Luận văn Phép tính vi phân và tích phân cho một số hàm khoảng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN BÙI THỊ PHƯƠNG THẢO PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN CHO MỘT SỐ HÀM KHOẢNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 6

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN

BÙI THỊ PHƯƠNG THẢO

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN

BÙI THỊ PHƯƠNG THẢO

PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN

CHO MỘT SỐ HÀM KHOẢNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : Toán Giải Tích

Mã số : 60.46.01.02

Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Thanh Tùng

ĐẮK LẮK, NĂM 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của tôi dưới sự hướngdẫn trực tiếp của TS Trần Thanh Tùng Trong quá trình nghiên cứu, các số liệu

và kết quả ghi trong luận văn là trung thực, tôi đã kế thừa thành quả khoa họccủa các nhà khoa học đi trước với sự chân thành và biết ơn

Bùi Thị Phương Thảo

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin chân thành cảm ơn:

Ban Giám hiệu trường Đại học Tây Nguyên

Bộ môn Toán - Khoa KHTN và CN - Trường Đại học Tây Nguyên

Các thầy cô giáo Trường Đại học Tây Nguyên đã dạy dỗ, trang bị cho tácgiả những kiến thức quý giá và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập, tạo mọiđiều kiện để hoàn thành tốt khóa học

Đặc biệt, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo TS Trần Thanh Tùng.Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đã đặt bài toán và tận tìnhhướng dẫn tác giả trong quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn này

Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồngnghiệp, các học viên trong lớp Cao học Toán Giải tích K09 đã cộng tác, tạo điềukiện giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Đắk Lắk, tháng 10 năm 2016

Tác giả

Bùi Thị Phương Thảo

MỤC LỤC

1.1 Khái niệm về khoảng 4

1.1.1 Các phép toán trên khoảng 4

1.1.2 Một số tính chất cơ bản của khoảng 6

1.1.3 Một số định nghĩa 6

1.1.4 Các loại hiệu thông dụng trong giải tích khoảng 7

1.2 Hàm khoảng 9

1.2.1 Định nghĩa hàm khoảng 9

1.2.2 Một số phép toán của hàm khoảng 10

1.3 Không gian metric khoảng 10

1.4 Dãy khoảng và giới hạn của dãy khoảng 11

1.5 Tính liên tục, tính đo được của hàm khoảng 14

1.5.1 Tính liên tục của hàm khoảng 14

1.5.2 Tính đo được của hàm khoảng 15

2 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN CỦA HÀM KHOẢNG 17 2.1 Đạo hàm Hukuhara của hàm khoảng 17

2.1.1 Đạo hàm Hukuhara 17

2.1.2 Đạo hàm Hukuhara tổng quát 18

2.2 Tích phân của hàm khoảng 23

3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN CHO HÀM KHOẢNG 24 3.1 Tính chất đạo hàm của hàm khoảng 24

3.1.1 Tính chất đạo hàm của hàm khoảng 24

3.1.2 Tính chất đạo hàm của hàm Fptq C.gptq 27

3.2 Tính chất tích phân của hàm khoảng 29

3.2.1 Tính chất tích phân của hàm khoảng 29

3.2.2 Tính chất tích phân của hàm Fptq  C.gptq 37

3.3 Một số kết quả 39

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

KCpRq : Họ các khoảng khác rỗng, lồi và compac của R

KCpRn q : Họ các khoảng khác rỗng, lồi và compac của Rn

Fptq  fpt; fptqq : Hàm giá trị khoảng hay còn gọi là hàm khoảng.lenpAq : Độ dài của A

