Ebook phép dời hình trong mặt phẳng lớp 11 phần 2

Do đó B' là giao điểm của đường tròn A; a và cung chứa góc định hướng > Đường thẳng AB' cắt cung AB tại điểm thứ hai C, C là điểm phải dựng.. Hãy xác định tập hợp T các tâm quay trong p

Chương IV PHÉP QUAY RIẾN THỨC CÂN NHỚ

1 Định nghĩa

Trong mặt phăng, cho một điểm cô định O và một điểm M, ơ là

một góc định hướng không đổi cho trước

Điểm M' được gọi là ảnh của điểm M M

trong phép quay Ï(O; ¿) tâm O, góc

s Ngược lại: M là anh cua M' cho M

bởi phép quay R(O: -u)

M’ RO! M

e R(O; —a) = —R(O; a)

s Chú ý rằng với góc z không

định hướng thì phép quay tâm

O, góc quay œ sẽ biến điểm M

thành hai điểm M' và M'

« Trong phép quay R(O: ¿), O là điểm kép

e Phép quay R(0; +180”) là một phép đối xứng S(O)

Me———C*3—+~—M

* Ánh của một hình

Khi điểm M vẽ một hình (F) thì ánh M' của M cho bởi phét quay R(O; a) sé vé mot hình (F’) gọi là ảnh (hay biến hình) của hinh (F) cho boi phep quay R(O; «)

Do đó: Ảnh (biến hình! của một hình (F) cho bởi phép quay R(O; a) la mét hình (F”) gồm tất cả các điểm ảnh của tất cả các điểm của hình !F) cho bơi phép quay R(O; a)

(E)=IM.M-*“2“+M,M Œ)

Hình 7Sb M"

69

2 Tính chất

Phép quay là một phép dời hình, biến hình (F) thành hình (F) bằng hình (F')

3 Định lí:

a) Ảnh của đoạn AB là A'B' = AB

b) Góc của hai vectơ đối

c) Goi I 1a giao diém cua AB va A’B” 1

Các tứ giác OIAA', OIBB' nội tiếp

4 Xác định phép quay R(O; œ) biến AB thành AB', AB va AB

là hai vectơ có cùng chiều dài cho trước (Hình 79)

ø Góc quay ơ = (AB, AB’)

Tâm quay O được xác định như sau:

+ O là giao điểm của các trung trực của các đoạn thang AA’, BB’ + O là giao điểm thứ hai của hai duéng tron IAA’ va IBB’, I là giao điểm của AB và A'B'

+ O là giao điểm của trung trực của đoạn AA' và đường tròn IBB’

5 Tích của hai phép quay

a) Tích hai phép quay đông tâm

R(O; œ).R(O; œ') = ?

Tacó: M “224 M' meres cx

(OM; OM’) = a OM' = OM”

(OM';OM") = a 79

{OM = OM’

((OM:OM*) un -

Do đó: Tích cua hiu phep quay déng tam là một phép quay

đồng tâm mà góc quay băng tôi.” các góc quay

R(O; ơ).R(O: ¿` = RCO; ở +)

Nếu ư + ơ= 0 thì tịch của hai phép quay là một phép đồng

c' Điểm kép của tích hai phép quay

Gia su I là điểm kép trong tích của hai phép quay R(O; a).R(O’; a’)

I Ria RIG a ty I

Gọi J là ảnh của I cho bởi phép quay R(0; ơ) thì I là ảnh của

J cho bởi phép quay R(O', ở)

I Rios g J Ria, I

O và Ơ' đều nằm trên trung trực của IJ (Hình 80)

71

72

Cho OO' quay quanh O một Hình 81

góc 5 , OƠ' đến trùng với tia

Ox, cho oo quay quanh O’

một góc E —, ƠO đến trùng với

tia ƠYy; Đa va O’y giao nhau

tại IL Đó là điểm kép trong

tích của hai phép quay

- Nếu œ + ơ'` # k2n, k e Z

R(O; ơ).R(Ơ; a”) = RU, a + a’) Hình 82

~ Néua +a’ = k2x = Ox, O’y song song

Tích của hai phép quay là một phép tịnh tiến (Hình 82

- Phép tịnh tiến T(Ÿ ) biến AE thành A“B” = AB

AB —2Om, R(O;a) AB 7, TV) AB"

LUYEN TAP

49 Chứng minh rằng phép quay R(0; 0) co thé xem là tích số của hai phép đối xứng trục

Hướng dẫn

Goi M’ la ảnh của điểm M cho bởi phép quay R(O; 9)

Kế tia phân giác Oz của góc MOM' và các tia phân giác Ox, Oy của các góc MOz, zOM’

Goi M, la ảnh của M trong phép đối xứng truc Ox rồi chứng minh

M' là ảnh của điểm M; cho bởi phép đối xứng trục Oy

Giải Gọi M' là ảnh của điểm M trong phép quay R(O; 6)

