Tìm tọa độ của điểm: a/ N đối xứng với M qua mặt phẳng Oxy.. b/ Tìm tọa độ tâm của các mặt ABCD và ABB’A’ của hình hộp đó... b/ Tìm tọa độ trong tâm G của ∆ABC.. b/ Tính góc tạo bởi các
Trang 1PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I/ PHÉP TOÁN VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1: Cho ∆ABC có trong tâm G và M là điểm tùy ý trong ko gian
a/ CMR: MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2
b/ Tìm quỹ tích các điểm M sao cho MA2 + MB2 + MC2 = k2
Bài 2: Cho tứ diện ABCD Gọi G là trọng tâm ∆BCD và O là trung điểm của AG; M là điểm tùy ý
a/ CMR: 3OA OB OC+ + +OD=0
uuur uuur uuur uuur r b/ CMR: 3MA2 +MB2+MC2+MD2 =6MG2 +3OA2 +OB2 +OC2+OD2
c/ Tìm quỹ tích các điểm M thỏa: 3MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = k2
Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Hai điểm M, N nằm trên hai cạnh B’C’ và CD sao cho MB’ = CN CMR: AM ⊥ BN
Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh rằng :
a/ AC'+A C' =2AC
uuuur uuuur uuur
b/ AC'−A C' =2CC' uuuur uuuur uuuur
II/ VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1: Trong không gian Oxyz Hãy viết tọa độ của các vectơ:
a/ a e1 2e3
= − + b/ b 2e1 e2
= − c/ c 2e1 7e2 3e3
d/ 1 2 2 3
2
2
= − f/ f 4,5e1
=
Bài 2: Hãy viết dưới dạng: x e→1+y e→2+z e→3 các vectơ sau đây :
a/ u ( 2;1; 3)
→
= − b/ ( 1 ; 0; )6
5 3
v
→
2
→
=
d/ p (0; 2;5)
→
= − e/ q (0; 0; 2)
→
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho 3 vectơ: a (2; 5;3); b (0; 2; 1); c (1; 7; 2)
a/ Tính tọa độ của vectơ : x a b c
=4 −1 +
3 3
b/ Cho biết M(–1;2;3); hãy tìm tọa độ các điểm A, B, C sao cho:
uuur uuur uuuur
Bài 4: Tìm tọa độ của vectơ x biết:
a/ x b 0 khi b (1; 2;1)
+ = = − b/ 2x a b khi a (5; 4; 1); b (2; 5;3)
c/ 2x a x b khi a (5; 6; 0); b ( 3; 4; 1)
Bài 5: Cho điểm M có tọa độ (x; y; z) Gọi M1, M2, M3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm
M trên các trục Ox, Oy, Oz Gọi M1', M1', M3’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng Oxy, Oyz, Ozx Tìm tọa độ của các điểm M1’, M2’, M3’ Áp dụng cho M(–1,2,3) Bài 6: Cho điểm M có tọa độ (x; y; z) Tìm tọa độ của điểm:
a/ N đối xứng với M qua mặt phẳng Oxy b/ P đối xứng với M qua trục Ox
c/ Q đối xứng với M qua gốc tọa độ O Áp dụng với M(–2; 5; 1)
Bài 7: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm: A(0; 2; –1); B(1; 1; 3) và C(–1; 2; –2)
a/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC
b/ Tính diện tích ∆ABC
Bài 8: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết: A(1; 0; 1); B(2; 1; 2); D(1; –1; 1); C’(4; 5; –5)
a/ Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp
b/ Tìm tọa độ tâm của các mặt ABCD và ABB’A’ của hình hộp đó
Bài 9: Cho hai bộ 3 điểm: A(1; 3; 1); B(0; 1; 2); C(0; 0; 1) và A’(1;1;1); B’(–4; 3; 1); C’(–9; 5; 1)
Hỏi bộ nào có 3 điểm thẳng hàng ?
