Các phép biến hình trong mặt phẳng EUCLIDE

Một trong số các nội dung họcsinh được học đó là các phép biến hình và phép dời hình trong mặt phẳng.. Tagọi f là một phép biến hình affine gọi tắt là phép affine nếu f biến một đườngth

Mở đầu 1

1.1 Góc 1

1.2 Góc định hướng 2

1.2.1 Góc đinh hướng giữa hai tia 2

1.2.2 Góc định hướng giữa hai đường thẳng 2

1.3 Đường phân giác 3

1.3.1 Các định lý cơ bản khác về góc 4

2 Nội dung chính 6 2.1 Phép biến hình 6

2.1.1 Sơ lược về phép biến hình 6

2.1.2 Phép biến hình affine 7

2.2 Phép đẳng cự 10

2.2.1 Sơ lược về phép đẳng cự 10

2.2.2 Phép đẳng cự trong mặt phẳng 10

2.2.3 Các phép đẳng cự đặc biệt trong mặt phẳng Euclide 14

2.2.4 Hợp thành của các phép đẳng cự 35

2.3 Các phép biến hình khác 41

1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình dạy và học toán ở phổ thông, phân môn Hình học luôn làmột môn học khó đối với các em học sinh Bởi không chỉ cần học nội dung trongsách giáo khoa, các em còn cần phải tư duy logic, tưởng tượng sáng tạo và vận dụnglinh hoat nhiều kiến thức liên quan để giải bài tập Một trong số các nội dung họcsinh được học đó là các phép biến hình và phép dời hình trong mặt phẳng Đây làmột công cụ đắc lực để giải các dạng bài tập quỹ tích, chứng minh, bài toán dựnghình là những câu hỏi khó trong đề bài Phép biến hình trong mặt phẳng đượcgiới thiệu trong chương trình Toán lớp 8 và được củng cố trong chương trình Toántrung học phổ thông với nhiều bài tập đa dạng hơn Tuy nhiên các tài liệu thamkhảo hiện tại không đi vào chuyên sâu nội dung của các phép biến hình Do đó emlàm đề tài này nhằm mục đích khai thác một cách cụ thể và hiệu quả các phépbiến hình trong mặt phẳng, đồng thời đưa ra một số dạng bài tập vận dụng trongchương trình toán phổ thông nhằm giúp các em học sinh hiểu rõ hơn nội dung này,

có thể vận dụng một cách linh hoạt các phép biến hình để giải toán

Xuất phát từ quan sát trên cùng với sự hướng dẫn tận tình của Th.S PhạmThanh Tâm, em xin chọn đề tài: “Các phép biến hình trong mặt phẳngEuclide” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp của mình

Khóa luận được trình bày trong hai chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Các phép biến hình trong mặt phẳng Euclide.

2 Mục đích nghiên cứu

• Đi sâu vào nội dung phép biến hình trong mặt phẳng Euclide

• Đưa ra một số bài toán trong chương trình phổ thông giúp học sinh vận dụnglinh hoạt các phép biến hình đã học trong một số dạng bài tập

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

• Phép biến hình trong mặt phẳng Euclide

• Một số bài tập hình học liên quan trong chương trình toán phổ thông

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về các phép biến hình và mối quan hệ giữa các phép biến hình trongmặt phẳng Euclide

5 Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích các bài giải minh họa, tích cực nghiêncứu dưới sự chỉ bảo của thầy giáo hướng dẫn

6 Ý nghĩa khoa học, thực tiễn của đề tài

Là tài liệu tham khảo cho các sinh viên chuyên ngành Toán, các học sinh Trunghọc phổ thông tham khảo

Hà Nội, tháng 04 năm 2018Tác giả khóa luận

Nguyễn Phương Thảo

(AB) đường thẳng AB

[AB) tia [AB)

[AB] đoạn thẳng [AB]

|AB| độ dài của đoạn thẳng [AB]

