Xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập giải hệ phương trình nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi lớp 9 trường trung học cơ sở

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN VĂN HIẾN XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG HỆ THỐNG BÀI TẬP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 9 T

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN VĂN HIẾN

XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG HỆ THỐNG BÀI TẬP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NHẰM PHÁT TRIỂN

TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI

LỚP 9 TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI - 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN VĂN HIẾN

XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG HỆ THỐNG BÀI TẬP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NHẰM PHÁT TRIỂN

TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI

LỚP 9 TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Hồng Minh

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành được luận văn này, lời đầu tiên tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc Gia Hà Nội cùng các thầy giáo, cô giáo đang công tác giảng dạy tại trường đã nhiệt tình giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài

Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới

TS Nguyễn Thị Hồng Minh, người đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu đề tài và hoàn thiện luận văn

Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu cùng các thầy cô giáo và các em học sinh Trường THCS Đoàn Thị Điểm, huyện Yên Mỹ, tỉnh Hưng Yên đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình tiến hành thực nghiệm sư phạm, hoàn thiện luận văn

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới tất cả những người thân trong gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, học viên cao học lớp Lý luận và Phương pháp dạy học (bộ môn Toán) - K8, trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc Gia Hà Nội đã động viên, cổ vũ tiếp thêm động lực cho tác giả học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn này

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn, tác giả đã có nhiều cố gắng song không thể tránh được những sai sót, tác giả rất mong nhận được sự lượng thứ và những ý kiến đóng góp quý báu của quí thầy cô, đồng nghiệp, những độc giả quan tâm đến những vấn đề được đề cập trong luận văn

Hà Nội, tháng 11 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Văn Hiến

i

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Ký hiệu, viết tắt Ý nghĩa, nội dung

Giáo viên Hoạt động Học sinh Nhà xuất bản Phương pháp dạy học Trung học cơ sở Trung học phổ thông Thực nghiệm sư phạm

Vế phải Vế trái

Sách giáo khoa

ii

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn i

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt ii

Mục lục iii

Danh mục các bảng vi

Danh mục biểu đồ vii

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VỀ TƯ DUY VÀ TƯ DUY SÁNG TẠO 5

1.1 Đại cương về tư duy sáng tạo 5

1.1.1 Tư duy 5

1.1.2 Sáng tạo 6

1.1.3 Tư duy sáng tạo 7

1.2 Tư duy toán học 10

1.2.1 Các hình thức tư duy trong toán học 10

1.2.2 Các thao tác tư duy trong toán học 11

1.2.3 Một số loại hình tư duy trong toán học 13

1.3 Dạy học giải bài tập Toán học ở trường phổ thông 17

1.3.1 Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học toán 17

1.3.2 Phương pháp giải bài tập toán học 18

1.4 Kết luận chương 1 19

CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NHẰM RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 9 TRUNG HỌC CƠ SỞ 20 2.1 Những vấn đề cần lưu ý khi xây dựng bài tập giải hệ phương trình nhằm rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi 20

2.1.1 Những nguyên tắc khi xây dựng bài tập 20

2.1.2 Một số kỹ thuật xây dựng bài tập nội dung giải hệ phương trình trong trường trung học cơ sở 23

2.2 Một số biện pháp nhằm rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học

sinh khá giỏi lớp 9 trung học cơ sở thông qua nội dung dạy học giải hệ

phương trình 29

2.2.1 Biện pháp 1: Rèn kỹ năng giải các hệ phương trình cơ bản nhằm hình thành tính nhuần nhuyễn trong việc sử dụng phương pháp giải toán 29

2.2.2 Biện pháp 2: Khai thác nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán nhằm rèn luyện tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của tư duy sáng tạo 36 2.2.3 Biện pháp 3: Hướng dẫn học sinh sáng tạo bài toán mới thông qua việc nghiên cứu lời giải bài toán đã giải nhằm rèn luyện tính độc lập trong tư duy 39 2.2.4 Biện pháp 4: Rèn luyện tính phê phán, tính nhạy cảm vấn đề của tư duy thông qua việc nghiên cứu, phát hiện lỗi sai từ những lời giải cho trước của bài toán 42 2.2.5 Biện pháp 5: Rèn luyện tính độc đáo của tư duy sáng tạo thông qua việc đi tìm lời giải của một số hệ phương trình không mẫu mực 45 2.3 Xây dựng hệ thống bài tập giải hệ phương trình nhằm rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo 48 2.3.1 Hệ thống bài tập thứ nhất: Rèn luyện phương pháp giải các hệ phương trình cơ bản 48 2.3.2 Hệ thống bài tập thứ hai: Hình thành một số kĩ năng, phương pháp giải hệ phương trình mới đồng thời rèn luyện tính mềm dẻo của tư duy 61 2.4 Một số gợi ý cho việc sử dụng hệ thống bài tập vào dạy học 78 2.4.1 Cách lựa chọn bài tập và thời điểm áp dung vào thực tế dạy học 78 2.4.2 Một số giáo án dạy học chủ đề giải hệ phương trình cho học sinh khá giỏi lớp 9 trường Trung học cơ sở 79 2.5 Kết luận chương 2 87

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 88

3.1 Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 88

3.2 Kế hoạch và nội dung thực nghiệm sư phạm 88

3.2.1 Thời gian và địa điểm thực nghiệm sư phạm 88

iv

3.2.2 Đối tượng học sinh tiến hành thực

nghiệm sư phạm 88

3.2.3 Nội dung thực nghiệm sư phạm 89

3.3 Kết luận chương 3 97

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 98

TÀI LIỆU THAM KHẢO 99

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 3.1 Nhận xét bài làm kiểm tra trước khi dạy thực nghiệm 91

Bảng 3.2 Thống kê kết quả điểm kiểm tra trước khi dạy thực nghiệm 91

Bảng 3.3 Nhận xét bài làm kiểm tra sau khi dạy thực nghiệm 95

Bảng 3.4 Thống kê kết quả điểm kiểm tra sau khi dạy thực nghiệm 96

vi

DANH MỤC BIỂU ĐỒ Biểu đồ 3.1 Điểm kiểm tra trước khi dạy thực nghiệm 92 Biểu đồ 3.2 Điểm kiểm tra sau khi dạy thực nghiệm 96

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Tại Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung ương khoá XI đã ra Nghị quyết số 29-NQ/TW với nội dung "Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa - hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế" Trong nội dung đề án

"Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng

xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế" được Bộ Giáo dục và Đào tạo xây dựng

và trình Ban chấp hành Trung ương Đảng đã nêu ra trong mục tiêu cụ thể đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục phổ thông là: " - Tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lí tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kĩ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời."