Trang 2Bài 10: Tính tọa độ của vectơ tích có hướng của hai vectơ a b
→ → , trong mỗi trường hợp sau:
a/ a (3; 0; 6); b (2; 4;5)
= − = − b/ a (1; 5; 2); b (4;3; 5)
c/ a (0; 2; 3);b (1; 3; 2)
= = − d/ a (1; 1;1); b (0;1; 2)
e/ a (4;3; 4);b (2; 1; 2)
Bài 11: Tính khoảng cách giữa hai điểm A, B trong mỗi trường hợp:
a/ A(4;–1; 1); B(2; 1; 0) b/ A(2; 3; 4); B(6; 0; 4) c/ A( 2 ; 1; 0); B(1; 2 ; 1) Bài 12: Tính góc giữa hai vectơ a b
→ → , trong mỗi trường hợp sau : a/ a (4;3;1); b ( 1; 2;3)
= = − b/ a (2; 4;5), b (6; 0; 3)
Bài 13: Cho ∆ABC với A(1; 0; 0), B(0; 0; 1), C(2; 1; 1)
a/ Tính các góc của ∆ABC
b/ Tìm tọa độ trong tâm G của ∆ABC
c/ Tính chu vi và diện tích tam giác đó
Bài 14: Tìm điểm M trên trục Oy, biết M cách đều 2 điểm A(3; 1; 0) và B(–2; 4; 1)
Bài 15: Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm M cách đều 3 điểm A(1; 1; 1), B(–1; 1; 0) và C(3; 1; –1) Bài 16: Tính diện tích của hình bình hành ABCD có AB =(6;3; 2)−
uuur
và AD =(3; 2; 6)−
uuur
Bài 17: Xét sự đồng phẳng của ba vectơ a b c, ,
ur ur ur
trong mỗi tr.hợp sau:
a/ a (4; 2;5); b (3;1;3); c (2; 0;1)
= = = b/ a (1; 1;1); b (0;1; 2); c (4; 2;3)
c/ a (4;3; 4); b (2; 1; 2); c (1; 2;1)
= = − = d/ a ( 3;1; 2); b (1;1;1);c ( 2; 2;1)
Bài 18: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết A(1; 0; 1) và B(2; 1; 2); OD= −i j +k
uuur r ur ur
,
uuuur r ur ur
Tìm tọa độ các đỉnh còn lại
Bài 19: Cho A(2;–1; 1), B(4; 5; –2) Đường thẳng Ab cắt mp Oxyz tại điểm M Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào? Tìm tọa độ điểm M
Bài 20: Cho A(1; 1; 1), B(5; 1; –2) và C(7; 9; 1)
a/ Chứng minh A, B, C không thẳng hàng
b/ Phân giác trong góc A của ∆ABC cắt BC tại D Tìm tọa độ của D
c/ Tính cosin của góc BAC và diện tích ∆ABC
Bài 21: Cho A(1; 2; 1), B(5; 3; 4) và C(8; 3; –2)
a/ CMR: ABC là tam giác vuông
b/ Tìm tọa độ chân đường phân giác trong của tam giác kẻ từ B
c/ Tính diện tích của ∆ABC
Bài 22: Cho A(1; 0; 1), B(–1; 1; 2), C(–1; 1; 0) và D(2; –1; –2)
a/ CMR: A, B, C, D là bốn đỉnh của hình chữ nhật
b/ Tính đường cao của ABCD kẻ từ đỉnh D
Bài 23: Cho A(1; 0; 0), B(0; 0; 1) và OC=2i + j +k
uuur r ur ur
a/ CMR: A, B, C là ba đỉnh của một tam giác
b/ Tính chu vi và diện tích của ∆ABC
c/ Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABCD là hình bình hành
d/ Tính độ dài đường cao của ∆ABC hạ từ đỉnh A
e/ Tính các góc của ∆ABC
Bài 24: Cho A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(–2; 1; –1)
a/ CMR: A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện
b/ Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD
c/ Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao hạ từ A
Bài 25: Cho A(1; –2; 2), B(1; 4; 0), C(–4; 1; 1) và D(–5; –5; 3)
Trang 3a/ CMR: tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc
b/ Tính diện tích tứ giác ABCD
Bài 26: Cho tứ diện PABC, biết P(1; –2; 1), A(2; 4; 1), B(–1; 0; 1) và C(–1; 4; 2) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của P trên (ABC)
Bài 27: Cho A(4; 2; 6), B(10; –2; 4), C(4; –4; 0) và OD=2(k −i)
uuur ur r
a/ CMR: ABCD là hình thoi b/ Tính diện tích của hình thoi
Bài 28: Cho 2; ;15
2
,
5 3
; ; 0
2 2
,
3 5; ;3 2
,
9 5
; ; 4
2 2
