Chuyên đề: Hàm số LG

Tìm tập xác định; xét tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn và vẽ đợc đồ thị của một hàm số l-ợng giác.. Vậy hàm số đã cho có tập xác định là D=Ă... +/ Tìm tập xác định của hàm số lợng giác, ta c

Chuyên đề 1: hàm số lợng giác.

I Kiến thức cơ bản.

1 Hàm số y = sin x.

*/ Tập xác định: D = Ă ;

*/ x∀ ∈Ă ta luôn có: 1 sin− ≤ x≤1;

*/ Hàm số y = sin x là một hàm số lẻ trên Ă và là một hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π

*/ Đồ thị:

-1

1

x y

0

2 Hàm số y = cos x.

*/ Tập xác định: D = Ă ;

*/ x∀ ∈Ă ta luôn có: 1 cos− ≤ x≤1;

*/ Hàm số y = cos x là một hàm số chẵn trên Ă và là một hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π

*/ Đồ thị:

-1

1

x y

0

3 Hàm số y = tan x.

*/ Tập xác định: \ ,

2

*/ Hàm số y = tan x là một hàm số lẻ và là một hàm tuần hoàn với chu kỳ π ;

*/ Đồ thị:

-1

1

x y

π/4 -π/4

4 Hàm số y = cot x.

*/ Tập xác định: D=Ă \{k kπ, ∈Â} ;

*/ Hàm số y = cot x là một hàm số lẻ và là một hàm tuần hoàn với chu kỳ π ;

*/ Đồ thị:

-1

1

x y

π/4 -π/4 0

5 Chú ý.

Một số các giá trị đặc biệt của các hàm số lợng giác:

2

*/ sinx = ⇔ =0 x kπ, k∈Â ;

2

 ;

*/ cosx= − ⇔ = +1 x π k2 ,π k∈Â ;

2

*/ cosx= ⇔ =1 x k2 ,π k∈Â ;

4

*/ tanx= ⇔ =0 x kπ, k∈Â ;

4

x= ⇔ = +x π kπ k∈Â ;

4

2

4

 ;

II Kỹ năng cơ bản.

Tìm tập xác định; xét tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn và vẽ đợc đồ thị của một hàm số l-ợng giác

III Một số ví dụ

A Ví dụ tự luận.

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số:

3/ y sin1

x

Giải.

1/ Do 2x∈ ∀ ∈Ă , x Ă nên hàm số đã cho có tập xác định là D=Ă

2/ Hàm số y =sin 3x xác định khi và chỉ khi 3x≥ ⇔ ≥0 x 0 Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D=[0;+∞)

3/ Hàm số y sin1

x

= xác định khi và chỉ khi 1 x 0

hàm số đã cho là D=Ă \ 0{ }

4/ Hàm số y =cos x2 −4 xác định khi và chỉ khi 2 4 0 2

2

x x

x

≤ −



xác định của hàm số đã cho là D = −∞ − ∪( ; 2] [2;+∞)

Ví dụ 2: Tìm tập xác định của các hàm số:

1/ 1 cos

sin

x y

x

−

3/ cot

3

π

Giải.

1/ Hàm số 1 cos

sin

x y

x

−

= xác định khi và chỉ khi sinx≠ ⇔ ≠0 x kπ, k∈Â Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D =Ă \{kπ, k∈Â}

2/ Hàm số y = 2 cos3− x xác định khi và chỉ khi 2 cos3− x≥0 Mà

2 cos3− x≥ ∀ ∈0 x Ă Vậy hàm số đã cho có tập xác định là D=Ă

3/ Hàm số cot

3

  xác định khi và chỉ khi

3

4/ Hàm số tan 2

6

  xác định khi và chỉ khi

2

xác định của hàm số đã cho là \ ,

Lu ý:

+/ Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập các giá trị của x để f(x) có nghĩa.

+/ Tìm tập xác định của hàm số lợng giác, ta cần lu ý tập xác định của 4 hàm số l-ợng giác nói trên và một số giá trị đặc biệt của nó.

Ví dụ 3: Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số:

Giải.

1/ Tập xác định của hàm số y = f(x) = x2sin 3x là D =Ă

x D

∀ ∈ ta có:

*/ x D− ∈ ;

*/ f(-x) = (-x)2sin(-3x) = - x2sin3x = - f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ trên Ă

2/ Tập xác định của hàm số y = f(x) = cosx + sin2x là D= Ă

x D

∀ ∈ ta có:

*/ x D− ∈ ;

*/ f(-x) = cos(- x) + sin2(- x) = cosx + sin2x = f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn trên Ă

3/ Tập xác định của hàm số y = f(x) = tanx.cos2x là \ ,

2

x D

∀ ∈ ta có:

*/ x D− ∈ ;

*/ f(-x) = tan(-x).cos(-2x) =- tanx.cos2x = - f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ trên D.

4/ Tập xác định của hàm số y = f(x) = 2cosx – 3sinx là D=Ă

π

  , mặt khác

2 f

π

  = −

 ữ

Vậy hàm số đã cho không phải là hàm số chẵn và cũng không phải là hàm số lẻ

Lu ý:

*/ Phơng pháp xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f(x):

+/ Tìm tập xác định D của hàm số.

+/ Xét x D∀ ∈ nếu

x D

− ∈



 − =

Nếu − ∈x D

*/ Đồ thị hàm số chẵn có trục đối xứng là trục Oy; Đồ thị hàm số lẻ có tâm đối xứng là gốc tọa độ O.

Ví dụ 4: 1/ Chứng minh rằng cos 2(x k+ π) =cos2x ∀ ∈k  Từ đó, vẽ đồ thị hàm số y

= cos2x

2/ Từ đồ thị hàm số y = cos2x, hãy vẽ đồ thị hàm số y= cos 2x

Giải.

1/ Ta có cos 2(x k+ π) =cos 2( x k+ 2π) =cos 2 ,x ∀ ∈k  Do đó hàm số

y = cos2x tuần hoàn với chu kỳ π Ta chỉ cần vẽ đồ thị hàm số y = cos2x trên một đoạn

có độ dài bằng π , rồi tịnh tiến song song với trục Ox các đoạn có độ dài π ta đợc đồ thị hàm số Mặt khác, hàm số y = cos2x là hàm số chẵn, nên ta lại chỉ cần vẽ đồ thị hàm số

đó trên đoạn 0;

2

π

  sau đó lấy đối xứng qua trục tung, ta đợc đồ thị hàm số trên đoạn

;

2 2

π π

Đồ thị hàm số y = cos2x:

-1

1

x y

π/4 3π/4 5π/4 -π/4

-3π/4



cos2

liền) đợc suy ra từ đồ thị hàm số y = cos2x bằng cách giữ nguyên phần đồ thị nằm trên trục hoành và lấy đối xứng phần dới trục hoành qua trục hoành

-1

1

x y

π/4 3π/4 5π/4 -π/4

-3π/4

Ví dụ 5: Từ đồ thị hàm số y = tanx, hãy vẽ đồ thị hàm số

1/ tan

4

1 2

Giải.

1/ Ta có đồ thị hàm số tan

4

  (nét liền) đợc suy ra từ đồ thị hàm số y =

tanx ( nét đứt) bằng cách tịnh tiến song song với trục Ox sang phải một đoạn bằng

4

π

( hình vẽ)

-1

1

x y

π/4

2/ Ta có đồ thị hàm số y = tanx - 1

2 (nét liền) đợc suy ra từ đồ thị hàm số y = tanx (nét

đứt)bằng cách tịnh tiến song song với trục tung xuống phía dới 1

2 đơn vị.

-1

1

x y

π/4 -π/4

-1/2

Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

3

π

Giải:

1/ Ta có ∀ ∈ − ≤  −π ≤ ⇒ − ≤  −π ≤ ⇒ − ≤ ≤

giá trị lớn nhất của hàm số là 1, xảy ra khi

Giá trị nhỏ nhất của y là -3 đạt đợc khi

4

2/ Ta có ∀ ∈x Ă ,0 1 sin≤ + x ≤ ⇒ ≤2 0 1 sin+ x ≤ 2 ⇒ − ≤ ≤3 y 2 3.−

Vậy, giá trị lớn nhất của y là 2 3, khi − sin = ⇔ = +1 π 2 ,π ∈Â

2

nhất của y là -3, khi sin x = -1⇔ = − +π π ∈

Â

2

B Ví dụ trắc nghiệm khách quan.

1/ Tập xác định của hàm số = 1

sin 2

y

x là

A.Ă \{k kπ ∈, Â} B Ă C  π ∈ 

2

k

Ă \ 2 ,

3

k k

.2/ Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A Hàm số y = -2sinx là hàm số lẻ

B Hàm số y = -tanx – sinx là hàm số lẻ

C Hàm số y = sinx + x là hàm số lẻ

D Hàm số y = tanx + cosx là hàm số lẻ

3/ Hàm số sin 2

tan

x y

x

= là hàm số:

A Chẵn B Lẻ C Không chẵn, không lẻ D Vừa chẵn, vừa lẻ

4/ Hàm số y=cos4x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ:

2

3

π

5/ Giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số y = 2sinx + 3 là:

A m =1, M= 5 B m =-5 ,M =-1 C m=-5, M=1 D m=-1, M=5

6/ Cho hàm số 2 cos

3

  Chọn mệnh đề sai:

A max y = 2 B min y = -2 C TXĐ D=Ă D Hàm số là hàm chẵn

7/ Chọn mệnh đề đỳng trong cỏc mệnh đề sau:

A Hàm số y = tanx và y = cosx cựng đồng biến trờn khoảng ;

2

π π

 

B Hàm số y = sinx và y = cotx cựng nghịch biến trờn khoảng ;

2

π π

C Hàm số y = tanx đồng biến trờn ;

2 2

π π

 và y = cotx nghịch biến trờn khoảng

;

2 2

π π

D Hàm số y = sinx và y = cosx cựng đồng biến trờn khoảng 0;

2

π

8/ Cho x∈ −[ π;0], rỳt gọn P= 2 2 cos− x , chọn kết quả đỳng:

A 2sin

2

x

2

x

2

x

2

x

Giải.

1/ Chọn phơng án C, vì hàm số đã cho xác định khi

2

k

2/ Chọn phơng án D, vì các hàm số y = sinx, y= tanx, y = x đều là các hàm số lẻ, nên các hàm số ở trong các phơng án A, B, C là các hàm số lẻ.Còn hàm số y = cosx là hàm số chẵn, nên hàm số trong phơng án D không thể là hàm số lẻ, thực ra nó là hàm số không chẵn, không lẻ

3/ Chọn phơng án A, vì hàm số đã cho có TXĐ là \ ,

2

( )

sin 2 sin2

−

=

−

4/ Chọn phơng án C Để ý rằng cos4 cos4

2

5/ Chọn phơng án A, vì 1 sin− ≤ x≤ ∀ ∈ ⇒ ≤ ≤ ∀ ∈1 x Ă 1 y 5 x Ă và

2

2

Â

 6/ Chọn phơng án D Hàm số đã cho thực chất là hàm không chẵn, không lẻ

7/ Chọn phơng án B Dựa vào sự biến thiên của các hàm số lợng giác

8/ Chọn phơng án C, vì 4sin2

2

x

2

x

IV Bài tập.

A.Bài tập tự luận.

Bài 1 Tìm tập xác định của các hàm số sau:

1/ 1 sin

cos2

x y

x

+

sin 2

3

Bài 2 Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

3/ sin3x

y

x

Bài 3.Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số:

1/ 3sin 1

6

Bài 4 Chứng minh hàm số y = sin2x là một hàm tuần hoàn với chu kỳ π

Bài 5 Chứng minh hàm số y = sinx là một hàm tuần hoàn, tìm chu kỳ, xét tính chẵn lẻ

và vẽ đồ thị hàm số

Bài 6 Từ đồ thị của hàm số y = sinx, hãy suy ra đồ thị của các hàm số sin

3

2

Bài 7 Chứng minh rằng:

a/ sinx < cosx với 0

4

< <

b/ sinx > cosx với

π < <π .

B Bài tập trắc nghiệm.

Bài 8 Chọn mệnh đề đúng:

A Hàm số y = sin x và y = cot x có cùng tập xác định

B Hàm số y = sin x và y = cos x có cùng tập xác định

C Hàm số y =cos x và y = tan x cùng là hàm lẻ

D Hàm số y = sin x và y = cot x cùng là hàm chẵn

Bài 9 Tập xác định của hàm số tan

4

2

4

Ă

4

D= π +k π k∈ 

2

Ă

Bài 10 Trong khoảng (−2 ;π π− ) các hàm số nào sau đây luôn nhận giá trị dơng:

A y = cos x B y = sin x C y = tan x D y = cot x

Bài 11 Tìm khoảng mà trên đó các hàm số y = cos x, y = sin x, y = tan x, y = cot x

cùng dấu:

A ;

4 4

π π

;

π π

D 3 ;2

4π π

Bài 12 Tập giá trị của hàm số y = 2cos x – 3 là:

Bài 13 Tìm hàm số chẵn trong các hàm số sau:

A cosx

y

x

Bài 14 Hàm số nào sau đây có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O:

A y x= sin3x B cos

2 sin

x y

x

=

3cos2

y x= x D y x= tanx +2 cosx

Bài 15 Hàm số nào sau đây có đồ thị đối xứng qua trục Oy:

A y=cosx +sinx B y x= 2sinx C y=2cosx x+ sinx D sin

2 cos

x y

x

= +

Bài 16 Chọn câu sai:

A Hàm số sin

4

  và y = sin x cùng có chu kỳ là 2π ;

B Hàm số y=sin2 xvà y = sin x cùng có chu kỳ là 2π ;

C Hàm số y=cosxvà y = sin x cùng có chu kỳ là 2π ;

D Hàm số y=sin 2xvà y = tan x cùng có chu kỳ là π ;

Bài 17

Chu kỳ của hàm số y = sin2x + 2cos2x là

A

3

2

Bài 18 GTLN (M) và GTNN (m) của hàm số y =3 sinx + −1 1 là:

C M=3 2 1,− m= −1 D M=3 2 1,+ m= −1