Đất nước ta đang trong quá trình hội nhập quốc tế ngày càng sâu rộng; sự phát triển nhanh chóng của khoa học và công nghệ, khoa học giáo dục và sự cạnh tranh quyết liệt trên nhiều lĩnh vực giữa các quốc gia đòi hỏi giáo dục phải đổi mới Thực chất cạnh tranh giữa các quốc gia hiện nay là cạnh tranh về nguồn nhân lực và về khoa học và công nghệ Chính vì vậy, nhiệm vụ của giáo dục Việt Nam trong giai đoạn hiện nay là phải tạo ra được nguồn nhân lực chất lượng cao, có khả năng sáng tạo tốt trong công việc, giúp Việt Nam

đứng vững trong quá trình hội nhập và thực hiện thành công nhiệm vụ đến năm 2020, Việt Nam cơ bản trở thành nước công nghiệp

Mục tiêu dạy học môn Toán ở trường trung học cơ sở là trang bị cho học sinh những kiến thức phổ thông cơ bản, có hệ thống và tương đối toàn diện nhằm thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông Cùng với việc tạo điềukiện cho học sinh kiến tạo những tri thức và rèn luyện kỹ năng Toán học cần thiết, môn Toán còn có tác dụng phát triển năng lực trí tuệ chung cho học sinh như phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hoá, trừu tượng hoá, khái quát hoá,

 Đặc biệt, thông qua dạy học môn Toán học sinh được bồi dưỡng và rèn luyện nhữngđức tính, phẩm chất của người lao động mới như tính cẩn

1

thận, tính chính xác, tính kỷ luật, tính phê phán và hơn hết là phát triển khả

năng tư duy sáng tạo cho học sinh Điều này nhằm giúp học sinh có được sự chuẩn bị tốt cho việc học tập tiếp ở bậc học cao hơn hay đi vào cuộc sống Các phẩm chất tư duy của học sinh được hình thành và rèn luyện thông qua dạy học bộ môn Toán, là điều kiện để học sinh tiếp tục học tập các môn học khác trong nhà trường

Nội dung giải hệ phương trình, hiện nay học sinh lớp 9 trung học cơ sở được học thông qua hai bài học: "§3 Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế" và "§4 Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số" thuộc

"Chương III Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn" toán 9, tập hai Bài toán giải hệ phương là một bài toán mà học sinh lớp 9 thường phải giải trong các

đề kiểm tra, đề thi chọn học sinh giỏi các cấp, đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, lớp 10 THPT chuyên của các tỉnh và thành phố, đặc biệt đây cũng là bài toán thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào khối 10 của các trường chuyên Đại học Quốc Gia Hà Nội, chuyên Đại học Sư Phạm Hà Nội,  Có nhiều bài toán giải hệ phương trình, đòi hỏi học sinh phải nắm rất vững kiến thức về phương trình; bất đẳng thức; giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức;

 và phải linh hoạt, sáng tạo trong việc vận dụng các kiến thức liên quan, cùng với cácphương pháp giải toán điển hình thì học sinh mới có khả năng giải quyết được Bài toán giải hệ phương trình rất phong phú cả về kiểu dạng và phương pháp giải Chính vì vậy, đây là một kiểu bài khó ngay cả đối với học sinh khá giỏi Trong năm học 2012 - 2013, bản thân tôi đã viết sáng kiến kinh nghiệm

"Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9" được đánh giá và xếp loại B cấp tỉnh theo quyết định số

1037/QĐ-SGDĐT-NCKH, ngày 02 tháng 7 năm 2013 của Sở Giáo dục và Đào tạo Hưng Yên Để có thể áp dụng sáng kiến của mình tới được nhiều đối tượng học sinh hơn, và cũng là để nhìn nhận vấn đề mà bản thân tôi đang nghiên cứu được đầy đủ hơn, tôi cũng mạnh dạn nghiên cứu tiếp về nội dung giải hệ phương trình dành cho học sinh lớp 9 trường Trung học cơ sở

Với những lý do nêu trên, để góp phần rèn luyện và phát triển tư duy sángtạo cho học sinh, đặc biệt là học sinh khá giỏi lớp 9 ở trường Trung học cơ sơ,

tôi đã chọn đề tài: "Xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập giải hệ

phương trình nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi lớp 9

trường Trung học cơ sở"

2 Mục đích nghiên cứu

Khả năng, mức độ và ý nghĩa trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi lớp 9 trung học cơ sở thông qua việc thiết kế và dạy học hệ thống bài tập giải hệ phương trình

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận về tư duy, tư duy sáng tạo; các hình thức, thao tác và loại hình tư duy toán học; một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo trong học tập bộ môn toán ở học sinh

- Đề xuất một số biện pháp cùng hệ thống bài tập giải hệ phương trình nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi lớp 9 trường Trung học

- Thời gian nghiên cứu: Học kỳ 2 năm học 2012-2013 và năm học 2013-2014 -

Đề tài được tiến hành nghiên cứu tại Trường THCS Đoàn Thị Điểm thuộc huyện Yên Mỹ, tỉnh Hưng Yên

5 Mẫu khảo sát

Học sinh lớp 9A và 9C Trường THCS Đoàn Thị Điểm, huyện Yên Mỹ, tỉnh Hưng Yên, năm học 2013-2014

6 Câu hỏi nghiên cứu

Xây dựng hệ thống bài tập giải hệ phương trình như thế nào thì có tác dụng rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi lớp 9 trung học cơ sở?

3

7 Giả thuyết khoa học

Bằng việc thiết kế hệ thống bài tập về giải hệ phương trình có chủ ý sư phạm, kết hợp với phương pháp dạy học phù hợp sẽ có tác dụng tốt cho việc phát triển tư duy sáng tạo ở học sinh khá giỏi lớp 9 trương Trung học cơ sở

8 Phương pháp nghiên cứu

Để nghiên cứu đề tài này, chúng tôi sử dụng sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp điều tra, quan sát

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

- Phương pháp thống kê toán học

- Kết quả phân tích một số tiêu chí sau thực nghiệm sư phạm

10 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị và danh mục tài liệu sách tham khảo, luận văn gồm ba chương nội dung chính sau:

Chương 1 Cơ sở lý luận về tư duy và tư duy sáng tạo

Chương 2 Xây dựng hệ thống bài tập giải hệ phương trình nhằm rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi lớp 9 trường Trung học cơ sở

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VỀ TƯ DUY VÀ TƯ DUY SÁNG TẠO

1.1 Đại cương về tư duy sáng tạo

1.1.1 Tư duy

Theo từ điển tiếng Việt "Tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những hình thức như biểu tượng, khái niệm, phán đoán và suy lý" [17, tr.1437]

Theo các tác giả Nguyễn Quang Uẩn, Nguyễn Quang Lũy, Đinh Văn

Vang "Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết" [24, tr.79] Trong cuốn: "Rèn luyện tư duy trong dạy học toán" tác giả Trần Thúc Trình có định nghĩa: "Tư duy là một quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng mà trước đó chủ thể chưa biết" [23]

Theo một nghiên cứu về tư duy của X.L Rubinstein thì "Tư duy đó là sự khôi phục trong ý nghĩa của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể"

(dẫn theo Đavưđov) [26, tr.25]

Theo một định nghĩa khác, "Tư duy" là danh từ triết học dùng để chỉ những hoạt động của tinh thần, đem những cảm giác của người ta sửa đổi và cải tạo thế giới thông qua hoạt động vật chất, làm cho người ta có nhận thức đúng đắn về sự vật và ứng xử tích cực với nó

Hoạt động của tư duy dựa trên cơ chế hoạt động sinh lý của bộ não với

tư cách là hoạt động thần kinh cao cấp Mặc dù không thể tách rời não nhưng

tư duy không hoàn toàn gắn liền với một bộ não nhất định Trong quá trình sống, con người giao tiếp với nhau, do đó, tư duy của mỗi người vừa tự biến đổi qua quá trình hoạt động của bản thân, vừa chịu sự tác động biến đổi từ tư duy củađồng loại thông qua hoạt động có tính vật chất Do đó, tư duy không chỉ gắn với bộ não của từng cá thể người mà còn gắn với sự tiến hóa của xã hội, trở thànhmột sản phẩn có tính xã hội trong khi vẫn duy trì được tính cá thể của một con người nhất định