1.2 Góc định hướng

1.2.1 Góc đinh hướng giữa hai tia.

Định nghĩa 1.2.1 Cho hai tia OA và OB Góc định hướng giữa hai tia OA và

OB là hình gồm hai tia OA và OB và một trong hai tập hợp do hai tia đó phânhoạch mặt phẳng ra; đồng thời giữa hai tia OA và OB ta quy ước tia nào là tiađầu, tia nào là tia cuối

Dễ thấy với hai tia OA, OB có

hai góc định hướng tạo bởi hai tia

Ký hiệu:(OA, OB)

Nhận xét 1.2.1 Nếu α là một giá trị của góc định hướng giữa hai tia OA và OBthì những giá trị khác sai khác nhau một lượng bằng k2π:

α0 = α + k2π (k ∈ Z)Định nghĩa 1.2.2 Hệ thức Salo: Cho n tia OA1; OA2; ; OAn trong mặt phẳngđịnh hướng ta có hệ thức Salo:

(OA1, OA2) + (OA2, OA3) + + (OAn−1, OAn) = (OA1, OAn)

1.2.2 Góc định hướng giữa hai đường thẳng

Định nghĩa 1.2.3 Trong mặt phẳng định hướng, cho hai đường thẳng a và b

• Nếu a ∩ b ≡ O thì góc định hướng từ a đến b là góc quay quanh O để a trùng b

• Nếu a//b hoặc a ≡ b thì góc định hướng giữa hai đường thẳng a và b bằng 0

Kí hiệu: (a, b)

Nhận xét 1.2.2 Nếu α là một giá trị của góc định hướng giữa hai đường thẳng a

và b thì các giá trị α0 khác của nó có dạng:

α0 = α + kπ (k ∈ Z)Định nghĩa 1.2.4 Hệ thức Salo Trong mặt phẳng đã được định hướng cho nđường thẳng a1, a2, , an cắt nhau tại O Khi đó ta có:

(a1, a2) + (a2, a3) + + (an−1, an) = (a1, an)

1.3 Đường phân giác

Định nghĩa 1.3.1 Tia phân giác: Cho hai tia OA, OB trong mặt phẳng (P ) đãđược định hướng Tia OT thuộc mặt phẳng (P ) được gọi là tia phân giác của gócđịnh hướng giữa hai tia OA, OB nếu:

(OA, OT ) = (OT , OB)

⇔ (OA, OT ) + (OT , OB) = 2(OT , OB)

⇔ (OA, OB) = 2(OT , OB)

⇔ (OT , OB) = 12(OA, OB)

Định nghĩa 1.3.2 Đường phân giác: Trong mặt phẳng (P ) được định hướng,cho hai đường thẳng a, b cắt nhau tại O Đường thẳng t qua O trong mặt phẳng(P ) gọi là đường phân giác của góc định hướng giữa hai đường thẳng a và b cắtnhau tại O nếu:

Định nghĩa 1.3.3 ˙

Đường phân giác trong: Trong mặt phẳng (P ) cho M ABC Đường thẳng t1

qua A, cắt đoạn BC tại điểm D sao cho \BAD = \DAC gọi là đường phân giáctrong của góc [BAC

Đường phân giác ngoài: Đường thẳng t2 đi qua A và chia đôi góc ngoài củatam giác M ABC thành hai góc bằng nhau được gọi là đường phân giác ngoài góc

A của tam giác M ABC

Nhận xét: t1 ⊥ t2

Định lý 1.3.1 Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia đôi cạnh đốidiện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy

1.3.1 Các định lý cơ bản khác về góc

Định lý 1.3.2 Hệ thức về góc định hướng giữa ba đường thẳng

Cho ba điểm A, B, C là ba điểm phân biệt trong mặt phẳng Affine Euclide Khiđó:

(AB, AC) + (BC, BA) + (CA, CB) = 0Định lý 1.3.3 Góc và đường tròn

Cho A, B, C là ba điểm phân biệt trên đường tròn tâm O Ta có:

(OA, OB) = 2(CA, CB)

Định lý 1.3.4 Góc giữa tiếp tuyến và dây cung

Nếu đường thẳng d là tiếp tuyến tại điểm B của đường tròn (C) có tâm O vànếu A là một điểm khác B trên (C) thì:

(OA, OB) = 2(AB, d)

Định lý 1.3.5 Góc cùng chắn một cung

Cho A, B và C là ba điểm phân biệt Một điểm D thuộc đường tròn ngoại tiếp bađiểm đó nếu và chỉ nếu:

(CA, CB) = (DA, DB)

Nội dung chính

2.1 Phép biến hình

2.1.1 Sơ lược về phép biến hình.

Định nghĩa 2.1.1 Trong không gian Euclide n chiều En, một ánh xạ f : En → Enđược gọi là phép biến hình nếu f là song ánh

1 2

I là một ánh xạ

+N

1 2

I là một đơn ánh

+N

1 2

I là một toàn ánh

⇒ N12

I là một phép biến hình của E2

Nhận xét: IP IP0 = IQ.IQ0 = 12; P, P0, Q, Q0 thuộc cùng một đường tròn.Trong trường hợp này, N

1 2

I không biến đường thẳng thành đường thẳng

Định nghĩa 2.1.2 Hợp của hai phép biến hình

Giả sử f và g là hai phép biến hình trên En đã cho, khi đó tích f ◦ g cũng làmột ánh xạ từ En vào En nên tích đó cũng là phép biến hình trên En

Định nghĩa 2.1.3 Điểm bất động, hình kép, hình bất động

Cho phép biến hình f

• A gọi là điểm bất động của f nếu f (A) = A

• Φ gọi là hình kép nếu f nếu f (Φ) = Φ

• Φ gọi là hình cố định nếu f (A) = A ∀A ∈ Φ

Định nghĩa 2.1.4 Phép biến hình đảo ngược

Cho phép biến hình f Ánh xạ ngược f−1 của song ánh f gọi là phép biến hìnhđảo ngược của phép biến hình f hay là nghịch đảo của phép biến hình f

Định nghĩa 2.1.5 Phép biến hình đối hợp

Phép biến hình f gọi là đối hợp nếu f2 = Id, nghĩa là f = f−1

2.1.2 Phép biến hình affine.

Định nghĩa 2.1.6 Cho song ánh f : En → En là một phép biến hình của En Tagọi f là một phép biến hình affine ( gọi tắt là phép affine) nếu f biến một đườngthẳng bất kì thành một đường thẳng

Định lý 2.1.1 Điều kiện tương đương cho phép biến hình affine

Cho song ánh f : En → En là một phép biến hình Khi đó f là một phép biếnhình affine ⇔ f biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và biến ba điểmkhông thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng

Ví dụ 2.1.3 Trong không gian E2, cho điểm M cố định Xét ánh xạ:

Phép affine biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng

Phép affine biến ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng.Phép afin biến đường thẳng thành đường thẳng

Tính chất 2.1.2 Phép affine biến mặt phẳng thành mặt phẳng

Tính chất 2.1.3 Phép affine bảo tồn tính song ánh của hai đường thẳng

Tính chất 2.1.4 Phép affine bảo tồn sự bằng nhau của các đoạn thẳng định hướng.Tính chất 2.1.5 Phép affine biến vectơ tổng thành tổng các vectơ tương ứng.Tính chất 2.1.6 Phép affine bảo tồn tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng

⇒ Phép biến hình affine bảo tồn trung điểm của đoạn thẳng và bảo tồn tỉ số củacác đoạn thẳng song song với nhau

Định lý 2.1.2 Điều kiện xác định phép affine trong mặt phẳng.

