Luận văn Một số tính chất của đồng cấu phức trên đại số banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊNPHAN HỮU THẾ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒNG CẤU PHỨC TRÊN ĐẠI SỐ BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Toán Giải Tích... Chẳng hạn như năm 1969

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN

PHAN HỮU THẾ

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒNG CẤU

PHỨC TRÊN ĐẠI SỐ BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Toán Giải Tích.

Mã số: 60.46.01.02

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Hữu Quang

ĐẮK LẮK, 2016

MỤC LỤC

Mục lục i

1.1 Đại số 31.2 Đồng cấu đại số 91.3 Đại số Banach 13

2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒNG CẤU PHỨC TRÊN ĐẠI

2.1 Đồng cấu phức 182.2 Một số tính chất của đồng cấu phức trên đại số Banach 202.3 Đồng cấu phức trên đại số con của đại số các toán tử 27

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướngdẫn của PGS.TS Nguyễn Hữu Quang

Các kết quả trong luận văn được sử dụng và trích dẫn chính xác

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Tây Nguyên dưới sự hướngdẫn tận tình, nghiêm khắc của thầy PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xinbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đã đặt bài toán và tận tình hướngdẫn tác giả trong quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn này

Trong quá trình học tập và nghiên cứu, thông qua các bài giảng, seminar,tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ cũng như có được những ý kiếnđóng góp quý báu của các Thầy Cô ở Trường Đại học Tây Nguyên Tác giả xinchân thành cảm ơn

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo nhà Trường Đại học Tây Nguyên,Phòng Sau đại học - Trường Đại học Tây Nguyên và Bộ môn Toán - Khoa KHTN

và CN - Trường Đại học Tây Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giảtrong thời gian học tập tại trường

Đặc biệt, cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn

bè, các học viên trong lớp Cao học Toán Giải tích K09 đã cộng tác, giúp đỡ tácgiả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Đắk Lắk, tháng 12 năm 2016

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT

MỞ ĐẦU

1 ĐẶT VẤN ĐỀ

Lý thuyết đại số Banach là lĩnh vực quan trọng của toán giải tích có lịch sửphát triển lâu dài của toán học gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà toán họcnổi tiếng trên thế giới như Von Neumann, Gelfand, Naimark

Lý thuyết đại số Banach có rất nhiều ứng dụng sâu sắc trong nhiều chuyênnghành của toán học, đặc biệt là ứng dụng trong nghiên cứu giải tích phức,đại số đều, lý thuyết toán tử, Chẳng hạn như năm 1969 Harris, Sibuya

và Weinberg ([6]) giới thiệu một lớp đại số Banach Hr các hàm phức mộtbiến là tổng của một chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đối trên đường tròn tâmtại gốc có bán kính r > 0 và lớp đại số này có rất nhiều ứng dụng thú vịtrong chứng minh sự tồn tại nghiệm của một lớp phương trình vi phân, định

lý chuẩn bị Weierstrass, định lý hàm ẩn,

Nhờ lý thuyết đại số Banach ta có thể chứng minh Định lí Wierner nói

về tính hội tụ tuyệt đối của chuỗi Fourier một cách ngắn gọn và lý thú Dovậy, lý thuyết về đại số Banach đã được trình bày trong nhiều tài liệu toánhọc (([1]), ([2]), ([4]), ([5]), ([7]))

Đồng cấu phức là một trong những vấn đề cơ bản của của Lý thuyết đại

số Banach, nó cho phép ta mô tả và tìm hiểu được một số đối tượng nhưideal cụ thể như, số các đồng cấu phức trên một đại số Banach phức giaohoán A chính là số các ideal cực đại của A ([8]), đồng cấu phức cũng chophép ta mô tả các và tìm hiểu các tính chất của đại số Banach con, .Dựa trên các tài liệu đã có và dưới sự hướng dẫn của Thầy PGS TS.Nguyễn Hữu Quang, chúng tôi chọn đề tài: " Một số tính chất của đồngcấu phức trên đại số Banach." Mục đích của luận văn là tập hợp và trình

bày lại các kiến thức về đồng cấu phức một cách chi tiết và trình bày theomột logic nhất định phù hợp với nội dung và cấu trúc của luận văn NgoàiPhần mở đầu, Kết luận, và Danh mục tài liệu tham khảo, Luận văn được bốcục thành hai chương

