Tìm hiểu về các đường bậc hai trong mặt phẳng

Các đường bậc hai trong mặt phẳngCác đường Cô nic

Tìm hiểu về các đường bậc hai trong mặt phẳng.

1 Đường tròn.

1.1 Định nghĩa: M(C)  |IM

| = R không đổi với I(a, b) cố định

1.2 Phương trình:

Đường tròn (C) tâm I(a, b) bán kính R có phương trình tổng quát là

(x a ) (y b ) R Hoặc 2 2

x y  ax by c  với a2 b2 c0 và

2 2

R a b  c

 Nếu tâm I trùng với gốc tọa độ O(0, 0) ta có phương

trình chính tắc của đường tròn tâm O bán kính R là

2 2 2

x y R

 phương trình tham số của đường tròn tâm I(a,b) bán

kính R là:

cos sin

 





 



1.3 Phương trình tiếp tuyến tại điểm M 0 (x o , y o ) thuộc

đường tròn (C).

Phương trình tiếp tuyến với đường tròn có phương trình

x y  ax by c  tại điểm M0(xo, yo) thuộc đường tròn là:

0 0 ( 0 ) ( 0 ) 0

x x y y a x  x  b y y  c

1.4 Điều kiện tiếp xúc:

Đường thẳng có phương trình Ax + By + C = 0 tiếp xúc vơi đường tròng (C) tâm I(a,b) có phương trình: 2 2 2

(x a ) (y b ) R nếu d I( , ) R Ta có:

2 2

2 Elips.

3.1 Định nghĩa: Elips là quỹ tích những điểm trên một mặt phẳng có tổng

khoảng cách tới hai điểm phân biệt và cố định của một mặt phẳng ấy bằng một độ dài không đổi

- Hai điểm cố định F, F’ được gọi là hai tiêu điểm

- Khoảng cách FF’ = 2 c được gọi là tiêu cự của elips

- Đặt độ dài không đổi bằng 2a, với M là một điểm của quỹ tích, theo định nghĩa: MF + MF’ = 2a

Ta có 2a  2c hay ac, nếu a = c, elips suy biến thành đoạn thẳng FF’

(ta chỉ xét a > c và chú ý a > c > 0)

2.2 Hình dạng của elips.

Dùng một sợi dây chỉ có độ dài bằng 2a không đổi, hai đầu buộc vào hai đinh đóng cố định trên mặt phẳng Hai đinh cách nhau một đoạn bằng 2c Lấy một đầu bút chì căng sợi dây Cho đầu bút chì trượt theo mặt bàn sao cho sợi dây luôn được kéo căng Đầu bút chì vạch một đường cong là đường elips Gọi đầu bút chì là M, hai đinh là F và F’, ta có MF + MF’ = 2a không đổi

2.3 Trục lớn, trục nhỏ các yếu tố cơ bản của

Elips.

Đường thẳng FF’ cắt elips nên AF + AF’ = 2a

AF + AF’ = 2a

Tương tự: A’F’ = a – c, suy ra AF = A’F’ (*)

Ta có: AA’ = 2AF + FF’ = 2(a – c) + 2c = 2a Vậy AA’ = 2a

Đường thẳng vuông góc với AA’ tại trung điểm O của AA’ cắt (E) tại B và B’ Đặt BB’ = 2b Đoạn thẳng BB’ được gọi là trục nhỏ của (E), đoạn thẳng AA’ được gọi là trục lớn của (E)

Vì B là một điểm của (E) nên BF + BF’ = 2a Vì BF = BF’ nên BF = a

Từ (*) ta có trung điểm O của AA’ cũng là trung điểm O của FF’, do đó OF=c Tam giác vuông BOF cho: a2 – b2 = c2

Các yếu tố a, b, c được gọi là các yếu tố cơ bản của (E)