5

Tư duy bắt nguồn từ hoạt động tâm lý, hoạt động này gắn liền với phản

xạ sinh lý, là hoạt động đặc trưng của hệ thần kinh cao cấp Hoạt động đó diễn ra ở các động vật cao cấp, đặc biệt biểu hiện rõ ở thú linh trưởng và ở người Nhưng tư duy với tư cách là hoạt động tâm lý bậc cao nhất thì chỉ có ở con người, và là kết quả của quá trình lao động sáng tạo của con người Từ chỗ

là một loại động vật thích ứng với tự nhiên bằng bản năng tự nhiên, con người đãphát triển sự thích ứng đó bằng bản năng thứ hai chính là tư duy; với năng lực trừu tượng hóa ngày càng sâu sắc đến mức nhận thức được bản chất

của hiện tượng, quy luật của tự nhiên và nhận thức được chính bản thân mình Qua phân tích một số quan điểm về tư duy ở trên, chúng tôi hiểu về tư duy như sau:

"Tư duy là quá trình tâm lý phản ánh hiện thực khách quan một cách gián tiếp là khái quát, là sự phản ánh những thuộc tính chung và bản chất tìm ra những mối liên hệ, quan hệ có tính quy luật của sự vật hiện tượng mà ta

chưa từng biết"

Tư duy là hoạt động trí tuệ với một quá trình gồm bốn bước cơ bản sau:

- Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy Nói cách khác là tìm được câu hỏi cần giải đáp

- Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thiết về cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi

- Xác minh giả thiết trong thực tiễn Nếu giả thiết không đúng thì qua bước sau, nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thiết mới

- Quyết định đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng

1.1.2 Sáng tạo

Theo định nghĩa trong từ điển: "Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết vấn đề mới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có" [17, tr.1130]

Theo Bách Khoa toàn thư: "Sáng tạo là hoạt động của con người trên cơ

sở các quy luật khách quan của thực tiễn, nhằm biến đổi thế giới tự nhiên, xã hội phù hợp với mục đích và nhu cầu của con người, sáng tạo là hoạt động có tính đặc trưng không lặp lại, tính độc đáo và duy nhất"

Tác giả Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng "Sáng tạo là sự vận động của tư duy

từ những hiểu biết đã có đến những hiểu biết mới", cũng theo tác giả thì

"Người có óc sáng tạo là người có kinh nghiệm về phát triển và giải quyết

vấn đề" [22, tr.17]

Như vậy, hiểu một cách ngắn gọn, sáng tạo có thể được coi là quá trình tiến tới cái mới, là năng lực tạo ra cái mới có giá trị

Đối với Toán học, tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với

người học toán: "Đối với người học toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với

họ, nếu họ đương đầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới

mà họ chưa từng biết" [23] Như vậy một bài tập cũng được xem như là

mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải nó không bị những mệnh lệnh nào

đó chi phối (từng phần hay toàn phần), tức là nếu người giải chưa biết trước thuật toán để giải và phải tiến hành tìm hiểu những bước đi chưa biết trước

1.1.3 Tư duy sáng tạo

1.1.3.1 Các quan điểm về tư duy sáng tạo

Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng

tạo Theo tâm lý học: "Tư duy sáng tạo là tư duy vượt ra ngoài phạm vi giới hạn của hiện thực, của vốn kinh nghiệm và tri thức đã có, giúp quá trình giải quyết nhiệm vụ của tư duy được linh hoạt hiệu quả"

Theo tác giả Tôn Thân: "Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo ra

ý tưởng mới, độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao" Cũng theo tác giả

"Tư duy sáng tạo là tư duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã

có Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm giải pháp Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang rất đậm các dấu ấn của mỗi cá nhân đã tạo ra nó" (Tôn Thân, xây dựng hệ thống câu hỏi

và bài tập nhằm bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi toán ở trường THCS Việt Nam)

Trong bộ môn toán theo G Polya: "Một tư duy gọi là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán khác Các bài toán vận dụng những tư liệu phương tiện này có số lượng càng lớn, có dạng muôn màu, muôn vẻ thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao" [7]

Việc làm của người giải có thể là sáng tạo một cách gián tiếp, ví dụ một bài toán được đặt ra tuy chưa giải được nhưng có thể là gợi ý cho người khác có suy nghĩ hiệu quả hơn

7

Đối với học sinh, có thể nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm cách giải quyết một bài toán mà học sinh đó chưa biết đến hoặc đã biết nhưng làm theo phương thức khác Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, tư duy sáng tạo giải quyết mâu thuẫn tồn tại trong tình huống đó với hiệu quả cao, thể hiện tính mới lạ độc đáo, khả thi

1.1.3.2 Một số thành tố đặc trưng của tư duy sáng tạo

Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học về cấu trúc của tư duy sáng tạo đã đưa ra năm thành tố cơ bản: Tính mềm dẻo, tính nhuần

nhuyễn, tính độc đáo, tính nhạy cảm vấn đề, tính hoàn thiện

a Tính mềm dẻo

Đó là năng lực dễ dàng làm thay đổi các trật tự của hệ thống tri thức, có khả năng bao quát sự vật hiện tượng theo nhiều khía cạch khác nhau, có thể định nghĩa lại sự vật hiện tượng, xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong các mối quan hệ mới Tính mềm dẻo của tư duy có các đặc

trưng nổi bật:

- Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, vận dụng linh hoạt các thao tác phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa và các phương pháp suy luận như quy nạp, diễn dịch, tương tự

- Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm kiến thức, kĩ năng đã có với hoàn cảnh mới trong đó có nhiều yếu

tố đã thay đổi không có ảnh hưởng từ những kinh nghiệm, cách suy nghĩ, phươngpháp đã có từ trước

- Nhận ra những vấn đề mới trong điều kiện cũ, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng đã quen biết

Như vậy, để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh giáo viên có thể cho các em giải một số bài tập mà thông qua đó rèn luyện được tính mềm dẻo của tư duy

b Tính nhuần nhuyễn

Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự kết hợp các yếu tố riêng lẻ của tình huống, hoàn cảnh đưa ra giả thuyết mới và ý tưởng mới

Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng Số ý tưởng được nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo Trong trường hợp này có thể nói số lượng làm nảy sinh chất lượng

Tính nhuần nhuyễn của tư duy được thể hiện rõ ở hai đặc trưng sau:

- Tính đa dạng của cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Đứng trước một vấn đề cần giải quyết người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm ra và đề xuất được

nhiều phương án khác nhau và từ đó tìm ra được phương án tối ưu

- Khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau và có cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật hiện tượng chứ không phải cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc

c Tính độc đáo

Tính độc đáo là khả năng tìm và quyết định phương thức mới

Tính độc đáo của tư duy được đặc trưng bởi khả năng:

- Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới

- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bên ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau

- Khả năng tìm ra những giải pháp mới mặc dù đã biết giải pháp cũ

d Tính hoàn thiện

Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng

e Tính nhạy cảm vấn đề

Là năng lực phát hiện ra vấn đề, sự mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic từ

đó đưa ra hướng giải quyết, tạo ra cái mới

Các yếu tố cơ bản của tư duy sáng tạo nêu trên biểu hiện khá rõ ở học sinh đặc biệt là học sinh khá, giỏi Trong các hoạt động giải toán các em biết linh hoạt các hoạt động trí tuệ, biết sử dụng hợp lý quá trình phân tích, tổng hợp, biết khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa

Các yếu tố cơ bản nói trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau Khả năng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, đưa ra nhiều giải pháp dựa trên các góc độ và tình huống khác nhau, nhờ đó có thể tìm được giải pháp lạ, đặc sắc

9

Để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học bộ môn toán cần chú ý:

- Bồi dưỡng tư duy sáng tạo theo các thành tố cơ bản của tư duy sáng tạo

đó là tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính nhạy cảm vấn đề và tính hoàn thiện

- Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần kết hợp với các hoạt động trí tuệ như: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa

- Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề mới, khơi dậy những ý tưởng mới

- Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần được tiến hành thường xuyên và lâu dài 1.2 Tư duy toán học

1.2.1 Các hình thức tư duy trong toán học

1.2.1.1 Khái niệm

Khái niệm là hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng, nó có thể được xem xét theo hai phương diện: nội hàm và ngoại diên Bản thân lớp đối tượng xác định khái niệm được gọi là ngoại diên, toàn bộ các thuộc tính chungcủa lớp đối tượng này được gọi là nội hàm của lớp đối tượng đó Giữa nội hàm

và ngoại diên có mối liên hệ mang tính quy luật: Nội hàm càng rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại

Nếu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B thì khái niệm A được gọi là một khái niệm chủng của B, còn khái niệm B được gọi là một khái niệm loại của A

1.2.1.2 Phán đoán

Phán đoán là hình thức tư duy, trong đó khẳng định một dấu hiệu thuộc hay không thuộc một đối tượng Phán đoán có tính chất hoặc đúng hoặc sai và nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trường hợp đó mà thôi

Trong tư duy, phán đoán được hình thành bởi hai phương thức chủ yếu là trực tiếp và gián tiếp Trong trường hợp thứ nhất, phán đoán diễn đạt kết quả nghiên cứu của quá trình tri giác một đối tượng, còn trong trường hợp thứ hai phán đoán được hình thành thông qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt gọi là suy luận Cũng như các khoa học khác, toán học thực chất là một hệ thống các phán đoán về những đối tượng của nó, với nhiệm vụ xác định tính đúng sai củacác luận điểm

1 2.1.3 Suy luận

Suy luận là một quá trình tư duy có quy luật, quy tắc nhất định (gọi là các quy luật, quy tắc suy luận) Muốn suy luận đúng cần phải tuân theo những quy luật, quy tắc ấy Có hai hình thức suy luận là suy diễn và quy nạp Suy diễn là

đi từ cái tổng quát đến cái riêng, còn quy nạp là đi từ cái riêng đến cái chung Trong dạy học toán, suy diễn và quy nạp không thể tách rời nhau Quy nạp để đi đến các luận đề chung làm cơ sở cho quá trình suy diễn, ngược lại suy diễn để kiểm chứng kết quả của quy nạp

1.2.2 Các thao tác tư duy trong toán học

1.2.2.1 Phân tích - Tổng hợp

Phân tích là thao tác tư duy để phân chia đối tượng nhận thức thành các

bộ phận, các mặt, các thành phần khác nhau Trong giải toán, phân tích là phương pháp suy luận đi từ cái chưa biết đến cái đã biết Trong phân tích có phân tích đi lên (suy ngược lùi) và phân tích đi xuống (suy ngược tiến)

Tổng hợp là hoạt động nhận thức phản ánh của tư duy biểu hiện trong việc xác lập tính thống nhất của các phẩm chất, thuộc tính của các yếu tố trong một sự vất nguyên vẹn, có thể có được trong việc xác định phương hướng thống nhất và xác định các mối liên hệ, các mối quan hệ giữa các yếu tố của sự vật nguyên vẹn đó, trong việc liên kết và liên hệ giữa chúng, chính vì vậy đã thu được một sự vật và hiện tượng nguyên vẹn mới Tổng hợp là thao tác tư duy để hợp nhất các bộ phận, các mặt, các thành phần đã được tách rời nhờ sự phân tích thành một chỉnh thể Trong giải toán, phép tổng hợp là phương pháp suy luận đi từ cái đã biết đến cái chưa biết

Phép tổng hợp thường dùng khi trình bày lời giải sau quá trình phân tích Học sinh nắm vững phương pháp tổng hợp tạo điều kiện thuận lợi cho việc khái quát hóa một dạng toán dựa trên các bài toán cụ thể, từ đó có thể đi đến được lời giải của bài toán tổng quát; khi gặp những bài toán thuộc dạng đó, họcsinh có thể nhận ra đường lối chung để giải nó một cách dễ dàng

Phân tích và tổng hợp có quan hệ mật thiết không thể tách rời, chúng là hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất Phân tích tiến hành theo hướng tổng hợp, tổng hợp được thực hiện theo kết quả phân tích Phân tích để tổng hợp có cơ

sở và tổng hợp để phân tích đạt được chiều sâu bản chất của sự vật,

11

hiện tượng Trong học tập môn toán, phân tích - tổng hợp có mặt ở mọi hoạt

động trí tuệ, là thao tác tư duy quan trọng nhất để giải quyết vấn đề

Trong thực tế, đứng trước một bài toán, học sinh phải đặt ra cho mình câu hỏi: Giả thiết bài toán cho điều gì? Kết luận của bài toán yêu cầu gì? Muốn giải quyết yêu cầu của bài toán ta phải làm gì? Vận dụng kiến thức nào, muốn thế ta phải thực hiện như thế nào? Đứng trước lời giải của một bài toán, học sinh phải biết tự đặt câu hỏi: Bài toán tại sao lại được giải như vậy, dựa trên cơ

sở nào? Giải bài toán tổng quát như thế nào? Liệu có cách giải nào

khác không? Nếu thay đổi một số giả thiết thì bài toán thay đổi như thế nào? Các trường hợp đặc biệt của bài toán ra sao?

Rèn luyện năng lực phân tích và tổng hợp cho học sinh là yếu tố rất quan trọng trong dạy học toán, học sinh có năng lực này sẽ nhìn nhận các bài toán một cách hệ thống, biết phán đoán, biết cách suy luận để tìm lời giải không những cho một bài toán cụ thể mà còn cả hệ thống các lớp bài toán, biết nêu bài toántổng quát dẫn đến khả năng giải quyết được vấn đề ở mức độ cao nhất

1.2.2.2 So sánh, tương tự hóa

So sánh là thao tác tư duy nhằm xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các đối tượng nhận thức Trong hoạt động tư duy của học sinh thì so sánh giữ vai trò tích cực cho việc tìm ra những dấu hiệu giống nhau, cũng như khác nhau giữa hai sự vật hiện tượng Việc nhận thức bản chất của sự vật, hiện tượng không thể có nếu không tìm ra sự khác biệt sâu sắc, sự giống nhau giữa các sự vật, hiện tượng

Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu, rút ra kết luận hai đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác Như vậy, tương tự là sự giống nhau giữa hai hay nhiều đối tượng ở một mức

độ nào đó, trong một quan hệ nào đó

1.2.2.3 Khái quát hóa, đặc biệt hóa

Khái quát hóa là hoạt động tư duy tách những thuộc tính chung và các mối liên hệ chung, bản chất của sự vật, hiện tượng tạo nên nhận thức mới dưới hình thức khái niệm, định luật, quy tắc

