Hệ thống bài tập Giải tích 12

Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong đó, biết: a Tiếp điểm là A-1; -1... Tìm k để tiếp tuyến đó chắn trên các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 5 Bài2: Viết phương tr

POst by: etoanhoc.blogspot.com en.thpt@

a) y = x - x b) y = x 3 - x + 2

c) y = x 3 + 2x c) y =

1

1 2





x x

Bài3: Tính f'(8) biết f(x) = 3 x

Bài4: Cho đường cong y = x 3 Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong đó, biết:

a) Tiếp điểm là A(-1; -1)

b) Hoành độ tiếp điểm bằng 2

c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x + 5

d) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y =

x 4) y =  4  4  2 3

3 4 2

3 1

2 x  x  x  x

5) y =   2  3 4

3 2

4 3

6 5

x x

9) y =

4 4

1

1 1

1 2

x

10) y =

2

2 2

2

1

1 1

1

x x

x x

x x

x x

11) y =   2 3 3

3 2

5 3

6 2

3 1

x x

14) y =

x cos x sin

x cos x sin





15) y = sin  sin  sin x   16) y =   x

e x cos

x x

1 2

3

x ln

x Bài2: Tính các đạo hàm của các hàm số sau:

x

x x

5) y =

7 5

4 3

5 4

2 3

x x

0 x nÕu x

x cos 1

1) Xét tính liên tục của f(x) tại x = 0

2) Xét tính khả vi của f(x) tại x = 0

Bài4: Cho hàm số: f(x) =

1 3

3 2

0 x nÕu e

0 x nÕu b

ax

x nÕu x sin b x cos a

IV) ĐẠO HÀM CẤP CAO:

Bài1: Cho f(x) =

1 2

2 3

x x

Tính: f (n) (x)

POst by: etoanhoc.blogspot.com en.thpt@

Bài2: Cho f(x) =

6 11 6

8 4 3

2 3

x

x x

Tính: f (n) (x)

Bài3: Cho f(x) =

10 7

9 4 2

2 4

2 3

x x

x

Tính: f (n) (x)

Bài4: Cho f(x) =

18 9

11 5

3

2 4

x x

Tính: f (n) (x) Bài5: Cho f(x) = cosx Tính: f (n) (x)

Bài6: Cho f(x) = cos(ax + b) Tính: f (n) (x)

Bài7: Cho f(x) = x.e x Tính: f (n) (x)

Bài2: Cho y = ex sin x

CMR: y'' + 2y' + 2y = 0 Bài3: Cho y = sin(lnx) + cos(lnx) CMR: y + xy' + x 2 y" = 0

Bài4: Cho f(x) = sin 3 2x ; g(x) = 4cos2x - 5sin4x Giải phương trình: f'(x) = g(x)

2 2

x lim

x

3 3

3 2 0

x cos lim

x x

2 1 2

1

x

x x

0

B Khảo sát hàm số và các ứng dụng

I) TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:

1) TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU:

2) PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ:

Bài1: Cho phương trình: x 2 - (m + 2)x + 5m + 1 = 0

1) Tìm m để phương trình có 1 nghiệm thoả mãn: x > 1

2) Tìm m để phương trình có 1 nghiệm thoả mãn: x > 4

3) Tìm m để phương trình có 1 nghiệm thoả mãn: x < 2

4) Tìm m để phương trình có nghiệm  (-1; 1)

Bài2: Tìm a để phương trình: (a + 1)x 2 - (8a + 1)x + 6a = 0 có đúng 1 nghiệm  (0;1)

Bài3: Tìm m để phương trình: 9 6  3 8  4 0

2 2

2

2 2

2 x x  x x   x x 

m

Bài4: Tìm m để phương trình: 3x 6x  3x6x = m có nghiệm

Bài5: Tìm m để phương trình: cos2x - (2m + 1)cosx + m + 1 = 0 có nghiệm

POst by: etoanhoc.blogspot.com en.thpt@

Bài8: Tìm a để: 2 1

1 2

x

+ ax có nghiệm duy nhất

Bài9: Tìm m sao cho: (x + 3)(x + 1)(x 2 + 4x + 6)  m nghiệm đúng với x

Bài10: Xác định a để bất phương trình: -4 4x2x  x 2 - 2x + a - 18 nghiệm đúng với

x  [-2; 4]