Trong En, cho hai tam giác M A1A2A3 và M A01A02A03, tồn tại duy nhất một phépaffine của E2 biến Ai thành A0i, (i = 1, 2, 3)

Hay ta có thể nói: Phép affine trong mặt phẳng E2 được xác định bởi hai tamgiác tương ứng

M0P0 = k−−−→

M0N0 hay M0, N0, P0 thẳng hàng Ta đã chỉ ra f là phép affine

Giả sử g cũng là phép affine của E2 biến Ai thành A0i, (i = 1, 2, 3) Xét điểm Mbất kì của E2 và đặt f (M ) = M0, g(M ) = M00 Giả sử bộ số tương ứng của M là(m1, m2) thế thì:

A1M ) =−−−→

A01M00 = m1.−−−→

A01A02+ m2.−−−→

A01A03.Theo trên M0 = M00 hay g = f 

Phân loại

i) Phép affine giữ nguyên chiều của hình gọi là phép affine loại một

ii) Phép affine làm đảo chiều của hình gọi là phép affine loại hai

Tính chất 2.2.2 Phép đẳng cự bảo toàn tính thẳng hàng và tỉ số đơn

Tính chất 2.2.3 Phép đẳng cự bảo toàn độ lớn của góc

2.2.2 Phép đẳng cự trong mặt phẳng.

Định nghĩa 2.2.2 Phép biến hình trong mặt phẳng Euclide bảo tồn khoảng cáchgiữa hai điểm gọi là phép đẳng cự trong mặt phẳng Euclide, tức là:

Nếu D là phép biến hình và D(A) = A1, D(B) = B1 thì |AB| = |A1B1|.

Ví dụ 2.2.1 Trên mặt phẳng (P ) cho đường tròn (O; 1) và tập hợp n điểm A1, A2, , An(n > 2) Chứng minh rằng luôn tìm được điểm M trên đường tròn (O; 1) sao cho:

n

P

k=1

M Ak ≥ n

Ta chứng minh bài toán như sau:

Lấy trên đường tròn (O; 1) một điểm M bất kì

Định lý 2.2.1 Điều kiện xác định phép đẳng cự trong mặt phẳng

Có một và chỉ một phép đẳng cự biến các đỉnh A, B, C của một tam giác khôngsuy biến, tương ứng thành các đỉnh A1, B1, C1 của tam giác toàn đẳng với nó Nghĩa

là, phép đẳng cự được hoàn toàn xác định bởi hai tam giác bằng nhau

Chứng minh:

Sự tồn tại được suy ra từ tính toàn đẳng của M ABC và M A1B1C1

Cho M ABC = M A1B1C1 Theo định lí về sự xác định phép affine trong mặtphẳng thì tồn tại duy nhất một phép affine f biến ba đỉnh A, B, C thành ba đỉnhtương ứng A1, B1, C1

Ta chứng minh tính duy nhất.

Giả sử D là phép đẳng cự phẳng nào đó thỏa mãn

D(A) = A1, D(B) = B1, D(C) = C1.Giả sử X là một điểm bất kì của mặt phẳng Rõ ràng điểm D(X) phải cáchcác đỉnh A1, B1, C1 các khoảng |XA|, |XB|, |XC| Nhưng ba đường tròn với tâm

A1, B1, C1 không thẳng hàng thì chỉ có không quá một điểm chung, nghĩa là D(X)được xác định duy nhất

Mệnh đề 2.2.1 Phép đẳng cự là phép affine: Qua một phép đẳng cự, bađiểm thẳng hàng biến thành ba điểm thẳng hàng trong đó thứ tự của các điểm đượcgiữ nguyên

và B1

Mệnh đề 2.2.2 Qua một phép đẳng cự, hai đường thẳng song song biến thànhhai đường thẳng song song

Chứng minh:

Giả sử D(a) = a1, D(b) = b1 và a//b

Nếu a1∩ b1 = M1 (duy nhất) thì ∃M = a ∩ b sao cho D(M ) = M1

Điều này vô lí vì a//b Vậy a1//b1 

Mệnh đề 2.2.3 Qua một phép đẳng cự, đường tròn biến thành đường tròn cùngbán kính.

