Luận văn bất đẳng thức tích phân kiểu hermite hadamard cho hàm preinvex khả vi

Họ đã mở rộng một số kết quả nghiên cứu bất đẳng thức Hermite-Hadamardcho hàm lồi như hàm m-lồi, hàm tựa lồi, hàm α, m-lồi, đặc biệt đã mởrộng bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm prei

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN

ĐINH HOÀI LƯU

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN KIỂU HERMITE-HADAMARD CHO HÀM PREINVEX KHẢ VI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐẮK LẮK, NĂM 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN

ĐINH HOÀI LƯU

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN KIỂU HERMITE-HADAMARD CHO HÀM PREINVEX KHẢ VI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số : 60.46.01.02

Người hướng dẫn khoa học: TS PHẠM HỮU KHÁNH

MỤC LỤC

Mục lục i

LỜI CAM ĐOAN iii LỜI CẢM ƠN iv BẢNG KÍ HIỆU v MỞ ĐẦU 1 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5 1.1 Hàm lồi và các tính chất 5

1.1.1 Hàm lồi 5

1.1.2 Tính chất 5

1.2 Hàm m-lồi và hàm(α, m)-lồi 6

1.2.1 Hàm m-lồi 6

1.2.2 Hàm(α, m)-lồi 6

1.3 Tập invex và hàm preinvex 6

1.3.1 Tập invex 6

1.3.2 Hàm preinvex 7

1.4 Hàm m-preinvex và hàm(α, m)-preinvex 7

1.4.1 Hàm m-preinvex 7

1.4.2 Hàm(α, m)-preinvex 71.5 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard và bất đẳng thức H¨older 81.5.1 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard 81.5.2 Bất đẳng thức H¨older 9

2.1 Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm

preinvex khả vi 102.2 Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàmm-

preinvex khả vi 132.3 Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm

preinvex khả vi cấp n 293.3 Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm

(α, m)-preinvex khả vi cấp n 37

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các kết quả

sử dụng trong luận văn được trích dẫn đầy đủ và rõ ràng

Đắk Lắk, tháng 11 năm 2016

Học viên

Đinh Hoài Lưu

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và nghiêmkhắc của thầy, TS Phạm Hữu Khánh Chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chânthành và lòng kính trọng sâu sắc đối với thầy, người đã tận tình chỉ dẫn vàđộng viên chúng tôi trong quá trình học tập bộ môn cũng như quá trình thựchiện và hoàn thành luận văn

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ về mọi mặt của Ban giámhiệu trường Đại học Tây Nguyên, Phòng đào tạo Sau đại học- Đại học TâyNguyên, Bộ môn Toán - Khoa KHTN & CN - Trường Đại học Tây Nguyên,cùng quý thầy đã tham gia giảng dạy chúng tôi trong suốt quá trình học tập

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám đốc Sở Giáo Dục và ĐàoTạo Phú Yên, Ban Giám hiệu trường THPT Nguyễn Du, Quý thầy cô trong

Tổ Toán trường THPT Nguyễn Du đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiệnthuận lợi về thời gian để chúng tôi tham gia học tập

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn các anh chị em học viên lớp Caohọc Toán Giải tích K09, bạn bè thân hữu, đặc biệt là ba mẹ và anh chị emtrong gia đình đã động viên và giúp đỡ chúng tôi trong suốt thời gian học tập

Đắk Lắk, tháng 11 năm 2016

Học viên

Đinh Hoài Lưu

BẢNG KÍ HIỆU

L [a, a + η (b, a)] : Tập hợp các hàm khả tích trên [a, a + η (b, a)]

f(n) : Khả vi cấp n của hàm f

MỞ ĐẦU

1 ĐẶT VẤN ĐỀ

Ngày 22/11/1881 Hermite (1822-1901) đã gửi một bức thư đến

tờ Mathesis, đánh dấu sự khởi đầu và sau đó bất đẳng thức Hadamard cho hàm lồi được công bố vào năm 1893 Đây là bất đẳng thức

Hermite-có vai trò quan trọng trong việc trong việc đánh giá chuỗi lũy thừa và đặcbiệt trong đánh giá các hàm về trung bình (cộng, nhân, điều hòa, lôgarit

và lôgarit mở rộng)([6])

Hiện nay có nhiều hướng phát triển và nghiên cứu bất đẳng thứcHermite-Hadamard cho hàm lồi được nghiên cứu bởi các nhà toán học như

