Luận văn Điểm bất động chung của các ánh xạ co suy rộng trong không gian meetric riêng

Để tập dượt nghiên cứu khoa học, chúng tôi tiếp cận hướng nghiên cứunày nhằm tìm hiểu một cách có hệ thống các tính chất và mối quan hệ giữacác ánh xạ co suy rộng, các kết quả về điểm bấ

Nguyễn Thị Phượng

Điểm bất động chung

của các ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng

Luận văn Thạc sĩ Toán học

Đắk Lắk - 2016

Nguyễn Thị Phượng

Điểm bất động chung

của các ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng

Luận văn Thạc sĩ Toán học

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60.46.01.02

Cán bộ hướng dẫn khoa họcPGS TS Trần Văn Ân

Đắk Lắk - 2016

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các kếtquả trong luận văn được sử dụng và trích dẫn chính xác, rõ ràng

Đắk Lắk, ngày 02 tháng 11 năm 2016

Người cam đoan

Nguyễn Thị Phượng

điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả hoàn thành nhiệm vụ trong suốt quátrình học tập.

Mặc dù có nhiều cố gắng, nỗ lực phấn đấu học tập và nghiên cứu songluận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận đượcnhững ý kiến đóng góp của quí Thầy Cô, đồng nghiệp và bạn đọc để luậnvăn được hoàn thiện hơn

Đắk Lắk, ngày 02 tháng 11 năm 2016

Học viênNguyễn Thị Phượng

Mục Lục

Trang

Chương 1 Điểm bất động chung của các ánh xạ co trong không gian

1.1 Các kiến thức chuẩn bị . 11.2 Điểm bất động chung của các ánh xạ co trong không gian

mêtric riêng . 6Chương 2 Điểm trùng nhau và điểm bất động chung của các ánh xạ co

2.1 Điểm trùng nhau và điểm bất động chung của các ánh xạ co suyrộng trong không gian mêtric riêng 152.2 Điểm bất động chung của các ánh xạ co yếu suy rộng trong khônggian mêtric riêng 30

Danh môc c¸c kÝ hiÖu

[a, b] : §o¹n[a, b],hay tËp hîp {x ∈ R |a ≤ x ≤ b}

[a, b) : Nöa kho¶ng[a, b),hay tËp hîp {x ∈ R : a ≤ x < b}

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Lí thuyết điểm bất động là một trong những chủ đề nghiên cứu quantrọng của giải tích Nó có nhiều ứng dụng trong toán học và các ngành kĩthuật Kết quả quan trọng đầu tiên phải kể đến trong lí thuyết điểm bất

động là nguyên lí ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ của Banach.Nguyên lí ánh xạ co Banach đã trở thành một công cụ phổ dụng để giảiquyết các bài toán về sự tồn tại trong nhiều ngành của Giải tích toán học

và các ứng dụng của nó Vì thế đã có một số lớn các mở rộng của định lí cơbản này cho các lớp ánh xạ và không gian khác nhau, bằng cách điều chỉnh

điều kiện co cơ bản hoặc thay đổi không gian

Đã có nhiều mở rộng khái niệm không gian mêtric Năm 1994, S G.Matthews đã giới thiệu khái niệm không gian mêtric riêng, như là một mởrộng của không gian mêtric mà trong định nghĩa của nó điều kiệnd(x, x) =

0 được thay thế bằng điều kiện d(x, x) ≤ d(x, y) Trong bài báo đó, ông

đã nghiên cứu các tính chất của dãy hội tụ trong không gian mêtric riêngcũng như chứng minh một số định lý điểm bất động cho các ánh xạ co trênkhông gian mêtric riêng Gần đây, nhiều nhà toán học khác như S O'Neill,

M A Bukatin, J S Scott, S Y Shorina, S Romaguera, M Schellekens,

S Oltra, O Valero, Z, Kadelburg, cũng đã tập trung nghiên cứu theohướng này và đã thu được các định lý điểm bất động chung của các ánhxạ co suy rộng, điểm bất động chung của các ánh xạ co yếu suy rộng trongkhông gian mêtric riêng

Để tập dượt nghiên cứu khoa học, chúng tôi tiếp cận hướng nghiên cứunày nhằm tìm hiểu một cách có hệ thống các tính chất và mối quan hệ giữacác ánh xạ co suy rộng, các kết quả về điểm bất động chung của các ánhxạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng Trên cơ sở các tài liệu thamkhảo và dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Trần Văn Ân, chúng tôi

đã thực hiện đề tài: "Điểm bất động chung của các ánh xạ co suy rộng trongkhông gian mêtric riêng".