2 NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

• Đối tượng nghiên cứu

- Đại số

- Đại số Banach

• Nội dung nghiên cứu

- Trình bày và chứng minh một số tính chất của đồng cấu phức trên đại

số Banach

• Phương pháp nghiên cứu

- Sưu tầm tài liệu trong và ngoài nước có liên quan đến đề tài

- Phân tích, tổng hợp các kết quả thu nhận được, hệ thống, tổng quáthóa lại những vấn đề liên quan đến đề tài

3 BỐ CỤC LUẬN VĂN

Luận văn được chia làm 2 chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm cơ bản, một số ví

dụ của đại số và đại số Banach làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chínhcủa luận văn

Chương 2 Một số tính chất của đồng cấu phức trên đại số BanachĐây là chương thể hiện kết quả chính của luận văn Trong chương này,chúng tôi sẽ trình bày định nghĩa, ví dụ và chứng minh một số tính chất củađồng cấu phức trên đại số Banach

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm cơ bản, một số ví dụcủa đại số, đồng cấu đại số và đại số Banach làm cơ sở cho việc trình bày nộidung chính của luận văn

1.1 Đại số

Định nghĩa 1.1.1 ([2]) Giả sử K là một trường (K = R,C) và G là khônggian vecto trên K Khi đó G được gọi là đại số trên K nếu G được trang bịthêm một phép toán tích trong "•" với

• : G × G → G(f, g) 7→ f g

Ví dụ 1.1.2 Ta kí hiệu Mn = {A = (aij) |aij ∈ R}, A là ma trận vuông thựccấp n.

Với mọi A = (aij) , B = (bij) , C = (cij) ∈ Mn và λ ∈ R, các phép toán trên

Mn được xác định như sau

Khi đó Mn là một đại số trên R

Thật vậy, với hai phép toán (i) và (ii), Mn lập thành một môđun Ta kiểmtra tính chất song tuyến tính của phép tích trong

Do đó E = (λA)B = λ(AB).

Suy ra A(λB) = (λA)B = λ(AB)

Ví dụ 1.1.3 Với mọi a (a1, a2, a3) , b (b1, b2, b3) ∈ R3 và λ ∈ R, ta trang bị ba

phép toán

(i) a + b = (a1+ b1, a2+ b2, a3 + b3);

(ii) λa = (λa1, λa2, λa3);

(iii) a ∧ b = (a2b3 − a3b2, a3b1− a1b3, a1b2 − a2b1)

Khi đó R3 cùng với ba phép toán trên lập thành một đại số trên R

Thật vậy, với hai phép toán (i) và (ii), R3 lập thành một không gian véctơ

Ta kiểm tra tính chất song tuyến tính của phép tích trong

• Trong luận văn này xét G là đại số kết hợp.

•Nếu tích trong có tính chất giao hoán thì Gđược gọi là đại số giao hoán; Nếu

tích trong có tính chất kết hợp thì G được gọi là đại số kết hợp; Nếu ab = 0

với mọi a, b ∈ G thì G được gọi là đại số tầm thường;

• Giả sử C là một tập con của đại số G Khi đó C được gọi là đại số con của

G nếu C khép kín với các phép toán trên G;

• Giả sử C là một đại số con của đại số G Khi đó C được gọi là iđêan của G

nếu với mọi g ∈ C, f ∈ G thì gf ∈ C

Giả sử I là một iđêan của đại số G Ta kí hiệu G/I = {f + I|f ∈ G}

G/I được trang bị các phép toán như sau :

Định nghĩa 1.2.1 ([3]) Giả sửG và G0 là hai đại số trên K Ánh xạ ϕ : G →

G0 được gọi là một đồng cấu đại số nếu ϕ thỏa mãn các điều kiện sau

(i) ϕ (af + bg) = aϕ (f ) + bϕ (g) ; với mọi f, g ∈ G, a, b ∈ K;