Dung tia phan giae Oz cua góc M

Oy cua các góc MOz 20M’

Suy ra M' là ảnh của M; trong phép đối xứng S(Oy'

Do đó phép quay R(O, 0) là tích của hai phép đối xứng trục S(Ox) va S(Oy)

50 Trén dugng tron (O; R) lay hai diém A va B Hay tim trén cung

AB một điểm C sao cho CA + CB có độ dài không đổi a

Giải Giả sử ta đã tìm được trên cung AB một điểm C sao cho

CA+CB=a

a là một độ dài không đổi cho trước

Phép quay R(C; 180° - «) vai (CA;CB) = a + k360°, (k e Z) biến

điểm B thành điểm B' nằm trên tia đối cua tia CA (Hình 84)

73

CB = CB = AB =a; (BA;BB)= Š + m360°

Do đó B' là giao điểm của đường

tròn (A; a) và cung chứa góc định

hướng > Đường thẳng AB' cắt

cung AB tại điểm thứ hai C, C là

điểm phải dựng

Phép đối xứng S(A), trục đối xứng

A là trung trực của dây AB, biến

điểm C thành điểm C' thỏa đề bài

Vậy: Bài toán có hai nghiệm hình nếu

a <2R' = -^P_, với R' là bán kính

sin —

2 đường tròn ngoại tiếp AABB'

51 Trên đường tròn (O), lấy một điểm cố định A và một điểm di động B

Dựng tam giác đều ABC Tìm tập hợp các điểm C

Giải

Gia st (AB; AC) > 0 = (AB; AC) = 60° + k.360°, k e Z

Suy ra C là ảnh của B trong phép quay R(A; 60°) tâm A, có góc

quay 6 = 60°

Do đó khi điểm M chạy trên đường

tròn (O), ta có tập hợp các điểm C là

đường tròn (O'), ảnh của đường tròn

(O) cho bởi phép quay trên (Hình 85)

Nếu (AB; AC) = -60° + k.360/, (k e Z)

thì tập hợp các điểm C là đường tròn

(O”) cho bởi phép quay R(A; —60°)

52 Cho tam giác đều ABC tâm O Hình 85

Hãy tìm ảnh của AABC trong phép quay R(O; 120°) tâm O, góc

= (OA;OB) = (OB,OC) = (ÕO€;OA ) = 120°

74

Do đó ta có: Phép quay R(O, 120) A

bién AABC thanh \BCA

Nếu (AB;AC) = -60' thị \ABC

1 (F) là một đường thăng \ không di qua A

2 (F) la mét dudng tron (O, Bi khong di qua A

Gidi Xem tam giác đều ABC cạnh a

Giả sử (AB; AC) = 60” + k.180°, k < Z

Suy ra C là ảnh của B trong phép quay R(A; 600)

đường thẳng A không đi qua A

Dựng đường thẳng A' ' AH' tại

H hoặc nối HC’; A’ Ja ảnh cua A

cho béi phép quay trén (Hinh 87)

A' là tập hợp các diém C phai tim

2 Khi B chạy trên đường tròn

(O; R) thì tập hợp các điểm € là

đường tròn (Œ; R) với 0’ Ja anh

của O trong phép quay R(A; 60”)

ð4 Cho hai đường thẳng (D) và (D') giao nhau

1 Hãy xác định tập hợp (T) các tâm quay trong phép quay R biến

Suy ra C nằm trên một đường

phân giác của góc hợp bởi hai

đường thẳng D, D'

Đảo lại: Học sinh tự chứng minh

2 Goi C và C' là hai tâm quay biến D thành D, với C e xÍx va C' c yly, xlx và yIy là các phân giác của các góc hợp bởi D và D A' là ảnh của A trong các phép quay trên, A e D và A' e D’

Suy ra: C và C' nằm trên đường tròn (œ) ngoại tiếp AIAA' (Hình 89)

Do đó C và C' là giao điểm thứ hai của xlx và yly với đường tròn (œ) hay C và C' là giao điểm của x'Ix và y'Ïy với trung trực

A của đoạn AA'

B5 Cho hai đường tròn (O; R) và (Ơ; R`); A là một điểm thuộc (O) và A' là một điểm thuộc (O')