2 Mục tiêu của đề tài

Nhằm nghiên cứu các tính chất và mối quan hệ giữa các ánh xạ co suyrộng, nghiên cứu các kết quả về điểm bất động chung của các ánh xạ co suyrộng trong không gian mêtric riêng

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu là không gian mêtric riêng, dãy Cauchy, khônggian mêtric riêng đầy đủ, tôpô sinh bởi mêtric riêng, không gian mêtricriêng 0-đầy đủ, dãy 0-Cauchy, điểm bất động, điểm bất động chung, điềukiện co, ánh xạ co, ánh xạ ϕ co, các điều kiện co yếu suy rộng, ánh xạ coyếu suy rộng, ánh xạ tương thích yếu, điểm trùng nhau, điểm trùng hợp,

điểm bất động và điểm bất động chung của ánh xạ co suy rộng, điểm bất

động và điểm bất động chung của các ánh xạ co yếu suy rộng,

- Phạm vi nghiên cứu là các tính chất và mối quan hệ giữa các đối tượngtrên; các định lí điểm bất động và định lý điểm bất động chung của ánh xạ

co suy rộng, ánh xạ co yếu suy rộng, các ví dụ minh họa cho các khái niệmtrên và hiệu lực của các kết quả đưa ra

4 Phương pháp nghiên cứu

- Dùng các phương pháp nghiên cứu trong giải tích, tôpô, giải tích hàm

- Sử dụng các phương pháp nghiên cứu Toán lý thuyết

5 Nội dung nghiên cứu

- Nghiên cứu các tính chất của các ánh xạ co suy rộng, ánh xạ co yếusuy rộng, mối quan hệ của chúng, các định lý điểm bất động chung của các

ánh xạ co suy rộng, các định lý điểm bất động và các định lý điểm bất độngchung của các ánh xạ co yếu suy rộng trong không gian mêtric riêng

- Đưa ra và chứng minh các nhận xét mới về các tính chất và mối qua

hệ giữa các ánh xạ co suy rộng, ánh xạ co yếu suy rộng, điểm bất động,

điểm bất động chung của các ánh xạ trên không gian mêtric riêng và một

số ví dụ minh họa

điều kiện co suy rộng, các điều kiện co yếu suy rộng, ánh xạ co, ánh xạϕ-co,

ánh xạ co suy rộng, ánh xạ co yếu suy rộng Trình bày một số tính chấtcủa mêtric riêng và một số định lý về điểm bất động của các ánh xạ co suyrộng, định lý về điểm bất động chung của các ánh xạ co yếu suy rộng Cho

ví dụ minh họa về các ánh xạ đó Trình bày một số tính chất của các kháiniệm và một số kết quả cần dùng cho các trình bày về sau Mục 2 trình bàymột số kết quả về điểm trùng nhau của các ánh xạ và một số định lý điểmbất động chung của các ánh xạ tương thích yếu Chứng minh chi tiết các

định lý đó Ngoài ra còn trình bày các hệ quả và các ví dụ minh họa Chương 2, với nhan đề Điểm trùng nhau và điểm bất động chung củacác ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng Trong chương này,mục 1 chúng tôi trình bày một số định lý về điểm trùng nhau của các ánhxạ và một số định lý về điểm bất động chung của các ánh xạ co suy rộngtrong không gian mêtric riêng Chứng minh chi tiết các định lý đó Trìnhbày một số hệ quả và các ví dụ minh họa Mục 2 dành cho việc trình bàymột số định lý về điểm bất động chung của các ánh xạ co yếu suy rộngtrong không gian mêtric riêng Chứng minh chi tiết các định lý đó Trìnhbày một số hệ quả và ví dụ minh họa, chứng minh chi tiết về các kết quả