S S Dragomir, Charles E M Pearce, M K Bakula, M E Ozdemir vv

Họ đã mở rộng một số kết quả nghiên cứu bất đẳng thức Hermite-Hadamardcho hàm lồi như hàm m-lồi, hàm tựa lồi, hàm (α, m)-lồi, đặc biệt đã mởrộng bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm preinvex

Luận văn đặt ra vấn đề tìm hiểu một số khái niệm mở rộng của hàmpreinvex và bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàmpreinvex khả vi Chúng tôi hi vọng luận văn này sẽ là tài liệu hữu ích chonhững ai quan tâm đến vấn đề này

2 TỔNG QUAN TÀI LIỆU NGHIÊN CỨU

Bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm lồi (1893) Tiếp theo, năm

1992, S.S Dragomir đã mở rộng một số kết quả bất đẳng thức Hadamard cho hàm lồi Năm 2002 ông đã đưa ra một số bất đẳng thứckiểu Hermite-Hadamard cho hàm m-lồi

Hermite-Kế thừa kết quả trên, năm 2007 D A Ion đã đưa một số kiểu bất

đẳng thức trên cho hàm tựa-lồi và chứng minh nhiều kết quả quan trọng.Năm 2008, M K Bakula, M E Ozdemir, J Pecaric đã mở rộng bất đẳngthức cho hàm m-lồi và hàm lồi.

Năm 2010, M Z Sarikaya, M E Ozdemir, E Set đã đưa ra một sốkết quả bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm có giá trị tuyệt đối củam-lồi khả vi Năm 2011, A Barani, A G Ghazanfari, S S Dragomir đãđưa ra một số kiểu bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm có giá trịtuyệt đối của hàm preinvex khả vi

Năm 2012, Shu-Ping Bai, Shu-Hong Wang, Feng Qi đã mở rộng một

số bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàmm-lồi và hàm lồi khả vi cấp

n Tiếp theo năm 2013, M A Latif, S S Dragomir, đã mở rộng một số kiểubất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm preinvex và hàm prequasiinvexkhả vi

Năm 2014 S H Wang, F Qi đã mở rộng một số kiểu bất đẳng thứcHermite-Hadamard cho hàm preinvex khả vi cấp n

Trong thời gian qua, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu một số bất đẳngthức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm m-preinvex và (α, m)-preinvex khả vi và mở rộng một số bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm m-preinvex và hàm (α, m)-preinvex khả vi cấp n

3 NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

• Đối tượng nghiên cứu

Bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm preinvex khả vi

Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàmm-preinvex

và hàm (α, m)-preinvex khả vi

Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm preinvex,

hàm m-preinvex và hàm (α, m)-preinvex khả vi cấp n.

• Nội dung nghiên cứu

Trình bày định nghĩa và các tính chất của hàm preinvex, hàm mpreinvex và hàm (α, m)-preinvex

-Trình bày và chứng minh một số mệnh đề liên quan bất đẳng thứcHermite-Hadamard cho hàm preinvex, hàm m-preinvex và hàm (α, m)-preinvex khả vi

Trình bày và chứng minh một số mệnh đề liên quan đến bất đẳng thứctích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm m-preinvex và hàm (α, m)-preinvex khả vi cấp n

• Phương pháp nghiên cứu

Sưu tầm tài liệu trong và ngoài nước có liên quan đến đề tài

Phân tích, tổng hợp các kết quả thu nhận được, hệ thống, tổng quáthóa lại những vấn đề liên quan đến đề tài

4 BỐ CỤC LUẬN VĂN

Luận văn được chia làm 3 chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương này được xem như phần trình bày kiến thức cơ sở để tạo điềukiện cho việc trình bày các kiến thức ở Chương 2 và Chương 3 Vì vậy,chúng tôi trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản về hàm lồi, hàm(α, m)-lồi, hàm preinvex, hàm (α, m)-preinvex, bất đẳng thức Hermite-Hadamard và bất đẳng thức H¨older

Chương 2 Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamardcho hàm preinvex khả vi

Đây là chương thể hiện kết quả chính của luận văn Trong chương này

chúng tôi trình bày chi tiết các khái niệm, tính chất về bất đẳng thức tíchphân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm preinvex khả vi và mở rộng chohàm m-preinvex và hàm (α, m)-preinvex.