1 Xác định tập hợp các tâm quay œ biến đường tròn (O) thành đường tròn (O')

2 Xác định tâm œ' biến điểm A thành điểm A'

Hướng dẫn: Xem bài 54

Học sinh tự giải

56 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R), A và B cố định, C

di động trên cung lớn AB Trên đường thẳng AC, lấy đoạn

AE = BC và AE cùng hướng với AC

Tìm tập hợp (E) các điểm D

76

Ta suy ra: Khi C chay trên cung lớn

AB thì D chạy trên cúng AB), ảnh

của cung AB cho bởi phép tịnh tiến

Như vậy: E là ảnh cua D trong phép

quay R(A; @) với @ = 0 hoặc ¿ = -Ð

Do đó khi D chạy trên cung lớn A'B của đường tròn (0’; R) với O'

là ảnh cúa O trong phép T(BA) thì tập hợp (E) các điểm E là cung lớn A”B”, ảnh của cung lớn A'B` cho bởi phép quay R(A; 9); cung A”B” nằm trên đường tròn (O”; R), ảnh của đường tròn (Ơ?; R) trong phép quay trên

Nhận xét rằng B' z B" = A

Hãy dựng một hình vuông có 4 đỉnh nằm trên 4 cạnh của một hình bình hành

Hướng dẫn _

Xem hình vuéng ABCD tam 0

Giả sử ta đã dựng được hình vuông MNPQ có 4 đỉnh nằm trên các cạnh của hình bình hành đã cho: M e (AB), N e€ (BC),

Gia su ta đã dựng được hình vuông MNPQ có các đỉnh M,N,P, Q

nằm trên các cạnh của hình bình hành ABCD đã cho (Hình 91)

M <(AB),N <BC); P < (CD); Q < (DA)

Ta có: AAMQ = ACPN (Vì sao?) A M B

Dựng H' là ảnh của H trong phép quay R(O; 90°)

Kẻ đường thẳng d L OH' tại H, d cắt CD tại P

e PO cắt AB tại M,

Ta dung được hình vuông MNPqQ

B8 Cho hai đường thẳng cố định D, A và một điểm cố định A Hãy

Có nhận xét gì? Suy ra cách dựng

Giải

Giả sử ta đã dựng được tam giác ABC cân tại A, có  = œ° và

Be<D,CeA

Ta suy ra C là ảnh của B trong phép quay R(A; œ°) tâm A góc

quay ơ° theo chiều quay dương

Dung AH 1 D tai H.

Cọi H là anh cua H cho bey phép quay do

Pung đường thang |}

viông góc với All' tại HỆ

(hoặc D' tiếp xúc với đường

tron (A; AIT) tai H’)

[’ la anh của D cho bơi phép

quay R(A; a”)

T' cắt XỡC

Goi B la anh cua C cho bơi

mién Be D

AABC cân tại A, BAC =ứ" với B £ D và € e A, là tam giác cần

ding (Hinh 92)

Mện luận:

e« Để D cắt A thì géc của \ và D phải khác a”

«Gọi H” là ảnh của H cho bởi phép quay R(A; —œ”), đường thang

D biến thành đường thang D” i AH” tai H”, D” cat A tai C' Ta dung dugc tam gidc A’B’C’ can tai A, có A =a v6i B’ <« Dva C’ € A Bai toan có hai nghiệm hình

Cần nhớ rằng góc của D hợp với D' và D” bằng nhau va bằng a’

* Nếu một trong hai đường thẳng qua A, D chẳng hạn, thì sao?

Lúc đó, ảnh của A trong phép quay R(A; œ)) hoặc R(A; -ơ')

e Giả sử ta đã dựng được tam

giác đều ABC với đỉnh A cho

trước và B e Dị,C « Dy

Œ thể giả sử thêm rằng ( AB; AC) > 0

= (AB; AC) = 60°

Như vậy C là ảnh của B

trong phép quay R(A; 601)

Dựng H', ảnh của H cho bởi phép quay R(A; 600)

Dựng D; L AH tại H; D) là ảnh của D; trong phép quay trên

Đường thẳng D') cắt đường thẳng D; tại C

Phép quay R(A; -60°) biến điểm C thành điểm B di nhiên B : D Tam giác ABC là tam giác đều phải dựng

+ Nếu D) và D¿ giao nhau: Với hai phép quay R(A; 609), R(A;-60°),

ta dựng được hai tam giác đều ABC: Bài toán có hai nzhiém hình

+ Nếu Dị và D; hợp với nhau một góc 60° và điểm A cho trước

nằm trên đường phân giác t'At của góc tù

Anh cia D, cho bởi phép quay R(A; 60°) hoặc R(A; —60) là D; sẽ

trùng với Dạ: Có vô số điểm C Bài toán có vô số nghiệm hình

+ Nếu Dị và D; hợp với nhau góc 60° và điểm A nằm ngoài

đường phân giác t'At

Ta có: D¡ /⁄ Dạ © ấếC

Bài toán không có nghiệm hình

Hãy dựng một tam giác đều ABC có 3 đỉnh nằm trên 3 tường thẳng song song (Dj), (Dz), (Dạ)

Hướng dẫn

Lấy A e Dạ (Xem bài ð9)