mpAq : Trung điểm của A

DpA, Bq : Khoảng cách Hausdorff giữa A và B

a gH : Hiệu Hukuhara tổng quát

DHXptq : Đạo hàm Hukuhara

DgHXptq : Đạo hàm Hukuhara tổng quát

DgHpiqFptq : Đạo hàm Hukuhara loại i

DgHpiiqFptq : Đạo hàm Hukuhara loại ii

Danh sách hình vẽ

2.1 Hàm khoảng F1ptq 22

2.2 Đạo hàm hàm F1ptq 22

2.3 Hàm khoảng F2ptq 22

2.4 Đạo hàm hàm F2 ptq 22

3.1 Hàm khoảng Fptq 27

3.2 Hàm lenpFptqq 27

3.3 Hàm khoảng Fptq 28

3.4 Hàm g 28

3.5 Hàm|g| 28

MỞ ĐẦU

1 ĐẶT VẤN ĐỀ

Giải tích khoảng là một nhánh mới của toán học ứng dụng, ra đời vào nhữngnăm năm mươi của thế kỉ 20 Những ý tưởng chính về Giải tích khoảng đượcđưa ra trong luận án tiến sĩ của R E Moore tại đại học Stanford vào năm 1962,sau đó được xuất bản thành sách với tiêu đề "Interval analysis" vào năm 1966.Năm 1991, tạp chí quốc tế "Interval Computation" được sáng lập là mốc sonđánh dấu bước phát triển của lĩnh vực này, (từ năm 1995, tạp chí này phát hànhdưới tên "Reliable Computation") Năm 1993, một hội nghị quốc tế về Giải tíchkhoảng được tổ chức tại Lafayette, LA Năm 1995, hội thảo quốc tế về ứng dụngcủa Giải tích khoảng được tổ chức tại EL Paso, Texas

Hàm khoảng là một lĩnh vực quan trọng trong Giải tích khoảng Hiện nay,

có nhiều nhà toán học nghiên cứu về các phép toán vi phân và tích phân trênhàm khoảng Từ đó đưa ra một số kết quả quan trọng, là công cụ đắc lực đểnghiên cứu phương trình vi phân khoảng, phương trình vi phân tập, lí thuyết

mờ, Trong tài liệu [4] đã giới thiệu hàm khoảng dạng đặc biệt Fptq  C.gptq

với C  ra; bs, gptq là hàm thực, từ đó đưa ra một số ứng dụng quan trọng

2 TỔNG QUAN TÀI LIỆU NGHIÊN CỨU

Có thể nói R E.Moore là người đặt nền móng cho sự phát triển của Giải tíchkhoảng, ông đã nghiên cứu và đưa ra những kiến thức cơ sở của Giải tích khoảng,

từ đó phát triển và ứng dụng Giải tích khoảng vào các lĩnh vực khác nhau xem[7] Khái niệm hàm khoảng được coi là trái tim của Giải tích khoảng Một tínhchất quan trọng của hàm khoảng là hiệu Hukuhara và đạo hàm Hukuhara đượcgiới thiệu bởi nhà toán học Hukuhara, ông sử dụng hiệu Hukuhara để xây dựngkhái niệm đạo hàm Hukuhara và đạo hàm Hukuhara tổng quát xem [6, 8], trên

cơ sở đó các nhà toán học đã nghiên cứu về phương trình vi phân khoảng và mở

rộng ra phương trình vi phân mờ, vi phân tập xem [5, 8] Gần đây, rất nhiều bàibáo dựa vào các tính chất của đạo hàm Hukuhara tổng quát đưa ra một số ứngdụng quan trọng xem [4] Do đó có rất nhiều nhà toán học quan tâm và đangtiếp tục nghiên cứu Trong đó có một số tác giả như: R E Moore (1966), L.Stefanini, B Bede (2012), Y Chalco-Cano, A Rufian-Lizana, H Roman-Flore(2013), Trong đề tài này chúng tôi mở rộng phép tính vi phân và tích phâncho hàm khoảng dạng đặc biệt Fptq  C.gptq với C  ra; bs, gptq là hàm thực.Hướng nghiên cứu của đề tài là mới và có ý nghĩa khoa học.

3 NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Đối tượng nghiên cứu

- Hàm khoảng, tính liên tục của nó, phép tính vi phân và tích phâncho hàmkhoảng

- Phép tính vi phân và tích phân cho hàm Fptq  C.gptq với C  ra; bs, gptq

là hàm thực

Nội dung nghiên cứu

- Trình bày các kiến thức cơ bản về hàm khoảng

- Đọc, hiểu và chứng minh chi tiết các định lí, mệnh đề, hệ quả liên quanđến đạo hàm và tích phân hàm khoảng, từ đó mở rộng cho hàm khoảng đặc biệt

Fptq C.gptq với C  ra; bs, gptq là hàm thực

- Trình bày một số ví dụ, bài tập

Phương pháp nghiên cứu

- Sưu tầm tài liệu trong và ngoài nước có liên quan đến đề tài

- Phân tích, tổng hợp các kết quả thu nhận được, hệ thống, tổng quát hóalại những vấn đề liên quan đến đề tài

Chương 2

Trong chương này chúng tôi trình bày chi tiết các khái niệm, ví dụ về phépđạo hàm và tích phân của hàm khoảng, giới thiệu khái niệm đạo hàm và tíchphân của hàm Fptq C.gptq, C là một khoảng, g là hàm thực Đưa ra điều kiệntồn tại đạo hàm cho hàm khoảng