a/ CMR: bốn điểm trên là bốn đỉnh của hình bình hành
b/ Tính diện tích hình bình hành đó
Bài 29: Cho A(1; 0; 1), B(–2; 1; 3) và C(1; 4; 0)
a/ Tìm hệ thức giữa x, y, z để điểm M(x; y; z) thuộc mp(ABC)
b/ Tìm trực tâm H của ∆ABC
c/ Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC
III/ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
A/ Phương trình của mặt phẳng
Bài 1: Lập phương trình tham số và tổng quát của mp(α) đi qua 3 đ A(2; –5; 1), B(3; 4; –2) C(0; 0; –1)
Bài 2: Cho điểm M(2; –1; 3) và mp(α) có p.trình 2x –y + 3z –1 = 0
a/ Lập pt tổng quát của mp(β) đi qua M và song song với mp(α)
b/ Hãy lập phương trình tham số của mp(β) nói trên
Bài 3: Hãy lập pt mp(α) đi qua 2 điểm M(7; 2; –3), N(5; 6; –4) và song song vơi trục Oz
Bài 4: Lập pt mp(α) đi qua điểm M(2; –1; 2) và vuông góc với các mp: 2x – z + 1 = 0 và y = 0 Bài 5: Lập pt mp(α) đi qua gốc tọa độ và vuông góc với các mp: 2x – y + 3z – 1 = 0 và x + 2y + z =
0
Bài 6: Lập pt mp(α) đi qua hai điểm A(1; –1; –2) B(3; 1; 1) và vuông góc với mp x – 2y + 3z – 5 =
0
Bài 7: Cho mpα có phương trình tham số :
= +
= − +
= − − +
1 2
5 2
1
2
a/ Hãy lập phương trình tổng quát của mp(α’) đi qua gốc tọa độ và song song với mpα b/ Tính góc ϕ tạo bởi mp(α’) và mp(β) có pt: x + y + 2z –10 = 0
Bài 8: Tính khoảng cách từ điểm A(7; 3; 4) đến mp(α) có phương trình: 6x – 3y + 2z –13 = 0 Bài 9: Cho mp(α) : 2x – 2y – z – 3 = 0 Lập phương trình mp(β) song song với mp(α) và cách mp(α) một khoảng d = 5
Bài 10: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
a/ Đi qua M(1; 3; –2) và vuông góc với trục Oy
b/ Đi qua M(1; 3; –2) và vuông góc với đ.thẳng AB với A(0; 2; –3) và B(1; –4; 1)
c/ Đi qua M(1; 3; –2) và song song với mp: 2x – y + 3z + 4 = 0
Bài 11: Cho hai điểm A(2; 3; –4) và B(4; –1; 0) Viết pt mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB Bài 12: Cho ∆ABC, với A(–1; 2; 3), B(2; –4; 3) và C(4; 5; 6) Viết phương trình mp(ABC)
Bài 13: Viết ptmp đi qua 2điểm P(3; 1; –1) và Q(2; –1; 4) và vuông góc với mp: 2x – y + 3z + 1 =
0
Bài 14: Cho A(2; 3; 4) Hãy viết p.trình mp(P) đi qua các hình chiếu của A trên các trục tọa độ, và p.trình mp(Q) đi qua các hình chiếu của A trên các mặt phẳng tọa độ
Bài 15: Viết p.trình mp qua điểm M(2; –1; 2), ssong với trục Oy và vuông góc với mp: 2x – y + 3z + 4 = 0
Bài 16: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
Trang 4a/ Qua I(–1;–2;–5) và đồng thời ⊥ với hai mp (P): x + 2y –3z +1 = 0 và (Q): 2x – 3y + z + 1
= 0
b/ Qua M(2; –1; 4) và cắt chiều dương các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại P, Q, R sao cho :
OR = 2OP = 2OQ
c/ Qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x – y –12z – 3 = 0, (Q): 3x + y – 7z – 2 = 0 và vuông góc với mp(R): x + 2y + 5z – 1 = 0
d/ Qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x + 3y + 5z – 4 = 0, mp(Q): x – y – 2z + 7 = 0 và song song với trục Oy
e/ Là mp trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 1; 0), B(–1; 2; 3)
f/ mp(X) nhận M(1; 2; 3) làm hình chiếu vuông góc của N(2; 0; 4) lên trên mp(X)
B/ Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Bài 1: Xác định m để hai mặt phẳng: Song song với nhau? Trùng nhau? Cắt nhau?