đó

chương 1

Điểm bất động chung của các ánh xạ co

trong không gian mêtric riêng

Phần này chúng tôi giới thiệu một số kiến thức làm cơ sở cho việctrình bày của luận văn gồm: Mêtric riêng, không gian mêtric riêng, khônggian mêtric riêng đầy đủ, tôpô sinh bởi mêtric riêng, dãy0-Cauchy, khônggian mêtric riêng0-đầy đủ, điểm bất động, điểm bất động chung, các điềukiện co suy rộng, các điều kiện co yếu suy rộng, ánh xạ co, ánh xạ ϕ-co,

ánh xạ co suy rộng, ánh xạ co yếu suy rộng Trình bày một số tính chấtcủa mêtric riêng và một số định lý về điểm bất động của các ánh xạ co suyrộng

Ví dụ 1.1.2 1) Cho X = R+, p : X ì X → R+ xác định bởi p (x, y) =

max {x, y}, với mọi x, y ∈ X Khi đó, (X, p) là một không gian mêtricriêng

Thật vậy, ta thấypthỏa mãn điều kiện (1), (2), (3) của Định nghĩa 1.1.1.Mặt khác vì vai trò củax, y, z như nhau nên không mất tính tổng quát ta

giả sửx ≤ y ≤ z Khi đó ta có max {x, z} ≤ max {x, y} + max {y, z} − max {y, y}hay p (x, z) ≤ p (x, y) + p (y, z) − p (y, y) với mọi x, y, z ∈ X

Vậy p thỏa mãn điều kiện (4) của Định nghĩa 1.1.1 Do đó (X, p) là một

không gian mêtric riêng

2) Cho X = R− = {x ∈ R : x ≤ 0}, với x, y ∈ R−, ta định nghĩa

p (x, y) = − min {x, y} Khi đó,plà một mêtric riêng trênR−

3) Cho X = [0, 1], với x, y ∈ X, ta định nghĩap (x, y) = emax{x,y}− 1

thìplà một mêtric riêng trênX

Nhận xét1.1.3 ([13]) Dễ thấy rằng nếuplà mêtric riêng trênX thì hàm

sốps : X ìX → [0, ∞)được cho bởips(x, y) = 2p (x, y)−p (x, x)−p (y, y)

với mọix, y ∈ X là một mêtric trênX

Định nghĩa 1.1.4 ([13]) Cho (X, p) là không gian mêtric riêng, x ∈ X

Bp(y, δ) là các hình cầu mở tùy ý trong không gian mêtric riêng (X, p)

vàBp(x, ε) ∩ Bp(y, δ) 6= φ Khi đó, với mỗi z ∈ Bp(x, ε) ∩ Bp(y, δ)ta có

Bp(z, η) ⊂ Bp(x, ε)∩Bp(y, δ), vớiη := p (z, z)+min {ε − p (x, z) , δ − p (y, z)}.Vậy định lý được chứng minh

Định nghĩa 1.1.6 ([13])

Cho(X, p)là không gian mêtric riêng và dãy{xn} ⊂ X Khi đó

(1) Dãy{xn}được gọi là hội tụ tới điểmx ∈ Xnếup (x, x) = lim

n→∞p (x, xn).(2) Dãy{xn} được gọi là dãy Cauchy nếu lim

n,m→∞p (xn, xm) tồn tại vàhữu hạn

(3) Không gian mêtric riêng (X, p) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãyCauchy {xn} trong X đều hội tụ tới điểm x ∈ X sao chop (x, x) = lim

n,m→∞p (xn, xm)

(4) Dãy{xn}trong không gian mêtric riêng(X, p) được gọi là0-Cauchynếu lim

n,m→+∞p(xn, xm) = 0

(5) Không gian(X, p)được gọi là0-đầy đủ nếu mọi dãy 0-Cauchy trong

X đều hội tụ theo tôpôτp, đến điểm x ∈ X sao cho p(x, x) = 0

(6) ánh xạ f : X → X được gọi là liên tục tại điểmx0 ∈ X nếu với mọi

ε > 0, tồn tại sốδ > 0 sao chof (Bp(x0, δ)) ⊂ Bp(f x0, ε)

Nhận xét 1.1.7 1) Nếu dãy {xn} hội tụ trong không gian mêtric riêng(X, p), thì nó là dãy Cauchy

2) Nếu dãy{xn}là dãy Cauchy trong không gian mêtric riêngX và códãy con{xnk}hội tụ về điểmx ∈ X, thì dãy {xn}cũng hội tụ về x