Bài11: Tìm m để:

x x

x sin x

cos

2 2

2

1 1

3 3

2 2

2

2 2

2

4 6

1 2

2

1



x

Bài13: Tìm m để bất phương trình: mx  x  3  m + 1 có nghiệm

3) SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH:

Bài1: Giải các phương trình và các bất phương trình sau:

0 1 2 3

3

2

x x

x x

3 1

0

2 3

2 2

2 2

x x

x

x log x log

2 3

2 3

2 3

x x x z

z z z x

y y y x

1 2

1

4 2 2

x x x

x

x x e

n

2 1

x  [0; 1]

5)  

2 1

2

x x x

ln    x > 0

6)

x

x x

3) y =

2

x x

e

4) y = x 3 (1 - x) 2 Bài2: Tìm cực trị nếu có của mỗi hàm số sau đây (biện luận theo tham số a)

luôn có một cực đại và một cực tiểu với

mọi m

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Bài1: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các hàm số:

1) y = sinx(1 + cosx) 2) y = sin 4 x + cos 4 x + sinxcosx + 1

3) y = 5cosx - cos5x với x 

4 4

6 6

= 0

Gọi x 1 , x 2 là nghiệm của phương trình Tìm Max, Min của: S = x 1 3 x 3 2

Bài3: Cho a.b  0 Tìm Min của: y =

a

b b

a a

b b

a a

b b

2 4

4 4

y = sin 6 x + cos 6 x + asinx.cosx

IV) TIỆP CẬN:

Bài1: Tìm tiệm cận của các hàm số:

POst by: etoanhoc.blogspot.com en.thpt@

1) y =

1 2

2 3

x x

x x





6) y = x 2 1 Bài2: Tìm các tiệm cận của hàm số (biện luận theo tham số m)

x

2) y =

3 2

2



mx x

, a  -1; a  0 Chứng minh rằng tiệm cận xiên của (C) luôn đi qua một điểm cố định

Bài4: Cho đồ thị (C): y = f(x) =

1

2 3

1) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M  (C) đến hai tiệm cận luôn không đổi

2) Tìm M  (C) để tổng khoảng cách từ M  (C) đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất V) KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ:

Bài1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

1) y =

1

4 2





x

x

Bài4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

1) y =

2

3 3

4) y =

1 2

13 6

1 4

1 x 4  x 3 x 2  2) y =

5 4

11 8

x x

3) y =

1

5 4 2

4) y =

50 15

14 9

x x

5) y =

x x

x x

2 2

1 2

2) y =

2

9 2

3) y =

2

3 3

1

5 5

5) y =

1 2

7) y  x  1  x2  x  2 

VII) TIẾP TUYẾN:

1) PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ

Bài1: Cho hàm số: y = x 3 - 1 - k(x - 1) (1)

1) Tìm k để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành;

2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (1) tại giao điểm của nó với trục tung Tìm k

để tiếp tuyến đó chắn trên các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 5

Bài2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = x 2 2 x4cos x tại giao điểm của đường cong với trục tung

Bài3: Cho (C m ): y = f(x) = x 3 + 3x 2 + mx + 1

a) Tìm m để (C m ) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1), D, E

b) Tìm m để các tiếp tuyến của (C m ) tại D và E vuông góc với nhau

x g y : ) P (

x x

x f y : ) C (

2

2 2

2

1 1

1) Tìm m để (C) và (P) tiếp xúc với nhau

2) Viết phương trình tiếp tuyến chung tại các tiếp điểm chung của (C) với (P)

1) Gọi t là tiếp tuyến của (C) tại M có x M = a CMR: hoành độ các giao điểm của t với (C) là nghiệm của phương trình: xa2x 2 2 ax3 a 2 60

2) Tìm a để t cắt (C) tại P và Q phân biệt khác M Tìm quỹ tích trung điểm K của PQ

