Tìm tọa độ

Tỡm điểm trong mặt phẳng tọa độDạng 1: Tỡm điểm liờn quan tới chõn đường vuụng gúc, điểm đối xứng qua một đường thẳng.. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hỡnh bỡnh hành ABCD.. Trong mặt ph

Tỡm điểm trong mặt phẳng tọa độ

Dạng 1: Tỡm điểm liờn quan tới chõn đường vuụng gúc, điểm đối xứng qua một đường thẳng.

1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d) có phơng trình x−2y+ =2 0 và điểm

A(0;6) Tìm toạ độ điểm A' đối xứng với A qua (d)

2 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d) có phơng trình x−2y+ =2 0 và điểm

A(0;6) Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ A xuống (d) Kéo dài AH về phía H một đoạn HB =

2 AH Tìm toạ độ B

3 Lập phương trỡnh đường thẳng đối xứng với đường thẳng đi qua hai điểm A(0;6), B(2:5) qua đ-ờng thẳng (d) có phơng trình x−2y+ =2 0

4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC cú A(-1;-3), trọng tõm G(4;-2) và trung trực của

AB cú phương trỡnh 3x+2y− =4 0 Tỡm tọa độ B, C

5 Cho tam giỏc ABC đều cú ( 2;1)B − và trung tuyến AM cú phương trỡnh 8x+6y− =15 0 Tỡm tọa độ cỏc đỉnh tam giỏc

6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC vuụng tại A biết C(-4;1), phõn giỏc trong gúc A

cú phương trỡnh x+y-5 = 0, diện tớch tam giỏc ABC bằng 24 và A cú hoành độ dương

a) Tỡm tọa độ điểm D đối xứng với C qua phõn giỏc trong gúc A

b) Tỡm tọa độ A, B (B-2010)

7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hỡnh bỡnh hành ABCD Biết B(1;5), đường thẳng đi qua A vuụng gúc với BC cú phương trỡnh x+2y− =2 0, phõn giỏc trong ãACB cú phương trỡnh

1 0

x y− − = Tỡm tọa độ A, C, D

8 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d) có phơng trình x−2y+ =2 0 và hai điểm A(0;6), B(2:5) Tìm toạ độ điểm M trên (d) sao cho:

a) MA + MB nhỏ nhất.

b) MA MB− lớn nhất

Dạng 2 Tỡm điểm liờn quan tới khoảng cỏch.

1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba đờng thẳng d : 1 x y+ + =3 0 , d : 2 x y− − =4 0,

d x− y= Tìm toạ độ điểm M trên d sao cho khoảng cách từ M đến 3 d gấp hai lần khoảng 1 cách từ M đến d (A-2006)2

2 Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(1;0), B(3;-1) Tỡm điểm C trờn đường thẳng

x− y− = sao cho diện tớch tam giỏc ABC bằng 6

3 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích là 3/2, hai đỉnh A(2;-3), B(3;-2) và trọng tâm nằm trên đờng thẳng (d) có phơng trình 3x y− + =8 0 Tìm toạ độ đỉnh C

4 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích là 3/2, hai đỉnh A(2;-1), B(1;-2) và trọng tâm nằm trên đờng thẳng (d) có phơng trình x y+ − =2 0 Tìm bỏn kớnh đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC

5 Cho tam giỏc ABC cú AB= 5, ( 1; 1)C − − , đường thẳng AB cú phương trỡnh x+2y− =3 0 và trọng tõm G nằm trờn đường thẳng :d x y+ − =2 0 Tỡm tọa độ G, A, B.

6 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại điểm A biết A(-1;4) và B, C thuộc đờng thẳng (d): x - y - 4 = 0 Tìm toạ độ B, C biết diện tích tam giác ABC bằng 18 (B-2009)

7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC cú trọng tõm G(1;1), đường cao kẻ từ A cú phương trỡnh 2x y− + =1 0, đường thẳng BC cú phương trỡnh x+2y− =1 0 Tỡm tọa độ A, B, C biết diện tớch tam giỏc ABC bằng 6

8 Trong mặt phẳng cho cỏc điểm A(1;0), B(-2;4), C(-1;4), D(3;5) Tỡm điểm M thuộc đường thẳng (d): 3x-y-5=0 sao cho hai tam giỏc MAB và MCD cú diện tớch bằng nhau

9 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú diện tớch bằng 4 Biết A(1;0), B(2;0)

và giao điểm I của hai đường chộo nằm trờn đường thẳng y = x Tỡm tọa độ C, D

10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú diện tớch bằng 9 Biết A(1;1), B(4;5) và giao điểm I của hai đường chộo nằm trờn đường thẳng x+y+3=0 Tỡm tọa độ C, D

11 Tỡm tọa độ cỏc đỉnh hỡnh vuụng ABCD biết tõm (1;1)I , điểm ( 2; 2)J − thuộc đường thẳng AB, (2; 2)

K − thuộc đường thẳng CD

12 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I( ;0)1

2 , phơng trình cạnh AB là

x− y+ = và AB = 2AD Tìm toạ độ A,B, C, D biết A có hoành độ âm (B-2002)