- Khái quát hóa cảm tính là quá trình khái quát diễn ra trong hoàn cảnh trực quan, thể hiện ở trình độ sơ đẳng

- Khái quát hóa hình tượng, khái niệm là sự khái quát cả những tri thức

có tính chất khái niệm bản chất của sự vật, hiện tượng hoặc các mối quan hệ không bản chất dưới dạng các hình tượng hoặc trực quan, các biểu tượng

Đặc biệt hóa là quá trình ngược lại của quá trình khái quát hóa Đặc biệt hóa

là yêu cầu đi từ cái chung đến cái riêng và làm rõ mối quan hệ chung riêng giữacái tổng quát và cái cụ thể, từ đó tìm được nhiều trường hợp riêng lẻ từ một bài toán xuất phát

1.2.2.4 Trừu tượng hóa

Trừu tượng hóa là thao tác tư duy nhằm gạt bỏ những mặt, những thuộc tính, những liên hệ, quan hệ thứ yếu, không cần thiết và chỉ giữ lại các yếu tố cần thiết cho tư duy Sự phân biệt bản chất hay không bản chất ở đây chỉ mang nghĩa tương đối, nó phụ thuộc mục đích hành động

1.2.3 Một số loại hình tư duy trong toán học

Về cách phân loại những thành phần chủ yếu của tư duy, theo [12] có bàn đến những thành phần chủ yếu của tư duy, bao gồm:

1.2.3.1 Tư duy cụ thể

Là tư duy trong tác động chặt chẽ với một hình mẫu cụ thể của đối tượng Người ta phân biệt hai hình thái tư duy cụ thể, đó là: tư duy linh hoạt và tư duy

không linh hoạt 1.2.3.2 Tư duy trừu tượng

Là tư duy đặc trưng bởi kỹ năng và ý thức, tách khỏi nội dung cụ thể của đốitượng đang nghiên cứu để thuận tiện hơn khi xét những tính chất chung nhất cần nghiên cứu Trong quá trình dạy học toán, tư duy trừu tượng có

những dạng biểu hiện, đó là: trong dạng rõ rệt và trong dạng không rõ rệt Tư duy trừu tượng được Koliagin và đồng tác giả phân chia thành ba hình thái cụ thể và chi tiết hơn, đó là: tư duy phân tích, tư duy logic và tư duy lược đồ không gian

1.2.3.3 Tư duy trực giác

Trong lĩnh vực Toán học, có những người có khả năng dự đoán những kếtluận, với ý nghĩa đó người ta nói đến tư duy trực giác Theo Koliagin và đồng tác giả, thì trực giác là phương pháp đặc biệt của nhận thức được đặc trưng bởi cách hiểu trực tiếp về sự thật Người ta thường xếp vào lĩnh vực trực giác các hiện tượng kiểu như: đột nhiên tìm ra lời giải của một bài toán

13

đã suy ngẫm nhiều nhưng chưa giải được,đột nhiên tìm ra một biện pháp để

thoát khỏi sự nguy hiểm, 

1.2.3.4 Tư duy hàm

Koliagin cho rằng: Tư duy hàm đặc trưng bởi sự hiểu biết những mối quan hệ chung và riêng, bởi các quan hệ giữa những đối tượng toán học hoặc giữa các tính chất của chúng và bởi kỹ năng sử dụng các quan hệ ấy Theo G.S Nguyễn Bá Kim: Tư duy hàm đặc trưng bởi các hoạt động phát hiện các sự tương ứng, thiết lập các sự tương ứng, nghiên cứu các sự tương ứng, lợi

dụng các sự tương ứng [10]

Các hoạt động đặc trưng cho tư duy hàm đó là:

Hoạt động 1: Phát hiện hoặc thiết lập những sự tương ứng

Hoạt động 2: Nghiên cứu những sự tương ứng

Hoạt động 3: Lợi dụng những sự tương ứng

Tư duy hàm thể hiện ở sự nhận thức được tiến trình những tương ứng riêng và chung giữa các đối tượng toán học, hay những tính chất của chúng Đểrèn luyện tư duy hàm cho học sinh trong quá trình dạy học toán, chúng ta cần chú những hoạt động trí tuệ sau:

- Tập luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng những tương ứng trong khi truyền thụ kiến thức và rèn luyện kỹ năng toán học

- Thực hiện gợi động cơ sao cho những hoạt động tư duy hàm trở thành những khả năng gợi động cơ nội tại toán học trong các giờ dạy học giải bài tập toán

- Hình thành ở học sinh những biểu tượng, tiến tới những tri thức về tương ứng đơn trị, và tập luyện cho họ những hoạt động ăn khớp với những tri thức phương pháp

1.2.3.5 Tư duy phê phán

Tư duy phê phán nhằm trả lời hai câu hỏi sau:

- Ta sẽ tin vào điều gì?

- Ta sẽ lựa chọn cách nào?

Loại hình tư duy này đặc trưng bởi việc tạo lập tiêu chuẩn cho sự tin tưởng vào hành động; kiên định thái độ "tin tưởng", "hoài nghi" và chỉ đưa ra phán đoán, kết luận cuối cùng khi đã xem xét hết các tư liệu đã có

1 2.3.6 Tư duy thuật toán

Thuật toán là một trong những khái niệm rất quan trọng của Toán học và Tin học Trong lịch sử Toán học, khái niệm thuật toán ra đời rất sớm và ban đầu được hiểu theo nghĩa trực giác Khái niệm thuật toán được hiểu theo nghĩa trực tiếp đã được dùng trong suốt một thời gian rất dài Mãi tới thế kỷ 20, xuất hiện những bài toán yêu cầu phải chứng minh là không tồn tại thuật giải để giảichúng Khái niệm trực giác về thuật giải là không đủ để giải quyết vấn đề này Từ

đó, những định nghĩa toán học chính xác về thuật toán đã ra

đời (trong số đó có khái niệm máy Turing và hàm đệ quy) Ở đây, chúng tôi không trình bày những định nghĩa hình thức này mà chỉ nêu ra khái niệm thuật toán theo định nghĩa trực giác

Theo định nghĩa trực giác, thuật toán là một quy tắc chính xác và đơn trị quyđịnh một số hữu hạn những thao tác sơ cấp theo một trình tự nhất định trên những đối tượng sao cho sau một số hữu hạn bước thực hiện các thao tác đó ta thu được kết quả mong muốn

Đây không phải là một định nghĩa toán học của khái niệm thuật toán, mà chỉ là một cách phát biểu giúp ta hình dung khái niệm này Cách phát biểu trên chứa đựng một số thuật ngữ chưa được chính xác hóa, chẳng hạn: quy tắc, thaotác sơ cấp Tuy nhiên, khái niệm thuật toán được hiểu theo trực giác

có các tính chất cơ bản sau đây:

- Tính đơn trị: Tính đơn trị của thuật toán đòi hỏi các thao tác trong thuật toán phải đơn trị Nghĩa là hai phần tử cùng một cơ cấu thực hiện cùng một thao tác trên cùng một đối tượng thì phải cho cùng một kết quả Tính chất này

nói nên tính hình thức hóa của thuật toán, nhờ đó ta có thể lập trình giao cho các thiết bị tự động thực hiện thuật toán thay thế con người