2.4 Các trục của Elips-Tính đối xứng của elips qua các trục.

Các đường thẳng chứa AA’ và BB’ là các trục của (E) Gọi M là một điểm của elips Theo định nghĩa: MF + M’F’ = 2a

Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua BB’ Ta có MF = M’F’ và MF’ = M’F Do

đó M’F + M’F’ = 2a Nghĩa là điểm M’(E)

Vậy (E) nhận BB’ là trục đối xứng Tương tự (E) nhận AA’ làm trục đối xứng, giao điểm O của AA’ và BB’ là tâm đối xứng của (E)

2.5 Đường tròn chính - Đường tròn phụ - Đường tròn chuẩn với một tiêu điểm của Elips.

- Đường tròn chính là đường tròn đường kính AA’

- Đường tròn phụ là đường tròn đường kính BB’

- Đường tròn tâm F bán kính 2a là đường tròn chuẩn ứng với tiêu điểm F’ của (E)

2.6 Phương trình chính tắc của Elips.

Lập hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, trục hoành Ox qua A và A’ chiều dương từ A’ tới A, trục tung chưa BB’, gốc O là tâm đối xứng của Elips

Các điểm: A(a, 0) B(0, b) F(c, 0)

A’(-a, 0) B’(0, -b) F’(-c,0)

Xét điểm M(x, y)(E) Ta có:

MF2 = (x – c)2 (1)

MF’2 = (x + c)2 (2)

Trừ (1) cho (2) ta được: MF = a - cx

a

MF’ = a + cx

a

Thay giá trị của MF vào (1) ta được x22 2y2 2 1

a a  c  Hay là x22 y22 1

a b  (3)

Ngược lại từ 3 ta cũng suy ra được MF + MF’ = 2a (3) được gọi là phương trình chính tắc của Elips

2.7 Phương trình tiếp tuyến của Elips tại điểm M(x 0 , y 0 ) của (E).

Từ (3) ta có b 2 2

a

 Xét y > 0, phương trình của phần (E) phía trên trục hoành là b 2 2

a

Ta xét điểm M(x0,y0) thuộc phần (E) này, tức là 2 2

0

b

a

  Ta có

0

0

2 2

0

y

a a x



 Ta biết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = f(x) tại điểm (x0,y0) là: y – y0 = f '( )x0 (x x 0)

Do đó phương trình tiếp tuyến tại M(x0,y0) thuộc phần phía trên của trục hoành của (E) là: 0 2 0 2 0

0

bx

a a x



 với chú ý:

2 2

0 0

2 2 1

b

a

 Xét y < 0, phương trinh của phần elips phía dưới trục hoành là

2 2

b

a

  Thực hiện tương tự như trên ta cũng được phương trình (4)

 Xét y = 0, coi x là hàm số của y, phần elips bên phải trục tung có phương trình là a 2 2

b

  Thực hiện tương tự như trên ta cũng được phương trình (4) với y0 = 0, x0 = a ta được tiếp tuyến tại A(a, 0) là x = a, tại A’(-a, 0) là x = -a Vậy: phương trình tiếp tuyến của (E) tại điểm M(x0,y0) là: 0 0

2 2 1

xx yy

a  b 

2.8 Điều kiện cần và đủ để đường thẳng Ax + By + C = 0 (A 2 + B 20) là tiếp tuyến của (E) có phương trình chính tắc x22 y22 1

a b  là a A2 2b B2 2 C2 .

Để đường thẳng đã cho là tiếp tuyến của (E) tại điểm M(x0,y0) thì đường thẳng này phải trùng với tiếp tuyến có phương trình (4)

0 0

2 2

1

Ta có c0 vì nếu c = 0 thì từ (*) ta có A = B = 0 trái với giả thiết của điều kiện

A2 + B2 0 Do đó ta có:

0

2

0

a A

x

c

b B

y

c











bình phương hai vế được

4 2 2

0 2

4 2 2

0 2

a A x

c

b B y

c











Thay vào phương trình (3) ta được: a2A2 + b2B2 = c2(5)

