Đề thi HSG toán 10

Các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác CBE, CDF cắt nhau ở N.. a, CMR tam giác BQDvà tam giác BPA đồng dạng b, CMR các tứ giác DRQB, EQPC, FPRA có diện tích bằng nhau và tính diện tí

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 10 (Đề 2)

TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG NĂM HỌC 2008- 2009

………

MÔN THI : TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề

Bài 1: (2.0 điểm) Với a,b,c > 0 thỏa mãn điều kiện abc =1 Chứng minh rằng:

4

3 ) 1 )(

1 ( ) 1 )(

1 ( ) 1 )(

1 (

3 3

3

















c a

c

b c

b a

Bài 2: (2.0 điểm)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O Các đường thẳng AB,CD, cắt nhau ở E, AD, BC cắt nhau

ở F, AC, BD cắt nhau ở M Các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác CBE, CDF cắt nhau ở N Chứng minh rằng O,M, N thẳng hàng

Bài 3 : (2.0 điểm) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:

x3 + (x + 1)3 + + (x + 7)3 = y3 (1)

Bài 4: (2.0 điểm)Chứng minh rằng, Trong mọi tam giác ta luôn có:

B C C A A B

Bài 5: (2.0 điểm) Giải hệ phương trình:



















y x y xy x xy x

17 8 8

49 3

2 2

2 3

………HẾT………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 10 (Đề 1)

TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG NĂM HỌC 2008- 2009

………

MÔN THI : TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề

Câu 1 ( 3 điểm ):

a, Giải các phương trình sau:

2 3

2 2

1







b, Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình ax2 + bx + c = 0 Đặt Sn = xn xn

2

1  , n là số nguyên

Chứng minh rằng a.Sn + b.Sn-1 + c.Sn-2 = 0

Câu 2 ( 2điểm )

Tìm giá trị k lớn nhất để bất phương trình sau đúng với mọi x0 ; 1

1 )

1









x

k

Câu 3 ( 3 điểm)Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC tương ứng lấy các điểm D, E, F không trùng với các

đỉnh tam giác sao cho các đoạn thẳng AE, BF, CD không đồng quy Gọi P là giao điểm của BF và CD, Q là giao điểm

AE với BF; R là giao điểm AE với CD Giả sử 4 tam giác ADR, BEQ, CFP, PQR có diện tích đều bằng 1

a, CMR tam giác BQDvà tam giác BPA đồng dạng

b, CMR các tứ giác DRQB, EQPC, FPRA có diện tích bằng nhau và tính diện tích của chúng

Câu 4 ( 2 điểm ): Cho 3 số dương a, b, c thỏa a + b + c = 1

CMR : (a + b )(b + c )(c + a )abc

729

8



………

TRƯỜNG THPT CAO LÃNH 2

ĐỀ THI THỬ HSG VÒNG TỈNH LẦN 3

Ngày thi: 9/11/2008

NỘI DUNG ĐỀ

Bài 1: (2.0 điểm) Với a,b,c > 0 thỏa mãn điều kiện abc =1 Chứng minh rằng:

4

3 ) 1 )(

1 ( ) 1 )(

1 ( ) 1 )(

1 (

3 3

3

















c a

c

b c

b a

Bài 2: (3.0 điểm) Giải phương trình: 2  

log x  x-5 log x-2x 6 0   Bài 3: (3.0 điểm) Tìm đa thức P (x) thỏa mãn điều kiện:

(3) 6

P

xP x x P x









Bài 4: (2.0 điểm)

Cho dãy số dương ( n x xác định xác định như sau: )





























0) (n

n x n

x n

x x x

7 1 45 2

45 1

1 0

1) Xác định số hạng tổng quát x n theo n

2) Tính số ước dương của biểu thức

2

2

 x n x n n

x

Bài 5: (3.0 điểm)

Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O Các đường thẳng AB,CD,

cắt nhau ở E, AD, BC cắt nhau ở F, AC, BD cắt nhau ở M Các đường tròn ngoại tiếp

của các tam giác CBE, CDF cắt nhau ở N Chứng minh rằng O,M, N thẳng hàng

Bài 6 : (2.0 điểm) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:

x3 + (x + 1)3 + + (x + 7)3 = y3 (1) Bài 7: (2.0 điểm)Chứng minh rằng, Trong mọi tam giác ta luôn có:

Bài 8: (3.0 điểm) Giải hệ phương trình:

1























y x y xy x

xy x

17 8 8

49 3

2 2

2 3































16 ) (

30 ) (

2 ) (

2 3

2 3

2 3

y x z z

x z y y

z y x x

Thời gian làm bài 180 phút

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12THPT NĂM HỌC 2008-2009 TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG ĐỀ THI MÔN : TOÁN