3) Nếu M là tập con đóng của không gian mêtric riêng đầy đủ (X, p)thìM là đầy đủ

Bổ đề 1.1.8 ([13]) Giả sử (X, p) là không gian mêtric riêng Khi đó

(i) {xn} là dãy Cauchy trong không gian mêtric riêng (X, p) nếu vàchỉ nếu nó là dãy Cauchy trong không gian mêtric (X, ps)

(ii) Không gian mêtric riêng(X, p)là đầy đủ nếu và chỉ nếu không gianmêtric(X, ps) là đầy đủ Hơn nữa, lim

n→+∞ps(xn, x) = 0 nếu và chỉnếu

n=1

ϕn(t) hội tụ, với mọi t > 0 Khi đó, T có một

điểm bất động duy nhất

Bổ đề1.1.10 ([11]) Giả sử(X, d)là không gian mêtric và{yn}là một dãytrongX sao cho{d(yn, yn+1)} là không tăng và lim

n→∞d(yn, yn+1) = 0 Nếudãy{y2n}không là dãy Cauchy, thì tồn tạiε > 0và hai dãy các số nguyêndương{mk}và {nk}sao cho mk > nk > k và bốn dãy sau đây

{d(y2mk, y2nk)}, {d(y2mk, y2nk+1)}, {d(y2mk−1, y2nk)}, {d(y2mk−1, y2nk+1)}

dần tớiεkhi k → ∞

Bổ đề1.1.11 ([11]) Giả sử(X, p)là không gian mêtric riêng và{yn}là mộtdãy trongX sao cho {p(yn, yn+1)} là không tăng và lim

n→∞p(yn, yn+1) = 0.Nếu{y2n}không là dãy Cauchy, thì tồn tạiε > 0và hai dãy nguyên dương{mk}và {nk}sao cho mk > nk > k và bốn dãy sau đây

{p(y2mk, y2nk)}, {p(y2mk, y2nk+1)}, {p(y2mk−1, y2nk)}, {p(y2mk−1, y2nk+1)}

dần tớiεkhi k → ∞

Định nghĩa 1.1.12 ([11]) Giả sử f, g : X → X là các ánh xạ từ tậpX vàochính nó

Nếu ω = f x = gx với x ∈ X, thìx được gọi là điểm trùng nhau củaf

vàg và ω được gọi là giá trị trùng nhau của f vàg

Cặp các ánh xạf, gđược gọi là tương thích yếu nếu chúng giao hoán tạicác điểm trùng nhau của chúng, nghĩa làgf x = f gx tại mọi điểm x ∈ X

màf x = gx

Mệnh đề1.1.13 ([11]) Giả sửf, g : X → X là các ánh xạ tương thích yếucủa tậpX Nếuf và g có một giá trị trùng nhau duy nhất ω = f x = gx,thìω là điểm bất động chung duy nhất củaf vàg

Định nghĩa1.1.14 ([7]) Giả sửX là một không gian tôpô Hàmψ : X → R

được gọi là nửa liên tục trên tạix0 ∈ X nếu lim

x→x0sup ψ(x) ≤ ψ(x0).Hàm ψđược gọi là nửa liên tục trên trên X nếu nó là nửa liên tục trêntại mọix ∈ X

Hàm ψ được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu hàm −ψ là nửa liêntục trên, trong đó(−ψ)(x) = −ψ(x)với mọix ∈ X

Nói cách khác, hàm ψ được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 ∈ X nếulim

Matthews đã đưa ra một mở rộng của Nguyên lý điểm bất động củaBanach trên không gian mêtric riêng đầy đủ như sau.

Định lý 1.1.17 ([13]) Giả sử f : X → X là ánh xạ từ không gian mêtricriêng đầy đủ (X, p) vào chính nó sao cho có một số thực c với 0 ≤ c < 1thỏa mãn điều kiện

p(f x, f y) ≤ cp(x, y), với mọi x, y ∈ X.