Nếu x0 = 0 hoặc y0 = 0, các tiếp tuyến tại các đỉnh A,A’,B, B’ theo thứ tự có phương trình: x a x a y y b b

  Thử vào điều kiện (5) thấy (5) đúng

Ngược lại nếu đường thẳng Ax + By + c = 0 (A2 + B2 0) có các hệ số thỏa mãn a2A2 + b2B2 = c2, thì đường thẳng này là tiếp tuyến của elips

Thật vậy ta có c0 vì nếu c = 0 thì a2A2 = 0 và b2B2 = 0

Do a > 0, b > 0 nên A = 0 và B = 0, điều này trái với điều kiện A2 + B2 0

Ta đặt

2 0 2 0

a A x

c

b B y

c











(6)

2 2

2 2 0

2 2

2 2 0

2

c x

a A

a cy

b B

b







 



Thay vào (5) ta được:

2 2 2 2

2

c x c y

c

a  b  Hay

2 2

0 0

2 2 1

a  b  Kết quả này cho ta điểm (x0,y0) là một điểm của (E)

Phương trình tiếp tuyến của (E) tại điểm này là 0 0

2 2 1

xx yy

a  b  (7)

Thay các giá trị của x0, y0 từ (6) vào (7) ta được:

xa A yb B

By c

Vậy điều kiện cần và đủ để đường thẳng Ax + By + C = 0 (A2 + B2 0) là tiếp tuyến của (E) có phương trinh chính tắc

2 2

2 2 1

a b  là a A2 2b B2 2 C2

2.9 Tiếp tuyến của elips tại một điểm của (E) là phân giác ngoài của góc

FMF (F, F’ là hai tiêu điểm của (E)).

Chứng minh.

Cách 1: Tiếp tuyến của (E) tại M(x0,y0) có phương trình 0 0

2 2 1

xx yy

a  b  , véc tơ pháp tuyến là 0 0

2 2

(x ,y )

n

a b



Các đường thẳng MF và MF’ có véc tơ chỉ phương là

1 ( 0 , 0); 2 ' ( 0 , 0)

u FM  x c cy u FM  x  c cy

1

1

os( , )

| | | |

nu

c n u

n u





 

=

a

       ( vì MF = |u 1

| = a + cx0

a )

Tương tự: cos(n u , 2 ) = 1

| |

a n Vậy: cos(n u , 1) = cos(n u , 2 ) suy ra tiếp tuyến

là phân giác ngoài của góc FMF'

Cách 2: Gọi E là giao điểm của tiếp

tuyến tại M với Ox Tọa độ của E là

2

M

a

x

  Ta có

2

2

'

M

M

a

x

a

x

Do đó EF

' EF'

M

M

cx

a

a a





Suy ra ME là phân giác ngoài của góc FMF'

2.10 Phương trình pháp tuyến của elips tại điểm M(x 0 ,y 0 ).

Pháp tuyến của (E) tại điểm M(x0,y0) là đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến tại điểm đó

Phương trình tiếp tuyến của elips tại M(x0,y0) là 0 0

2 2 1

xx yy

a  b  , ta tìm được phương trình pháp tuyến của (E) tại điểm đó là: 0 0 0 0

0

x x y y y x

Hay là a y x b x y x y a2 0  2 0  0 0( 2 b2) 0 

2.11 Tâm sai và đường chuẩn của (E).

Tỷ số c

a được gọi là tâm sai của (E) Ký hiệu e = c

a.Do 0 < c < a nên 0 < e < 1 Các đường thẳng song song với trục tung với phương trình là x = a

e và x = -a

e

được gọi là các đường chuẩn của (E) theo thứ tự ứng với tiêu điểm F và F’

Ta có thể chứng minh được tỷ số khoảng cách từ một điểm M của (E) tới tiêu điểm và tới đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó bằng e

Gọi H là hình chiếu của M trên đường chuẩn ứng với tiêu điểm F: ta phải chứng minh: MF e

MH  (1)

Ta có

ex ex

cx

a



Do đó ta có (1)

Ta cũng chứng minh tương tự với đường chuẩn  ' ứng với F’.

