ⊆ J ⊆ A \ GA.Như vậy, J ∩ GA 6= ∅ nên J 6= A, nhưng J là một ideal chứa J, mà J là mộtideal cực đại trong A Do vậy, J = J hay J đóng trong A

Định lý 1.4.6 ([2]) Cho A là một đại số Banach giao hoán Ta ký hiệu 4A làtập hợp tất cả các đồng cấu phức trên A Khi đó, nếu ϕ ∈ 4A thì kerϕ là mộtideal cực đại.

Chứng minh Rõ ràng kerϕ 6= ∅ vì ϕ(0) = 0

∀x, y ∈ kerϕ; ∀α, β ∈C Ta có

ϕ(αx + βy) = αϕ(x) + βϕ(y) = 0 ⇒ αx + βy ∈ kerϕ

Suy ra kerϕ là một không gian vectơ con

Lấy bất kỳ a ∈ kerϕ, bất kỳ x ∈ A Ta có: ϕ(ax) = ϕ(a).ϕ(x) = 0.ϕ(x) = 0suy ra ax ∈ kerϕ

Vậy kerϕ là một ideal của A

Để chứng minh kerϕ là ideal cực đại, ta cần chứng minh Akerϕ là mộttrường, tức x + kerϕ khả nghịch trong Akerϕ với mọi x không thuộc kerϕ.Thậy vậy, từ x không thuộc kerϕ suy ra ϕ(x) = λ 6= 0 Đặt y = e

λ Khi đó:

ϕ(xy) = ϕ(x).ϕ(y) = λϕ(e)

λ = ϕ(e).

Từ đó suy ra xy − e ∈ kerϕ tức là xy + kerϕ = e + kerϕ Do đó:

(x + kerϕ)(y + kerϕ) = xy + kerϕ = e + kerϕ

Như vậy x + kerϕ là khả nghịch trong Akerϕ

Mệnh đề 1.4.7 ([2]) NếuJ là ideal cực đại thì AJ là đẳng cấu, đẳng cự vớitrường số phức C

Chứng minh NếuJ là ideal cực đại thìAJ là một trường Thật vậy, lấya+J

là một phần tử khác không củaAJ Khi đó, do J là một không gian con của

A, ta có a không thuộc J Chú ý rằng J0 = aA + J là một ideal của A, hơn