13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hỡnh thoi ABCD cú tõm I(2;1), và AC=2.BD Biết điểm 1

(0; )

3

M thuộc đường thẳng AB, điểm N(0;7) thuộc đường thẳng CD và điểm B cú hoành dộ dương Tỡm tọa độ cỏc đỉnh hỡnh thoi

14 Cho hỡnh thoi ABCD cú tõm I nằm trờn Parabol: y2 =x và phương trỡnh của hai cạnh AB, AD lần lượt là 2x y− − =1 0,x−2y− =5 0 Tỡm tọa độ cỏc đỉnh hỡnh thoi đó cho

15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hỡnh chữ nhật ABCD cú điểm M(3;0) là trung điểm AD, đỉnh B nằm trờn đường thẳng :d x y− − =1 0, đường chộo AC cú phương trỡnh x−5y+ =3 0 Biết điểm A cú tung độ khụng lớn hơn 1, tỡm tọa độ cỏc đỉnh hỡnh chữ nhật

16 Cho hỡnh vuụng ABCD cú điểm C(3;-3), điểm A thuộc đường thẳng : 3d x y+ − =2 0, A cú hoành độ õm, đường thẳng ' :d x y− − =2 0 đi qua D và trung điểm M của BC

a) Cmr: ( ; ') 2 ( ; ')d A d = d C d .

b) Tỡm tọa độ A, B, D

17 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1;2), B(3;4) Tỡm điểm M sao cho ãMAB=1350 và khoảng cỏch từ M đến đường thẳng AB bằng 5

2 .

18 Tỡm tọa độ cỏc đỉnh hỡnh chữ nhật ABCD biết cỏc đường thẳng AB, BC, CD, DA lần lượt đi qua cỏc điểm M(4;5), N(6;5), P(5;2), Q(2;1) và diện tớch ABCD bằng 16

19 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD biết phơng trình cạnh AB là y = x+8, hai

đỉnh C, D nằm trên Parabol y x= 2, hoành độ của A nhỏ hơn hoành độ của B

a) Tìm diện tích ABCD

b) Tìm toạ độ A, B, C, D

Dạng 3: Tỡm điểm dựa vào phương phỏp vộctơ.

Dạng3.1: Biểu diễn hai vộctơ cựng phương

1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm P(1;1) và hai đờng thẳng d x y1: + =0;

d x y− + = Một đờng thẳng qua P cắt d d tại A, B sao cho:1, 2

a) PA = PB Tỡm tọa độ A, B

2.Tỡm tọa độ cỏc đỉnh tam giỏc ABC biết trực tõm (3;3)H , (3;2)K là hỡnh chiếu vuụng gúc của

C lờn đường thẳng AB và điểm M(4;5) thuộc đường thẳng BC thỏa món MB=3.MC

3 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(2;4), B(1;1) Tìm toạ độ điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại B

4 a) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD biết A(1;-1), B(3;0) Tìm toạ độ C, D

b) Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại điểm A(1;0) Biết điểm M(3;2) là trung điểm BC Tỡm tọa độ

B, C

5 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đờng thẳng d : 1 x y+ − =2 0 , d : 2 x y+ − =8 0 và điểm A(2;2) Tìm toạ độ điểm B, C lần lợt trên d ,1 d sao cho tam giác ABC vuông cân tại A (B-2007) 2

6 Cho hai đường thẳng d x1: −2y+ =1 0,d2: 3x y+ − =2 0 Một đường thẳng d cắt d d tại A, B 1, 2 thỏa món tam giỏc OAB vuụng cõn tại O Tỡm tọa độ A, B

7 a) Cho tam giỏc ABC cú (0;3)A , trực tõm (0;1)H và điểm M(1;0)là trung điểm BC Tỡm tọa độ

B, C biết B cú hoành độ õm

b) Cho tam giỏc ABC cú (1;1)A , trực tõm ( 1;3)H − và điểm (3; 3)K − là tõm đường trũn ngoại tiếp Tỡm tọa độ B, C biết B cú hoành độ nhỏ hơn

c) Cho tam giỏc ABC cú trọng tõm (3; 4)G , trực tõm (1; 2)H và điểm M(2; 1)− là trung điểm BC Tỡm tọa độ B, C biết B cú hoành độ õm

Dạng 3.2: Sử dụng tớch vụ hướng, định lớ hàm cosin:

1 a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hỡnh chữ nhật ABCD cú điểm (6; 2)I là tõm, M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của CD thuộc đường thẳng :d x y+ − =5 0 Tỡm tọa độ điểm E’ đối xứng với E qua I

b) Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú M(4;6) là trung điểm AB, điểm (6; 2)N thuộc đường thẳng CD,

tõm I thuộc đường thẳng : 3d x−5y+ =6 0 Tỡm tọa độ điểm K đối xứng với M qua I và tỡm tọa

độ điểm I biết I cú tung độ lớn hơn 4

2 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đờng thẳng d : 1 x y+ − =2 0 , d : 2 x y+ − =8 0 và

điểm A(2;2) Tìm toạ độ điểm B, C lần lợt trên d ,1 d sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.2