(ii) ϕ (f g) = ϕ (f ) ϕ (g) ; với mọi f, g ∈ G

b) Xét ánh xạ ϕx

ϕx : R3 →R3

a 7→ a ∧ x; xcố định

Khi đó ϕx là một đồng cấu đại số

Thật vậy, với mọi a (a1, a2, a3) , b (b1, b2, b3) , x (x1, x2, x3) ∈ R3; α, β ∈ R,

ta có

• ϕx(αa + βb) = (αa + βb) ∧ x

= ((αa2+ βb2) x3− (αa3+ βb3) x2; (αa3+ βb3) x1

− (αa1 + βb1) x3; (αa1 + βb1) x2 − (αa2 + βb2) x1)

= (α (a2x3− a3x2) + β (b2x3− b3x2) ; α (a3x1 − a1x3)

+ β (b3x1− b1x3) ; α (a1x2 − a2x1) + β (b1x2− b2x1))

= α (a2x3− a3x2; a3x1 − a1x3; a1x2− a2x1)+ β (b2x3− b3x2; b3x1− b1x3; b1x2 − b2x1)

Khi đó ϕ−1 : G0 → G cũng là một đẳng cấu đại số

Thật vậy, vì ϕ là đẳng cấu nên ϕ là song ánh, do đó ϕ−1 cũng là song ánh Takiểm tra tính đẳng cấu của ϕ−1

b) Kerϕ = {f ∈ G|ϕ (f ) = 0} là một iđêan của G.

Thật vậy, mọi f, g, ∈ Kerϕ; h ∈ G và a ∈ K, ta có

• ϕ(f − g) = ϕ(f ) − ϕ(g) = 0 Suy ra f − g ∈ Kerϕ

• ϕ(af ) = aϕ(f ) = 0 hay af ∈ Kerϕ

• ϕ(f.h) = ϕ(f ).ϕ(h) = 0 Do đó f g ∈ Kerϕ

Vậy Kerϕ là một iđêan của G

c) Imϕ = {g0 ∈ G0|g0 = ϕ (g) , g ∈ G} là đại số con của G

Thật vậy, với mọi f0, g0 ∈ Imϕ; α ∈ K và f0 = ϕ(f ), g0 = ϕ(g), ta có

• f0+ g0 = ϕ(f ) + ϕ(g) = ϕ(f + g) Suy ra f0+ g0 ∈ Imϕ

• af0 = aϕ(f ) = ϕ(af ) Do đó af0 ∈ Imϕ

• f0.g0 = ϕ(f ).ϕ(g) = ϕ(f.g) Từ đó ta có f0.g0 ∈ Imϕ

Vậy Imϕ là một đại số con của G

Mệnh đề 1.2.1 ([4]) Giả sử G, G0, G00 là các đại số trên vành K Các ánh

xạ ϕ : G → G0 và ψ : G0 → G00 là các đồng cấu đại số Khi đó ánh xạ

ψ ◦ ϕ : G → G00 cũng là một đồng cấu đại số

Chứng minh Với mọi f, g ∈ G; a, b ∈ K, ta có

Mệnh đề 1.2.2 ([4]) AutG cùng với phép tích ánh xạ lập thành một nhóm.Chứng minh.

• Với mọi ϕ1, ϕ2, ϕ3 ∈ AutG; f ∈ G, ta có

Tương tự e ◦ ϕ = ϕ Do đó e là phần tử trung hòa của AutG.

1) A là một không gian Banach với chuẩn k·k nào đó cho trước;

2) kxyk ≤ kxk kyk , với mọi x, y ∈ A;

3) Tồn tại e ∈ A sao cho ex = xe = x, ∀x ∈A ;

4) kek = 1

• Phần tử e được gọi là đơn vị của A Trong suốt chương này ta khảo sát đại

số Banach giao hoán có đơn vị e

• Phân tử x ∈ A được gọi là khả nghịch trong A nếu tồn tại y := x−1 ∈ A

Ví dụ 1.3.1 Ta có A = C và các phép nhân các số phức theo nghĩa thôngthường là một đại số Banach có đơn vị e = 1, thật vậy

