Viết phơng trình tiếp tuyến với đờng cong đó, biết: a Tiếp điểm là Aư1; ư1... Tìm k để tiếp tuyến đó chắn trên các... Tìm quỹ tích trung điểm K của PQ.
Trang 1Ch ơng I: Đạo hàm I) Định nghĩa đạo hàm:
Bà i1 : Dựa vào đ ịnh nghĩa , tính đ ạo hàm của các hàm số sau đâ y tại đ iểm x0 đ∙ chỉ ra:
a) y = x2 + x x0 = 2
b) y =
x
1
x0 = 2
c) y =
1
1
+
−
x
x
x0 = 0 Bài2: Dựa vào định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau đây (tại điểm x ∈ R)
a) y = x ư x b) y = x3 ư x + 2
c) y = x3 + 2x c) y =
1
1 2
−
−
x x
Bài3: Tính f'(8) biết f(x) = 3 x
Bài4: Cho đờng cong y = x3. Viết phơng trình tiếp tuyến với
đờng cong đó, biết:
a) Tiếp điểm là A(ư1; ư1)
b) Hoành độ tiếp điểm bằng 2
c) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 3x + 5
d) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = ư
12 x + 1
Bài5: Cho f(x) = x(x + 1)(x + 2)…(x + 2004)
Dùng định nghĩa đạo hàm tính đạo hàm f'(ư1000)
II) các phép tính đạo hàm:
Bài1: Tính các đạo hàm của các hàm số sau:
1) y = (x 2 −3 x+4) (x 3 −2 x 2 +5 x−3) 2) y = (2 x+1)(3 x+2)(4 x+3)(5 x+4)
3) y = (x 3 −3 x 2 +3 x+1)2 −2(x−1)3
4) y = ( )4 ( )4 ( 2 )3
3 4 2
3 1
2 x+ + x+ − x − x+
5) y = (x+1) (2 x+2) (3 x+3)4 6) y =
4 3
6 5
2 2
+
−
+
−
x
x x
3 −x
Trang 2Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Ki t - H i Phũngệ ả
1
1 1
1 2
−
+ +
−
+
x
x x
2
2 2
2
1
1 1
1
x x
x x
x
x
x
x
+ +
− + +
−
+
+
11 ) y = (1+x) 2+x 2 3 3+x 3 12 ) y =
3
3
1
1 x
x
− +
13 ) y = 4 3 5 6
6 2
3 1
−
−
−
−
x x
x
x cos x
sin
x cos x
sin
+
−
15 ) y = sin[sin(sin x) ] 16 ) y =
x
sin
−
−
2
1 2
17 ) y = − + + +3 + 2
2
1 2
3
x ln
x
Bài2: Tính các đạo hàm của các hàm số sau :
1) y = x ln x 2) y = sin x cos x
3) y =
x
x 2 2
1
x x
x + +
5) y = 5 3 7 4
5 4
2 3
1
−
−
+ +
+
x x
x x
x
III) đạo hàm một phía và điều kiện tồn tại đạo hàm:
Bài1: Cho f ( x ) =
x
x
+
1 Tính f'(0 ) Bài2: Cho f ( x ) = x x+2. Tính f'(0 )
Bài3: Cho f ( x ) =
=
≠
−
0 x
nế u 0
0 x
nế u x
x cos 1
1) Xé t tính liên tục của f(x ) tại x = 0
2) Xé t tính khả v i của f(x ) tại x = 0
Bài4: Cho hàm số : f ( x ) =
1 3
3 2
2
−
+
−
x
x
Chứng m inh rằng f(x ) liên tục tại x = ư3 nhng không có đ ạo hàm tại x = ư3
Trang 3Bài5: Cho f ( x ) = ( )
≤ +
>
0 x
nế u 1 ax
ư x
ư
0 x
nế u e
x
2
x
1
. Tìm a để ∃f'(0 )
Bài6: Cho f ( x ) =
>
+ +
≤
−
0 1
0 x
nế u b
ax
x
nế u x sin b x cos a
IV) đạo hàm cấp cao:
Bài1: Cho f ( x ) =
1 2
2 3
2
2
− +
+
−
x x
x
x . Tính : f(n)(x)
Bài2: Cho f ( x ) =
6 11 6
8 4 3
2 3
2
− +
−
− +
−
x x
x
x
x . Tính : f(n)(x)
Bài3: Cho f ( x ) =
10 7
9 4 2
2 4
2 3
+
−
−
− +
x x
x x
x . Tính : f(n)(x)
Bài4: Cho f ( x ) =
18 9
11 5
3
2 4
2
+
−
−
−
x x
x
x . Tính : f(n)(x)
Bài5: Cho f ( x ) = cosx Tính : f(n)(x)
Bài6: Cho f ( x ) = cos (ax + b) Tính : f(n)(x)
Bài7: Cho f ( x ) = x ex. Tính: f(n)(x)
