ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000 Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số chẵn.. Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị Hội sinh viên củ
Trang 122 (ĐH Sư phạm HN 2 khối A 2000)
Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ các chữ số: 1, 2, 3, 4,
5, 6 trong đó các chữ số 1 và 6 đều có mặt 2 lần, các chữ số khác
có mặt 1 lần
23 (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000)
Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số
của mỗi số là một số chẵn
24 (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000)
Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó
chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước
25 (HV Kỹ thuật quân sự 2000)
Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người Trong ngày, cần cử 3 người
làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người ở địa điểm B, còn 4 người
thường trực tại đồn Hỏi có bao nhiêu cách phân công?
26 (ĐH GTVT 2000)
Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp Hỏi có bao
nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị Hội sinh viên của trường sao
cho trong 3 người đó có ít nhất một cán bộ lớp
27 (HV Quân y 2000)
Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau
vào một dãy 7 ô trống Hỏi:
1 Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?
2 Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh
nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau?
28 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000)
Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9?
29 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000)
Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau lớn hơn 500000?
30 (CĐSP Nha Trang 2000)
Với các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể thành lập được bao nhiêu số tự
nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 0
31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)
Một lớp học sinh mẫu giáo gồm 15 em, trong đó có 9 em nam, 6 em
nữ Cô giáo chủ nhiệm muốn chọn một nhóm 5 em để tham dự trò
chơi gồm 3 em nam và 2 em nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
32 (ĐH An ninh khối D 2001)
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 Hỏi có thể thành lập được bao nhiêu số
có bảy chữ số từ những chữ số trên, trong đó chữ số 4 có mặt đúng
Phần 1 BÀI TOÁN ĐẾM
1 (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1 1999)
Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
1 Có bao nhiêu tập con X của tập A thoả điều kiện X chứa 1 và không chứa 2
2 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập A và không bắt đầu bởi 123
2 (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1 1999)
Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 cuốn sách Toán, 4 cuốn sách Văn và 6 cuốn sách Anh Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách lên một kệ sách dài, nếu các cuốn sách cùng môn được xếp kề nhau?
3 (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 2 1999)
Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế Người
ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường
B vào bàn nói trên Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau:
1 Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau
2 Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau
4 (ĐHQG TPHCM khối D đợt 2 1999)
Cho tập X = {0,1,2,3,4,5,6,7} Có thể lập được bao nhiêu số n gồm 5 chữ số khác nhau đôi một từ X (chữ số đầu tiên phải khác 0) trong mỗi trường hợp sau:
1 n là số chẵn
2 Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1
5 (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999)
Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số
bi lấy ra không có đủ cả 3 màu?
6 (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999)
Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến 5 cạnh nhau
1 Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau?
2 Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ riêng biệt (chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)?
7 (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999)
Trang 2Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp
thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng
1 Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành?
2 Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành?
8 (HV Ngân hàng TPHCM 1999)
Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có năm chữ số 1 và bốn chữ số
còn là 2, 3, 4, 5 Hỏi có bao nhiêu số như thế, nếu:
1 Năm chữ số 1 được xếp kề nhau
2 Các chữ số được xếp tuỳ ý
9 (ĐH Hàng hải 1999)
Có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn học sinh A, B, C, D, E vào một
chiếc ghế dài sao cho:
1 Bạn C ngồi chính giữa
2 Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế
10 (HV BCVT 1999)
Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu
số gồm 6 chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt số
0 và 1
11 (ĐHQG HN khối B 2000)
Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số
khác nhau và không chia hết cho 5
12 (ĐHQG TPHCM khối A 2000)
Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn
sách Văn, 4 cuốn sách Nhạc và 3 cuốn sách Hoạ Ông muốn lấy ra
6 cuốn và tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn
1 Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn
sách thuộc 2 thể loại Văn và Nhạc Hỏi có bao nhiêu cách tặng?
2 Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong
ba loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn Hỏi có bao nhiêu cách
chọn?
13 (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000)
Một lớp có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ Có 6 học sinh được
chọn ra để lập một tốp ca Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau
nếu:
1) phải có ít nhất là 2 nữ
2) chọn tuỳ ý
14 (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000)
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 Từ các chữ số đã cho ta có thể lập
16 (ĐH Cần Thơ khối D 2000)
Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta lập các số mà mỗi số có năm chữ số trong đó các chữ số khác nhau từng đôi một Hỏi
1 Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2
2 Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt hai chữ số 1 và 6
17 (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000)
Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho:
1 Có đúng 2 nam trong 5 người đó
2 Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó
18 (ĐH Thái Nguyên khối D 2000)
Từ 3 chữ số 2, 3, 4 có thể tạo ra được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó có mặt đủ 3 chữ số trên
19 (ĐH Thái Nguyên khối G 2000)
Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ
20 (ĐH Cần Thơ khối AB 2000)
Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích thước đôi một khác nhau
1 Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ
2 Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số
bi đỏ
21 (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000)
Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen, đánh dấu mỗi loại theo các số 1, 2, 3, 4,
5 Có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các thẻ này thành một hàng sao cho hai thẻ cùng màu không nằm liền nhau
Trang 3Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ
Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về
giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ
61 (ĐH khối A 2005 dự bị 1)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng
chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8
62 (ĐH khối B 2005 dự bị 1)
Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ Hỏi có bao nhiêu
cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó
phải có ít nhất 3 nữ
63 (ĐH khối B 2005 dự bị 2)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ
số 1, 5
64 (ĐH khối D 2006)
Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh,
gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C Cần
chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc
không quá 2 trong 3 lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
65 (CĐ GTVT III khối A 2006)
Từ một nhóm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, 5 học sinh
khối C, chọn ra 15 học sinh sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A và
đúng 2 học sinh khối C Tính số cách chọn
66 (CĐ Tài chính – Hải quan khối A 2006)
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó chữ số 0 có mặt
đúng 2 lần, chữ số 1 có mặt đúng 1 lần và hai chữ số còn lại phân
biệt?