Chương 3

Đây là chương thể hiện kết quả chính của luận văn Trong chương này chúngtôi trình bày chi tiết các tính chất, định lí, ví dụ về phép đạo hàm và tích phâncho hàm khoảng đồng thời đưa ra một số kết quả quan trọng

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi trình bày về định nghĩa khoảng trong R, cácphép toán và một số tính chất trên khoảng, cũng như các yếu tố khác của khoảngnhư trung điểm, độ dài, độ lớn, metric, dãy khoảng và giới hạn của dãy khoảngcùng các tính chất của nó Ngoài ra trong phạm vi của chương, tôi sẽ trình bày cácloại hiệu thông dụng trong Giải tích khoảng như hiệu Hukuhara, hiệu Hukuharatổng quát, và các tính chất của chúng Định nghĩa về hàm khoảng thông thường

và hàm khoảng đặc biệt Fptq  C.gptq với C là một khoảng, g là hàm thực Phầncuối chương trình bày tính liên liên tục, tính đo được của hàm khoảng Kiến thứctrong chương này tham khảo từ [1], [4], [7], [8]

Trong Giải tích khoảng ta sẽ xét trên các khoảng đóng và được xác định bởi

A  ra, as  ttP R{a ¤t¤au

1.1.1 Các phép toán trên khoảng

Cho λ PR và 2 khoảng A  ra, as, B  rb, bs bất kì Ta có:

Phép cộng: A B  ra b, a bs

Phép nhân

λ.A

$ ' '

rλ.a, λ.as, khi λ ¥0

rλ.a, λ.as, khi λ  0

A.B  rminS, maxSs với S  tab, ab, ab, abu.Phép trừ

A
B A p
Bq  ra
b, a
bs.Nghịch đảo

Giả thiết rằng 0 R A, khi đó nghịch đảo của khoảng A định nghĩa như sau



.Nếu a¤0¤a thì:

1

A 

$ ' ' ' ' '

&

' ' ' ' '

1.1.2 Một số tính chất cơ bản của khoảng

Cho A  ra, as, B b, b



, C  rc, cs là các khoảng trong KCpRq.i) A B B A a b, a b



;ii) A pB Cq  pA Bq C a b c, a b c



;iii) A 00 A A, 0P KCpRq;

iv) A.B B.A  rminS, maxSs Trong đó S  ta b, ab, ab, abu

A 1 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A tra, as |a0u;

viii) A
A 0 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A tra, as |aP Ru;

ix) A B A C ñB C;

x) λpµAq  pλµqA,@λ, µP R

1.1.3 Một số định nghĩa

Độ lớn, trung điểm và độ dài của khoảng

Cho khoảng A ra, as, ta nói độ lớn của khoảng A là khoảng cách lớn nhất từ

2 đầu của khoảng A đến khoảng 0 Kí hiệu là |A| và được tính bởi công thức

1.1.4 Các loại hiệu thông dụng trong giải tích khoảng

Khái niệm về hiệu 2 khoảng được đưa ra bởi Giáo sư Hukuhara, sau đó được

sử dụng nhiều trong phương trình vi phân Có nhiều ứng dụng quan trọng

Cho các khoảng A ra, as, B  rb, bs

Hiệu thông thường của hai khoảng

Ta nói hiệu A
B là hiệu MinKovski giữa hai khoảng A và B, xác định

A
B A p
Bq  ra
b, a
bs.Hiệu Hukuhara của hai khoảng

Cho A, B là hai khoảng và A, B P KC pRq nếu tồn tại khoảng C P KC pRq saocho AB C thì ta gọi C là hiệu Hukuhara của A và B

Kí hiệu C AaB Khi đó khoảng C  rc, cs xác định bởi ca
b và c a
b.Hiệu Hukuhara chỉ tồn tại khi và chỉ khi c¤c hay lenpAq ¥lenpBqvà C AaBduy nhất

v) Nếu tồn tại AaB và B aA sao cho AaB B aA thì A B;

vi) Nếu tồn tại AaB thì tồn tại p
Aq a p
Bq và p
Aq a p
Bq 
pAaBq.Hiệu Hukuhara tổng quát

Như định nghĩa trên ta thấy rằng hiệu Hukuhara có thể không tồn tại khilenpAq ¤lenpBq điều này gây khó khăn khi khảo sát khoảng cách giữa hai khoảng

Ta cần một hiệu mạnh hơn là hiệu Hukuhara tổng quát

Định nghĩa 1.1.1 [8] Cho hai khoảng A, B P KCpRq hiệu Hukuhara tổng quát(gH) của A, B kí hiệu Aa gH B và được định nghĩa như sau:

Aa gHB C ô

$ ' '

paqAB C khi len (A)¥ len (B)

pbqB A p
1qC khi len (A)  len (B)

Ví dụ 1.1.3 Cho các khoảng A  r1; 2s, B  r0; 3s

Ta có: Aa gH B  r
1; 1s và B a gH A r
1; 1s

Mệnh đề 1.1.4 [8] Cho hai khoảng A, B P KCpRq Khi đó

i) Hiệu Hukuhara tổng quát tồn tại và duy nhất Ta có

Aa gH B C  rc, cs

với

c minta
b, a
bu

c maxta
b, a
bu.ii) Aa gH A 0;

iii) pA Bq a gH B A;

iv) Nếu Aa gH B tồn tại theo trường hợp paq thì Ba gHA tồn tại theo trường hợp

pbq và ngược lại;

v) 0a gH pAa gBq  p
Bq a gH p
Aq;

vi) pA a g Bq  pB a g Aq  C nếu và chỉ nếu C  0 và A  B (chú ý rằng,

Định nghĩa 1.2.2 [4] Cho hàm khoảng F : T ÑKCpRq, Fptq C.gptq trong đó

C  ra, bs PKCpRq là khoảng đóng không đổi, g : T ÑR là hàm thực Khi đó, taxác định f ptq, f ptq như sau

fptq 

$ ' '

a.gptq nếu gptq ¥0b.gptq nếu gptq  0

, fptq 

$ ' '

b.gptq nếu gptq ¥ 0a.gptq nếu gptq  0Một tính chất quan trọng ở đây, fptq, fptq trong biểu thức trên không cần sai

số từ g Mặt khác, ta dễ dàng thấy rằng nếu f ptq, fptqkhả vi tại t0 thì g cũng khả

vi tại t0 Nhưng điều ngược lại thì không đúng

Ví dụ 1.2.1 Cho C  r
1; 2s và gptq  t3 t Hiển nhiên g là khả vi Hàm

f ptq, fptq xác định như sau

f ptq 

$ ' '

1.2.2 Một số phép toán của hàm khoảng

Cho các hàm khoảng và khoảng sau: F1ptq f1ptq, f1ptq, F2ptq f2ptq, f2ptq,

F1ptq aF2ptq nếu lenpF1ptqq ¥ lenpF2ptqq

pF2ptq aF1ptqq nếu lenpF1ptqq ¤ lenpF2ptqq

F1ptq.F2ptq  rmin Sptq, min Sptqs với

Sptq  !f1ptqf2ptq; f1ptqf2ptq; f1ptqf2ptq; f1ptqf2ptq)

Định nghĩa 1.3.1 [8] Cho hai khoảng bất kì A, B P KCpRq, A  ra, as và B 

rb, bs Khoảng cách Hausdorff giữa A và B (kí hiệu DpA, Bq) cho bởi công thức

DpA, Bq maxt|a
b|,|a
b|u.Mệnh đề 1.3.1 Cho các khoảng A, B, C, E P KCpRq, λP R Khi đó, ta có

i) DpA, Bq ¥ 0 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi AB;

ii) DpA C, B Cq DpA, Bq và DpA, Bq  DpB, Aq;

iii) DpλA, λBq DpλB, λAq  |λ| pA, Bq;

iv) DpA, Bq ¤ DpA, Cq DpC, Bq;

v) DpA C, B Eq ¤DpA, Bq DpC, Eq.

Hệ quả 1.3.2 Cho các khoảng A, B, C, E P KCpRq, λP R Khi đó, ta có

i) Nếu tồn tại AaB thì DpAaB, 0q DpA, Bq;

ii) Nếu tồn tại AaB, AaC thì DpAaB, AaCq DpB, Cq;

iii) Nếu tồn tại AaB, C aE thì DpAaB, CaEq DpA E, B Cq;

iv) Nếu tồn tại A aB, A a pB Cq thì tồn tại pAaBq a C và pAaBq a C 

Aa pB Cq

Nhận xét 1.3.3 Với A, B P KCpRq ta có DpA, Bq 0ôAaB 0

Định nghĩa 1.3.2 Cho F, G là các hàm khoảng xác định bởi T Ñ KCpRq Thứ

tự ¤ cho không gian các hàm khoảng như sau:

Xét lim

n Ñ 8Bn Ta có, limn Ñ 8

 p
1q n
1



$ ' '