Bài8: Cho f ( x ) = x 3 ln x. Tính : f(n)(x)
Bài9: Cho f ( x ) = ln(ax+b). Tính : f(n)(x)
V) đẳng thức, ph ơng trình, bất ph ơng trình với các phép toán đạo hàm:
Bài1: Cho y =
x
ln
+
1
1
. CM R : xy ' + 1 = ey Bài2: Cho y = e−x sin x. CM R : y '' + 2y ' + 2y = 0
Bài3: Cho y = s in ( lnx ) + cos ( lnx ) CMR: y + xy ' + x2y" = 0 Bài4: Cho f ( x ) = s in32x ; g(x) = 4cos2x ư 5sin4x. Giải phơng trình: f'(x) = g(x)
Bài5: Cho f ( x ) = 5 2 1
2
1 x+ ; g(x) = 5 x +4 x ln 5. G iả i bấ t
phơng trì nh : f'(x ) < g '(x )
2 2
2 2
2
+ +
+ +
x
CM R : 2y = xy ' + lny '
Trang 4Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Ki t - H i Phũngệ ả
Tìm các g iới hạn sau :
1) A =
x
x x
x lim
x
3 3
3 2 0
1
1− + +
+
2 0
2
3 x
x cos lim x
x
−
→
0
2 1 2
1
x
x x
lim
x
+
− +
x x
x sin x
lim
+ +
−
1 2 1
0
Ch ơng II: Khảo sát hàm số và các ứng dụng II) Tính đơn điệu của hàm số:
1) Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu:
2)
Bài1: Tìm m để hàm số : y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m nghịch biến trên (ư1; 1)
Bài2: Tìm m để hàm số : y = x3 ư 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2
đồng biến trên (ư∞; ư1] ∪ [2; +∞)
Bài3: Tìm m để hàm số : y = m x +2(m −1)x +(m −1)x+m
3
2 3
đ ồng b iế n trên (ư∞; 0 ) ∪ [2 ; +∞)
Bài4: Tìm m để hàm số : y = m x m x (3 m 2)x
3
1 3 + 2 + −
−
đ ồng b iế n trên R
Bài5: Tìm m để hàm số : y = x3 ư 3(m ư 1)x2 + 3m(m ư 2)x + 1
đồng biến trong các khoảng thoả m∙n: 1 ≤ x ≤ 2
2) Ph
ơng pháp hàm số giải quyết các bài toán chứa tham số:
Bài1: Cho phơng trì nh : x2 ư (m + 2)x + 5m + 1 = 0
1) Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm thoả m∙n: x > 1
2) Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm thoả m∙n: x > 4.
3) Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm thoả m∙n: x < 2
4) Tìm m để phơng trình có nghiệm ∈ (ư1; 1).
Trang 5Bà i2 : Tìm a để phơng trì nh : (a + 1)x2 ư (8a + 1)x + 6a = 0
có đúng 1 nghiệm ∈ (0;1)
Bài3: Tìm m để phơng trình: 9 2 x 2−x −m 6 2 x 2−x +(3 m −8)4 2 x 2−x=0 có nghiệm thoả m∙n: x ≥
2
1
Bài4: Tìm m để phơng trình: 3+x+ 6−x− (3+x)(6−x) = m có nghiệm
Bài5: Tìm m để phơng trình: cos2x ư (2m + 1)cosx + m + 1 = 0
x ∈ π 2π
3
2 ;
Bài6: Tìm m để phơng trình: log 2 3 x+ log 2 3 x+1−2 m −1=0 có ít
x ∈ [ ]1; 3 3
Bài7: Tìm m để các phơng trình sau có nghiệm:
1) (x−1)(x−2) (x 2 −3 x+m )=2
2) x 4 −2 m x 3 +(m +4)x 2 −2 m x+1=0
Bài8: Tìm a để: 2 1
1 2
1
−
x
x + ax có nghiệm duy nhất
Bài9: Tìm m sao cho: (x + 3)(x + 1)(x2 + 4x + 6) ≥ m nghiệm
đúng với ∀x
Bài10: Xác định a để bất phơng trình: ư4 (4−x)(2+x) ≤ x2 ư 2x + a ư 18 nghiệm đúng với ∀x ∈ [ư2; 4]
Bài11: Tìm m để:
x x
x sin x
cos
2 2
2
1 1
3 3
2
2
1
2
+ +
−
− +
−
+
Bài12: Tìm m để 9 2 x 2−x −(2 m +1) 6 2 x 2−x +m 4 2 x 2−x ≤ 0 nghiệm đúng với ∀x thoả m∙n:
2
1
≥
x