a/ (P): 2x –my + 3z –6 + m = 0; (Q): (m+3)x –2y + (5m +1)z–10 = 0
b/ (P): (1– m)x + (m + 2)y + mz + 1 = 0;
(Q): 4mx – (7m + 3)y –3(m + 1)z + 2m = 0
Bài 2: Cho 3 mặt phẳng (P): 2x – y + z + 1 = 0; (Q): x + 3y –z + 2 = 0 và (R): –2x + 2y+ 3z + 3 = 0
a/ Chứng minh (P) cắt (Q)
b/ Viết p.trình mp(S) qua giao tuyến của hai mp(P), (Q) và qua điểm M(1; 2; 1)
c/ Viết p.trình mp(T) qua giao tuyến của hai mp(P), (Q) và song song với mp(R)
d/ Viết p.trình mp(U) qua giao tuyến của hai mp(P), (Q) và vuông góc với mp(R)
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
a/ Đi qua M(2; 1; –1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình: x – y + z – 4 = 0
; 3x – y + z – 1 = 0
b/ Qua giao tuyến của hai m.phẳng: y + 2z – 4 = 0; x + y – z – 3 = 0 đồng thời song song với mp: x + y + z = 0
c/ Qua giao tuyến của hai m.phẳng: 3y – y + z –2 = 0; x + 4y –5 = 0 đồng thời vuông góc với mp: 2x – z + 7 = 0
Bài 4: Tìm điểm chung của ba mặt phẳng:
a/ x + 2y – z – 6 = 0; 2x – y + 3z + 13 = 0; 3x – 2y + 3z + 16 = 0
b/ 4x + y + 3z – 1 = 0; 8x – y + z – 5 = 0; 2x – y – 2z – 5 = 0
Bài 5: Cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 3), B(3; –2; 1), C(–4; 1; 1) và D(1; 1; –3)
a/ Viết phương trình các mặt phẳng (ABC), (ABD)
b/ Tính góc giữa (ABC) và (ABD)
c/ Tìm pt mp(P) chứa CD và // với vectơ v
ur
= (m; 1–m; 1+m) Định m để mp(P) vuông góc với mp(ABC)
d/ Định m, n để mp(P) trùng với mp: 4x + ny + 5z + 1 – m = 0
Bài 6: Viết p.trình mặt phẳng qua M(0; 2; 0), N(2; 0; 0) và tạo với mpOyz một góc 600
Bài 7: Tìm điểm M’ đối xứng của M qua mp(P) biết:
a/ M(1; 1; 1) và mp(P): x + y – 2z – 6 = 0
b/ M(2; –1; 3) và mp(P): 2x – y – 2z – 5 = 0
Bài 8: Cho tứ diện ABCD với A(–1; –5; 1), B(2; –4; 1), C(2; 0; –3) và D(0; 2; 2)
a/ Lập phương trình các mặt phẳng (ABC), (ABD)
b/ Tính cosin của góc nhị diện cạnh AB, cạnh BC
c/ Tìm điểm đối xứng của điểm A qua các mp(BCD), (OBC)
Bài 9: Cho đường thẳng MN biết M(–6; 6; –5), N(12; –6; 1)
a/ Tìm giao điểm của đường thẳng MN với các m.phẳng tọa độ
b/ Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mp(α) có phương trình: x– 2y + z–9 = 0 và tính sin của góc ϕ giữa đ.thẳng MN và mp(α)
c/ Viết p.trình tổng quát của mp chứa đ.thẳng MN và // với trục Oz
C/ Chùm mặt phẳng
Bài 1: Cho hai mặt phẳng cắt nhau (P): 3x – 2y + 2z + 7 = 0 và (Q): 5x – 4y + 3z + 1 = 0
Trang 5a/ Viết phương trình mp(R) qua M(1; –2; 1) và chứa giao tuyến của hai mp(P) và (Q)
b/ Viết pt mp(T) vuông góc với mp: x + 2y + z = 0 và chứa giao tuyến của hai mp(P) và (Q) c/ Viết phương trình mp(U) chứa giao tuyến của hai mp(P) và (Q) và tạo với mp: x + y – z =
0 một góc nhọn a mà cosa = 3/125
Bài 2: Định l, m để mp(P):5x + ly + 4z + m = 0 thuộc chùm mp: λ(3x – 7y + z – 3) + µ(x – 9y – 2z + 5) = 0
IV/ ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
