Đề thi HSG khối 10(có đáp án)

Các điểm I, K lần lượt là trung điểm của các đoạn AB và CH.. Một đường thẳng d di động luôn song song với cạnh AB cắt cạnh AC tại M và cạnh BC tại N.. Vẽ hình chữ nhật MNPQ với hai điểm

Sở GD – ĐT Bình Định Đề thi HSG khối 10 THPT năm học 2008 - 2009 Trường THPT Trưng Vương Quy Nhơn Môn: TOÁN ( thời gian làm bài 120 phút)

-Bài 1: ( 3 điểm)

a) Giải bất phương trình: 5 2x 1 5 4

2x 2

x

x

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y x2  x 1 x2 x1

Bài 2: ( 3 điểm)

Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z ta có:

 3 3

3

4

x y z



 

Bài 3: ( 3 điểm)

Cho tam giác ABC có đường cao CH, HAB Các điểm I, K lần lượt là trung điểm của các đoạn AB và CH Một đường thẳng d di động luôn song song với cạnh AB cắt cạnh AC tại M và cạnh BC tại N

Vẽ hình chữ nhật MNPQ với hai điểm P, Q thuộc cạnh AB Gọi J là tâm của hình chữ nhật MNPQ Chứng minh I, J, K thẳng hàng

Bài 4:( 1 điểm)

Số 3n 2009

 , n là số nguyên dương, có chia hết cho 184 không? hãy chứng minh điều mà bạn khẳng định

-Hết -ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

1.a

+ Đưa bất phương trình về dạng: 5 1 2 1 4

4x 2

x

2

x

   , x > 0 và tính được x 1 2 1

4x t

+ Viết được bất phương trình theo t: t2  5t + 2 > 0  ( t > 2  t < 1

+ Viết được bất phương trình

2 2 4 1 0 3 2 0 3 2

x  x   x   x  

0,5đ

1.b + Nhận xét: y là tổng của hai biểu thức nhận giá trị dương nên có thể dùng bất đẳng

+ Viết được: y24x2 x 1 x2 x1 24 x4x2 1 2 0,5đ + Đẳng thức xảy ra khi:

0

1 1

x







0,5đ

+ Luận được y  2, dấu " = " xảy ra khi x = 0 Do đó: minyy(0) 2

2 + Viết được để chứng minh bất đẳng thức cần chứng minh: 34 x 3y3  x y 0,5đ + Viết được 4x3y3 x y 3 3x y x y    2 0 1,5đ

+ Kết luận được

 3 3

3

4

x y z



 

tọa độ của H(0;0), A(a;0), B(b;0), C(0;c) 0,25đ + Suy được tọa độ các điểm ;0 , 0;

I   K 

+ Viết được phương trình của (d):y = m, 0< m <c;

phương trình đường thẳng AC: cx + ay –ac = 0, phương trình đường thẳng BC: cx + by – bc = 0 0,5đ + Lập luận và tìm được tọa độ của các điểm M

;

a c m

m c



,

b c m

m c



, P b c m ;0

c



,

;

a b c m m c

1đ

+ Tính được tọa độ các vectơ:

m a b

IK

c





+ Viết được: IK c.IJ

m



4 + Viết được 184 = 8.23 và 32m 1

+ Viết được nếu n = 2m (chẵn), thì 32m 2009 32m 1 251.8 2

     không chia hết cho 8 + Nếu n = 2m + 1 (lẻ), thì 32m 1 2009 3 3 2m 1 251.8 4

+ Kết luận được n 

   , 3n + 2009 không chia hết cho 184

0,75đ

Ghi chú: Mọi cách giải khác đúng căn cứ từng phần của biểu điểm để cho điểm