Hãy dựng một tam giác đều ABC có 3 đỉnh nằm trên 3 tường tròn đồng tam (a), (B), (y)

Giải

<= AABC đều

e Giả sử ta đã dựng được tam giác đều ABC thỏa yêu cầu củz bài toán

Co the gia su thém rang A (a), Bee (hi € c ty) và ( AB; AC ) = 60°

Suy ra € là ảnh của B trong phép quay RUA, 60") tam A, géc quay 60°

Phép quay RA; 60”: hiện đường tron (J9) tâm O, ban kinh R,

thành đường tròn (j! tâm O° bản kinh R¿ với O' là anh\cua O +

Dựng diém O’, ảnh của O trong phép quay R(A; 600)

Dựng đường tròn (J`ì tâm O', bán kính R;; (B) chính là ảnh của () cho bởi phép quay R(A; 60°)

Suy ra C e (f’)

Do đó C là giao điêm của đường tròn (y) và đường tròn (P’)

Dựng điểm B, ảnh của © trong phép quay R(A; -60°), B (B)

Tam giác ABC là tam giác đều phải dựng

e Chứng minh: Học sinh tự chứng minh

* 62 Cho hai đường thang x’Px va y'Py Lấy A,M e xx và B,N c yy

82

với A, B cố định và M, N di động, P nằm giữa A và M, B nằm giữa P và N sao cho: AM = BN

1 Chứng minh rằng hai vectơ AM và BN đối ứng nhau trong một

phép quay R(C; 9) có góc quay 9 không đổi và tâm quay C cố định

2 Chứng tỏ đường tròn (œ) ngoại tiếp APMN luôn luôn đi qua hai

điểm cố định

3 Tìm tập hợp các trung điểm J cua đoạn MN

4 Cho A và B di động Tìm tập hợp (E) các tâm quay C của phép quay R(C; 9) ở trên

Giải

AM = BN Tacé: 4

Phần đảo: Học sinh tự chứng minh

Do đó khi A và B dì động, ta có tập hợp C các tâm quay C 1a tia Pz

Cho tam giác ABC với ( AB; AC) = 60° và AC > AB

Hãy dựng một đoan thẳng MN sao cho:

84

Dựng đường tròn (O) ngoại tiếp AABC

Gọi I là giao điểm của (O) và trung

AINC là hình biến của AIMB cho

bởi phép quay Rd; 60°) theo chiéu

Các tam giác IBC và IMN là các tam giác đều

- Dựng đường tròn (O) ngoại tiếp AABC

- Dựng trung trực A của cạnh BC; A cắt đường tròn (O) tai I, J nằm cùng phía với điểm A đối với BC

— Dung đường tròn tam I, ban kính p = s = = cắt AB tại M

— Dung điểm N ảnh của điểm M cho bởi phép quay R(1; 60°)

Đoạn thắng MN là đoạn thẳng phải dựng

64 Cho hai tia Ax va By khong cat nhau

Hày dựng một đương thăng \ cát Ax va By theo thu tu tai M va

N sao cho: [as EN

(MN -/

flà một độ dài cho trước

Hướng dẫn: Xem bài 63

Học sinh tự giai

65 Cho tam giác ABC Vẻ phía ngoài tam giác, dựng các tam giác đều

A'BC, BCA và C’AB

1 So sánh các đoạn thang AA’, BB, CC’

2 Chứng tỏ AA', BB’ CC’ déng qui tai mét diém I

3 Giá sử I nằm trong \ABC Trên tia đối của tia BỊ, lấy đoạn

BD =]C

Chung minh rang: [A + IB + IC = AA’

Gidi

1 Giả sử AB nam bên trái AC

Góc (AB; AC ) có số đo dương

Trong phép quay R(A; -60), ta có:

B` ——>»€

B ——C' Suy ra: BB’ ———> C’C

Do đó ta cé: BB’ = CC’

Tương tự, ta có: AA' = BB’ = CC’ Hình 97 À

2 Gọi I là giao điểm cua B]}' và ÓC

Ta có: (IA, IC) = (BA', BC) = 60” + k180”, k e Z)

>> I là giao điểm thứ hai của CC' và đường tròn (œ) ngoại tiếp AA'BC

Trong phép quay R(B; 60), AA' có ảnh là CC' (Hình 97)

Goi I’ la giao diém AA’ va CC’ |

Ta cé: (I’A; I’C’) = (BA; BC’) = 60° + k'180” (k` e Z)

© (TA; ỨC) = (BA); BC) = 60° + k180°

Suy ra I’ la giao điểm thứ hai của CC’ va duéng tron (a)

Do đó T' trùng với I nghĩa là AA’, BB’, CC’ déng qui tai I

3 Trong phép quay R(A'; 600), CI có ảnh là BD

Suy ra: AI = A'D và (AT, AT) = 609,

66 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R)