3 Hypebol.

3.1 Định nghĩa.

Hypebol là quỹ tích những điểm trên một mặt phẳng sao cho trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách từ điểm ấy đến hai điểm phân biệt và cố định của mặt phẳng bằng một độ dài không đổi

- Hai điểm cố định và phân biệt F và F’ được gọi là hai tiêu điểm

- Khoảng cách FF’ = 2c được gọi là tiêu cự

- Nếu M là một điểm của hypebol thì theo định nghĩa | MF – MF’| = 2a

Điều kiện tồn tại quỹ tích là c > a

Đường thẳng trung trực của đoạn thẳng FF’ chia mặt phẳng thành hai miền Với những điểm M của (H) thuộc miền chứa điểm F thì MF’ – MF = 2a, quỹ tích của M là một nhánh của (H) gọi là nhánh (F)

Với những điểm M của (H) thuộc miền chứa điểm F’ thì MF – MF’ = 2a, quỹ tích của M là một nhánh của (H) goi là nhánh (F’)

Quỹ tích của M sao cho | MF – MF’ | = 2a là hypebol gồm 2 nhánh (F) và (F’) Hai nhánh này không có điểm chung

3.2 Hình dạng của hypebol.

Đặt một thước kẻ có hai đầu là F’ và E, có độ dài m trên mặt phẳng Đầu F’ của thước kẻ quay được đóng đinh vào mặt bàn Thước kẻ quay được xung quanh điểm F’ Một sợi dây dài L không đổi (L < m) một

đầu được buộc vào đầu E của thước kẻ, đầu còn lại

buộc vào đình F đóng cố định trên mặt bàn (EF <

1)

Lấy đầu bút chì căng sợi dây sao cho đầu bút

chì luôn ở trên cạnh FF’ của thước kẻ Cho thước

kẻ quay quanh F’, đầu bút chì M vạch ra một phần

của quỹ tích Vì MF’ – MF = (m – ME) – (L – ME)

= m – e không đổi Đổi vị trí của F và F’ ta được

Hypebol cần vẽ Hypebol này nhận F và F là tiêu

điểm

3.3 Trục thực, trục ảo, tính đối xứng của (H)

qua các trục.

Các yếu tố cơ bản và hình chữ nhật cơ sở của (H) Đường thẳng FF’ được gọi

là trục thực của (H), đường trung trực của đoạn thẳng FF được gọi là trục ảo Trục thực cắt (H) tại A và A’.(A thuộc nhánh F)

Vì A là một điểm của (H) nên AF’ – AF = 2a Với A’ ta cũng có A’F – A’F’ = 2a Do đó AF’ – AF = A’F – A’F’

Từ AF’ – AF = 2a ta được AF’ – A’F’ = 2a  AA’ = 2a

Các điểm A, A’ được gọi là đỉnh của (H)

Các đường thẳng qua A, A’ vuông góc với trục thực cắt đường tròn tâm O bán kính C (O là trung điểm của FF’) tại các điểm I, J, K, L Đặt AI = b Tam giác vuông CAI cho a2 + b2 = c2

Các yếu tố a, b, c được gọi là các yếu tố cơ bản của (H) và theo thứ tự được gọi

là bán trục thực, bán trục ảo và bán tiêu cự của (H) Hình chữ nhật IJKL được gọi

là hình chữ nhật cơ sở của (H)

Nếu lấy M’ là điểm đối xứng của M qu trục thực, do tính đối xứng ta được

|MF MF ' | |M F M F'  ' ' | 2 a, điều này chứng tỏ M’ cũng là một điểm của (H) Tương tự lấy M’’ là đối xứng của M qua trục ảo ta cũng được M’’ nằm trên (H)

Suy ra (H) nhận hai trục thực và trục ảo là các trục đối xứng và giao điểm O của hai trục là tâm đối xứng

3.4 Đường tròn chính, đường tròn chuẩn ứng với một tiêu điểm của hypebol.