Chứng minh:

Giả sử D : O 7→ O1, ∀X ∈ (O1, r) 7→ X1 và |OX| = |O1X1| = r

Suy ra X1 ∈ (O1, r) Vậy D((O)) ⊂ (O1)

Tương tự: D−1((O1)) ⊃ (O)

Vậy phép đẳng cự biến đường tròn (O, r) thành đường tròn (O1, r) Mệnh đề 2.2.4 Phép đẳng cự biến một góc thành góc bằng nó

(Đặc biệt điểm khác so với phép affine là phép đẳng cự bảo toàn quan hệ vuông góc.)Chứng minh:

Giả sử qua phép đẳng cự:

D : [OX) 7→ [O1X1)[OY ) 7→ [O1Y1)Lấy A ∈ [OX), B ∈ [OY ) Giả sử:

D : A 7→ A1; B 7→ B1Thế thì |OA| = |O1A1|, |OB| = |O1B1|, |AB| = |A1B1|

Suy ra M OAB ∼=M O1A1B1 ⇒ \XOY ∼= \X1O1Y1 

Phân loại phép đẳng cự. Gồm hai loại:

i) Phép dời hình: Không làm đổi hướng của hình

Phép đẳng cự được gọi là phép dời hình nếu nó là phép affine loại một, baogồm: Phép quay, phép đối xứng tâm và phép tịnh tiến

ii) Phép phản chiếu: Làm đổi hướng của hình

Phép đẳng cự được gọi là phép phản chiếu nếu nó là phép affine loại hai, baogồm: Phép đối xứng trục, phép đối xứng trượt

Định nghĩa 2.2.3.

Hai hình là ảnh của nhau qua phép dời hình gọi là hai hình bằng nhau

Hai hình là ảnh của nhau qua phép phản chiếu gọi là hai hình đối xứng

Định lý 2.2.2

• Tích của hai phép dời hình là phép dời hình

• Tích của hai phép phản chiếu là phép dời hình

• Tích hai phép dời hình và phản chiếu theo thứ tự nào cũng là một phép phảnchiếu

• Phép đảo ngược của dời hình (phản chiếu) là phép dời hình (phản chiếu)

2.2.3 Các phép đẳng cự đặc biệt trong mặt phẳng Euclide.

Kí hiệu: XO là phép đối xứng tâm O

iv) Hai đường thẳng song song được coi là ảnh của nhau qua phép đối xứng tâm.Chứng minh:

i) và ii)) là hiển nhiên

iii) Giả sử b = XO(a), a ∩ b = B và B1 = XO(B) Vì B 6= O nên B1 6= B Do đó

B1 cùng thuộc cả b và a Điều này trái giả thiết a, b là hai đường thẳng phân biệt.Vậy a//b

iv) Giả sử a//b, A ∈ a, B ∈ b, O là điểm chính giữa của [AB] Rõ ràng XO(A) =

B và giả sử XO(a) = a0 thì a0 đi qua B và song song với a Từ đó ta suy ra

XC ◦ XB◦ XA−1 = XO Do XA−1 = XAnên

XC ◦ XB◦ XA = XO 

Tổng quát ta có thể phát biểu:

+ Hợp thành của một số chẵn các phép đối xứng tâm là phép tịnh tiến

+ Hợp thành của một số lẻ các phép đối xứng tâm là phép đối xứng tâm.Mệnh đề 2.2.7

i) XC ◦ XB◦ XA = XA◦ XB◦ XC

ii) Hợp thành của các phép đối xứng tâm là không thay đổi nếu ta thay đổi vị trícủa các nhóm những thừa số đứng liền nhau trong đó mỗi nhóm chứa một sốchẵn lần các phép đối xứng tâm

iii) Hợp thành của các phép đối xứng tâm là không thay đổi nếu ta thay đổi vị trícủa các thừa số đứng ở những hàng cùng chẵn hoặc cùng lẻ