- Tính dừng: Tính dừng của thuật toán yêu cầu sau một số hữu hạn lần thực hiện các thao tác đã chỉ ra phải đi đến kết thúc và thu được kết quả như mong muốn Tính dừng của thuật toán không quy định cụ thế mỗi thuật toán phải có bao nhiêu bước, điều đó phụ thuộc vào tính chất và độ phức tạp của bàitoán, nhưng phải đảm bảo không được lặp lại mãi

- Tính đúng đắn: Thuật toán phải đảm bảo tính đúng đắn, tức là phải giải quyết đúng vấn đề đặt ra, làm đúng công việc mà ta mong muốn Thuật toán không cho phép kết quả sai, hoặc không đầy đủ, hoặc bỏ sót trường hợp

15

- Tính phổ dụng: Thuật toán phải áp dụng được cho một lớp các bài toán

có cùng cấu trúc với những dữ liệu cụ thể khác nhau Nhờ tính chất này,

người ta sáng tạo ra những thuật toán, rồi từ đó xây dựng những chương trình mẫu để giải từng lớp các bài toán

- Tính hiệu quả: Yêu cầu hiệu quả của thuật toán là tính tối ưu Tiêu chuẩn tối ưu được hiểu là:

+ Thuật toán thực hiện nhanh, tốn ít thời gian

+ Thuật toán dùng ít giấy hoặc thiết bị lưu trữ các kết quả trung gian + Đáp ứng được nhu cầu của thực tiễn

Quan điểm khai thác hoạt động trong nội dung dạy học cho rằng: mỗi nội dung dạy học đều chứa đựng nhiều hoạt động tương thích với nó, đó là những hoạt động được thực hiện trong quá trình hình thành và vận dụng nội dung này Tương thích với khái niệm thuật toán có những hoạt động đáng chú

+ Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động;

+ Phát hiện thuật toán tối ưu để giải quyết một công việc

Phương thức tư duy biểu thị khả năng tiến hành các hoạt động trên được gọi là tư duy thuật toán Mỗi khả năng ấy là một thành tố của tư duy thuật toán Thành phần đầu tiên thể hiện năng lực thực hiện thuật toán, bốn thành phần sau thể hiện năng lực xây dựng thuật toán Các hoạt động trên được gọi

là hoạt động tư duy thuật toán

Chúng ta cần hiểu rằng, cách phân loại trên đây chỉ là tương đối Rõ ràng khó mà kể hết các loại hình tư duy, bởi vì, mỗi tác giả lại có những quan điểm riêng; ngay bản thân từng tác giả thì các loại hình tư duy theo cách phân loại của họ cũng có sự giao thoa; đương nhiên chúng ta không thể kỳ vọng vào một

sự phân loại đầy đủ và tuyệt đối

1.3 Dạy học giải bài tập Toán học ở trường phổ thông

Nội dung mục này, chúng tôi trình bày dựa theo tài liệu [15, tr 384-395]

1.3.1 Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học toán

Bài tập Toán học có vai trò đặc biệt quan trọng trong môn toán ở trường phổ thông Giải bài tập toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học ở học sinh phổ thông Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động như: nhận dạng, thể hiện các khái niệm, định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp; những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí

tuệ chung, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học

Vị trí của bài tập toán học: Giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học ở học sinh, giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo và ứng dụng toán học vào thực tiễn

Chức năng của bài tập toán học là: dạy học, giáo dục, phát triển và kiểm tra Vai trò của bài tập toán thể hiện ở cả ba bình diện: mục đích, nội dung và phương pháp của quá trình dạy học Cụ thể:

- Về mặt mục đích dạy học, bài tập toán thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện mục đích dạy học môn toán như:

+ Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kỹ năng ứng dụng toán học

ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

+ Phát triển năng lực trí tuệ chung như: rèn luyện các thao tác tư duy, hìnhthành các phẩm chất trí tuệ

+ Hình thành, bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng cũng như những phẩm chất đạo đức của người lao động mới

- Về mặt nội dung dạy học: Bài tập toán học là một phương tiện để cài đặt nội dung dưới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức đã học ở phần lý thuyết

- Về mặt phương pháp dạy học: Bài tập toán là giá mang những hoạt động để học sinh kiến tạo những nội dung nhất định, và trên cơ sở đó thực hiệncác mục đích dạy học khác Khai thác tốt bài toán như vậy sẽ góp phần tổ chứctốt cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán được sử dụng với những dụng ý khác nhau Về phương pháp dạy học, đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động

17

cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra,  Đặc biệt về mặt

kiểm tra, bài tập toán là phương tiện không thể thay thế để đánh giá mức độ tiếp thu kiến thức, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển tư duy của học sinh, cũng như hiệu quả giảng dạy của giáo viên Một bài tập cụ thể có thể nhằm vào một trong những dụng ý trên, nhưng cũng có thể bao hàm những ý

đồ nhiều mặt

1.3.2 Phương pháp giải bài tập toán học

Theo G Polya (1997), phương pháp chung cho quá trình tìm lời giải một bài toán bao gồm bốn bước: Tìm hiểu nội dung bài toán; tìm cách giải; trình bày lời giải; nghiên cứu sâu lời giải

Bước 1 Tìm hiểu nội dung bài toán

Để tìm hiểu nội dung bài toán, học sinh cần thực hiện các thao tác: phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán; phânbiệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh; dùng công thức, kí hiệu, hình

vẽ để hộ trợ việc diễn đạt đề bài

chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích, 

Bước 3 Trình bày lời giải

Trong quá trình tìm kiếm cách giải, học sinh thường phải áp dụng thao tác mò mẫm, dự đoán Do đó, có thể còn có những ý tưởng, những thao tác chưa trọn vẹn, còn rườm rà phức tạp, thậm chí sai sót, những suy luận dài dòng,  Như vậy, việc chỉnh sửa những ý tưởng, thao tác hay suy luận là cần thiết Không thể đưa nguyên những cái gì đã qua vào lời giải

Hơn nữa, thực tế cho thấy có nhiều học sinh đã hiểu rõ con đường giải bàitoán (do chính họ, hay những người khác khám phá ra), nhưng lại không thể trình bày một lời giải đúng Vì vậy, ngoài việc rèn luyện kỹ năng tìm tòi lời giải bài toán, cần rèn luyện cho học sinh một cách trình bày một lời giải

sao cho ngắn gọn, đầy đủ, chính xác và sáng sủa Trong bước này, cần chú ý

sử dụng các ký hiệu, ngôn ngữ toán học một cách thích hợp và chính xác

Bước 4 Nghiên cứu sâu lời giải

- Kiểm tra sự chính xác của lời giải bằng cách xem kỹ từng bước thực hiện, hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được, hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan, 

- Tìm thêm các cách giải khác, so sánh và chọn ra cách giải hợp lý nhất - Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề Trong quá trình giải toán rất nên làm cho học sinh biết các nội dung của logic hình thức một cách có ý thức, xem như vốn thường trực quan trọng để làm việc với toán học cũng như để sử dụng trong quá trình học tập thường xuyên, liên tục Để thực hiện điều này, sau khi giải xong mỗi bài toán cần phải nhìn lại phương pháp đã sử dụng, dần dần những hiểu biết về logic hình thức

sẽ thâm nhập vào ý thức học sinh

Rất nên hệ thống hóa các bài toán có liên quan với một chủ đề hay mô hình nào đấy để học sinh thấy được những tính chất đa dạng thông qua các chủ

đề và mô hình, đó cũng là cơ sở quan trọng để phát triển tư duy sáng tạo trong quá trình hoạt động và nghiên cứu lời giải bài toán