………

Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề

Câu 1 Giải phương trình: 6 2

9

3





x

x x

Câu 2 Giải hệ phương trình















2 2

2

) 2 ( 8

0 2

y x x xy y

Câu 3 Tìm tất cả các số thực a, b, p, q sao cho phương trình:

( 2x 1 ) 2  (axb) 20  (x2  pxq) 10

thỏa mãn với mọi số thực x

Câu 4 Cho tam giác đều ABC có diện tích bằng 7 Các điểm M,N lần lượt nằm trên hai cạnh AB, Ac sao cho

AN = BM Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng BN và CM Biết diện tích tam giác BOC bằng 2

a, Tính tỷ số

AB MB

b, Tính giá trị góc AOB

Câu 5 Cho x, y, z là số thực dương thỏa mãn điều kiện xyyzzx 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P y x yz z y xz x z xy













3 3

3

………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 10 (Đề 3)

TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG NĂM HỌC 2008- 2009

………

MÔN THI : TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề

Câu 1.( 2 điểm ) Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực thuộc nửa khoảng [-2;4):

- x2 +4 |x-1| - 4m=0

Câu 2.( 1,5 điểm) Giải phương trình: 2 2 5 1 7 3 1







x

Câu 3(1,5 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2005 2006 2 2006 2 2007











x

Câu 4(1,5 điểm) Cho x,y,z dương Chứng minh rằng: 25 4  2









z x z

y z

y x

Câu 5.(2,0 điểm)Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tâm I Gọi ma , mb , mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến hạ từ A, B, C Chứng minh rằng:

3

4

2

2 2

2 2

2







m m

IC IB

IA

Câu 6.Cho tam giác ABC có hai đường phân giác trong và ngoài góc A cắt cạnh BC tại D và E

Chứng minh rằng nếu AD = AE thì AB2 + AC2 = 4R2 ( trong đó R là bán kinhd đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)

………H ẾT………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 10 (Đề 3)

TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG NĂM HỌC 2008- 2009

………

MÔN THI : TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề

Câu 1.( 2 điểm ) Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực thuộc nửa khoảng [-2;4):

- x2 +4 |x-1| - 4m=0

Câu 2.( 1,5 điểm) Giải phương trình: 2x2  5x 1  7 x3  1

Câu 3(1,5 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2005 2006 2 2006 2 2007











x

Câu 4(1,5 điểm) Cho x,y,z dương Chứng minh rằng: 25 4  2









z x z

y z

y x

Câu 5.(2,0 điểm)Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tâm I Gọi ma , mb , mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến hạ từ A, B, C Chứng minh rằng:

3

4

2

2 2

2 2

2







m m

IC IB

IA

Câu 6.Cho tam giác ABC có hai đường phân giác trong và ngoài góc A cắt cạnh BC tại D và E

Chứng minh rằng nếu AD = AE thì AB2 + AC2 = 4R2 ( trong đó R là bán kinhd đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)

………H ẾT………

Họ và tên học sinh……… Lớp 11A……

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I BAN KHCB

MÔN : TIN

( Thời gian làm bài 45 phút )

………

Câu 1 ( 3 điểm).Hãy cho biết các thủ tục vào- ra đơn giản và nêu ví dụ minh họa ?

Câu 2 ( 2 điểm) Hãy chuyển các biẻu thớc trong Pascal dưới đây thành biểu thức toán học tương ứng?

a, a / b*c – sqrt(a + b) c, a + b*c /(2*c + 4b) - 2*a

b, a*b + c + sqrt(a + b) d, 1 / a*b*c – d

Câu 3.( 5 điểm) Hãy viết chương trình giải bất phương trình axb 0bằng ngôn ngữ lập trình Pascal?

……….HẾT………

Họ và tên học sinh……… Lớp 11A……

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I BAN KHCB

MÔN : TIN

( Thời gian làm bài 45 phút )

………

Câu 1 ( 3 điểm).Hãy cho biết các thủ tục vào- ra đơn giản và nêu ví dụ minh họa ?

Câu 2 ( 2 điểm) Hãy chuyển các biẻu thớc trong Pascal dưới đây thành biểu thức toán học tương ứng?

a, a / b*c – sqrt(a + b) c, a + b*c /(2*c + 4b) - 2*a

b, a*b + c + sqrt(a + b) d, 1 / a*b*c – d

Câu 3.( 5 điểm) Hãy viết chương trình giải bất phương trình axb 0bằng ngôn ngữ lập trình Pascal?