BA◦ XC nên ta suy ra điều phải chứng minh

ii) Ví dụ ta phải chứng minh:

(XAXB)(XCXDXEXF) = (XCXDXEXF)(XAXB)

Kết quả có được là do tính chất giao hoán của hợp thành các phép tịnh tiến.iii) Ví dụ ta phải chứng minh:

X7X6X5X4X3X2X1 = X1X2X3X4X7X6X5.Theo tính chất i) ta có:

X7X6X5X4(X3X2X1) = X7X6X5X4(X1X2X3)

=X7X6(X1X4X5)X2X3 = X1X6X7X4X5X2X3

Cứ làm tiếp tục như vậy ta được kết quả cuối cùng 

Hình có tâm đối xứng Đối xứng bậc n.

Định nghĩa 2.2.5 Hình H biến thành chính nó qua phép đối xứng tâm gọi làhình có tâm đối xứng

Định nghĩa 2.2.6 H gọi là hình có đối xứng bậc n Nếu H biến thành chính nóqua phép quay xung quanh một điểm O nào đó đi một góc α = 360no, (n là số tựnhiên) Điểm O gọi là tâm đối xứng bậc n của hình

Một số ví dụ:

Ví dụ 1: Cho 4 đường thẳng trong đó không có hai đường nào song song và một

điểm O không nằm trên các đường thẳng đó Hãy dựng một hình bìnhhành mà 4 đỉnh nằm trên 4 đường thẳng và nhận O làm giao điểm cácđường chéo

Ví dụ 2: Cho hai đường tròn cắt nhau tại các điểm A, b và số a > 0 Hãy dựng

một đường thẳng d đi qua A và cắt hai đường tròn thành hai dây cung

mà hiệu độ dài bằng a

a) Phân tích:

Gọi M, M0 là các giao điểm của d với đường tròn (O), (O0) ( khác A) và coi

AM ≥ AM0 Phép đối xứng tâm XA biến M0 thành M00 sẽ biến (O0) thànhđường tròn (O00)

Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các đoạn AM00và AM , khi đó O00H ⊥ AM

và OK ⊥ AM Gọi E là hình chiếu của O trên O00H, ta có OE song song vàbằng KH

- Lấy đối xứng (O0) qua điểm A: XA : (O0) −→ (O00).

- Gọi O1 là trung điểm OO0 Lần lượt dựng đường tròn (C1) tâm O1 bán kính

- Tương tự kẻ OK ⊥ AM → K là trung điểm của AM

Bài toán có nghiệm khi hai đường tròn (O1;OO20); (O;a2) có điểm chung

2 Phép quay quanh một điểm trong mặt phẳng

Định nghĩa 2.2.7 Trong E2, cho điểm O và góc định hướng α (−180o ≤ α ≤

180o)

Phép quay tâm O đi một góc α là một phép biến hình phẳng mà điểm O đượcbiến thành chính nó, còn một điểm X bất kì khác O được biến thành điểm X1 saocho:







|OX| = |OX1|(OX, OX1) = α

Kí hiệu: QαO với O là tâm quay, α là góc quay

Tính chất 2.2.4

a) Phép quay QαO là phép dời hình

b) Phép quay QαO là phép đối hợp khi và chỉ khi α = k.180o

c) Phép quay QαO luôn có điểm bất động duy nhất chính là tâm O

Tính chất 2.2.5 Qua phép quay QαO thì ảnh l0 của đường thẳng l là một đườngthẳng Nếu α 6= 0 và α 6= 180o thì góc (l, l0) = |α| Còn trong trường hợp ngược lạithì l, l0 sẽ song song với nhau hoặc trùng nhau.