Bài13: Tìm m để bất phơng trình: m x− x−3 ≤ m + 1 có nghiệm
3) Sử dụng ph
ơng pháp hàm số để giải ph ơng trình, bất ph ơng trình,
hệ ph
ơng trình, hệ bất ph ơng trình:
Trang 6Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Ki t - H i Phũngệ ả Bài1: Giả i các phơng t rình và các bất phơng t rình sau :
1) x+9>5− 2 x+4
2) log 2 x 2 −5 x+5+1+log 3(x 2 −5 x+7) ≤ 2
Bài2: Giả i hệ bất phơng t rình :
>
+
−
<
− +
0 1 3
0 1 2 3
3
2
x x
x x
Bài3: Giả i hệ bất phơng t rình : ( )
>
+ +
−
<
−
0 9 5 3
3 1
0
2 3
2 2
2 2
x x
x
x log x
log
Bài4: Giả i hệ phơng t rình :
− + +
=
− + +
=
− + +
=
2 2 2
2 3
2 3
2 3
x x x z
z z z x
y y y x
4) Chứng minh bất đẳng thức:
Chứng m inh các bấ t đẳ ng thức sau : 1)
24 2
1 2
1
4 2 2
x x x
cos
x < < − +
2)
! n
x
x x
e x> + + + + n
2 1
2
∀x > 0 ; ∀n ∈ N*
3) 1 ư x ≤ e−x ≤ 1 ư x +
2
2
x ∀x ∈ [0; 1]
4) 1 ư x ≤
x
e x
+
−
1
2
≤ 1 ư x +
( x)
x
+
1 2
4
∀x ∈ [0; 1]
5) ( )
2 1
2
x x x
ln + > − ∀x > 0
6)
x
x x
x > 1 III) cực trị và các ứng dụng:
Bài1: Tìm các điểm cực t rị của các hàm số sau đây:
1) y = x3 + 4x 2) y =
2
5 4
2
+
+
+
x
x
2
x
e + −
4) y = x3(1 ư x)2
Bài2: Tìm cực t rị nếu có của mỗi hàm số sau đây (b iện l uận theo tham số a)
Trang 71 ) y = x3 2ax2 + a2x 2) y = x 1 +
1
−
x
a
Bµ i3 : Chøng m inh r»ng hµm sè : y =
2
2
2
2
+
+ +
x
m x
x lu«n cã m ét cùc
® ¹i vµ m ét cùc tiÓ u v íi m äi m
g i¸ trÞ lín nhÊt vµ g i¸ trÞ nhá nhÊt
Bµ i1 : T×m g i¸ trÞ nhá nhÊ t vµ g i¸ trÞ lín nhÊ t cña c¸c hµm
sè :
1 ) y = s inx(1 + cosx) 2 ) y = sin4x + cos4x + sinxcosx + 1
3) y = 5cosx cos5x víi x ∈ −π4 ; π4 4) y =
x cos x
sin
x cos x
sin
4 4
6 6
1
1
+
+
+
+
Bµi2: Cho ph¬ng tr×nh: 12x2 6mx + m2 4 + 12 2
m = 0
Gäi x1, x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. T×m Max, Min cña: S =
3
2
3
x +
Bµi3: Cho a.b ≠ 0. T×m Min cña: y =
a
b b
a a
b b
a a
b b
+
− + 4 4 2 2 2 2
4
4
Bµi4: Cho x, y ≥ 0; x + y = 1 T×m Max, Min cña: S =
1
1+ +
y
y
x
Bµi5: Cho x, y ≥ 0; x + y = 1. T×m Min cña: S = y
y x
x
−
+
1
Bµi6: Tuú theo a t×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè:
y = sin6x + cos6x + asinx.cosx
IV) tiÖp cËn:
Bµi1: T×m tiÖm cËn cña c¸c hµm sè:
1) y =
1 2
2 3
2
2
− +
+ +
x x
x
1
1
2
3
+
+ +
x
x
x
x
−
2
2+x x(2 x−1)
Trang 8Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Ki t - H i Phũngệ ả Bài2: Tìm các t iệm cận của hàm số (b iện l uận theo tham số m)
1) y =
1
4
2
2
+
−
−
m x x
3 2
2
+
m x x
x
Bài3: Cho (C ) : y = ( )
2
3 1
2
2
−
+ + +
+
x
a x a
ax , a ≠ ư1 ; a ≠ 0 Chứng
m inh rằng tiệm cận x iên của (C ) luôn đ i qua m ột đ iểm cố đ ịnh Bài4: Cho đồ thị (C ) : y = f ( x ) =
1
2 3
2 2
−
+
−
x
x x
1) Chứng m inh rằng tích các khoảng cách từ M ∈ (C ) đến ha i tiệm cận luôn không đổ i
2) Tìm M ∈ (C ) để tổ ng khoảng cách từ M ∈ (C ) đến ha i tiệm cận đ ạt g iá trị nhỏ nhấ t.