Khi đó,f có một điểm bất động duy nhất

Định lý 1.1.18 ([5]) Giả sử (X, d)là không gian mêtric đầy đủ và 2 ánhxạf, g : X → X từ(X, d) vào chính nó và thỏa mãn điều kiện

ψ(d(f x, f y)) ≤ ψ(d(gx, gy)) − ϕ(d(gx, gy))với mọi x, y ∈ X, (1.1)

trong đó ψ, ϕ ∈ Ψ Nếu f (X) ⊂ g(X) và g(X) là tập hợp con đóng của

X, thìf vàg có một giá trị trùng nhau duy nhất trongX Hơn nữa, nếuf

vàg là tương thích yếu, thìf và g có một điểm bất động chung duy nhất

Định lý 1.1.19 ([5]) Giả sử (X, d)là không gian mêtric đầy đủ và 2 ánhxạf, g : X → X từ(X, d)vào chính nó sao cho với các hàmψ ∈ Ψ, ϕ ∈ Φnào đó và với mọix, y ∈ X tồn tạiu(x, y) ∈ Nf,g4 (x, y)thỏa mãn điều kiện

ψ(d(f x, gy)) ≤ ψ(u(x, y)) − ϕ(u(x, y)), (1.2)

trong đó Nf,g4 (x, y) = {d(x, y), d(x, f x), d(y, gy),12[d(x, gy) + d(y, f x)]}.Khi đó,f vàg có một điểm bất động chung duy nhất

1.2 Điểm bất động chung của các ánh xạ co trong khônggian mêtric riêng

Trong phần này, chúng tôi trình bày khái niệmT-f-dãy, một số ký hiệu

và một số kết quả về sự tồn tại và duy nhất điểm bất động chung của các

ánh xạ co suy rộng thỏa mãn điều kiện hữu tỷ trong không gian mêtricriêng và một số ví dụ minh họa.

Kí hiệu1.2.1 Giả sử (X, p) là không gian mêtric riêng,T, f : X → X là

2 ánh xạ sao cho T X ⊂ f X Với mỗi x0 ∈ X, ta xét dãy {xn} ⊂ X đượcxác định bởi f xn = T xn−1 với mọi n ∈ N Khi đó, ta nói rằng {T xn} là

T-f-dãy với điểm ban đầu là x0 Đặt

ρf = inf{p(f x, f x) : x ∈ X} và Xf = {x ∈ X : p(f x, f x) = ρf}.Nhận xét rằng không phải luôn có Xf 6= φ Điều Xf 6= φ đúng khi

và chỉ khi ρf = min{p(f x, f x) : x ∈ X} Còn nếu ta lấy X = [0, +∞),p(x, y) = max{x, y}, với mọix, y ∈ X, f x = x, với x 6= 0và f (0) > 0, thì

ta cóρf = 0 vàXf = φ

Bây giờ giả sử (X, p) là không gian mêtric riêng Ta ký hiệu F là một

họ tất cả các cặp(T, f )sao cho chúng thỏa mãn các điều kiện

(i) T và f là ánh xạ từX vàoX, vớiT X ⊂ f X;

(ii) Với mỗi x, y ∈ X, ta luôn có

p(T x, T y) ≤ max{kp(f x, f y), p(f x, f x), p(f y, f y)}, (1.3)

trong đók ∈ [0; 1)

Nhận xét1.2.2 Nếu (T, f ) ∈ F, thì với mỗix ∈ X, ta có

ρf ≤ p(T x, T x) ≤ p(f x, f x).

Thật vậy, vì T X ⊂ f X, nên ta có {p(T x, T x) : x ∈ X} = B ⊂ A = {p(f x, f x) : x ∈ X} VìB ⊂ A, nên ta cóinf A ≤ inf B Do đó từ cách đặt

ρf, ρT ta cóρf ≤ ρT ≤ p(T x, T x) ≤ p(f x, f x)

Bổ đề 1.2.3 ([4]) Giả sử (X, p) là không gian mêtric riêng với(T, f ) ∈ F

vàXf 6= φ Nếuu, v ∈ Xf là các điểm trùng nhau củaT vàf, thìf u = f v.Chứng minh Vì (T, f ) ∈ F và u, v ∈ Xf là các điểm trùng nhau của

B©y giê víi bÊt kúε > 0ta chän sèn0 ∈ Nsao chop(T xn, T xn) < r + ε

víi mäin ≥ n0 vµ 2kn0.M < r + ε Víi mçi sè tù nhiªn m ≥ n ≥ 2n0, ta

limn,m→+∞p(T xn, T xm) = r = lim

Gi¶ söx ∈ X sao chof x = z, ta sÏ chØ ra r»ngp(f x, f x) = p(f x, T x) = r

ThËt vËy, tõ c«ng thøc(1.3), ta suy ra tån t¹i c¸c tËp conI1, I2, I3 ⊂ Nsao

cho

(i) p(T xn, T x) ≤ kp(f xn, f x) với mọin ∈ I1;