+) (C+, ) là một không giam vecto

kz1k kz2k ;+) kek = k1k = 1

Vậy C là đại số Banach

Ví dụ 1.3.2 Giả sử A là không gian Banach Ta kí hiệu

L(A ) = 

f :A → A |f tuyến tính và liên tục

Ta trang bị các phép toán trên L(A ) là:

1)(f + g)(x) = f (x) + g(x); ∀f, g ∈ B(E), x ∈ E

2)(λ.f )(x) = λ.f (x); ∀λ ∈ K, f ∈ B(E), x ∈ E

3)(f.g)(x) = f (g(x)); ∀f, g ∈ B(E), x ∈ E

Khi đó L(A ) là một đại số Banach Thật vậy,

Trên L(A ) được trang bị chuẩn kf k = sup

kxk=1

kf (x)k

Khi đó L(A ) là một không gian Banach

Ở đây ta cần kiểm tra các tính chất của đại số Banach đối với L(A )

∗, k·k) là một không gian Banach, thật vậy:

Giả sử {xn} là dãy Cauchy trong R2

∗ khi đó:

∀ > 0, ∃k ∈N, sao cho ∀m, n ≥ k ta có

kxm − xnk < 

Chương 2

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒNG CẤU PHỨC TRÊN ĐẠI SỐ

BANACH

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày định nghĩa, ví dụ của đồng cấuphức Chứng minh một số tính chất cơ bản của đồng cấu phức trên đại số Ba-nach Trình bày đồng cấu phức trên đại số con của đại số các toán tử Và đâycũng chính là vấn đề chính của luận văn

2.1 Đồng cấu phức

Định nghĩa 2.1.1 ([1]) Cho A là một đại số phức Ánh xạ tuyến tính

h : A 7−→ Cđược gọi là một đồng cấu phức nếu h 66≡ 0 và h(xy) = h(x)h(y) với mọi

+ ∀a = (a0, a1), b = (b0, b1) ∈ R2∗, ∀λ ∈ C ta có:

• ϕ(a + b) = ϕ(a0+ b0, a1+ b1) = a0+ a1 = ϕ(a) + ϕ(b)

• ϕ(αa) = ϕ(αa0, αa1) = αa0 = αa

• ϕ(ab) = ϕ(a0b0, a0b1 + a1b0) = a0b0 = ϕ(a)ϕ(b.)

Chứng tỏ ϕ là đồng cấu phức

Ví dụ 2.1.2 Giả sử X là không gian Hausdorf và compact C(X) là đại sốBanach giao hoán có đơn vị Ta xét ánh xạ, ∀x ∈ X; hx : C(X) → C cho bởi

f 7→ hx = f (x), ∀f ∈ C(X)

Khi đó, hx là một đồng cấu phức trên C(X)

Chứng minh với mọi α ∈ C, f, g ∈ C(X), ta có

2.2 Một số tính chất của đồng cấu phức trên đại số Banach

Mệnh đề 2.2.1 ([5]) Giả sử ϕ 6= 0 là một đồng cấu phức trên đại số phức A

e = (e − x)s = s(e − x)

3) Ta chỉ ra với mọi λ ∈C mà |λ| ≥ 1 thì ϕ(x) 6= λ Thật vậy, vì |λ| ≥ 1 nên

kλ−1xk < 1 Do đó e − λ−1x khả nghịch trong A Bởi vậy theo Mệnh đề 2.2.1

Nếu λ 6= 0, thì a = λ(e − x

λ). Khi đó ta có:

e − x

λ ≥ 1,

bởi thế vì nếu ngược lại thì x

λ khả nghịch Do đó ϕ(x) 6= 0,điều này mâu thuẩn

Vì |ϕ(an)| ≤ kank ≤ kakn = 1 nên f là hàm nguyên và |f (λ)| ≤ e|λ|, ∀λ ∈ C

Hơn nữa, f (0) = ϕ(e) = 1 và f0(0) = ϕ(a) = 0 Vấn đề còn lại là chứng minh

Chuỗi này hội tụ trongA với mọi λ ∈ C Từ tính tuyến tính và liên tục của ϕ

suy ra

f (λ) = ϕ(E(λ)), ∀λ ∈ C.E(λ + µ) = E(λ) + E(µ)với mọi λ, µ ∈C.Đặc biệt E(0) = E(λ)E(−λ) = e