A/ Phương trình của đường thẳng
Bài 1: Lập phương trình tham số và tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M(2; 0;–3) và nhận (2; 3;5)
a
→
= − làm vectơ chỉ phương
Bài 2: Lập p.trình của đường thẳng d đi qua điểm M(–2; 6; –3) và:
a/ Song song với đường thẳng a:
= +
= − −
= − −
1 5
2 2 1
b/ Lần lượt song song với các trục Ox, Oy, Oz
Bài 3: Lập p.trình tham số và p.trình tổng quát của đường thẳng d:
a/ Đi qua hai điểm A(1; 0; –3), B(3, –1; 0)
b/ Đi qua điểm M(2; 3;–5) và // với đ.thẳng: 3 2 7 0
Bài 4: Trong mpOxyz cho 3 điểm A(–1; –2; 0) B(2; 1; –1) C(0; 0; 1)
a/ Hãy viết phương trình tham số của đường thẳng AB
b/ Tính đường cao CH của ∆ABC và tính diện tích ∆ABC
c/ Tính thể tích hình tứ diện OABC
Bài 5: Viết p.trình tam số, chính tắc, tổng quát của đ.thẳng d biết:
a/ d qua M(2; 0; –1) và có vectơ chỉ phương là (–1; 3; 5)
b/ d qua M(–2; 1; 2) và có vectơ chỉ phương là (0; 0; –3)
c/ d qua M(2; 3; –1) và N(1; 2; 4)
Bài 6: Viết phương trình của đường thẳng d biết:
a/ d qua M(4; 3; 1) và // với đ.thẳng:( x = 1 + 2t; y = –3t; z = 3 + 2t)
b/ d qua M(–2; 3; 1) và song song với đ.thẳng: 2 1 2
c/ d qua M(1; 2; –1) và song song với đ.thẳng: 3 0
+ − + =
− + − =
Bài 7: Viết p.trình tổng quát của đ.thẳng d dưới dạng giao của hai m.phẳng song song với các trục
Ox, Oy biết p.trình tham số của d là:
a/
2 2
1 3
4 3
= +
= − +
= − +
b/
1
2 4
3 2
= − +
= −
= +
Bài 8: Viết p.trình chính tắc của đ.thẳng d biết pt tổng quát của nó là:
− + + =
− + =
3 0
+ − + =
− + − =
Bài 9: Viết ptrình hình chiếu vuông góc của đt d: 1 2 3
a/ Trên mpOxy b/ Trên mpOxz c/ Trên mpOyz
Bài 10: Viết ptrình hình chiếu vuông góc của đt d: 2 5 0
− + + =
− + =
trên mp: x + y + z – 7 = 0
Trang 6Bài 11: Viết phương trình đường thẳng trong các trường hợp sau:
a/ Đi qua điểm (–2; 1; 0) và vuông góc với mp: x + 2y – 2z = 0
b/ Đi qua điểm (2; –1; 1) và vuông góc với hai đường thằng:
(d1): 1 0
+ + =
− =
; (d2):
0
z
+ − =
=
Bài 12: Cho A(2; 3; 1), B(4; 1; –2), C(6; 3; 7) và D(–5; –4; 8) Viết ptts, chính tắc và tổng quát của:
a/ Đường thẳng BM, với M là trọng tâm của ∆ACD
b/ Đường cao AH của tứ diện ABCD
Bài 13: Viết ptct của đ.thẳng d đi qua M(1; 4; –2) và ssong với đ.thẳng: 6 2 2 3 0
Bài 14: Viết ptts của đt nằm trong mp(P): x + 3y – z + 4 = 0 và vuông góc với đt d: 2 3 0
2 0
− − =
tại giao điểm của đường thẳng d và mp(P)
Bài 15: Lập p.trình đường thẳng đi qua điểm (3; 2; 1), vuông góc và cắt đường thẳng:
1
Bài 16: Lập p.trình đường thẳng đi qua điểm (–4; –5; 3) và cắt cả hai đường thẳng:
−
Bài 17: Lập ptts của đt d đi qua điểm (0; 0; 1), v.góc với đt: 1 2
= = và cắt đt:
2 0
1 0
x
+ − + =
+ =
Bài 18: Cho đ.thẳng d: 1 1 2
= = và mp(P): x – y- z – 1 = 0
a/ Tìm ptct của đường thẳng d đi qua điểm M(1; 1; –2), song song với mp(P) và vuông góc với d
b/ Gọi N = d ∩ (P) Tìm điểm K trên d sao cho KM = KN