67 (CĐ Xây dựng số 3 khối A 2006)
Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau? Tính tổng
của tất cả các số đó
68 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)
Cho 2 đường thẳng d1, d2 song song với nhau Trên đường thẳng d1
cho 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 cho 8 điểm phân biệt
Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà 3 đỉnh của mỗi tam giác
lấy từ 18 điểm đã cho
3 lần, còn các chữ số khác có mạt đúng 1 lần
33 (ĐH Cần Thơ 2001)
Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 học sinh trên thành một hàng dài sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền nhau
34 (HV Chính trị quốc gia 2001)
Một đội văn nghệ có 10 người, trong đó có 6 nữ và 4 nam
1 Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ như nhau
2 Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó không có quá 1 nam
35 (ĐH Giao thông vận tải 2001)
Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Hỏi có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4
36 (ĐH Huế khối ABV 2001)
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần?
37 (ĐH Huế khối DHT 2001)
Từ một nhóm học sinh gồm 7 nam và 6 nữ, thầy giáo cần chọn ra 5
em tham dự lễ mittinh tại trường với yêu cầu có cả nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
38 (HV Kỹ thuật quân sự 2001)
Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 người sao cho
ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh khá
39 (ĐH Kinh tế quốc dân 2001)
Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có chữ số
5
40 (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001)
1 Có thể tìm được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau đôi một?
2 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau?
41 (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thiết lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?
42 (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)
Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng dọc Hỏi có
Trang 4bao nhiêu cách xếp để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ 3 học
sinh nữ (Khi đổi chỗ 2 học sinh bất kì cho nhau ta được một cách
xếp mới)
43 (HV Quan hệ quốc tế 2001)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có
9 chữ số mà chữ số 9 đứng ở vị trí chính giữa?
44 (ĐH Quốc gia TPHCM 2001)
1 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong
đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1
2 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt
đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt
không quá một lần
45 (ĐHSP HN II 2001)
Tính tổng tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một
được lập từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8
46 (ĐHSP TPHCM khối DTM 2001)
Cho A là một hợp có 20 phần tử
1 Có bao nhiêu tập hợp con của A?
2 Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số
chẵn?
47 (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)
1 Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ
các chữ số 1, 2, 3, 4, 5
2 Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các
chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 mà các số đó nhỏ hơn số 345
48 (ĐH Văn Lang 2001)
Một lớp có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ Cần chọn ra 5 học
sinh để đi làm công tác “Mùa hè xanh” Hỏi có bao nhiêu cách chọn
nếu trong 5 học sinh đó phải có ít nhất:
1 Hai học sinh nữ và hai học sinh nam
2 Một học sinh nữ và một học sinh nam
49 (ĐH Y HN 2001)
Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số
chẵn có ba chữ số khác nhau và không lớn hơn 789?
50 (ĐH khối D dự bị 1 2002)
Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học
sinh khối 12, 6 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10 Hỏi có bao
nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có
ít nhất một em được chọn
53 (ĐH khối B 2003 dự bị 2)
Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4 Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
54 (ĐH khối D 2003 dự bị 1)
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau?
55 (CĐ Sư phạm khối A 2002)
1 Tìm số giao điểm tối đa của:
a) 10 đường thẳng phân biệt
b) 6 đường tròn phân biệt
2 Từ kết quả của câu 1) hãy suy ra số giao điểm tối đa của tập hợp các đường nói trên
58 (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002)
Từ 5 chữ số 0, 1, 2, 5, 9 có thể lập được bao nhiêu số lẻ, mỗi số gồm
4 chữ số khác nhau
59 (ĐH khối B 2004)
Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau và nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2
60 (ĐH khối B 2005)
Trang 52 Lập một số có 9 chữ số thoả mãn yêu cầu; thực chất là việc xếp
các số 2, 3, 4, 5 vào 4 vị trí tuỳ ý trong 9 vị trí (5 vị trí còn lại đương
nhiên dành cho chữ số 1 lặp 5 lần)
Vậy: có tất cả A49= 9!
5! = 6.7.8.9 = 3024 số
9 (ĐH Hàng hải 1999)
1 Xếp C ngồi chính giữa: có 1 cách
Xếp A, B, D, E vào 4 chỗ còn lại: có 4! = 24 cách
Vậy: có 24 cách xếp thoả yêu cầu
2 Xếp A và E ngồi ở hai đầu ghế: có 2! = 2 cách
Xếp B, C, D vào 3 chỗ còn lại: có 3! = 6 cách
Vậy: có 2.6 = 12 cách xếp thoả yêu cầu
* Trước hết ta tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau:
Có 4 khả năng chọn chữ số hàng ngàn (không chọn chữ số 0)
Có A khả năng chọn 3 chữ số cuối 34
Þ Có 4.A = 4.4! = 96 số 34
* Tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5:
Nếu chữ số tận cùng là 0: có A = 24 số 34