Do đó E(λ) khả nghịch với mọi λ ∈C Vì vậy f (λ) = ϕ(E(λ)) 6= 0, ∀λ ∈ C

Vì vậy f (λ) = 1 với mọi λ ∈ C Suy ra ϕ(a2) = 0, tức là a2 ∈ N

Bây giờ ta chứng minh nếu x ∈ N và y ∈ A thì xy ∈ N Thật vậy, từ

ϕ(e) = 1 ta suy ra

y = a + ϕ(y)e, a ∈ N.Theo chứng minh trên ta có a2 ∈ A Do đó

ϕ(y2) = ϕ(a2+ a(ϕ(y)e) + (ϕ(y)e)a + (ϕ(y))2e) = (ϕ(y))2 (2.4)

Thay y bởi x + y ta được

ϕ(xy + yx) = 2ϕ(x)ϕ(y) = 0

Từ đó suy ra xy + yx ∈ N nếu x ∈ N và y ∈ A Mặt khác từ đồng nhất thức

(xy − yx)2+ (xy + yx)2 = 2(x(yxy) + (yxy)x)

và chứng minh trên suy ra (xy − yx)2 ∈ N từ (2.4) suy ra xy − yx ∈ N

Kết hợp với xy + yx ∈ N ta nhận được xy ∈ N

Cuối cùng giả sử x, y ∈ A Viết lại x, y dưới dạng

x = a + ϕ(x)e, y = b + ϕ(y)e với a, b ∈ N

Ta có xy = ab + aϕ(y) + ϕ(x)b + ϕ(x)ϕ(y)e

Do đó

ϕ(xy) = ϕ(ab + aϕ(y) + ϕ(x)b + ϕ(x)ϕ(y)e)

= ϕ(x)ϕ(y)ϕ(e) = ϕ(x)ϕ(y)

Định nghĩa 2.2.1 ([1]) Cho A là một đại số Banach giao hoán Tập con

J ⊂ A được gọi là một ideal nếu J là một không gian con của A và f g ∈ J

iii) Mọi ideal cực đại đều là tập đóng

iv) Nếu ideal J là cực đại thì A /J là đẳng cấu, đẳng cự với C

Chứng minh i) Cho J là một ideal thực sự của A Gọi F là tập tất cả cácideal thực sự của A chứa J khi đó, vì J ∈ Fnên F 6= 0 Trên F ta xét

quan hệ thứ tự bộ phận là quan hệ bao hàm Giả sử F là họ con sắp thứ tựcủa F Khi đó dễ dàng kiểm tra được

kx1x2+ J k = k(x1 + J )(x2+ J )k ≤ kx1+ J k kx2+ J k

Rõ ràng e + J là đơn vị của A /J Hơn nữa, từ

ke + Jk = ke2 + J k = k(e + J )(e + J )k ≤ ke + J k2

suy ra ke + Jk ≥ 1 Mặt khác

ke + Jk = inf {ke + yk : y ∈ J} ≤ ke + 0k = kek = 1

Do đó ke + Jk = 1 Vì vậy A /J là một đại số Banach giao hoán

iii) Đầu tiên ta chứng minh J là một ideal thực sự của A thì J cũng là mộtideal thực sự của A Việc kiểm tra J là một ideal là dễ dàng Vấn đề còn lại

là chứng minh J là ideal thực sự Thật vậy, giả sử J = A Khi đó tồn tại

f ∈ A sao cho f−1 ∈ J Từ đó suy ra f−1 ∈ ∂J Mặt khác vì G(A ) mở và

f−1 ∈ G(A ) nên G(A ) ∩ J 6= ∅ Do đó tồn tại g ∈ G(A ) ∩ J, suy ra

e = gg−1 ∈ J

Ta nhận được J = A , ddieuf này mâu thuẫn với J là ideal thực sự

iv) Nếu J là ideal cực đại thì A /J là một trường Thật vậy, lấy a + J là mộtphần tử khác không của A /J Khi đó, do J là không gian con của A , ta có