Thực hiện được các hoạt động ở bước thứ tư này, tư duy sáng tạo đã đượcthể hiện ở cấp độ cao hơn Chẳng hạn, việc giải bài toán theo những cách khác nhau, nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả lời giải của bài toán vào giải quyếtmột lớp các bài toán liên quan, hay giải bài toán tổng quát, 

chính là sự thể hiện tư duy sáng tạo

1.4 Kết luận chương 1

Chương này trình bày một số vấn đề thuộc về cơ sở lý luận của đề tài Đó

là quan điểm về tư duy, tư duy sáng tạo, tư duy toán học, các hình thức tư duy trong toán học Chương này cũng đề cập đến vấn đề dạy học giải bài tập toán, vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học toán, phương pháp dạy học giải bài tập toán theo quan điểm quy trình bốn bước của G.Polya

19

CHƯƠNG 2XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH NHẰM RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH

KHÁ GIỎI LỚP 9 TRUNG HỌC CƠ SỞ 2.1 Những vấn đề cần lưu ý khi xây dựng bài tập giải hệ phương trình

nhằm rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi

2.1.1 Những nguyên tắc khi xây dựng bài tập

Trong môn toán, khi xây dựng bài tập cho một chủ đề kiến thức hay một tiết học cụ thể, chúng ta cần nắm vững một số nguyên tắc cơ bản như: nguyên tắc bám sát trọng tâm nội dung kiến thức của chủ đề, của tiết học mà học sinh

đã được học; nguyên tắc đảm bảo tính vừa sức đối với đối tượng học sinh; nguyên tắc tạo ra và duy trì hứng thú học tập của học sinh; 

Việc xây dựng hệ thống bài tập giải hệ phương trình nhằm rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi lớp 9 trung học cơ sở cũng phải tuân thủ những nguyên tắc cơ bản trên Ngoài ra, do đối tượng học sinh cần hướng tới ở đây là học sinh khá và giỏi, mục đích của việc xây dựng hệ thống bài tập là nhắm rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, nên việc xây dựng hệ thống bài tập còn cần phải đáp ứng một số tiêu chí khác như: nguyên tắc đảm bảo tình huống có vấn đề trong từng bài tập; nguyên tắc tạo cơ hội rèn luyện và phát triển tư duy

2.1.1.1 Nguyên tắc bám sát trọng tâm nội dung kiến thức học sinh đã học

Trong nội dung chương trình toán của bậc trung học cơ sở hiện hành, chủ

đề kiến thức về giải hệ phương trình học sinh được học ở "Chương III

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn", Đại số 9, tập hai Nội dung kiến thức trọng tâm của chương là trang bị cho học sinh hai phương pháp giải hệ cơ bản là: giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số thông qua việc giải hệ hai phương trình bậc nhất hai

ẩn Bản chất của hai phương pháp này là đưa việc giải hệ phương trình về việc giải các phương trình một ẩn Trong chương trình đại số 8, học sinh đã được học cách giải một số dạng phương trình một ẩn như: phương trình tích, phươngtrình chứa ẩn ở mẫu, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Trong nội dung

"Chương I Căn bậc hai Căn bậc ba", đại số 9, tập một, học sinh đã được học một

số phép biển đổi với căn thức

Vì vậy, khi xây dựng hệ thống bài tập về giải hệ phương trình cho học sinh lớp 9 trung học cơ sở, chúng ta cần lưu ý đến những kiến thức mà học sinh đã được học kể trên Bài tập dành cho học sinh khá, giỏi cần khai thác tối

đa các kiến thức và kỹ năng mà học sinh đã có, các bài tập như vậy sẽ có tác dụng rất tốt cho việc rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo ở học sinh

2.1.1.2 Nguyên tắc đảm bảo tính vừa sức với đối tượng học sinh

Khi xây dựng hệ thống bài tập toán nói chung, hệ thống bài tập giải hệ phương trình nói riêng, chúng ta cần quan tâm đến tính vừa sức đối với đối tượng học sinh Tính vừa sức của hệ thống bài tập thể hiện ở những điểm sau:

- Với sự cố gắng phân tích bài toán của bản thân học sinh, học sinh có thể tìm được lời giải của bài toán không quá dễ dàng, nhưng cũng không quá khó khăn Tránh việc xây dựng những bài tập vượt ra ngoài khả năng của học sinh, những bài tập đòi hỏi học sinh phải sử dụng tới những kiến thức chưa được học đến

- Việc tính toán, biến đổi không quá dài và phức tạp

2.1.1.3 Nguyên tắc tạo ra và duy trì hứng thú học tập của học sinh

Để nâng cao năng lực giải toán cho học sinh, không có con đường nào tốt hơn việc học sinh được tự mình trải nghiệm, thực hành các kỹ năng, phương pháp thông qua hệ thống các bài tập Chính vì vậy, việc tạo ra và duy trì hứng thú học tập của học sinh trong quá trình tự học, tự giải bài tập là rất quan trọng Việc xây dựng hệ thống bài tập cho mỗi chủ đề kiến thức, cho mỗi bài học cụ thể cần tính đến nguyên tắc tạo ra và duy trì hứng thú học tập của học sinh

Đề đảm bảo nguyên tắc này, theo chúng tôi, ta cần làm tốt mấy vấn đề sau:

- Bài tập được xây dựng theo độ khó tăng dần trong mỗi bài học, trong mỗi chủ đề kiến thức Ban đầu nên là những bài tập mức độ dễ nhằm rèn các

kỹ năng cơ bản, hình thành và vận dụng được thành thạo về phương pháp Tiếp đến là các bài tập đòi hỏi mức độ vận dụng kiến thức có tính hệ thống, đòihỏi học sinh phải sử dụng những kiến thức thuộc các chủ đề khác đã được học trước đó Kế tiếp là những bài tập đòi hỏi mức độ khó hơn, đòi hỏi học sinh phải có những mức độ tư duy cao; những bài bập gắn với thực tiễn cuộc

sống; những bài tập đòi hỏi những kỹ thuật biến đổi đặc biệt, ít gặp; 

- Kết quả của bài tập đưa ra cũng có tác dụng không nhỏ cho việc tạo ra

và duy trì hứng thú học tập của học sinh Một bài tập có kết quả gọn, đẹp sẽ

21

có tác dụng khích lệ học sinh tiếp tục làm các bài tập kế tiếp Ngược lại, nếu

bài tập đưa ra đòi hỏi việc biến đổi quá phức tạp để rồi nhận được một kết quả phức tạp, cồng kềnh làm cho học sinh có tư tưởng nản trí, kém hứng thú hơn cho việc giải các bài tập tiếp theo

2.1.1.4 Nguyên tắc đảm bảo tình huống có vấn đề

Như chúng ta đều biết, con người chỉ thực sự tư duy khi gặp phải tình huống có vấn đề hay được đặt trong tình huống có vấn đề Chính vì vậy, để rèn luyện và phát triển được tư duy sáng tạo cho học sinh trong quá trình dạy

học toán, chúng ta cần thường xuyên, liên tục đặt học sinh vào trong tình huống có vấn đề Có như vậy học sinh mới tích cực suy nghĩ, tìm tòi các giải pháp, các hướng khác nhau để giải được bài toán Cứ như vậy, học sinh sẽ chiếm lĩnh được những kiến thức cần thiết từ thấp đến cao