M là một điểm di động trên cung BC

Trên tia đối của tia BM lấy một P sao cho BP = MC và trên tia đối của tia CM lấy một điểm Q sao cho CQ = MB

Tìm tập hợp các điểm P, Q

Hướng dẫn

Trên dây AM, lấy đoạn AD = BM A

Ta ching minh rang DM = MC L

Hai tam giác BCM và ACD có: O'

Ta lại có: AMC = ABC = 60° nén Hinh 98

AMCD là tam giác đều

(AM; AP) = -60°

Suy ra P là ảnh của M trong phép quay RA; -60”) (Hình 98)

Do đó: Khi M chạy trên cũng CB thì tấp hợp các điểm P là cung BC’, ảnh của cung CB cho bởi phép quay R(A; —60”), nằm trên đường tròn (O”; R) vai O' la anh cua O trong phép quay trên Lưu

ý là Ơ c (O; R)

Tương tự: Tập hợp các điểm Q là cung CBH', anh của cung BC cho

bởi phép quay R(A; 60”), nằm trên đương tròn (O”; R) với O” là

anh cua O va O” € (0)

67 Cho hai trục xx và y`y vuông góc với nhau tại O; zOz là đường

phân giác của góc xÒy

Một đường tròn (ơ) di động đi qua O và C C € z’Oz cố định, cắt

xx tại M va y’y tai N

1 Chứng tỏ ÔM +ÖN không đổi

2 Giả sử có một đường tròn cố định (J) đi qua O và C, cắt x'x tại A

1 Ta có: MON = 90° nên MN là đường kính của đường tròn (o')

C nam trên tia phân giác

Oz của góc xOy nên ta có:

*68

Tam giác CAB có A=B = 60° nén

Cho đoạn thẳng cố định AB, M là một điểm di động trên đoạn thẳng đó

Trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, dựng các tam giác đều PAM và QMB

Gọi C là giao điểm của PA và QB

Tìm tập hợp (E) các trung điểm I của doan thang PQ

Chứng minh rằng tâm của đường tròn (œ) ngoại tiếp AMPQ là một điểm cố định

‹ Tìm tập hgp (T) tam J của đường tròn (B) ngoại tiếp ACPQ

Do đó khi M chạy trên đoạn thẳng AB = a thì tập hợp (E) các

điểm I là đoạn thẳng A'B' = 2® ảnh của AB cho bởi phép vị tự

H(C; 2) Với A' là trung điểm của CA và E' là trung điểm của CB;

A’ va B’ theo thi ty lA anh cia A va B trong phép vi ty H(C; 3)

2 Ta có:

e AP = PM, PM = CQ = AP = CQ

e (AP;CQ) = —120°

Do đó CQ la anh của AP trong một phép quay R(oœ; -120°) tam

œ, góc quay © = — 120°, tam w 1a giao diém của các trung trực cia AC va CB, o la tam duéng tròn ngoại tiếp ACAB Suy ra œ

cố định; œ cũng nằm trên trung trực của PQ

3 Các tam giác CAB và QMB đều

Các cạnh CA va QM co chúng trung true Bx

Tương tự: CB và PM có chúng trung trực Ay

Do đó tâm đường tròn ngoại tiệp XMDPQ trùng với tâm đường

tròn ngoại tiép m cua \CAB

Vậy: Tâm đường tròn ngoai tiếp \MPQ la mét điểm cố định

33 Các tam giác CPQ và MQP đối xứng nhau qua I nên hai đường

tròn ngoại tiếp cua chúng cũng đối xứng nhau qua I

Suy ra J và œ đối xứng nhau qua I

Ta c6: wd = 2wl

J la anh cua I trong vi tu (@; 2) tam @ ti sé k = 2

Khi I chay trén đoạn thang A’B’ thi tap hap các diém J 1a doan

A”B” song song va bang doan AB, anh cua A’B’ cho bd: pháp vị

tự H(œ; 2)

69 Cho tam giác ABC

1 Xét các phép quay R(A; œ) và R(B; J)

Dinh a va B sao cho C bat bién trong tich R(A; a).R(B; B)

2 Goi: R, = R(A; 2a)

1 Trong phép quay RỊA; ơ), gọi

C’ là ảnh của điểm C, suy ra

C' nằm trên đường tròn (A)

tâm A bán kính R = AC

Điểm C bất biến trong phép

biến hình R(A; œ).R(B; j) nên

C là ảnh của C cho bởi phép

quay R(B; B) (Hình 101) , Hình 101

Suy ra C' nằm trên đường tròn (B) tâm B bán kính R' = BC

C

89

Do dé C và C' là giao điểm của hai đường tròn (A) và (B)