0, n chẳn

2, n lẻVậy không tồn tại giới hạn của dãy Bn khi nÑ 8

Định lí 1.4.3 Nếu một dãy khoảng hội tụ trong KCpRq thì giới hạn đó là duynhất

Định nghĩa 1.4.3 Cho hàm khoảng F : T Ñ KCpRq, lấy t0 P T Ta nói L P

KCpRq là giới hạn của F tại t0 nếu @ε¡0,Dδ ¡0 thỏa mãn

C  ra, bs PKCpRq, g là hàm thực và t0 P T Nếu tồn tại lim

tÑt 0

gptq thì lim

tÑt 0

Fptq tồntại và

max

d Pra,bs.g 0

Dpd,ra, bsgptqq ¡ε (1.3)

Vậy tồn tại lim

t Ñt 0

Fptq và (1.1) luôn xảy ra

Chú ý 1.4.6 Chiều ngược lại thì không đúng

Ví dụ 1.4.7 Cho hàm g : R ÑR xác định bởi gptq 

$ ' '

t Ñ0Fptqq  r
2; 2s

Rõ ràng lim

t Ñ0Fptq tồn tại nhưng lim

t Ñ0gptq không tồn tại

Định lí 1.4.8 [4] Cho hàm khoảng F : T Ñ KCpRq với F ptq  C.gptq trong đó

C  ra, bs P KCpRq, g là hàm thực và t0 P T Nếu tồn tại lim

t Ñt 0

Fptq thì một trongcác trường hợp sau xảy ra

Chứng minh Theo định nghĩa hàm F ptq C.gptq Ta có

Fptq  rmintagptq, bgptqu, maxtagptq, bgptqus  rm1ptq, m2ptqs

• Nếu a b0 thì tồn tại lim

1.5.1 Tính liên tục của hàm khoảng

Cho hàm khoảng F : T ÑKCpRq thỏa F ptq f ptq, fptq và t0 P T

Định nghĩa 1.5.1 Hàm Fptq liên tục tại t0 P T khi và chỉ khi

Nhận xét 1.5.2 Hàm Fptq liên tục tại t0 P T khi và chỉ khi các hàm thực

f ptq, fptq liên tục tại t0 P T

Định nghĩa 1.5.4 Cho hàm khoảng F : T Ñ KCpRq thỏa F ptq  C.gptq và

t0 P T Hàm Fptq liên tục tại t0 P T khi và chỉ khi lim

t Ñt 0

Fptq Fpt0q.Định lí 1.5.3 Cho hàm khoảng F : T Ñ KCpRq thỏa F ptq  C.gptq và t0 P T Nếu g là hàm liên tục tại t0 thì F là hàm liên tục tại t0

Định lí 1.5.4 Cho hàm khoảng F : T Ñ KCpRq thỏa F ptq  C.gptq và t0 P T Nếu F là hàm liên tục tại t0 thì một trong các trường hợp sau xảy ra:

i) g liên tục tại t0;

ii) |g| liên tục tại t0 và a 
b

1.5.2 Tính đo được của hàm khoảng

Trong mục này, ta kí hiệu A là một σ-đại số các tập con của tập hợp T Cáctập thuộc A được gọi là các tập đo được Tập T xét với σ-đại số được gọi làkhông gian đo được Kí hiệu BpRq và BpKCpRqq lần lượt là σ-đại số Borel của R

và pKCpRq, Dq tức là B là σ-đại số nhỏ nhất chứa tất cả các tập mở của R và

pKCpRq, Dq

Các kết quả sau đây ở [5], ta phát biểu cho R1

Định nghĩa 1.5.5 Cho hàm khoảng F : T ÑKCpRq Ta nói F là đo được nếu

ttP T : F ptq € Bu P BpRq, @B PBpKCpRqq.hay ta có thể viết F
1pAq  ttP T : F ptq XA∅u với mọi tập A của R

Tính chất 1.5.1 Các khẳng định sau là tương đương:

piq F : T ÑKCpRq là đo được;

piiq F
1pBq P BpRq, @B P BpRq;

piiiq F
1pOq P BpRq với mọi tập mở O của R;

pivq F
1pCq P BpRq với mọi tập đóng C của R;

Trong phần này ta xét hàm khoảng F : T ÑKC pRq, Fptq f ptq, fptq.

2.1.1 Đạo hàm Hukuhara

Định nghĩa 2.1.1 [8] Cho hàm khoảng F : T Ñ KCpRq Ta nói rằng F có đạohàm Hukuhara tại t0 P T nếu tồn tại DHFpt0q PKCpRq sao cho với mọi h ¡0 đủnhỏ, tồn tại Fpt0 hq aFpt0q, Fpt0q aFpt0
hq và