Nếu chữ số tận cùng là 5: có 3 khả năng chọn chữ số hàng nghìn,
có 2
3
A = 6 khả năng chọn 2 chữ số cuối Vậy có 3.6 = 18 số
Do đó có 24 + 18 = 42 số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5
Vậy có: 96 – 42 = 54 số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết
cho 5
12 (ĐHQG TPHCM khối A 2000)
1 Số cách tặng là số cách chọn 6 cuốn sách từ 9 cuốn có kể thứ tự
Vậy số cách tặng là 6
Vậy có 64 tập con X của A chứa 1 và không chứa 2
2 Gọi * m là số các số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ A
* n là số các số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ A và bắt đầu bởi 123
* p là số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu đề bài
Ta cần tính p Hiển nhiên p = m – n
· Tính m: Lập một số chẵn a a a a a gồm 5 chữ số khác nhau a5 4 3 2 1 1,
a2, a3, a4, a5 Ỵ A, có nghĩa là:
Lấy a1 từ {2, 4, 6, 8} ® có 4 cách Lấy a2, a3, a4, a5 từ 7 số còn lại của A ® có A = 7.6.5.4 = 840 cách 47
Do đó: m = 4.840 = 3360
· Tính n: Lập một số chẵn 123a a bắt đầu bởi 123; a2 1 1,a2Ỵ A; a1 ≠ a2
Lấy a1 từ {4,6,8} ® có 3 cách Lấy a2 từ A \ {1,2,3,a1} ® có 4 cách
Do đó: n = 3.4 = 12 Vậy: số p cần tìm là: p = 3360 – 12 = 3348
3 (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 2 1999)
1 Giai đoạn 1: Xếp chỗ ngồi cho hai nhóm học sinh, có 2 cách xếp:
A B A B A B B A B A B A
B A B A B A A B A B A B
Trang 6Giai đoạn 2: Trong nhóm học sinh của trường A, có 6! cách xếp các
em vào 6 chỗ
Tượng tự, có 6! cách xếp 6 học sinh trường B vào 6 chỗ
Kết luận: có 2.6!6! = 1036800 cách
2 Học sinh thứ nhất trường A ngồi trước: có 12 cách chọn ghế để
ngồi
Sau đó, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ nhất
trường A: có 6 cách chọn học sinh trường B
Học sinh thứ hai của trường A còn 10 chỗ để chọn, chọn học sinh
trường B ngồi đối diện với học sinh thứ hai trường A: có 5 cách chọn,
v.v…
Vậy: có 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1 = 26.6!.6! = 33177600 cách
4 (ĐHQG TPHCM khối D đợt 2 1999)
1 Xem các số chắn hình thức abcde (kể cả a = 0), có 4 cách chọn e
Ỵ {0,2,4,6}, vì là số chẵn
Sau đó chọn a, b, c, d từ X \ {e}, số cách chọn là: A = 840 47
Vậy: có 4.840 = 3360 số chẵn hình thức
Ta loại những số có dạng 0bcde Có 3 cách chọn e, và A cách 36
chọn b, c, d từ X \ {0,e} Vậy có 3.A = 360 số chẵn có dạng 0bcde 36
Kết luận: có 3360 – 360 = 3000 số thoả yêu cầu đề bài
2 n = abcde
* Xem các số hình thức abcde (kể cả a = 0) Có 3 cách chọn vị trí
cho 1 Sau đó chọn chữ số khác nhau cho 3 vị trí còn lại từ X \ {1}: có
A = 2520 số hình thức thoả yêu cầu đề bài
* Xem các số hình thức 0bcde Có 2 cách chọn vị trí cho 1 Chọn chữ
số khác nhau cho 3 vị trí còn lại từ X \ {0,1}, số cách chọn là A 36
Như thế: có 2.A = 240 số hình thức dạng 0bcde 36
Kết luận: số các số n thoả yêu cầu đề bài là: 2520 – 240 = 2280 số
5 (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999)
Số cách chọn 4 bi trong số 15 bi là: C = 1365 154
Các trường hợp chọn 4 bi đủ cả 3 màu là:
* 2 đỏ + 1 trắng + 1 vàng: có 2 1 1
6 (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999)
1 * Xếp các phiếu số 1, 2, 3, 5 có 4! = 24 cách
* Sau đó xếp phiếu số 4 vào cạnh phiếu số 2 có 2 cách
Vậy: có 2.24 = 48 cách xếp theo yêu cầu đề bài
2 * Khi nhóm chẵn ở bên trái, nhóm lẻ ở bên phải Số cách xếp cho
2 số chẵn là 2! cách Số cách xếp cho 3 số lẻ là: 3! cách
Vậy có 2.6 = 12 cách
* Tương tự cũng có 12 cách xếp mà nhóm chẵn ở bên phải, nhóm lẻ
ở bên trái
Vậy: có 12 + 12 = 24 cách
7 (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999)
Số có 6 chữ số khác nhau có dạng: abcdef với a ≠ 0
1 Vì số tạo thành là số lẻ nên f Ỵ {1, 3, 5}
Do đó: f có 3 cách chọn
a có 4 cách chọn (trừ 0 và f)
b có 4 cách chọn (trừ a và f)
c có 3 cách chọn (trừ a, b, f)
d có 2 cách chọn (trừ a, b, c, f)
e có 1 cách chọn (trừ a, b, c, d, f) Vậy: có 3.4.4.3.2.1 = 288 số
2 Vì số tạo thành là số chẵn nên f Ỵ {0, 2, 4}
* Khi f = 0 thì (a,b,c,d,e) là một hoán vị của (1,2,3,4,5) Do đó có 5! số
* Khi f Ỵ {2, 4} thì:
f có 2 cách chọn
a có 4 cách chọn
b có 4 cách chọn
c có 3 cách chọn
d có 2 cách chọn
e có 1 cách chọn
Do đó có 2.4.4.3.2.1 = 192 số
Vậy: có 120 + 192 = 312 số chẵn
8 (HV Ngân hàng TPHCM 1999)
1 Gọi 11111 là số a Vậy ta cần sắp các số a, 2, 3, 4, 5 Do đó số có
9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 đứng liền nhau là: 5! = 120 số
Trang 71 2 3 4 5 6 7
a a a a a a a mà tổng các chữ số là một số chẵn
Vậy có tất cả: 9.105.5 = 45.105 số
24 (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000)
Theo yêu cầu của bài toán và số 0 không đứng trước bất kì số nào
nên các số có 5 chữ số chỉ có thể tạo thành từ các số {1, 2, 3, 4, …,
8, 9} = T Ứng với mỗi bộ 5 chữ số phân biệt bất kì trong T chỉ có 1
cách sắp xếp duy nhất thoả mãn đứng sau lớn hơn chữ số liền trước
Vậy số các số cần tìm là: C59= 9!
5!4! = 126
25 (HV Kỹ thuật quân sự 2000)
Có tất cả: C C39 26=C C49 52=C C = 1260 cách 29 47
26 (ĐH GTVT 2000)
Có 2 khả năng:
* 1 cán bộ lớp và 2 học sinh thường: có 1 2
1 Trước hết xếp 3 viên bi đỏ vào 7 ô trống Do các viên bi đỏ khác
nhau nên số cách xếp là A 37
Sau đó xếp 3 viên bi xanh vào 4 ô còn lại Do các viên bi xanh giống
nhau nên số cách xếp là C 34
Vậy số cách xếp khác nhau là: A 37 C = 840 cách 34
2 Trước hết ta cần chú ý về màu, để đỏ đứng cạnh nhau và xanh
đứng cạnh nhau chỉ có 6 cách xếp
Sau đó, do các viên bi đỏ khác nhau, nên ta hoán vị các viên bi đỏ
với nhau Số các hoán vị là 3!