Hợp thành của hai phép quay

• Hợp thành của hai phép quay cùng tâm

2 , còn d2 là đường thẳng đi qua O2 và (O1O2, d2) = α2

2 Chứng minh:

Để chứng minh được tính chất trên, ta áp dụng bổ đề sau:

Ví dụ 1: Cho hai đường tròn đồng tâm Hãy dựng một hình vuông sao cho hai

đỉnh liên tiếp của nó nằm trên một đường tròn, hai đỉnh còn lại nằmtrên đường tròn thứ hai

a) Phân tích:

Ta kí hiệu (O; R) và (O; R0) với R > R0 là hai đường tròn đồng tâm ; ABCD

là hình vuông có hai đỉnh A, B thuộc (O; R0), hai đỉnh còn lại thuộc đường trònkia

Thực hiện phép quay tâm A, góc quay 900, biến B thành D, do đó đường tròn(O; R0) biến thành đường tròn (O0; R0) đi qua D.

Vậy D là điểm chung của hai đường tròn (O; R) và (O0; R0) B là ảnh của Dtrong phép quay tâm A với góc quay −900

b) Dựng hình:

- Dựng hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; R0) (R > R0)

- Lấy một điểm A ∈ (O; R0)

- Quay (O; R0) quanh điểm A một góc 900, gọi giao điểm của (O, R0) và (O, R)( nếu có) là D

- Quay điểm D quanh điểm A một góc −900 ta được điểm B

- Nối AB, qua B kẻ đường vuông góc với AB và cắt (O; R) tại điểm C

- Khi đó ABCD là hình vuông cần dựng

c) Chứng minh:

Q90A0 : (O; R0) 7→ (O0; R0);

Q−90A 0 : D 7→ B ⇒ B ∈ (O; R0)

d) Biện luận:

Bài toán chỉ có nghiệm khi hai đường tròn (O; R) và (O0; R0) có điểm chung

và điều đó xảy ra khi:

R − R0 ≤ OO0 ⇔ R − R0 ≤ √1

2R0 ⇔ R ≤ (1 + √1

2)R0

Ví dụ 2: Cho góc dxOy và điểm M nằm trong góc đó Tìm trên các cạnh Ox, Oy

các điểm A, B sao cho OA = OB và M A + M B nhỏ nhất

c) Chứng minh: Đã được chứng minh trong phần phân tích.

d) Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình duy nhất

Ta thấy hai đoạn thẳng AB và A1B1 là cùng hướng Do đó các tia [AB) và[A1B1) là cùng hướng

- Điều kiện đủ : Giả sử D là phép dời biến mỗi tia thành tia cùng hướng Nếu vớimọi điểm A : D(A) = A thì D chính là Id và D = T− →

O.Nếu tồn tại điểm A mà D(A) 6= A thì ta đặt D(A) = A1 Chọn một điểm Xtùy ý khác A Theo giả thiết khi đó tia [AX) biến thành tia cùng hướng có gốctại A1 Giả sử X1 = D(X) Ta có |AX| = |A1X1| Vì vậy −−→AX =−−−→

A1X1.Xét phép tịnh tiến T−−→

AX ta có:

AX : A 7→ X, A1 7→ X1.Suy ra |AA1| = |XX1| ( do tịnh tiến là phép dời) và (AA1)//(XX1) ( điều kiện

cần) Vì vậy−−→

AA1 =−−→

XX1 Do đó D chính là phép tịnh tiến TAA1 Những tính chất sau đây được suy ra từ định nghĩa

Tính chất 2.2.6

a) Biến đổi đồng nhất Id là phép tịnh tiến theo vectơ −→

0 b) Đảo ngược của phép tịnh tiến theo vectơ −→α là phép tịnh tiến theo vectơ −−→α

Hợp thành cuả hai phép tịnh tiến

Hợp thành của hai phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến với vectơ tịnh tiến bằng

tổng các vectơ tịnh tiến của hai phép đó và hợp thành là giao hoán được

T− →u.T− →v = T− →u +−→v

Một số ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hai đường tròn (O), (O0) và đường thẳng d Hãy dựng đường thẳng

x//d và cắt đồng thời hai đường tròn thành hai dây cung bằng nhau

a) Phân tích: