đề thi HSG toán 10 cấp trường năm 2013

Cho hình vuông ABCD.. Chứng minh rằng nếu các cạnh và các góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện : a osB osC sinB.sinC c c  thì tam giác đó vuông.. Tìm giá 3 trị lớn nhất của biểu t

TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH SỐ 1

Web: http://bacninh.edu.vn/thptthuanthanh1

Ngày 14/03/2013

(Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN: TOÁN LỚP 10

Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (2,0 điểm) Giải phương trình :

x  x  x   x 

Câu 2 (2,0 điểm) Giải hệ :







Câu 3 (1,5 điểm) Cho hình vuông ABCD E,F là hai điểm thoả mãn: 1

3

BE BC

 

, 1

2

CF   CD

, AEBF  Biểu diễn I  AI CI,

theo  AB AD,

Từ đó chứng minh gócAIC

bằng 0

90

Câu 4 (1,5 điểm) Chứng minh rằng nếu các cạnh và các góc của tam giác ABC thoả

mãn điều kiện :

a osB osC sinB.sinC

c c  thì tam giác đó vuông

Câu 5 (1,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M(1;-1) là trung điểm của BC,

trọng tâm G(2

3;0) Tìm tọa độ A, B, C?

Câu 6 ( 1,5 điểm) Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn: a2b2c2 Tìm giá 3 trị lớn nhất của biểu thức:

.

P ab   bc  ca  abc

- Hết -

Họ tên thí sinh: ……… SBD: ………

( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Đáp án và biểu điểm Môn Toán lớp 10

1 (2điểm) ĐKXĐ:x  2; Đặt x 2  y y,  0.Ta có pt:

x xy y

0.25 0.75

Pt (1) là pt đẳng cấp bậc 3, giải pt thu được x 1

y  hoặc x 2

y   0.25 Giải pt được nghiệm là: x=2, x=2 2 3  Kết luận 0.75

2 (2điểm) ĐKXĐ: 2

2 1

x  y

Phân tích pt (1) của hệ: 2

2

2

x y

x y x y

x y









0.25 0.25

TH1: 2

2

TH2: x=y, thay vào pt(2) ta được:

3

2 x  2x  1 x  14  x 2(3)Ta thấy,

x x  x  x  x   x  x

0.25

x  x a x b Ta có pt: 3 3 2

2a b  6a b 0.25

b a b a b a b b a ab a

a b a ba a

0.25

2 2

0

a









Dễ thấy pt(*) vô nghiệm

0.25

0

3

AE AB AD

  

,

2

AI AB BI AB k BF AB k BC CF k

AB k AD

       

 

0.25 0.5

Vì  AI AE,

cùng phương suy ra 2

5

k  Vậy 6 2 .

AI  AB AD

   0.25

CI  AI  ABAD  AB AD 0.25 0.

AI CI

   

0.25

4(1.5điểm) Từ giả thiết suy ra osC+ccosB

cosBcosC sin sin

B C

Áp dụng định lý Côsin,

a

2

b c bc

a

 

tương tự với ccosB osC+ccosB=a

bc



0.5

Từ đó, BBCB b(3  4; )b C( 3  b 2;  b 2). 0.5

5(1.5điểm) Gọi A(x;y) Ta có, MA  3MG

Pt đường thẳng BC ( qua M, nhận ( 1;1)

3

MG 



) làm VTPT:

3 4 0

x y

   

0.25

(3 4; ) ( 3 2; 2)

Tam giác ABC vuông tại A

TH1: b  0 B(4; 0), ( 2; 2)C   TH2: b= -2 , ngược lại

0.25

6(1.5điểm) Vai trò a,b,c bình đẳng, giả sử b là số ở giữa

(b a b c)( ) 0 a b a b c( )( ) 0

0.25

P a b a b c b a c b a c

Áp dụng BĐT Côsi,

2

3

3

a c a c

P b a c b

a c a c b

P

0.75

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1 Vậy giá trị lớn nhất của khi P bằng 2

0.25

Ghi chú: các cách giải khác đúng cho điểm tương ứng