Vậy số cách xếp khác nhau để các viên bi đỏ đứng cạnh nhau và
các viên bi xanh đứng cạnh nhau là: 6.3! = 36 cách
28 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000)
Các số có 6 chữ số, chia hết cho 9, viết theo thứ tự tăng là:
Vậy tất cả có 50000 số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9
2 Nhận xét: không thể chọn sao cho cùng hết 2 loại sách
Số cách chọn 6 cuốn sách từ 12 cuốn sách là: A = 665280 126Số cách chọn sao cho không còn sách Văn là: A 7 = 5040 56Số cách chọn sao cho không còn sách Nhạc là: A A = 20160 46 28Số cách chọn sao cho không còn sách Hoạ là: A A = 60480 36 39Số cách chọn cần tìm là: 665280 – (5040 + 20160 + 60480) = 579600
13 (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000)
1 Để có ít nhất là 2 nữ thì ta phải chọn:
* 2 nữ, 4 nam ® có C C cách 152 304hoặc * 3 nữ, 3 nam ® có C C cách 153 330hoặc * 4 nữ, 2 nam ® có C C cách 154 302hoặc * 5 nữ, 1 nam ® có C C cách 155 130hoặc * 6 nữ ® có C cách 156Vậy: có C C + 152 430 C C + 153 330 C C + 154 302 C C + 155 130 C cách 156
2 Nếu chọn tuỳ ý thì số cách chọn là: C 645
14 (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000)
1 Số chẵn gồm bốn chữ số khác nhau có dạng:
abc0 hoặc abc2 hoặc abc4
* Với số abc0 ta có: 5 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c
2 Số chia hết cho 5 và gồm ba chữ số có dạng ab0 hoặc ab5
* Với số ab0 ta có: 5 cách chọn a, 4 cách chọn b
Þ Có 5.4 = 20 số
* Với số ab5 ta có: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b
Þ Có 4.4 = 16 số Vậy có: 20 + 16 số cần tìm
3 Gọi abc là số chia hết cho 9 gồm ba chữ số khác nhau Khi đó {a,b,c} có thể là: {0,4,5}, {1,3,5}, {2,3,4}
* Khi {a,b,c} = {0,4,5} thì các số phải tìm là: 405, 450, 504, 540
® có 4 số
Trang 8* Khi {a,b,c} = {1,3,5} hay {2,3,4} thì số phải tìm là hoán vị của 3 phần
3 4
C C = 12 Vậy: có 60 + 18 + 12 = 90 cách chọn
16 (ĐH Cần Thơ khối D 2000)
Xét số năm chữ số a a a a a 1 2 3 4 5
1 Xếp chữ số 2 vào một trong năm vị trí: có 5 cách xếp
Sau đó xếp 5 chữ số còn lại vào 4 vị trí còn lại: có 4
5
A = 120 cách
Vậy có 5.120 = 600 số
2 Xếp các chữ số 1 và 6 vào 5 vị trí: có A cách 25
Xếp 4 chữ số còn lại vào 3 vị trí còn lại: có A = 24 cách 34
Vậy có A 25 A = 480 số 34
17 (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000)
1 Chọn 2 nam và 3 nữ: có C C = 5400 cách 102 310
2 Có ít nhất 2 nam và 1 nữ, có các kiểu chọn sau:
* 2 nam và 3 nữ: có 5400 cách
* 3 nam và 2 nữ: có C C = 5400 cách 310 102
* 4 nam và 1 nữ: có C C = 2100 cách 104 110
Vậy có: 5400 + 5400 + 2100 = 12900 cách
18 (ĐH Thái Nguyên khối D 2000)
Tất cả có 9.10.10.10.10 = 90000 số tự nhiên có 5 chữ số Trong các
số có 5 chữ số này, xét các số không có mặt các chữ số 2, 3, 4 Loại
này có: 6 cách chọn chữ số hàng vạn
7 cách chọn chữ số hàng nghìn
7 cách chọn chữ số hàng trăm
7 cách chọn chữ số hàng chục
7 cách chọn chữ số hàng đơn vị
Do đó có 6.7.7.7.7 = 14406 số
Vậy tất cả có: 90000 – 14406 = 75594 số có 5 chữ số, trong đó có
mặt đủ các chữ số 2, 3, 4
19 (ĐH Thái Nguyên khối G 2000)
Xét một số có 4 chữ số tuỳ ý đã cho a a a a Có hai khả năng: 1 2 3 4
1 Nếu a1 + a2 + a3 + a4 là số chẵn thì có thể lấy a5 Ỵ {1, 3, 5, 7, 9} và lập được 5 số có 5 chữ số a a a a a với tổng các chữ số là một số 1 2 3 4 5lẻ
2 Nếu a1 + a2 + a3 + a4 là số lẻ thì có thể lấy a5 Ỵ {0, 2, 4, 6, 8} và lập được 5 số có 5 chữ số a a a a a với tổng các chữ số là một số 1 2 3 4 5lẻ
Vì có tất ca 9.10.10.10 = 9000 số có 4 chữ số, mỗi số có 4 chữ số này lại sinh ra 5 số có 5 chữ số có tổng các chữ số là một số lẻ, nên có tất cả 9000.5 = 45000 số có 5 chữ số mà tổng các chữ số là một số lẻ
20 (ĐH Cần Thơ khối AB 2000)
1 Có: C cách chọn ra 2 viện bi đỏ 25
C cách chọn ra 4 viên bi còn lại 134Vậy có: C 25 C = 7150 cách chọn 134
2 Có các trường hợp xảy ra:
* 3 xanh, 3 đỏ, 0 vàng ® có C C cách 39 35
* 2 xanh, 2 đỏ, 2 vàng ® có C C C cách 29 25 42
* 1 xanh, 1 đỏ, 4 vàng ® có C C C cách 19 15 44Vậy có tất cả: C C + 39 35 C C C + 29 52 24 C C C = 3045 cách 19 15 44
21 (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000)