(ii) p(T xn, T x) ≤ k(f xn, f xn) với mọin ∈ I2;

(iii) p(T xn, T x) ≤ k(f x, f x) với mọin ∈ I3

Rõ ràng, ít nhất một trong các tập hợpI1, I2, I3 là vô hạn Giả sử rằngIi0

là vô hạn, với1 ≤ i0 ≤ 3 Khi đó, từ bất đẳng thức

p(f x, T x) ≤ p(f x, T xn) + p(T xn, T x) − p(T xn, T xn),

bằng cách lấy giới hạn khi n → +∞ với n ∈ Ii0, ta suy ra p(f x, T x) ≤ p(f x, f x)và vì thế từ định nghĩa mêtric riêng ta cóp(f x, T x) = p(f x, f x).Cuối cùng, nếu ta chọn x0 ∈ X sao cho p(f x0, f x0) < ρf + 1s, thì từ

định nghĩaT-f-dãy và lập luận trên ta suy ra rằng

p(f x, f x) ≤ p(f x0, f x0) < ρf + 1

s .Nếux0 ∈ Xf, thì thì từ định nghĩaT-f-dãy,ρf và Xf ta cũng có x ∈ Xf

Bổ đề 1.2.5 ([4]) Giả sử (X, p) là không gian mêtric riêng và (T, f ) ∈ F.Nếu f X là không gian con đầy đủ của X, thì tồn tại u ∈ Xf sao cho

Vớiε > 0cho trước, ta chọn sốn > ε(1−k)3 Từ Nhận xét 1.2.2, ta suy ra

ρf ≤ p(T xn, T xn) ≤ p(f xn, f xn) = p(f xn, T xn) < ρf+ 1

n < ρf+

ε

3 (1−k).

Điều này kéo theo

max{kp(f xn, f xm), p(f xn, f xn), p(f xm, f xm)}

= max{p(f xn, f xn), p(f xm, f xm)} < ρf + 1

3 ε(1 − k),thì ta thu được

f X là không gian con đầy đủ củaX, nên tồn tạiz ∈ f X sao cho

p(z, z) = lim

n→+∞p(z, f xn) = lim

n,m→+∞p(f xn, f xm) = ρf.

Giả sửu ∈ X sao cho f u = z Từ đẳng thứcp(f u, f u) = p(z, z)ta suy rarằngu ∈ Xf Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng p(f u, f u) = p(f u, T u) Vìp(f xn, f xn) = p(f xn, T xn) và ρf ≤ p(T xn, T xn) với mọi n ∈ N, ta thu

≤ p(f u, f xn) − ρf + max{kp(f xn, f u), p(f xn, f xn), p(f u, f u)}.

Cho n → +∞ trong các bất đẳng thức trên ta thu được p(f u, T u) = p(f u, f u) = p(T u, T u) = ρf và do đó ta có f u = T u

Sau đây chúng ta trình bày một số định lý quan trọng về điểm bất độngchung trong không gian mêtric riêng

Định lý1.2.6 ([4]) Giả sử(X, p)là không gian mêtric riêng với(T, f ) ∈ F.Nếu f X là không gian con đầy đủ của X, thì T và f có một điểm trùngnhau duy nhấtz = f u = T u với u ∈ Xf Hơn nữa, nếu T và f là tươngthích yếu vàf Xf ⊂ Xf, thì T vàf có một điểm bất động chung duy nhất

z ∈ Xf

Chứng minh Nhờ Bổ đề 1.2.5 và Bổ đề 1.2.3 , tồn tại u ∈ Xf sao cho

z = f u = T ulà giá trị trùng nhau duy nhất của T và f với p(z, z) = ρf.Nếu T và f là tương thích yếu và f Xf ⊂ Xf, nhờ Bổ đề 1.2.3, từ T z =

T f u = f T u = f z ∈ Xf, nghĩa làp(f z, f z) = ρf, ta suy ra rằng f z = f u.Vì thế, nhờ Mệnh đề 1.1.13, ta có z là điểm bất động chung duy nhất đốicủaT và f, và z ∈ Xf