a /∈ J Chú ý rằng J0 := aA + J là một ideal của A, hơn nữa a ∈ J0 và

J ⊂ J0 Do tính tối đại của J, ta phải có A = J0 Do đó tồn tại b ∈ A , c ∈ J

sao cho e = ab + c Vậy

Định lí 2.2.3 ([5]) Nếu ϕ ∈ ∆A thì kerϕ là một ideal cực đại

Chứng minh Rõ ràng kerϕ 6= ∅ vì ϕ(0) = 0

∀x, y ∈ kerϕ; ∀α, β ∈ C Ta có:

ϕ(αx + βy) = αϕ(x) + βϕ(y) = 0 −→ αx + βy ∈ kerϕ

Suy ra kerϕ là một không gian vecto con

Lấy bất kì a ∈ kerϕ, bất kì x ∈ A Ta có: ϕ(ax) = ϕ(a)ϕ(x) = 0.ϕ(x) = 0

Suy ra ax ∈ kerϕ là một ideal của A

Để chứng minh kerϕ là ideal cực đại, ta cần chứng minh A /kerϕ là mộttrường, tức là x + kerϕ khả nghịch trong A /kerϕ với mọi x không thuộc

ker ϕ

Thật vậy, từ x không thuộc kerϕ suy ra ϕ(x) = λ 6= 0 Khi đó:

ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) = λϕ(e)

λ = ϕ(e.)

Từ đó suy ra xy − e ∈ kerϕ tức là xy + kerϕ = e + kerϕ Do đó:

(x + kerϕ)(y + kerϕ) = xy + kerϕ = e + kerϕ

Như vậy x + kerϕ khả nghịch trong A /kerϕ

Định lí 2.2.4 ([5]) Ánh xạ f : ∆A → MA xác định bởi

f (ϕ) := kerϕ,

là song ánh

Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh kerϕ là ideal cực đại Để có điều này

ta cần chứng minh A /kerϕ là một trường, tức là x + kerϕ khả nghịch trong

A /kerϕ với mọi x /∈ kerϕ Thật vậy, từ x /∈ kerϕ ta suy ra ϕ(x) = λ 6= 0

Đặt y = e

λ Khi đó

ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) = λϕ(e)

λ = ϕ(e).

Từ đó suy ra xy − e ∈ kerϕ, tức là xy + kerϕ = e + kerϕ Do đó

(x + kerϕ)(y + kerϕ) = xy + kerϕ = e + kerϕ

Như vậy x + kerϕ là khả nghịch trong A /kerϕ Chứng minh trên chứng tỏánh xạ f hoàn toàn xác định.Tiếp theo ta chứng minh f đơn ánh.

Giả sử ϕ1, ϕ2 ∈ ∆A sao cho f (ϕ1) = f (ϕ2), tức là kerϕ1 = kerϕ2 ta cầnchứng tỏ ϕ1 = ϕ2 Giả sử ngược lại ϕ1 6= ϕ2 Khi đó tồn tại a ∈ A sao cho

ϕ1(a) 6= ϕ2(a) Đặt λ = ϕ1(a) Ta có a − λe ∈ kerϕ1 Do đó a − λe ∈ kerϕ2,

suy ra ϕ2(a) = λϕ(e) = λ Điều này mâu thuẫn ϕ2(a) 6= λ = ϕ1(a)

2.3 Đồng cấu phức trên đại số con của đại số các toán tử

Nếu A là đại số Banach giao hoán thì tồn tại ít nhất đồng cấu phức trên nó.Nhưng trong đại số Banach không giao hoán thì điều này không còn đúng nữa.Đại số các toán tử không giao hoán, do đó có thể không có đồng cấu phức trênnó

Ví dụ 2.3.1 Lấy A = M2, đại số gồm tất cả các ma trận vuông phức cấp 2

Ta biết A đẳng cấu với L(C2) - đại số Banach các toán tử tuyến tính liên tục