V) Khảo sát và vẽ đồ thị:
Bài1: Khảo sá t sự b iến th i ên và v ẽ đồ thị của các hàm số sau :
1) y = 2x3 + 3x2 ư 1 2) y = x3 + 3x2 + 3x + 5 3) y = x3 ư 3x2 ư 6x + 8 4) y = ưx3 + 3x2 ư 4x + 3 5) y = ư
3
3
x ư x2 + 3x ư 4 Bài2: Khảo sá t sự b iến th i ên và v ẽ đồ thị của các hàm số sau :
1) y = x4 ư 2x2 2) y = ưx4 + 2x2 ư 1
3) y = x4 +
10
3
2
4
x
− ư x2 + 1 Bài3: Khảo sá t sự b iến th i ên và v ẽ đồ thị của các hàm số sau :
1) y =
1
4 2
+
−
−
x
3
1 2
−
+
x
x
Bài4: Khảo sá t sự b iến th i ên và v ẽ đồ thị của các hàm số sau :
1) y =
2
3 3
2
+
+
+
x
x
1
2
−
x x
3) y =
1
2
2
+
+
x
x
1 2
13 6
2
+
+ +
−
x
x
Bài5: Khảo sá t sự b iến th i ên và v ẽ đồ thị của các hàm số sau :
1) y =
3
5 3
1 4
1 x 4 − x 3 −x 2 + 2) y =
5 4
11 8
2 2
+
−
+
−
x
x x
3) y = 2 2 2 4 5
+
+ + x
2
2
+
−
+
− x x
Trang 95 ) y =
x x
x x
2 2
1 2
2
2
−
+
1
2 x 2 +
VI) phép biến đổi đồ thị:
V ẽ đ ồ thị của các hàm số :
1 ) y =
1
1
2
+
+
−
−
x
x x
2 ) y =
2
9 2
2
−
+
−
x
x x
3 ) y =
2
3 3
2
−
+
−
x
x
1
5 5
2
−
+
−
x
x x
5 ) y =
1 2
2
−
+
x
x
1
1
−
+
x x
7 ) y= x−1(x 2 +x−2)
VII) tiếp tuyến:
1) Phơng trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị
Bài1: Cho hàm số : y = x3 ư 1 ư k(x ư 1) (1)
1) Tìm k để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành; 2) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (1) tại giao
điểm của nó với trục tung. Tìm k để tiếp tuyến đó chắn trên các
Trang 10Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Ki t - H i Phũngệ ả Bài2: Viết phơng t rình t iếp tuyến của (C ) : y =
x cos x
x 2 +2 +4+ tại g iao đ iểm của đờng cong v ới trục tung Bài3: Cho (Cm): y = f(x) = x3 + 3x2 + mx + 1
a) Tìm m để (Cm) cắt đờng thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1), D, E
b) Tìm m để các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.
Bài4: Cho 2 đồ thị ( ) ( ) ( )
( )
+
=
=
− +
=
=
m x x
g y : ) P
x x
x f y : ) C
2
2 2
2
1 1
1) Tìm m để (C ) và (P ) tiế p xúc v ới nhau
2) V iế t phơng trì nh tiế p tuyế n chung tại các tiế p đ iểm chung của (C ) v ới (P ).
Bài5: Cho đồ thị (C ) : y = f ( x ) =
2
1
x4 ư 3x2 +
2 5
1) Gọi t là tiếp tuyến của (C) tại M có xM = a. CMR: hoành
độ các giao điểm của t với (C) là nghiệm của phơng trình:
(x−a)2(x 2 +2 ax+3 a 2 −6)=0
2) Tìm a để t cắt (C) tại P và Q phân biệt khác M. Tìm quỹ tích trung điểm K của PQ.
Bài6: Tìm m để t ạ i g iao điểm của (C ) : y = ( )
m x
m m
x
m
+
+
−
trục Ox tiế p tuyế n của (C ) song song v ới (∆): y = x ư 10 V iế t phơng trì nh tiế p tuyế n đ ó.
Bài7: Cho (C ) : y =
1
1 2
−
−
x
x
và M bấ t kỳ thuộc (C ). Gọ i I là
g iao đ iểm của ha i tiệm cận tiế p tuyế n tại M cắ t ha i tiệm cận tại A và B
1) CM R : M là trung đ iểm của A và B
2) CM R : S∆ IAB không đổi
3) Tìm m để chu vi ∆IAB đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài8: Cho (C ) : y =
m x
m x
x
−
+
−3
2 2 (m ≠ 0 , 1 ) Chứng m inh rằng tiế p tuyế n tại g iao đ iểm của (C ) v ới Oy cắ t tiệm cận đ ứng tại đ iểm có tung đ ộ bằng 1
Bài9: Cho (C ) : y =
m x
m x
x
+
+ +
−
4
4
3 2