Định lý 1.2.7 ([4]) Giả sử (X, p) là không gian mêtric riêng và 2 ánh xạ

T, f : X → X Giả sử rằng điều kiện sau đây được thỏa mãn

Chứng minh Rõ ràng, (T, f ) ∈ F, nhờ Bổ đề 1.2.5, tồn tạiu ∈ Xf saochoz = f u = T u Nếuv ∈ X sao cho f v = T v và p(f v, f v) = p(f u, f u),thì nhờ Bổ đề 1.2.3 ta có f u = f v Nếu p(f v, f v) > p(f u, f u), thì từcông thức (1.7) ta thu được p(f u, f v) = p(T u, T v) ≤ kp(f u, f v) hoặcp(f u, f v) = p(T u, T v) < p(f v, f v) Trong mỗi trường hợp này, chúng tasuy ra được rằngf u = f v và vì thế T và f có một giá trị trùng nhau duynhất trùng nhau Nhờ Mệnh đề 1.1.13, vìT vàf là tương thích yếu, ta suy

raT và f có một điểm bất động chung duy nhấtz ∈ X

Nếu trong Định lý 1.2.6 và Định lý 1.2.7 chúng ta chọn f (x) = x thìchúng ta có kết quả Định lý 3.1 và Định lý 3.3 của Ilic và cộng sự trong[10]

Ví dụ 1.2.8 Giả sử X = [0, 6] và p : X ì X → R được định nghĩa bởip(x, y) = max{x, y}với mọi x, y ∈ R Khi đó dễ dàng kiểm tra được rằng(X, p) là không gian mêtric riêng đầy đủ Giả sử T, f : X → X được xác

6 nếu x ∈ (3, 6].

Để chứng tỏ rằng T và f thỏa mãn điều kiện co (1.7) trong Định lý

1.2.7 vớik = 56, ta xét các trường hợp sau đây

Vìf X là không gian con đầy đủ của X, và T vàf là tương thích yếu, nhờ

Định lý 1.2.7,T vàf có một điểm bất động chung duy nhất z = 1

chương 2

Điểm trùng nhau và điểm bất động chung

của các ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng

2.1 Điểm trùng nhau và điểm bất động chung của các

ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng

Phần này chúng tôi trình bày một số kết quả về điểm trùng nhau và

điểm bất động chung của các ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtricriêng

Định nghĩa 2.1.1 ([2]) Hàm ϕ : [0, +∞) → [0, +∞), thỏa mãn các điềukiện

(a) ϕlà hàm liên tục, không giảm

(b) ϕ(t) < tvà chuỗi

∞

P

n=1

ϕn(t) hội tụ với mọit > 0.

được gọi là hàm(c)-so sánh ((c)- comparison function)

Ta ký hiệu Φ1 là tập hợp tất cả các hàm (c)-so sánh

Định lý2.1.2 ([5]) Giả sửA, B, S vàT là các ánh xạ từ không gian mêtricriêng đầy đủ(X, p) vào chính nó sao cho AX ⊆ T X, BX ⊆ SX và

p(Ax, By) ≤ ϕ(M (x, y)) (2.1)

với mọix, y ∈ X, trong đó ϕ ∈ Φ1 và

M (x, y) = max{p(Sx, T y), p(Ax, Sx), p(By, T y), 1

2 [p(Sx, By)+p(Ax, T y)]}.

Nếu một trong các tập giá trị AX, BX, T X và SX là tập con đóng của(X, p), thì

(i) Avà S có một điểm trùng nhau,

(ii) B vàT có một điểm trùng nhau

Hơn nữa, nếu các cặp{A, S} và {B, T } là tương thích yếu, thì A, B, T và

S có một điểm bất động chung duy nhất

Chứng minh Giả sửx0 là một điểm tùy ý trongX VìAX ⊆ T X, nêntồn tạix1 ∈ X sao cho T x1 = Ax0 VìBX ⊆ SX, nên tồn tạix2 ∈ X saocho Sx2 = Bx1 Tiếp tục quy trình này, ta có thể xây dựng được các dãy{xn}và {yn}trong X được định nghĩa bởi

y2n = T x2n+1 = Ax2n, y2n+1 = Sx2n+2 = Bx2n+1,với mọin ∈ N (2.2)

Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng{yn}là dãy Cauchy trong không gian mêtricriêng (X, p) Thật vậy, vì p(y2p−1, y2p+1) + p(y2p, y2p) ≤ p(y2p−1, y2p) + p(y2p, y2p+1), nên ta có

Từ điều kiện co (2.1) vớix = x2p và y = x2p+1, ta nhận được

p(y2p, y2p+1) ≤ ϕ(max{p(y2p−1, y2p), p(y2p, y2p+1)}) (2.3)

Tương tự, chúng ta thu được

p(y2p+1, y2p+2) ≤ ϕ(max{p(y2p, y2p+1), p(y2p+1, y2p+2)}) (2.4)

Vì thế, từ (2.3) và (2.4), ta có

p(yn, yn+1) ≤ ϕ(max{p(yn−1, yn), p(yn, yn+1)}),với mọin ≥ 1 (2.5)

Giả sử rằng tồn tại p ∈ N sao cho p(y2p−1, y2p) = 0 Khi đó, ta có

y2p−1−y2p = 0và từ (2.3), ta thu đượcp(y2p+1, y2p+2) ≤ ϕ(p(y2p+1, y2p+2))

Điều này kéo theo y2p+1 = y2p+2 Do đó, ta có y2p−1 = y2p = y2p+1 =

y2p+2 = Khi đó, dãy{yn} là dãy Cauchy trong không gian mêtric riêng(X, p) Tương tự, nếu tồn tại p ∈ N sao chop(y2p, y2p+1) = 0, ta cũng suy

được {yn} là dãy Cauchy trong không gian mêtric riêng (X, p) Bây giờ,chúng ta giả sử rằng

p(yn, yn+1) > 0,với mọin ∈ N (2.6)

Khi đó, từ (2.5), vìϕ(t) < t với mọit > 0, ta có

p(yn, yn+1) < max{p(yn−1, yn), p(yn, yn+1)}.

Vì thế, ta nhận đượcp(yn, yn+1) < p(yn−1, yn) Bởi vậy, ta có

max{p(yn−1, yn), p(yn, yn+1)} = p(yn−1), yn).

Vì vậy, từ (2.5) ta có

p(yn, yn+1) ≤ ϕ(p(yn−1, yn)), với mọi n ≥ 1 (2.7)

Lặp lại bất đẳng thức trênnlần ta thu được kết quả

p(yn, yn+1) ≤ ϕn(p(y0, y1)) (2.8)

Nhờ các điều kiện (2)-(3) của mêtric riêng ta có

max{p(yn, yn), p(yn+1, yn+1)} ≤ p(yn, yn+1).

Vì vậy, từ (2.8) ta nhận được

max{p(yn, yn), p(yn+1, yn+1)} ≤ ϕn(p(y0, y1)) (2.9)

Bởi vậy, ta có

ps(yn, yn+1) ≤ 2p(yn, yn+1) − p(yn, yn) − p(yn+1, yn+1)

≤ 2p(yn, yn+1) + p(yn, yn) + p(yn+1, yn+1)

n→+∞ps(yn, y) = 0 Nhờ khẳng định (ii)trong Bổ đề 1.1.8, ta có

của hàmϕta có

limn→+∞p(yn, yn) = 0 (2.11)

Vì vậy, từ định nghĩa củapsvà công thức (2.11), ta có lim

n→+∞p(y2n−1, y) = 0 (2.13)

Do đó, từ (2.13) ta có

limn→+∞p(Ax2n, y) = lim

n→+∞p(T x2n+1, y) = 0, (2.14)

và

limn→+∞p(Bx2n−1, y) = lim

n→+∞p(Sx2n, y) = 0 (2.15)

Bây giờ, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằngSX là tập hợpcon đóng của không gian mêtric riêng (X, p) Khi đó, từ (2.15), ta suy ratồn tạiu ∈ X sao choy = Su Ta sẽ chỉ ra rằngp(Au, y) = 0 Giả sử ngượclại rằngp(Au, y) > 0 Từ điều kiện (4) của mêtric riêng và công thức (2.1)

ta có

p(y, Au) ≤ p(y, Bx2n+1) + p(Au, Bx2n+1) − p(Bx2n+1, Bx2n+1)

≤ p(y, Bx2n+1) + p(Au, Bx2n+1)

≤ p(y, Bx2n+1) + ϕ(M (u, x2n+1)).