Chương 3 Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamardcho hàm preinvex khả vi cấp n

Trong chương này chúng tôi trình bày chi tiết các khái niệm, tính chất

về bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm preinvex khả

vi cấpn và mở rộng bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard chohàm m-preinvex và hàm (α, m)-preinvex khả vi cấp n

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản vềhàm lồi, hàm (α, m)-lồi, tập invex, hàm preinvex, hàm (α, m)-preinvex, bấtđẳng thức Hermite-Hadamard và bất đẳng thức H¨older

Hàm f gọi là hàm lõm nếu và chỉ nếu -f là hàm lồi

1.1.2 Tính chất

Tính chất 1.1 ([10]) Các tính chất của hàm lồi

a) Nếu f và g là các hàm lồi và α ≥ 0, β ≥ 0 thì αf + βg là hàm lồi

c) Giả sử f : I → R là hàm lồi Khi đó

Hàm f được gọi là hàm m-lõm nếu và chỉ nếu -f là hàm m-lồi

1.2.2 Hàm(α, m)-lồi

Định nghĩa 1.3 ([9]) Cho hàm số f : [0, b∗] → R, b∗ > 0 Hàm f được gọi

là (α, m)-lồi nếu

f (λa + m (1 − λ) b) ≤ λαf (a) + m (1 − λα) f (b) (1.3)với mọi a, b ∈ [0, b∗], λ ∈ [0; 1] và (α, m) ∈ [0, 1]2

Hàm f gọi là hàm (α, m)-lõm nếu và chỉ nếu -f là hàm (α, m)-lồi

liên tục Hàm f trên tập invex K được gọi là hàm preinvex đối với η nếu

f (a + λη (b, a)) ≤ (1 − λ) f (a) + λf (b) , ∀a, b ∈ K, λ ∈ [0, 1] (1.4)Hàm f gọi là hàm preconcave nếu và chỉ nếu -f là hàm preinvex

1.4 Hàm m-preinvex và hàm(α, m)-preinvex

1.4.1 Hàm m-preinvex

Định nghĩa 1.6 ([9]) Cho f : K → R và η : K × K → R là hàm liên tục.

Hàm f trên tập invex K ⊆ [0, b∗] , b∗ > 0 gọi là hàm m-preinvex đối với η

nếu

f (a + λη (b, a)) ≤ (1 − λ) f (a) + mλf



bm

Định nghĩa 1.7 ([9]) Cho f : K → R và η : K × K → R là hàm liên tục.

Hàm f trên tập invex K ⊆ [0, b∗] , b∗ > 0 gọi là hàm (α, m)-preinvex đốivới η nếu

f (a + λη (b, a)) ≤ (1 − λα) f (a) + mλαf

 bm



(R |g|q)

1 q

q = 1.

Chương 2

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN KIỂU HERMITE-HADAMARD

f (x) dx

= η (b, a)2

Z 1 0

(1 − 2t) f0(a + tη (b, a)) dt (2.1)

Chứng minh Giả sử a, b ∈ K Từ K là tập invex đối với η : K × K → R,

f (x) dx

= η (b, a)2

Z 1 0

(1 − 2t) f0(a + tη (b, a)) dt

Một số kết quả bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàmpreinvex khả vi Các kết quả này được chứng minh dựa vào Bổ đề (2.1) vàBất đẳng thức (1.8)

Định lí 2.1 ([4]) Cho K ⊆ R là tập con invex mở đối với η : K × K → R.

Giả sử f : K → R là hàm khả vi Nếu |f0| là preinvex trên K, a, b ∈

f (x) dx

≤ |η (b, a)|

8 (|f

Chứng minh Giả sử a, b ∈ K Từ K là tập invex đối với η : K × K → R,

∀t ∈ [0, 1] ta có a + tη (b, a) ∈ K Áp dụng Bổ đề (2.1)và |f0| là preinvex tacó

f (x) dx

≤ η (b, a)8



|f0(a)| + m

f0

 bm



f (x) dx

≤ η (b, a)

2

Z 1

|1 − 2t| |f0(a + tη (b, a))| dt

Vì |f0| là m-preinvex trên K, ∀ a, b ∈ K, t ∈ [0, 1] , m ∈ (0, 1] nên

|f0(a + tη (b, a))| ≤ (1 − t) |f0(a)| + mt