POst by: etoanhoc.blogspot.com en.thpt@

Bài6: Tìm m để tại giao điểm của (C): y =  

m x

m m x m

với trục Ox tiếp tuyến của

(C) song song với (): y = x - 10 Viết phương trình tiếp tuyến đó

Bài7: Cho (C) : y =

1

1 2





x

x

và M bất kỳ thuộc (C) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận tiếp

tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B

1) CMR: M là trung điểm của A và B

2) CMR: SIAB không đổi

3) Tìm m để chu vi IAB đạt giá trị nhỏ nhất

Bài8: Cho (C): y =

m x

m x x

Bài9: Cho (C): y =

m x

mx x

1) Điểm M  (C) với x M = m Viết phương trình tiếp tuyến (t m ) tại M

2) Tìm m để (t m ) qua B(1; 0) CMR: có hai giá trị của m thoả mãn yêu cầu bài toán và hai tiếp tuyến tương ứng vuông góc với nhau

3) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận Tiếp tuyến tại M với (C) cắt hai đường tiệm cận tại A và B CMR: M là trung điểm của AB và diện tích IAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên (C)

2) PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CÓ HỆ SỐ GÓC CHO TRƯỚC

Bài1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = x 3 - 3x 2 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: y =

Bài3: Cho (C): y =

2

3 3

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường

thẳng (): 3y - x + 6 = 0

Bài4: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y =

3 4

1 3

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với tiệm cận xiên của nó Chứng minh rằng tiếp điểm là trung điểm của đoạn tiếp tuyến bị chắn bởi hai tiệm cận

Tìm a để (C a ) có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất của hệ toạ độ

CMR: trên đường thẳng y = 7 có 4 điểm sao cho từ mỗi điểm

đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến lập với nhau góc 45 0

3) PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ĐI QUA MỘT ĐIỂM CHO TRƯỚC ĐẾN ĐỒ THỊ

Bài1: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A 

1) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A 

Tìm các điểm A  Oy kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Bài6: Tìm trên đường thẳng x = 3 các điểm kẻ được tiếp tuyến đến (C): y =

1

1 2





x

x

VIII) ỨNG DỤNG CỦA ĐỒ THỊ:

1) XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH:

Bài1: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 3x - 4x 3 = 3m - 4m 3

Bài2: Tìm m để phương trình: x 3 - 3x + 2 + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt

Bài3: Tìm a để phương trình: x 3 - 3x 2 - a = 0 có ba nghiệm phân biệt trong đó có đúng 2

POst by: etoanhoc.blogspot.com en.thpt@

Bài4: Biện luận theo b số nghiệm của phương trình: x 4 -2x 2 - 2b + 2 = 0

Bài5: Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: x 2 + (3 - a)x + 3 - 2a = 0 và so sánh các nghiệm đó với -3 và -1

Bài6: Tìm m để 2 x 2 10 x8 = x 2 - 5x + m có 4 nghiệm phân biệt

2) SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ:

Bài toán về số giao điểm

Bài1: Tìm k để đường thẳng y = kx + 1 cắt đồ thị: y =

2

3 4

tại hai điểm phân biệt

Bài2: Tìm m để đồ thị: y = x 3 + 3x 2 + mx + 1 cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt Bài3: Cho (C m ): y = x 3 - 2mx 2 + (2m 2 - 1)x + m(1 - m 2 )

Tìm m để (C m ) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương

3 x - x + m cắt Ox tại ba điểm phân biệt

Bài8: Tìm m để (C m ): y = x 3 + 3x 2 - 9x + m cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

Bài9: Tìm m để (C m ): y = x 3 - 3(m + 1)x 2 + 3(m 2 + 1)x - m 3 - 1 cắt Ox tại đúng 1 điểm

Bài toán về khoảng cách giữa các giao điểm

Bài1: Tìm m để (C m ): y = f(x) = x 3 - 3mx 2 + 4m 3 cắt đường thẳng y = x tại ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng

Bài2: Tìm m để (C m ): y = f(x) = x 3 - (2m + 1)x 2 - 9x cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng

Bài3: Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (C): y = x 4 - 5x 2 + 4 tại A, B, C, D phân biệt mà AB = BC = CD

3) CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT:

Bài1: Tìm điểm cố định của (C m ): y = x 3 - (m + 1)x 2 - (2m 2 - 3m + 2)x + 2m(2m - 1)

Bài2: CMR: (C m ): y = (m + 2)x 3 - 3(m + 2)x 2 - 4x + 2m - 1 có 3 điểm cố định thẳng hàng Viết phương trình đường thẳng đi qua ba điểm cố định đó

Bài3: CMR: (C m ): y = (m + 3)x 3 - 3(m + 3)x 2 - (6m + 1)x + m + 1 có 3 điểm cố định thẳng hàng Viết phương trình đường thẳng đi qua ba điểm cố định đó

Bài4: Cho họ đồ thị (C m ): y =

m x

m mx x

Bài5: Cho họ (C m ): y =

m x

m mx x

Tìm các điểm  Oxy mà không có đồ thị nào của (C m ) đi qua

Bài6: Cho (C m ): y = 2x 3 - 3(m + 3)x 2 + 18mx + 6 CMR: trên Parabol (P): y = x 2 + 14 có 2 điểm mà không có đồ thị nào của (C m ) đi qua

Bài7: Cho họ đồ thị (C m ): y =

m x

m mx x

có cực đại, cực tiểu và tìm quỹ tích cực đại, cực

tiểu

Bài4: Cho họ đồ thị (C m ): y =  

5 4

1 2

2 2

2 2

x

m m x m x

Tìm quỹ tích giao điểm của (C m ) với các trục Ox, Oy khi m thay đổi

Bài5: Cho (C): y = x 3 - 3x 2 và đường thẳng d: y = mx Tìm m để d cắt (C) tại ba điểm phâm biệt A, O, B Tìm quỹ tích trung điểm I của AB

Bài6: Tìm quỹ tích cực đại, cực tiểu của y =

Bài7: Tìm quỹ tích tâm đối xứng của (C m ): y = mx 3 - 2(m + 1)x 2 + 2(m - 3)x + m - 1

5) TÂM ĐỐI XỨNG, TRỤC ĐỐI XỨNG:

Bài1: Tìm m  0 để (C): y =

-m

x3

+ 3mx 2 - 2 Nhận I(1; 0) là tâm đối xứng

Bài2: Cho (C m ): y = x 3 + mx 2 + 9x + 4 Tìm m để trên (C m ) có một cặp điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ

các cặp điểm đối xứng nhau qua I 

Bài4: CMR: đường thẳng y = x + 2 là trục đối xứng của đồ thị: y = 1





x

POst by: etoanhoc.blogspot.com en.thpt@

Tìm hai điểm A, B nằm trên đồ thị và đối xứng nhau qua đường thẳng: y = x - 1

7 30

2 3

1

2)    dx

x

x x

4

4 5

1 3

3

4)   x2 3 x3 dx

5)  3 x1 x - x2dx 6)         dx

x x

1

17)   dx

x

1 - x

19)   dx

cosx 1

x 4sin2

2) PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:

POst by: etoanhoc.blogspot.com en.thpt@

x

x

2 4

4 2

3) xlnx

dx



 x dx x

x 1

x

4 x

2

1 2

9) 



 x dx x

x

2

3

1 2

10)   dx x

1 x 2 11)

1 x

xdx

12)  x x2  1 dx

13)  cos4xdx 14) 

x xcos sin

dx

2 2

dx x

etgx

x

x ln x

1 1

x ln

x 1

1) 

 dx

x

x 1

x

x x

2

2

2 3 1





0) (a dx a x

1 x

1 x

 2x - 3 x

xdx

2 4

x

4

7 2

Bài2: 1) Cho hàm số y =

2 3

3 3 3

x x

a) Xác định các hằng số A, B, C để:

y =

  1 2    1   x  2

C x

B x

1

1 3

A x

x

b) Dựa vào kết quả trên để tìm họ nguyên hàm của hàm số : f(x) =

 1 3

1 3





x x

5) NGUYÊN HÀM HÀM LƢỢNG GIÁC:

Tính các nguyên hàm sau đây:

1) sin x dx . cos x 2)  sin2xdx

2

x cos x cos 5) 4sinxdx 2cosx 5 6) 

2sinxcosx - cos x x

sin

dx

2 2

POst by: etoanhoc.blogspot.com en.thpt@

9) 

x cos

dx

x sin

dx

6

x x.sin cos

cos2x

2

x cos x sin

dx

2 2

13) sin2x.cos3 xdx 14) cosx.cos2x sin4xdx 15)  cos3x sin 8 xdx 16)  cos2xdx

17)  sin3xdx 18)  tg2xdx

x cos

tgx

3

x cos x

sin

x cos 3

1 x

1 1

2

7)   3 

x x

dx

1 1

8) 





 1 x 1 x

dx x

cos x

sin

x cos x

5) 



2 0

2 3

xdx sin x



4 0

4

xdx sin

Bài2: Cho f(x) =

x cos x sin

x sin

x sin x cos

2) Tính: I =   



3 0

dx x f

Bài3: Cho hàm số: h(x) =

2

2 x sin

x sin



1) Tìm A, B để h(x) =

B x

sin

x cos A

Bài4: Cho hàm số: f(x) = 4cosx + 3sinx ; g(x) = cosx + 2sinx

dx x f

x g

1 dx x

x

e

dx e

5) 4

1

dx x

e x

x

x ln

x cos

2) 



2 0

3

xdx cos x sin

3) 



2 0

6

xdx tg

POst by: etoanhoc.blogspot.com en.thpt@

2

3xdx sin

e x

3) 1  

0

2 2

1 cos x dx ln

x cos

x ln

3

1 4

1 1

2

x x

f = 0

VD: Tính: I = 

            

1 1

3 2

x x

Bài2: CMR: Nếu f(x) là hàm chẵn liên tục trên [-a; a] thì: I =       



a a

a

dx x f dx

x f

a x

dx x f b

dx x f

2 4

1 2

1 2

dx x

VD: Tính: I = 



09 4 2

dx x cos

x sin x

Bài5: (Tổng quát hoá bài4)

Nếu f(x) liên tục và f(a + b - x) = f(x) thì I =      b  

a

b a

dx x f b a dx x xf

Bài6: Nếu f(x) liên tục và f(a + b - x) = -f(x) thì: I = b    0

a

dx x f

x sin





4 0



2 0

dx x sin



2 0

dx x cos f

n n

n n

dx x g x

POst by: etoanhoc.blogspot.com en.thpt@

Bài5: Tính các tích phân sau:

dx

2)

8

2 1

6

2 1

2)

3

3 2 1 3

dx

2 0

e dx

e e

xdx sinn

1) Thiết lập hệ thức liên hệ giữa I n và I n - 2

2) Tính I n Áp dụng tính I 11 = 



2 0

11

xdx sin

Bài5: Tính các tích phân sau:

1) I n =  tg nx dx



4 0

2

2) I n = 



2 0

xdx cos

x

0 y

; x cos x sin

x y

x y

; x y

0

2

y x x

y x

x y

3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:







) d ( vµ ) d (

) C (

2 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2) Tìm b sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường thẳng y = 1, x = 0,

x

2

2 2

Elíp (E 1 ): 1

2

2 2

x

và Elíp (E 2 ): 1

2

2 2

Bài5: Tính diện tích phần chung của hai Elíp:

POst by: etoanhoc.blogspot.com en.thpt@

2

2 2

x

và (E 2 ): 1

2

2 2

0 x

; x

y

; e x

x y

; y

x y

Tính thể tích vật thể tròn xoay

được tạo thành do ta quay D quanh Ox

Bài4: Cho miền D giới hạn bởi các đường tròn (C): x 2 + y 2 = 8 và Parabol (P): y 2 =2x

1) Tính diện tích S của miền D

2) Tính thể tích V sinh ra bởi A khi quay quanh Ox

Bài5: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi ta quay Elíp (E): 1

2

2 2

quanh Ox