Suy ra C và C' đối xứng với nhau qua đường thẳng AB

=> R, x R, x R; = I, phép bién hinh déng nhat

70 Trong mặt phang (Oxy)

Trên trục x'Ox, lấy một điểm A cố định là một điểm M di động; trên trục y'Oy, lấy một điểm B cố định và một điểm N di động sao cho

In =OB=a

OM + ON =a

với a là một độ dài đã biết

1 Chứng minh rằng trung trực (A) của đoạn thẳng MN luôn luôn đi

qua một điểm cố định C

2 Tìm tập hợp (E) trung điểm I của đoạn thang MN

3 Gọi P là đỉnh thứ tư của hình chữ nhật MONP

1 Các vectơ AM và BN có cùng độ dài (Vì sao?) và vuông góc với

nhau nên ta có thể xem chúng suy từ nhau trong một phép quay

R(C; 90°) tam quay C góc quay @ = 90°

AM R(C20°) BN

Dĩ nhiên trung trực A của đoạn thẳng MN đi qua tâm quay C.

2.C là giao điểm của trung trực

OJ cua đoạn thăng AH và

đường tròn ngoại tiep \OMN,

trung điểm I của doan MN la

tâm đường tròn Suy ra Ï năm

trên trung trực của BC

Giới hạn: Khi M > AthiN > B

Khi M > O thi N -> B’, OB’ = 2a

Khi N > Othi M > A’, OA’ = 2a

Tập hợp (E) các điểm | la đoạn

Do đó khi I chạy trên đoạn thẳng AB thì tập hợp (T) các điểm P

là đoạn thẳng A'B', ảnh cua AB cho bởi phép vị tự H(0; 2)

71 Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') Lấy A, M thuộc (O) và

B, N thuộc (O'), A và B cô định, M và N di động sao cho:

(OA;OM ) = (0'B; O'N)

1 Chứng minh rằng trung trực A của đoạn MN luôn luôn đi qua một điểm cố định

2 Gọi M' là điểm đối tâm của điểm M

Chứng minh rằng trung trực A' của đoạn M\N luôn luôn đi qua một điểm cố định

Hinh 102

Học sinh tự giải

91

A'BC' và ABC đồng dạng với

TD: Cho AA'BC' C5 AABC

Tỉ số hai đường cao tương ứng h, và hạ, tỉ số hai trurg tuyến tương ting m’, và mạ, ., bằng tỉ số đồng dang:

i TS TÁC TS =k

* Néu hai tam giác có các

cạnh đôi một song song thì

được gọi là đồng dạng trực

tiếp (Hình 104)

TD: Phép vị tự H(O, k) biến B CN

AABC thanh AA’B'C’ déng Hinh 104

dang trực tiếp với AABC

tỉ số vị tự k (Hình 105)

Cc Hinh 105

2 Tính chất

a) Mỗi tam giác đươc xem là đồng đang với chính nó

\ABC CD \ABC

Ti so dong dang k = 1

b) Néu \A'B'C’ WH AABC thi \ABC @ \A'B'C’

c) Nếu ta có: \ABC WS \A'B'C’

2 Định lí 1:

Phép đồng dạng là tích số của một phép vị tư dương và một phép

quay hoặc tích số của một phép quay và một phép vị tự đương

Tâm của phép vị tự và tâm quay không bắt buộc phải trùng nhau Nếu tâm vị tự và tâm quay trùng nhau với điểm O thì phép đồng dạng được kí hiệu là

S(O; k; 0)

Ta có: H(O,k) » R(O; 6) =(O; k; 6)

TD: s Phép dời hình là một phép đồng dạng tỉ số k = 1

e Phép vị tự là một phép đồng dạng có tỉ số bằng trị tuyệt đối của tỉ số vi tư

e Đảo ngược của phép đồng dang ti k là một phép đồng dang có tỉ số

k'=z ke

93

Ta suy ra: Trong một phép đồng dạng:

+ Ảnh của một đường thẳng là một đường thẳng

« Từ (b), ta suy ra điểm O nằm trên cung (j) chứa góc định hướng

9 giới hạn bởi hai điểm A và A'

Goi I là giao điểm của hai đường thang AB va A’B’ ta co:

(1A; IA’) = © + m.180°

(IB; IB’) = 6 + m.180°

5 {ie 1A’) = (OA; OA’)

(IB; IB') = (OB; OB’)

Do đó tâm O là giao điểm thứ hai của các đường tròn (œ) ngoại tiếp AIAA' và đường tròn (B) ngoại tiếp AIBB'

74 Cho hai đường tròn không bang nhau (I; R) va (I’; R’)

Do đó O ndm trén duéng tron (a) dudng kinh J,J2

jJ; và d; chính là hai tâm vị tự biến đường tròn (I; R) thanh đường tron (I’; R’)

Néu (I) và (I') giao nhau tai-A va B thi (a) di qua A va B (Đường tròn (œ) được gọi là đường tròn đông dạng của các đường tròn