Đường tròn đường kính AA’ được gọi là đường tròn chính

Đường tròn tâm F bán kính 2a được gọi là đường tròn chuẩn ứng với tiêu điểm

F của (H)

Đường tròn tâm F’ bán kính 2a được gọi là đường tròn chuẩn ứng với tiêu điểm F’ của (H)

3.5 Phương trình chính tắc của (H).

Chọn hệ trục tọa độ vuông góc có trục Ox nằm trên trục thực hướng dương là hường từ F’ tới F, trục Oy nằm trên trục ảo Các điểm A(a,0); F(c,0); A’(-a,0); F’(-c,0) Lấy điểm M là một điểm của (H), M= (x,y) Ta có:

   Từ đó ta được MF2 – MF’2 = -4cx Ta có:

|MF – MF’| = 2a

Nếu MFMF’ thì MF – MF’ = 2a ta được MF = a - cx

a Nếu MFMF’ thì MF – MF’ = -2a ta được MF = -a + cx

a Vậy MF = | a - cx

a | Thay vào (1) ta được (a - cx

a )2 = (x – c)2 + y2

2 2 2 1 2 2 1

Ngược lại nếu có điểm M(x, y) thỏa mãn (2) thì ta cũng chứng minh được

|MF MF ' | 2 a Vậy (2) là phương trình quỹ tích của M, được gọi là phương trình chính tắc của (H)

Nếu thay thế x

a với y

b và ngược lại, ta được x22 y22 1

a  b  là phương trình chính tắc của (H) liên hợp nhận các điểm B(0,b) và B’(0,-b) là đỉnh, các tiêu điểm nằm trên Oy

Nếu a = b thì (2) trở thành x2 – y2 = a2 là phương trình của (H) vuông góc (hình chữ nhật cơ sở là hình vuông)

Nếu quay hệ trục tọa độ quanh gốc O một góc 45o, ngược chiều kim đồng hồ, công thức quay hệ trục tọa độ là cos Y sin

x X





 

Thì

2

2 2

2











Thay vào phương trình x2 - y2=a2

ta được XY =

2

2

a

 Đặt

2

2

a K

  Ta được XY  K (K < 0)

3.6 Đường tiệm cận của (H).

Xét phần phía trên trục hoành của nhánh (F) của hypebol Phần nhánh này có phương trình là y = b 2 2

a  (xa)

Đường tiệm cận của nhánh này là đường thẳng có phương trình là y =  x + 

Ta có: lim 2 2 lim 1 22

ax



   

và

2

2 2 2



Vậy y = b x

a là đường tiệm cận của phần phía trên trục hoành của nhánh (F) của (H)

Làm tương tự với các phần nhánh còn lại, ta được hai đường thẳng y = b x

a

hai đường tiệm cận của (H) (hai đường tiệm cận này chứa hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở)

Vậy tập hợp hai đường tiệm cận của (H) có phương trình là x22 y22 0

a  b 

3.7 Phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm M(x o ,y o ): 0 0

2 2 1

xx yy

a  b  3.8 Điều kiện cần và đủ để đường thẳng Ax + By + C = 0 (A 2 + B 2 0) là tiếp tuyến của (H): x22 y22 1

a  b  là a 2 A 2 – b 2 B 2 = C 2 (chứng minh tương tự như với elips)

3.9 Phương trình pháp tuyến của (H) tại điểm M(x o ,y o ):

0 0 0 0

0

  Hay là a2yox + b2xoy – xoyo(a2 + b2) = 0

3.11 Tâm sai và đường chuẩn của (H).

Tỷ số c e

a  gọi là tâm sai của (H) Đối với (H) thì e > 1

Các đường thẳng x a

e

e

 là các đường chuẩn của (H) ứng với các tiêu điểm F và F’

Gọi M là một điểm của nhánh (F), MH là khoảng cách tính từ M tới đường chuẩn

'

a

x

e

 ta có MF e

MH  Đối với đường chuẩn kia cũng vậy

4 Parabol.

4.1 Định nghĩa.