Việc xây dựng hệ thống bài tập giải hệ phương trình nhằm phát triển tư duysáng tạo cho học sinh khá giỏi lớp 9 trung học cơ sở cần đảm bảo nguyên tắc tạo ra những tình huống có vấn đề Đây chính là nguyên tắc đảm bảo hệ thống bài tập được xây dựng có tác dụng cho việc rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

2.1.1.5 Nguyên tắc tạo cơ hội rèn luyện và phát triển tư duy

Bài tập toán được xây dựng và vận dụng vào trong quá trình dạy học nói chung, cũng như bài tập giải hệ phương trình dành cho học sinh khá giỏi lớp 9 trung học cơ sở nói riêng cần đảm bảo nguyên tắc tạo ra cơ hội để rèn luyện và phát triển được tư duy cho học sinh Để đảm bảo được nguyên tắc này, bài

tập đưa ra phải đáp ứng được một số tiêu chí sau:

- Có nhiều cách giải cho bài toán được đưa ra

- Tạo ra những khó khăn, vướng mắc nhất định cho học sinh trong quá trình tìm kiếm lời giải toán

- Việc giải bài toán cũng có thể nhằm hình thành những phương pháp và kĩthuật giải toán mới Điều này đòi hỏi bài tập phải là những ví dụ điển hình cho dạng toán, qua việc nghiên cứu tìm tòi lời giải học sinh có thể phát hiện ra đượcnhững dấu hiệu rất đặc trưng giúp học sinh định hướng nhanh phương pháp cũng như các kĩ thuật cần sử dụng cho việc giải bài toán

2.1.2 Một số kỹ thuật xây dựng bài tập nội dung giải hệ phương trình trong trường trung học cơ sở

Có nhiều phương pháp cũng như kỹ thuật giúp giáo viên xây dựng được

hệ thống những bài tập và đưa vào sử dụng trong quá trình dạy học của mình, tùy theo mục đích dạy học cụ thể Dưới đây, chúng tôi xin được giới thiệu một

số kỹ thuật thường được sử dụng trong quá trình xây dựng bài tập toán nói chung, và xây dựng hệ thống bài tập giải hệ phương trình cho học sinh khá giỏilớp 9 trung học cơ sở nói riêng

2.1.2.1 Kỹ thuật tương tự hoá

Kỹ thuật tương tự hóa là một kỹ thuật thường được sử dụng nhất Giáo viên sẽ đưa ra nhiều bài tập tương tự nhau về kiểu bài và phương pháp giải khi cần hình thành và rèn những kỹ năng giải toán cơ bản cho học sinh trong quá trình dạy học Nội dung của kỹ thuật này là dựa vào một bài tập có sẵn (cho trước), giáo viên hay học sinh đề xuất các bài tập tương tự với bài tập cho trước đó, trên cơ sở đã phân tích kỹ những đặc điểm và nhất là điểm mấu chốt để giải được bài toán

é x = y = 3

ê ì

ê

ïî

ë 2

Vậy hệ phương trình (I) có hai nghiệm: (3; 3), ç6; 3÷

æ ö è

ç 2÷ ç

÷

23

ø÷

Theo đặc điểm như đã phân tích ở trên, giáo viên và học sinh có thể đề xuất các bài tập với yêu cầu giải hệ phương trình tương tự như:

2

çè

÷ ø

- Trong hệ phương trình (I), nhận thấy phương trình thứ nhất của hệ là

phương trình bậc hai với hai ẩn, ta có thể biến đổi đưa phương trình này về dạng tích (x - y)(x - 2y - 3)= 0 Do đó, ta có lời giải của hệ (I) như sau:

êí

ê ï ï î

xêïï y =

3

ë

ê êïï

î ë

2

Vậy hệ phương trình (I) có hai nghiệm: (3; 3), æ6; 3ö

ç 2÷

ç ÷ ç

è ÷ø÷

Theo hướng giải này, giáo viên và học sinh cũng có thể đề xuất các bài tập với yêu cầu giải hệ phương trình tương tự, chẳng hạn như:

của hệ là: (4; 2), ç 5 ; - 5 ÷; (1; 5) ÷

è ç

Tóm lại, bằng kỹ thuật tương tự hóa, trong quá trình dạy học, giáo viên hoàn toàn có thể chủ động xây dựng được hệ thống bài tập tùy theo mục đích dạy học là luyện tập hình thành kỹ năng hay hình thành phương pháp giải toán Trên cơ sở đó, năng lực giải toán của học sinh được nâng cao chính là tiền đề cho việc phát triển tư duy sáng tạo ở học sinh

2.1.2.2 Kỹ thuật tổng quát hoá

Cùng với kỹ thuật tương tự hóa, kỹ thuật tổng quát hóa cũng là một kỹ thuật tương đối quan trọng khi xây dựng hệ thống bài tập toán nói chung và bài tập giải hệ phương trình nói riêng Nội dung của kỹ thuật này có thể tóm tắt như sau: Dựa trên đặc điểm chung nhất của nhiều bài tập tương tự nhau về kiểu dáng đề bài, về phương pháp giải, chúng ta đề xuất dạng tổng quát của

nó cùng phương pháp giải điển hình Kỹ thuật này giúp chúng ta có được nhiều lớp bài tập cùng phương pháp giải tương ứng

Ví dụ 2.2 Sau khi yêu cầu học sinh giải các hệ phương trình:

ìïï f (x; y)= 0 m

ột trong nhiều dạng tổng quát của các hệ loại

này là:

íï ïïî ax + by =

c

, trong đó

f (x; y) là một đa thức bậc hai đối với hai biến x, y và a, b, c là các số cho trước sao cho a, b không đồng thời bằng 0

Ta thấy, f (x; y) không nhất thiết phải là một đa thức bậc hai đối với hai

biến x, y; f (x; y) có thể là biểu thức có chứa căn hay biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối,  Bằng cách này, giáo viên có thể chủ động hoặc hướng dẫn

học sinh của mình xây dựng được nhiều lớp bài tập khác nhau Hệ đối xứng loại I, hệ đối xứng loại II hay hệ đẳng cấp một vế cũng chính là sản phẩm của

tư duy theo hướng tổng quát hóa

25

2 1.2.3 Kỹ thuật đặc biệt hoá

Trong việc xây dựng hệ thống bài tập giải hệ phương trình cho học sinh trung học cơ sở, song song với kỹ thuật tổng quát hóa là kỹ thuật đặc biệt hóa Với kỹ thuật này, giáo viên cũng như học sinh có thể đề xuất các bài tập mà để giải được nó đòi hỏi việc biến đổi phải hết sức khéo léo, thể hiện sự tinh tế và sức sáng tạo của người giải

c

, trong đó f (x; y) là một đa thức

bậc hai đối với hai biến x, y và a, b, c là các số cho trước sao cho a, b không đồng thời bằng 0 Ta lấy f (x; y) là một đa thức bậc hai đặc biệt, chẳng hạn ta

chọn f (x; y)= (x - y + 3)2 + (y - 4)2 có dạng tổng của hai bình phương, khi

đó ta có thể xây dựng một hệ phương trình có cách giải thứ hai, khác với cách giải điển hình của nó, vì từ dạng tổng hai bình phương ta chỉ ra được ngay cặp giá trị (x; y) thỏa mãn phương trình f (x; y)= 0 Dưới đây, chúng tôi xin được xây dựng một số hệ phương trình theo hướng đặc biệt hóa như trên:

ìïï x2 + 2y2 - 2xy + 6x - 14y + 25 = 0

1