(1; R) và (P; R') đã cho)

Vậy: Hai đường tròn không bằng nhau (I; R) va (I’; R’) c6 th’ xem tương ứng nhau trong vô số phép đồng dạng mà tỉ số đồng dạng lak = 5 (nose k = R): có tâm đồng dạng nằm trên đườnz tròn đồng dạng của hai đường tròn đã cho

75 Cho hình chữ nhat ABCD co:

AB = a; AD = 2a; (AB: AD) = 900+ k 360 eZ

Goi I là trung diém cua cạnh BC

giao điểm thứ hai cua các

đường tròn ty) và (¿) ngoại

tiếp các tam giác All và

BDJ, J là giao điểm cua

Giải

Dựng tam giác đều ABC với: (CA; CB) = 60° + k.360° (k < Z)

=> (0A; OB) = (CA: GB) + k.360°

Suy ra O nằm trên cung chứa

góc định hướng 602 vẽ trên

cạnh AB

điểm chia vectơ BA theo các ø Hình 115 ae

tỉ số 2 và -2 (Hình 112)

_OB _IB_ JB

Ta có: OA =~ TA 7 JA = 2)

Suy ra điểm O nằm trên đường tròn (œ) đường kính IJ (vì ›ao?)

Do đó O là giao điểm của cung ACB chứa góc 60° và đường trin (ơ') Biểu thức giải tích của phép đông dạng (thuận) trong mặt phẳng

Trong mặt phẳng (Oxy), cho điểm cố định I(a; b) và mệ điểm M(x; y)

Goi M’(x’; y’) la anh cua diém M trong phép déng damg phang

Si(I; k; 6)

Ta có tọa độ của M' là:

Íx” = xị + k(x - x,)cos9 - k(y - y„)sin9

y' = y, + k(x - x,)sinO + k(y — y,)cos0

2 Diém M cé anh 1a diém nao trong phép déng dang Si(O; 3; 30")?

ì 98

Gidi

1 Van dung cong thuc

X - Xịt kíx XxIeosl kite oy isin

2 Trong phép đồng dạng SLO; 3; 60”), điểm M(-1; 3) có ảnh là

điểm M\(Œx¡; yị) với:

[ 4 - 1 v3 31 = 3V3)

Vay: M,(_ 301+ 3V3), 33 - vB) 2 8——]

78 Trong mặt phẳng (Oxy), trên tia Ox lấy một điểm cố định A; trên

tia Oy lấy một điểm cô định B và trên đoạn thăng AB lấy một điểm M Một đường thăng A bất kì đi qua M cắt tia Ox tai C và

tia Oy tai D

Goi I va J theo thứ tự là tâm các đường tròn (œ) ngoại tiếp tam giác MÁC và đường tròn (|) ngoại tiếp tam giác MBD

Chứng minh rằng góc IMJ là góc vuông

Fiuémg dén: Goi N là giao điểm thứ hai của các đường tròn (œ) và (Bì)

Để ý: phép đồng dạng tâm N có góc đồng dạng 0 = 90°

Giải (Các đường tròn (ơ) và (j) có chung nhau điểm M nên có chung mhau điểm thứ hai N

IPhép đồng dạng tâm N, góc đồng dạng 9 = 90° biến AC thành

BD (Hình 113)

99

Ta suy ra: IM va JM theo thi

tự là tiếp tuyến của các

đường tròn (B) và (ơ) tại giao

điểm M

Trong toán học, tại điểm

chung của hai đường cong

(C;) va (C2) nếu các tiếp

tuyến của (C,) va (C2) vudng

cong (C,) va (C2) được gọi là Hình 113

trực giao với nhau

Trong bài toán trên, hai đường tròn (œ) và (B) là hai đường tròn trực giao

Cho hai đường tròn (O: R) và Ơ'; R`) giao nhau tại A và B mà

diém M bién thanh diém

M, tiếp tuyến MT biến

thành tiếp tuyến M’t’

(Mt; M't) = 90 + k.180', k e Z Hình 114

Do đó ta có:

Mt M’t’ (Hinh 114)

80 “rên đường tròn (O; R), cho điêm có địnE A và một điểm di động B

2ựng hình vuông ABCD sao cho [AB: AD] >0

Suy ra C là ảnh của B trong phép đồng dạng S(A; V2; 459)

Dc đó khi B chạy trên đường tròn =>

(O; R), ta có tập hợp các điểm C là

đường tròn (O; RVv2), ảnh của

đường tròn (O; R) cho bởi phép đồng

Do đó khi B chạy trên đường

tron (O; R) thi tap hop các

điểm D là đường tròn (0": R),

anh của đường tròn (O; l)

cho bởi phép quay RA, 90”)

với O” là ảnh cua O trong

phép quay trên

81 Trong mặt phẳng (Oxy), lấy điểm A cố định trên tia Ox và điểm B

cố định trên tia Oy Trên đường thẳng 1 vuông góc với đường thang AB tai A, lay một điểm đi động M Đường thẳng vuông góc với OM tại O cắt đường thẳng AB tại N