Parabol là quỹ tích những điểm trên mặt phẳng cách đều một điểm F và một đừng thẳng (D) không qua F của mặt phẳng ấy

+ Điểm F gọi là tiêu điểm của Parabol

+ Đường thẳng (D) gọi là đường chuẩn của (P)

+ Khoảng cách p từ F đến đường thẳng (D) gọi là tham số tiêu của (P)

+ Đường thẳng qua F vuông góc với (D) gọi là trục của (P)

+ Gọi K là chân đường vuông góc từ F xuống (D) Chiều từ K đến F gọi là chiều của trục

4.2 Hình dạng của (P).

Đặt cạch góc vuông AC của eke ABC trên đường thẳng (D) Dùng một sợi dây dài bằng cạch góc vuông AB = 1 của eke, một đầu buộc vào B, một đầu buộc vào

F Đầu bút chì M căng sợi dây sao

cho M luôn ở trên cạch AB, khi

trượt eke theo (D), M vạch một

cung (P) Lật eke sao cho cạnh AC

cũng vẫn nằm trên (D), M vạch một

cung (P) đối xứng với cung trên qua

trục (P) Thật vậy ta luôn có

1

1



cách đều F và (D) ta được hình

dạng của (P) như hình vẽ

4.3 Phương trình chính tắc

của Parabol.

Lập hệ trục tọa độ sao cho Ox chứa trục của (P), Oy là đường trung trực của

FK, K là hình chiếu vuông góc của F trên (D) Chiều dương của Ox là chiều từ O tới t và O và trung điểm của FK

Ta có KF  p 0 Tọa độ của F là F( ,

2

p

y)

Từ MA = MF ta có MA2 = MP2  (x+

2

p

)2 = (x -

2

p

)2 + y2  y2 = 2px

Điểm O được gọi là đỉnh của (P)

 Phương trình chính tắc có 4 dạng:

Phương

trình

y2 = 2px y2 = -2px x2= 2py x2= -2py Tiêu điểu

F( ,0 2

p

2

p

2

p

F(0,-2

p

) Đường

p

2

p

2

p

2

p

y 

Đồ thị

4.4 Phương trình tiếp tuyến của (P).

Phương trình tiếp tuyến của (P): y2 = 2px (1) tại điểm M(xM, yM) có dạng

( )

y y y x x (2)

Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1) ta được: yy’ = 2p Tại điểm M ta có

( )

m x

y y  p (3) a) Nếu ym 0 (tiếp điểm M khác điểm O) ta được: ( )

2 'x m

m

p y

y

Thay vào (2) ta được: y – ym = 2 ( m)

m

p

x x

Vậy phương trình tiếp tuyến là yym = p(x + xm)

b) Nếu ym = 0, ta coi x là hàm số của y: x = 21 y2

p Tương tự như trên ta có:

2 ' 2

x

Do đó '( )

m

m y

y x

p

 Vì ym = 0 và xm = 0 nên phương trình tiếp tuyến ( )

m

x x x y y trở thành x = 0, kết quả này nghiệm đúng (3)

Vậy phương trình (3) là phương trình tiếp tuyến của (P) tại một điểm M của nó

4.5 Tiếp tuyến của (P) y 2 = 2px tại điểm M là phân giác trong của góc

AMF, trong đó A là hình chiếu của M trên đường chuẩn (), F là tiêu điểm của (P)

4.6 Phương trình pháp tuyến của Parabol tại điểm M.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là px – ymy + pxm = 0 phương trình pháp tuyến tại M là y x x m(  m)p y y(  m) 0