……… HẾT………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12THPT NĂM HỌC 2008-2009 TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG ĐỀ THI MÔN : TOÁN (Đề 5)

………

Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề

Câu 1 ( 2 điểm) Giả sử phương trình bậc hai ax2 bxc 0 có hai nghiệm dương x1, x2 và phương trình bậc hai

0 2





bx a

cx có hai nghiệm dương x3, x4 Chứng minh rằng x1 + x2 + x3 + x4  4

Câu 2 ( 2 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình: 3 6 2 11 6 0









phân biệt

Câu 3 ( 3điểm)

a, Cho tam giác ABC có I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác Gọi M là trung điểm BC Chứng minh rằng nếu AM vuông góc với OI thì

AC AB BC

1 1 2





b,Cho tam giác ABC thỏa mãn:

c b a c b b

a     

3 1

1

Tính số đo góc B Câu 4 ( 2 điểm) Giải phương trình: 2 12 5 3 2 5









x

Câu5 ( 1 điểm)Cho a, b, c > 0 và a + b + c =1 CMR 9( 2 102 2)

3

c b a

abc b

c a

b c

a













………H ẾT………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10THPT NĂM HỌC 2008-2009 TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG ĐỀ THI MÔN : TOÁN

………

Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề

Câu 1 ( 2 điểm) Giả sử phương trình bậc hai 2 0





bx c

ax có hai nghiệm dương x1, x2 và phương trình bậc hai .

0 2





bx a

cx có hai nghiệm dương x3, x4 Chứng minh rằng x1 + x2 + x3 + x4  4

Câu 2 ( 2 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình: x3  6x2  11xa 6  0 có 3 nghiệm nguyên phân biệt

Câu 3 ( 3điểm)

a, Cho tam giác ABC có I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác Gọi M là trung điểm BC Chứng minh rằng nếu AM vuông góc với OI thì

AC AB BC

1 1 2





b,Cho tam giác ABC thỏa mãn:

c b a c b b

a     

3 1

1

Tính số đo góc B Câu 4 ( 2 điểm) Giải phương trình: 2 12 5 3 2 5









x

Câu5 ( 1 điểm)Cho a, b, c > 0 và a + b + c =1 CMR 9( 2 102 2)

3

c b a

abc b

c a

b c

a













………H ẾT………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10THPT NĂM HỌC 2008-2009 TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG ĐỀ THI MÔN : TOÁN (Đề 6 )

………

Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề

Câu 1( 2 điểm) Xác định a để hệ có nghiệm duy nhất























a x y

y

x

a y

x

2 2

2

2009 2009

2

1 2009

Câu 2 ( 2 điểm) Giải phương trình: 2 3 2 9 2 4 2 16 5











x

Câu 3 ( 2 điểm) Cho a, b, c >0 thỏa mãn abc = 1 CMR

4

3 ) 1 )(

1 ( ) 1 )(

1 ( ) 1 )(

1 (

4 4

4

















c a

c

b c

b a

Câu 4 ( 2 điểm) cho đường tròn cố định tâm O, bán kính r và tam giác ABC thay đổi nhưng luôn ngoại tiếp đường

tròn Đường thẳng đi qua O cắt AB, AC lần lượt tại M, N Xác định vị trí của điểm A và của MN sao cho diện tích tam giác AMN đạt GTNN

Câu 5 ( 2 điểm) Cho số 2 2 1 ,



n

A với n là số tự nhiên CMR với hai số tự nhiên khác nhau m, k thì A , m A k

nguyên tố cùng nhau

………H ẾT………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10THPT NĂM HỌC 2008-2009 TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG ĐỀ THI MÔN : TOÁN (Đề 6 )

………

Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian giao đề

Câu 1( 2 điểm) Xác định a để hệ có nghiệm duy nhất























a x y

y

x

a y

x

2 2

2

2009 2009

2

1 2009

Câu 2 ( 2 điểm) Giải phương trình: 2 3 2 9 2 4 2 16 5











x

Câu 3 ( 2 điểm) Cho a, b, c >0 thỏa mãn abc = 1 CMR

4

3 ) 1 )(

1 ( ) 1 )(

1 ( ) 1 )(

1 (

4 4

4

















c a

c

b c

b a

Câu 4 ( 2 điểm) cho đường tròn cố định tâm O, bán kính r và tam giác ABC thay đổi nhưng luôn ngoại tiếp đường

tròn Đường thẳng đi qua O cắt AB, AC lần lượt tại M, N Xác định vị trí của điểm A và của MN sao cho diện tích tam giác AMN đạt GTNN

Câu 5 ( 2 điểm) Cho số A n  2 2n  1 , với n là số tự nhiên CMR với hai số tự nhiên khác nhau m, k thì A , m A k

nguyên tố cùng nhau

………H ẾT………