Có 2 khả năng:
1 Các thẻ trắng ở vị trí lẻ, các thẻ đen ở vị trí chẵn ® có 5!5! cách
2 Các thẻ trắng ở vị trí chẵn, các thẻ đen ở vị trí lẻ ® có 5!5! cách Vậy tất cả có: 5!5! + 5!5! cách
22 (ĐH Sư phạm HN 2 khối A 2000)
Có 8 ô trống, cần chọn ra 1 ô điền chữ số 2, 1 ô điền chữ số 3, 1 ô điền chữ số 4, 1 ô điền chữ số 5 Sau đó trong 4 ô còn lại, cần chọn
2 ô điền chữ số 1, cuối cùng còn lại 2 ô điền chữ số 6
Vậy có tất cả có: 8.7.6.5.C 1 = 10080 số thoả yêu cầu đề bài 24
23 (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000)
Số các số có 6 chữ số a a a a a a là 9.101 2 3 4 5 6 5 số Với mỗi số có 6 chữ số a a a a a a ta lập được 5 số có 7 chữ số 1 2 3 4 5 6
Trang 9· Trường hợp 2: Số tạo thành không chứa số 0:
Có 5 cách chọn vị trí cho chữ số 5
Số cách chọn 4 chữ số còn lại là: A 54
Þ Số các số thu được là: 5.A = 600 số 45
Vậy có tất cả: 960 + 600 = 1560 số
40 (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001)
1 Có 9 cách chọn chữ số hàng trăm, 9 cách chọn chữ số hàng chục,
8 cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy có 9.9.8 = 648 số
2 · Trường hợp 1: Chữ số tận cùng bằng 0 Bốn chữ số đứng đầu
được chọn tuỳ ý trong 7 chữ số còn lại nên số các số tạo thành là:
4
7
A = 840
· Trường hợp 2: Chữ số tận cùng khác 0
* Chữ số tận cùng có 3 cách chọn (từ 2, 4, 6)
* Chữ số đứng đầu có 6 cách chọn
* 3 chữ số còn lại được chọn tuỳ ý trong 6 chữ số còn lại
Þ Số các số tạo thành: 3.6.A = 2160 36
Vậy có tất cả: 840 + 2160 = 3000 số
41 (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001)
Số các số gồm 6 chữ số khác nhau là: 6! = 720
Trong đó, số các số có chứa 16 là 5! = 120
số các số có chứa 61 là 5! = 120
Vậy số các số cần tìm là: 720 – 240 = 480 số
42 (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)
Đánh số vị trí đứng từ 1 đến 9
Để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ với 3 học sinh nữ thì mỗi
học sinh nữ đứng cách nhau một, tức là 3 học sinh nữ đứng ở các vị
trí (1;3;5); (2;4;6); (3;5;7); (4;6;8); (5;7;9)
Có 5 cặp 3 vị trí của 3 học sinh nữ
Cách xếp 3 bạn nữ vào mỗi cặp 3 vị trí là 3! Cách xếp 6 bạn nam
vào 6 vị trí còn lại là 6!
Vậy tất cả số cách xếp là: 5.3!.6! = 21600 cách
43 (HV Quan hệ quốc tế 2001)
Ta chỉ có 1 cách chọn vị trí cho chữ số 9
Khi đó số cách xếp 8 chữ số còn lại là 8!
Vậy tất cả có: 8! = 40320 số
44 (ĐH Quốc gia TPHCM 2001)
1 Số được xét có dạng: a a a a a a Xếp chữ số 0 vào các vị trí từ 1 2 3 4 5 6
29 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000)
Xét số lẻ có 6 chữ số khác nhau, lớn hơn 500000:
x = a a a a a a 1 2 3 4 5 6Từ giả thiết Þ a1 Ỵ {5,6,7,8,9}, a6 Ỵ {1,3,5,7,9}
Có 2 khả năng:
1 a1 lẻ:
* a1 có 6 cách chọn
* a6 có 4 cách chọn
* sau khi chọn a1, a6, cần chọn a a a a , mỗi cách chọn ứng với 2 3 4 5một chỉnh hợp chập 4 của 8 phần tử
Vậy khả năng thứ nhất có: 6.4.A = 40320 số 48
2 a1 chẵn:
* a1 có 2 cách chọn
* a6 có 5 cách chọn
* a a a a có 2 3 4 5 A cách chọn 84Vậy khả năng thứ hai có: 2.5.A = 16800 số 48Kết luận: Tất cả có: 40320 + 16800 = 57120 số cần tìm
30 (CĐSP Nha Trang 2000)
Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được viết từ 6 chữ số: 0,
1, 2, 3, 4, 5 là: 5.A = 300 35Trong các số nói trên, số các số tự nhiên không có mặt chữ số 0 là:
5
A = 120 Vậy số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu là: 300 – 120 = 180 số
31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)
Chọn 3 em nam: có 3
9
C cách Chọn 2 em nữ: có 2
6
C cách Vậy có: 3
9
C 2 6
C = 1260 cách
32 (ĐH An ninh khối D 2001)
Giả sử số có 7 chữ số lập được viết trong 7 ô của hình sau:
Thế thì:
* Có 6 cách chọn vị trí cho chữ số 0 (trừ ô số 1)
* Sau khi đã chọn vị trí cho số chữ 0 ta còn C = 20 cách chọn vị trí 36cho 3 chữ số 4
* Sau khi đã chọn vị trí cho chữ số 0 và chữ số 4, ta còn 3! = 6 cách
Trang 10chọn cho 3 chữ số còn lại
Vậy số các số lập được là: 6.20.6 = 720 số
33 (ĐH Cần Thơ 2001)
Coi 7 học sinh nam đứng liền nhau như một vị trí mà thôi thì số cách
để bố trí 7 học sinh đứng liền nhau xen kẽ với 3 học sinh nữ bằng 4!