Hình 116

101

82

Tim tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng MN

Hướng dẫn: Chứng minh các tam giác MON và AOB đồng dạng

Giải

Ta có: AONB C2 AOMA

Goi J la trung điểm của đoạn

thẳng AB Ta suy ra:

AOIM Œ⁄2 AOJA

{OI _ OJ _ AB Taco: (OM ~ OA ~ 20A

1 M' là ảnh của điểm M trong phép biến hình nào?

2 Tìm tập hợp trung điểm J của đoạn MM'

Giải

1 Đường tròn (C¡): x? + y? — 4x = 0 có tâm C¡(2; 0), ban kinh R, = 2

102

Đường tròn (C;): x? + y’ — 2y = 0 c6 tam C,(0; 1), bán kính Rị = 1

(C;) tiếp xúc với trục tung tại O, (C;) tiếp xúc với trục hoành tại O

(C¡) và (Cạ) có hai điểm chung là điểm O và điểm I (Hình 118)

MM’ qua I nén M la anh cua diem M trong phép dong dang

có tâm Cal; 5) là trung điêm của đoạn €;©;

Nhận xét rằng đường tròn (C¿) đi qua I

83 Trong mặt phẳng (Oxy) cho A(2; 0) và điểm B(0; 2); A là đường

thắng vuông góc với AB tại B Một đường tròn (a) di déng tam I

đi qua A, B và cắt Oy tại M, A tại M'

1 Xác định phép đồng dạng biến điểm M thành điểm M'

2 So sánh các đoạn thẳng BM' và OM

Giải

1 Tam giác OAB vuông cân tại Ò

103

84 1 Trong mặt phẳng (Oxy), cho hai điểm A(1; 0) và B(3; 0) với B

la anh cia A trong một phép đồng dạng tâm I và có tỉ sĩ đồng dạng k= V3

Hãy tìm tập hợp (T) các tâm đồng dạng

2 Xét trường hợp A(0; 1) và B(0; 3)

Giải Gọi I(x; y) là tâm của phép đồng dạng đã cho

Theo giả thiết, ta có: IB = V3 IA

*85 Cho xOy = 45° sav cho (Ox: Ov) > 0 Tren tia Ox, lấy đoạn

AB = 2a; trén tia Oy lay doan CD =a A narn gitta O va B; C nam giữa O và D

Goi E và F theo thứ tự là trung điểm: cú¿ ¿AB và CD; E và F cố định khi a thay đổi

1 Xác định phép đồng dạng SiLI: k; 0 biến AB thành CD

Xác định phép đồng dang SiLJ: k; +! biên AB thành DC

3 Chứng tó rằng khi a thay đôi hai điểm l và J nằm trên một đường cố định (L)

Do d6 DG la anh cua AB trong mot phep đồng dang tâm J, có

ti sd déng dang k’= 2 va goc dong dang 0 = -135° (Hoc sinh tự

Do đó I và J đều nằm trên đường tron ngoại tiếp AOEE

Vậy: Khi a thay đổi, hai điểm I và 2J luôn luôn nằm trên một đường tròn cố định

86 Cho một đường thắng cố định D và một cố định Ï nằm ngoài

đường thẳng D, M là một điểm di động trên D Dựng tam giác

vuông can MIN dinh M vai (IM; IN] > 0

105

1 Tìm tập hợp (T) các điểm N

2 Tìm tập hợp (E) các trọng tâm G của tam giác MIN khi M di

AMIN vuông cân tại M

N là ảnh của điểm M trong phép đồng dạng Si(I; v2; 48")

Do đó khi M chạy trên đường thang D thi tap hợp (T) các điểm

N là đường thắng D, ảnh của đường thẳng D cho bởi phép đồng

dạng Si; V2; 45")

(Dựng IH L D tại H và dựng tam giác HIH' vuông cân tại H,

He D Kẻ đường thẳng D' vuông góc với IH' tại H, D' là anh của D Dĩ nhiên D' đi qua Nì) (Hình 120)

2 Gọi J là trung điểm của MN va MIJ =a

106

Ta có: © tana = Md = 5 =a khong déi véi O <a < 90°

ey? = IM? + Mg? = EM? 1y „ IMv5 “ˆ = 3

V5

Ic - im ion tus BS 3

(IM: ï8) - ø

Ta suy ra G là ảnh của điểm M trong phép đồng dang si 7 a

Do đó khi M chạy trên đường D thì tập hợp (E) các diém G la

đường thẳng D”, ảnh của đường thẳng D cho bởi phép đồng