B/ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG
Bài 1: Viết p.trình mặt phẳng đi qua điểm (3; –2; 1) và vuông góc với đường thẳng:
− + + =
Bài 2: Lập p.trình các giao tuyến của mp: 5x – 7y + 2z – 3 = 0 với các mặt phẳng tọa độ Tìm giao điểm của mặt phẳng đã cho với các trục tọa độ
Bài 3: Lập phương trình tham số và tổng quát của đương thẳng d:
a/ Đi qua điểm M(2; –3; –5) và ⊥ với mp(α): 6x – 3y – 5z + 2 = 0
b/ Đi qua điểm N(1; 4; –2) và // với các mp : 6x + 2y + 2z + 3 = 0 và 3x – 5y – 2z – 1 = 0 Bài 4: Lập phương trình tham số và tổng quát của đường thẳng d:
a/ Đi qua hai điểm A(1; –2; 1), B(3; 1; –1)
b/ Đi qua điểm M(1; –1; –3) và ⊥ với mp(α): 2x – 3y + 4z – 5 = 0
c/ Đi qua điểm C(2; 3; –1) và // với đt có p.trình: x y z
+ − + =
Bài 5: Cho đường thẳng a có p.trình: x z
2 0 và mp(α) có phương trình: z + 3y – z + 4 = 0
a/ Tìm giao điểm H của a và mp(α)
b/ Lập ptđt ∆ nằm trong mp(α), đi qua điểm H và vuông góc với đường thẳng a
Trang 7Bài 6: Cho đt a: x y z
2 3 13 0 và mp(α): 3x–2y + 3z + 16 = 0
a/ Tìm giao điểm M của đường thẳng a và mp(α)
b/ Gọi ϕ là góc giữa a và mp(α) Hãy tính sinϕ
c/ Lập pttq của đường thẳng a’, với a’ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng a trên mp(α)
Bài 7: Cho mp(α) có p.trình: 6x + 2y + 2z + 3 = 0 và mp(β) có p.trình: 3x – 5y – 2z – 1 = 0
a/ Hãy viết p.trình tham số của đ.thẳng d đi qua điểm M(1; 4; 0) và song song với (α) và (β) b/ Lập phương trình của mp(γ) chứa đường thẳng d và đi qua giao tuyến của hai mp (α) và (β)
c/ Lập p.trình của mp(P) đi qua M và vuông góc với (α) và (β)
Bài 8: Cho mp(α) có phương trình: 2x – 3y + 3z – 17 = 0 và hai điểm A(3; –4; 7), B(–5; –14; 17)
a/ Viết p.trình tham số của đ.thẳng d đi qua A và vuông góc với (α)
b/ Hãy tìm trên α một điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến A và B là bé nhất Bài 9: Cho đường thẳng d có phương trình: 2 6 0
− + − =
a/ Hãy tìm giao điểm của đường thẳng a với các mp tọa độ
b/ Hãy tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d
c/ Gọi M là giao điểm của đt a với mp(α) có pt: x + y – z + 12 = 0 Hãy tính tọa độ của M d/ Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng d và mpα nói trên Hãy tính sinϕ
Bài 10: Trong mpOxyz cho hai đường thẳng ∆ và ∆’ có p.trình:
∆ :
= +
= − −
=
3 2 2
; ∆’ : x y
− + =
5 0
a/ Tìm vectơ chi phương của mỗi đường thẳng và tính góc giữa hai đường thẳng đó
b/ Viết phương trình mp(α) chứa ∆ và song song với ∆’
c/ Chứng minh ∆ và ∆’ chéo nhau Tính khoảng cách giữa chúng
Bài 11: Viết phương trình mp chứa đường thẳng: 4 0
+ + − =
− + − =
Bài 12: Viết ptđt d nằm trong mặt phẳng: y + 2z = 0 và cắt hai đường thẳng:
1
4
= −
=
=
;
2
4 2
1
z
= −
= +
=
Bài 13: Viết p.trình đ.thẳng song song với đường thẳng:
3 1 5
=
= −
= +
và cắt hai đường
4 3 0
− − + =
− + − =