Nhưng để xếp 7 học sinh nam đứng liền nhau thì lại có 7! cách
Vậy tất cả có: 4!7! = 120960 cách
34 (HV Chính trị quốc gia 2001)
1 Chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗi
nhóm có số nữ như nhau tức là chia mỗi nhóm có 5 người mà trong
đó có 3 nữ và 2 nam Þ số cách chia là: C C = 120 36 24
2 * Số cách chọn ra 5 người mà không có nam là: C = 6 56
* Số cách chọn ra 5 người mà có 1 nam (và 4 nữ) là:
6 4
C C = 60 Vậy số cách chọn ra 5 người mà có không quá 1 nam là:
6 + 60 = 66
35 (ĐH Giao thông vận tải 2001)
Giả sử số cần tìm có dạng: A = a a a a a a 1 2 3 4 5 6
+ Nếu a1 = 4 thì các chữ số còn lại của A là một trong 7 chữ số 0, 1,
2, 3, 5, 6, 7 Vậy có A = 2520 số 57
+ Nếu a1 ≠ 4 thì vì a1 ≠ 0 nên chỉ có 6 cách chọn a1 Vì số 4 phải có
đúng một trong 5 vị trí còn lại là a2, a3, a4, a5, a6 Khi đó các vị trí
khác (không có chữ số 4) sẽ chỉ còn A số khác nhau Vậy trường 64
hợp này có 6.5.A = 10800 số 64
Vậy tất cả có: 2520 + 10800 = 13320 số
36 (ĐH Huế khối ABV 2001)
· Số các số tự nhiên có 4 chữ số là: 9.10.10.10 = 9000 số
· Ta tìm số các số tự nhiên có 1 chữ số lặp lại đúng 3 lần:
+ Số 0 lặp lại đúng 3 lần ứng với số tự nhiên a000 với a Ỵ
{1,2,3, ,9} Þ có 9 số
+ Số 1 lặp lại đúng 3 lần ứng với các số:
* a111 với a Ỵ {2,3,4, …,9} Þ có 8 số
* 1b11 với b Ỵ {0,2,3,…, 9} Þ có 9 số
* 11c1 với c Ỵ {0,2,3,…, 9} Þ có 9 số
* 111d với d Ỵ {0,2,3,…, 9} Þ có 9 số
Þ có 8 + 9 + 9 + 9 = 35 số + Tương tự với mỗi số từ 2 đến 9 ta cũng tìm được 35 số tự nhiên sao cho mỗi chữ số trên lặp lại đúng 3 lần
Do đó số các số tự nhiên có một chữ số lặp lại đúng 3 lần là:
9 + 9.35 = 324 số
· Vậy số các số tự nhiên gồm 4 chữ số mà trong đó không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần là: 9000 – 324 = 8676 số
37 (ĐH Huế khối DHT 2001)
* Số cách chọn 5 em từ 13 em là: C = 1287 135
* Số cách chọn 5 em toàn nam là: C = 21 57
* Số cách chọn 5 em toàn nữ là: C = 6 56Vậy số cách chọn 5 em có cả nam và nữ là: 1287 – (21 + 6) = 1260
38 (HV Kỹ thuật quân sự 2001)
Mỗi tổ có 1 hoặc 2 học sinh giỏi Vì không phân biệt thứ tự của 2 tổ nên số cách chia phải tìm là số cách tạo thành một tổ có 8 học sinh trong đó phải có 1 học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá Các học sinh còn lại tạo thành tổ thứ hai
· Trường hợp 1: Có 2 học sinh khá:
* Có 3 cách chọn 1 học sinh giỏi
· Trường hợp 2: Có 3 học sinh khá:
* Có 3 cách chọn 1 học sinh giỏi
* Có C = 10 cách chọn 3 học sinh khá 35
* Có C = 70 cách chọn 4 học sinh trung bình 48
Þ Có: 3.10.70 = 2100 cách
Vậy có tất cả: 1680 + 2100 = 3780 cách
39 (ĐH Kinh tế quốc dân 2001)
Ta sử dụng 5 ô sau để viết số có 5 chữ số:
· Trường hợp 1: Số tạo thành chứa chữ số 0:
Có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 0 Sau đó còn 4 cách chọn vị trí cho chữ số 5 Số cách chọn 3 chữ số cọn lại là: A 35
Þ Số các số thu được là: 4.4.A = 960 số 35
Trang 11Ta coi cặp (2;3) chỉ là một phần tử “kép”, khi đó chỉ có 5 phần tử là 0,
1, (2; 3), 4, 5 Số hoán vị của 5 phần tử này là P5, phải loại trừ số
trường hợp phần tử 0 ở vị trí đầu gồm P4 trường hợp Chú ý rằng đối
với phần tử kép, ta có thể giao hoán nên số trường hợp sẽ được
nhân đôi Nên số các số tự nhiên thoả mãn đề bài là: 2(P5 – P4) =
192 số
52 (ĐH khối B 2003 dự bị 1)
Coi số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau được chọn từ tập 6 chứ số
đã cho có dạng: a a a a a a (a1 2 3 4 5 6 i Ỵ {1, 2, 3, 4, 5, 6}; ai ≠ aj )
sao cho: a1 + a2 + a3 = a4 + a5 + a6 – 1
Û a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 2(a4 + a5 + a6) – 1
Û 21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 2(a4 + a5 + a6) – 1
Û a4 + a5 + a6 = 11 Þ a1 + a2 + a3 = 10 (1)
Vì a1, a2 a3 Ỵ {1, 2, 3, 4, 5, 6} nên hệ thức (1) chỉ có thể thoả mãn
trong 3 khả năng sau:
· a1, a2, a3 Ỵ {1; 3; 6}
· a1, a2, a3 Ỵ {1; 4; 5}
· a1, a2, a3 Ỵ {2; 3; 5}
Mỗi bộ số a1, a2, a3 nêu trên tạo ra 3! hoán vị, và mỗi hoán vị đó lại
được ghép với 3! hoán vị của bộ số a4, a5, a6 Vì vậy tổng cộng số
các số tự nhiên gồm 6 chữ số thoả mãn yêu cầu đề bài là: 3.3!.3! =
108 số
53 (ĐH khối B 2003 dự bị 2)
Có 3 khả năng:
· 5 nam và 1 nữ: có 5 1
5 7
C C cách · 4 nam và 2 nữ: có 4 2
5 7
C C cách · 3 nam và 3 nữ: có 3 3
5 7
C C cách Vậy tất cả có: 5 1
· Trường hợp chữ số đứng cuối là 0: thì 6 chữ số còn lại là một chỉnh
hợp chập 6 của 8 phần tử Do đó có 6
8
A số thuộc loại này
· Trường hợp chữ số đứng cuối là một trong các chữ số 2, 4, 6, 8: thì
6 chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập 6 của 8 phần tử (kể cả số có
a2 đến a6: có 5 cách xếp Còn lại 5 vị trí, ta chọn 5 trong 8 chữ số để xếp vào 5 vị trí này: có A cách 58
Vậy tất cả có: 5.A = 33600 cách 58
2 Số được xét có dạng: a a a a a a a 1 2 3 4 5 6 7Chọn 2 vị trí để xếp hai chữ số 2: có C cách 27Chọn 3 vị trí để xếp ba chữ số 3: có C cách 35Còn 2 vị trí, chọn 2 chữ số tuỳ ý để xếp vào 2 vị trí này: có 2!C 28cách
Như vậy nếu xét cả các số bắt đầu bằng chữ số 0 thì có:
7
C 3 5
C 2! 2
8
C = 11760 số
Trong các số này, cần loại bỏ các số bắt đầu bới chữ số 0
Đối với các số 0a a a a a a : 2 3 4 5 6 7
* Chọn 2 vị trí để xếp chữ số 2: có C cách 26
* Chọn 3 vị trí để xếp ba chữ số 3: có C cách 34
* Chọn 1 số để xếp vào vị trí còn lại: có 7 cách
Như vậy loại này có: 2
6
C 3 4
Tương tự có A số có chứ hàng đơn vị là 3; … 54
Þ Tổng tất cả chữ số hàng đơn vị của các phần tử x Ỵ X là:
S = 3360 + 3360.10 + 3360.100 + 3360.1000 + 3360.10000 = 3360.11111 = 3732960
46 (ĐHSP TPHCM khối DTM 2001)
1 Số tập con của A là: C020+C120+C220+ + C = 22020 20
Trang 122 Số tập con khác rỗng của A có số phần tử chẵn là:
47 (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)
1 Xét các số chẵn x = abc với 3 chữ số khác nhau; a, b, c Ỵ
{1;2;3;4;5} = E
Vì x chẵn nên c Ỵ {2;4} Þ có 2 cách chọn c
Với mỗi cách chọn c, có A cách chọn bc 24
Vậy tất cả có: 2.A = 24 số chẵn 24
2 Xét x = abc với 3 chữ số khác nhau thuộc E = {1;2;3;4;5;6}
* Nếu a ≥ 4 thì x > 345
* Nếu a = 1 hoặc 2 thì với mọi chỉnh hợp chập 2 (b,c) của E \ {a} ta
đều có x = abc < 345 Loại này có: 2.A = 40 số 25
Loại này có: 2.4 + 1.2 = 10 số
Vậy có tất cả: 40 + 10 = 50 số
48 (ĐH Văn Lang 2001)
1 Nếu trong 5 học sinh phải có ít nhất 2 học sinh nữ và 2 học sinh
nam thì có 2 trường hợp:
* 2 nam và 3 nữ: có C C cách 102 310
* 3 nam và 2 nữ: có C C cách 103 210
Vậy tất cả có: 2.C C = 10800 cách 102 103
2 Nếu trong 5 học sinh phải có ít nhất 1 học sinh nữ và 1 học sinh
nam thì có 4 trường hợp:
* 1 nam và 4 nữ: có 1 4
Ta xét các trường hợp sau:
1 Chữ số hàng đơn vị là 2, 4, 6 Þ có 3 cách chọn chữ số hàng đơn
vị
a) Chữ số hàng trăm nhỏ hơn 7: Khi đã chọn chữ số hàng đơn vị, ta còn 5 cách chọn chữ số hàng trăm Sau khi đã chọn chữ số hàng đơn vị và hàng trăm, ta còn 7 cách chọn chữ số hàng chục
Þ Số các số thu được là: 3.5.7 = 105 số
b) Chữ số hàng trăm bằng 7: Sau khi chọn chữ số hàng đơn vị, ta còn 6 cách chọn chữ số hàng chục
Þ Số các số thu được là: 3.6 = 18 số
2 Chữ số hàng đơn vị là 8:
a) Chữ số hàng trăm nhỏ hơn 7: có 6 cách chọn chữ số hàng trăm Sau khi đã chọn chữ số hàng trăm, ta còn 7 cách chọn chữ số hàng chục
Þ Số các số thu được là: 6.7 = 42 số
b) Chữ số hàng trăm bằng 7: có 6 cách chọn chữ số hàng chục
Þ Số các số thu được là: 6 số
Vậy tất cả có: 105 + 18 + 42 + 6 = 171 số
Bộ phận I gồm các cách chọn từ đội tuyển ra 8 em sao cho mỗi khối đều có em được chọn (số cách phải tìm)
Bộ phận II gồm các cách chọn từ đội tuyển ra 8 em chỉ gồm 2 khối (lưu ý là số em thuộc mỗi khối đều ít hơn 8 nên không có cách chọn nào mà cả 8 em thuộc cùng một khối)
Bộ phận II có thể chia thành ba loại:
· 8 em được chọn từ khối 12 hoặc 11: có C cách 138
· 8 em được chọn từ khối 12 hoặc 10: có C cách 128
· 8 em được chọn từ khối 11 hoặc 10: có C cách 118Vậy số cách phải tìm là: C – (818 C + 138 C + 812 C ) = 41811 cách 118
51 (ĐH khối A 2003 dự bị 2)
Trang 13· Chọn 13 học sinh trong số 25 học sinh khối A và B Số cách chọn
bất kì là: C = 5200300 1325
Số cách chọn được 4 học sinh khối A và 9 học sinh khối B là: C C 15 104 9
Số cách chọn được 3 học sinh khối A và 10 học sinh khối B là:
66 (CĐ Tài chính – Hải quan khối A 2006)
Chọn 2 vị trí xếp chữ số 0: có C cách 24
Chọn 1 vị trí xếp chữ số 1: có 3 cách
Chọn 2 chữ số xếp vào 2 vị trí còn lại: có cách
Vậy tất cả có: 2
4
C 3 2
8
A = 1008 số thoả yêu cầu đề bài
67 (CĐ Xây dựng số 3 khối A 2006)
· Gọi ab là số tự nhiên phải tìm Þ a ≠ 0
Do ab chẵn nên b Ỵ {0, 2, 4, 6, 8}
Có 2 trường hợp:
* Nếu b = 0 thì a Ỵ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Þ có 9 cách chọn a
Þ có 9 số a0
* Nếu b ≠ 0 thì b Ỵ {2, 4, 6, 8} Þ có 4 cách chọn b
Khi đó có 8 cách chọn a
Þ có 4.8 = 32 số ab
Vậy tất cả có: 9 + 32 = 41 số cần tìm
· Đặt S là tổng của 41 số đó
S = (10 + 12 + 14 + … + 96 + 98) – (22 + 44 + 66 + 88)
= 45.10 98+
2 – 10.22 = 45.54 – 220 = 2210
68 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)
· Hai đỉnh thuộc d1, một đỉnh thuộc d2: có C 8 tam giác 102
· Hai đỉnh thuộc d2, một đỉnh thuộc d1: có C 10 tam giác 28
Vậy tất cả có: C 8 + 102 C 10 = 640 tam giác 28
chữ số 0 đứng đầu) Vậy số các số loại này là: 4.(A68-A 57)
Vậy tất cả có: A + 4.68 (A68-A = 90720 số 57)
Þ C = n + 2n Û n2 n(n 1)
-2 = 3n Û n
2 – n = 6n
Û n2 – 7n = 0 Û éê =ën 7n 0= (loại)Vậy n = 7
a2 có 2 khả năng:
* a2 < 4 Þ a2 Ỵ {1, 3} Þ a2 có 2 cách chọn, a3 có 3 cách chọn trong 3 số còn lại Þ Có 2.3 = 6 số
* a2 = 4; a3 ≠ 5, 2, 4 Þ a3 có 2 cách chọn Þ Có 2 số
Þ Có 6 + 2 = 8 số x = 2a a 2 3Vậy có tất cả: 12 + 8 = 20 số thoả yêu cầu đề bài
Trang 1458 (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002)
Số cần tìm có dạng: a a a a 1 2 3 4
Chọn a4 từ {1, 5, 9} Þ có 3 cách chọn
Chọn a1 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {0, a4} Þ có 3 cách chọn
Chọn a2 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a4} Þ có 3 cách chọn
Chọn a3 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a2, a4} Þ có 2 cách chọn
Vậy tất cả có: 3.3.3.2 = 54 số thoả mãn yêu cầu đề bài
59 (ĐH khối B 2004)
Mỗi đề kiểm tra có số câu dễ là 2 hoặc 3, nên có các trường hợp
sau:
* Đề có 2 câu dễ, 2 câu trung bình, 1 câu khó Þ có C C C đề 152 102 15
* Đề có 2 câu dễ, 1 câu trung bình, 2 câu khó Þ có C C C đề 152 110 25
* Đề có 3 câu dễ, 1 câu trung bình, 1 câu khó Þ có C C C đề 153 110 15
Vậy tất cả có:
Có C C cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ 1 43 12
nhất Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ
nhất, thì có C C cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh 1 42 8
thứ hai Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh
thứ nhất và tỉnh thứ hai, thì có 1 4
· Có 6 cách chọn a1
· Có 5 cách chọn a2
· Có 3! cách chọn a3, a4, a5
· Có 4 cách chọn a6
Þ Có: 6.5.6.4 = 720 số x
b) Khi a3, a4, a5 Ỵ {1, 3, 4}, tương tự ta cũng có 720 số x
Vậy tất cả có: 720 + 720 = 1440 số x
62 (ĐH khối B 2005 dự bị 1)
Ta có các trường hợp:
· 3 nữ và 5 nam: có C C = 2520 cách 3 55 10
· 4 nữ và 4 nam: có C C = 1050 cách 4 45 10
· 5 nữ và 3 nam: có C C = 120 cách 5 35 10Vậy tất cả có: 2520 + 1050 + 120 = 3690 cách
63 (ĐH khối B 2005 dự bị 2)
· Cách 1: Gọi x = a a a a a là số cần lập 1 2 3 4 5Trước tiên ta có thể xếp 1 và 5 vào 2 trong vị trí: có A = 20 cách 52Sau đó, ta có 5 cách chọn 1 chữ số cho vị trí còn lại đầu tiên
4 cách chọn 1 chữ số cho vị trí còn lại thứ hai
3 cách chọn 1 chữ số cho vị trí còn lại thứ ba
Vậy tất cả có: 20.5.4.3 = 1200 số
· Cách 2:
* Bước 1: Xếp 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí: có A = 20 cách 25
* Bước 2: có A = 60 cách xếp 3 trong 5 số còn lại vào 3 vị trí còn 35lại
Vậy có 20.60 = 1200 số
64 (ĐH khối D 2006)
Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là: C = 495 124Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một em được tính như sau:
· Lớp A có 2 học sinh, các lớp B, C mỗi lớp 1 học sinh
Þ Số cách chọn là: C C C = 120 2 1 15 4 3
· Lớp B có 2 học sinh, các lớp A, C mỗi lớp 1 học sinh:
Þ Số cách chọn là: C C C = 90 1 2 15 4 3
· Lớp C có 2 học sinh, các lớp A, B mỗi lớp 1 học sinh:
Þ Số cách chọn là: 1 1 2
5 4 3
C C C = 60 Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học sinh là:
120 + 90 + 60 = 270 Vậy số cách chọn phải tìm là: 495 – 270 = 225 cách
65 (CĐ GTVT III khối A 2006)
· Số cách chọn 2 học sinh khối C là: C = 10 25