(B-2007)

3 Cho hai đường thẳng d x1: −2y+ =1 0,d2: 3x y+ − =2 0 Một đường thẳng d cắt d d tại A, B 1, 2 thỏa món tam giỏc OAB vuụng cõn tại O Tỡm tọa độ A, B

4 Cho hai điểm (4; 3), (3;1)A − B Tỡm điểm M thuộc trục hoành sao cho ãAMB=1350

5 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng tròn (C):(x−1)2+y2 =1 có tâm I Tìm điểm M trên (C) sao cho ∠IMO=300 (D-2009)

6 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(1;1) Tìm điểm B trên đờng thẳng y = 3 và điểm C trên trục hoành sao cho tam giác ABC đều

7 Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú B(-3;0), C(7;0) và bỏn kớnh đường trũn nội tiếp r=5( 2 1)− Gọi I là tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC Cmr: ãBIC=1350, từ đú tỡm tọa độ điểm I

8 Cho hỡnh vuụng ABCD cú điểm ( ; )11 1

2 2

M là trung điểm BC, đường thẳng AN: 2x y− − =3 0 đi qua điểm N thuộc cạnh CD thỏa món CN = 2.ND

a) Cmr: ãMAN =450

b) Tỡm tọa độ điểm A (A-2012)

9 Cho tam giỏc ABC cú M(2;3)là trung điểm AB, hỡnh chiếu vuụng gúc của B lờn AC là (3;1)N

và (4; 2)K là tõm đường trũn ngoại tiếp Tỡm tọa độ điểm C.

10 Cho tam giỏc ABC cú ( 3;6)A − , trực tõm (2;1)H , trọng tõm ( ; )4 7

3 3

G Tỡm tọa độ của B, C

Dạng 4: Tỡm điểm là giao điểm của hai đường thẳng, giao điểm của đường thẳng và đường trũn, đường trũn và đường trũn.

1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A và điểm M(1;-1) là trung điểm cạnh BC, G(2

3;0) là trọng tâm Tìm toạ độ A, B, C (B-2003)

2 Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú (4;8), (2;6)B C và trọng tõm G thuộc đường thẳng cú phương

trỡnh 5x y− + =3 0 Tỡm A

3 Tỡm tọa độ cỏc đỉnh tam giỏc ABC biết A thuộc đường thẳng :d x−4y− =2 0, BC song song

với d , điểm M(1;1) là trung điểm AC, đường cao BH cú phương trỡnh x y+ + =3 0

4 Tỡm tọa độ điểm C của tam giỏc ABC biết ( 1; 1)H − − là hỡnh chiếu của C lờn đường thẳng AB, phõn giỏc trong AD cú phương trỡnh x y− + =2 0 và đường cao BK 4x+3y− =1 0 (B-2008)

5 Tỡm tọa độ cỏc đỉnh B, C của tam giỏc ABC vuụng tại B biết (0; 2)A , BA=2.BC và đường thẳng BC cú phương trỡnh x−2y+ =2 0

6 a) Cho tam giỏc ABC cú điểm (1; 2)K − là tõm đường trũn ngoại tiếp, M(3; 2)là trung điểm của

BC, ( ; )2 2

3 3

G là trọng tõm tam giỏc Tỡm tọa độ A, B, C

b) Cho tam giỏc ABC cú điểm (4; 4)A , (2;1)K là tõm đường trũn ngoại tiếp, (3; )1

3

G là trọng tõm tam giỏc Tỡm tọa độ B, C

c) Cho tam giỏc ABC cú (2;1)K là tõm đường trũn ngoại tiếp, ( ; )7 4

3 3

G là trọng tõm tam giỏc và phương trỡnh đường thẳng AB là x y− + =1 0 Tỡm tọa độ A, B biết hoành độ của A nhỏ hơn hoành

độ của B

d) Cho tam giỏc ABC cú ( 5;1)K − là tõm đường trũn ngoại tiếp, (1; )2

3

G là trọng tõm tam giỏc và ( 3; 8)

C − − Tỡm tọa độ A, B biết hoành độ của A nhỏ hơn hoành độ của B

7 a) Tỡm tọa độ điểm A, B của tam giỏc ABC biết ( 2;0)C − , phõn giỏc trong gúc A: 5x y+ − =3 0

và uuurAB=2.OMuuuur với M(2;3).

b) Tỡm tọa độ cỏc đỉnh tam giỏc ABC biết đường cao kẻ từ B là 3x+4y=10 0= , phõn giỏc trong

gúc A là: x y− + =1 0, điểm M(0;2) thuộc đường thẳng AB và MC= 2

8 Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú diện tớch bằng 12, điểm M(3;0) là trung điểm AB, điểm ( ; )9 3

2 2

I là tõm và A cú tung độ dương Tỡm tọa độ A, B, C, D

9 Cho hỡnh thoi ABCD cú A(-2;3), phương trỡnh BD x y: 3 − − =1 0 và diện tớch hỡnh thoi ABCD bằng 80 Tỡm tọa độ B, C, D

10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hỡnh thoi ABCD cú ã 0

120

BAD= , A và C nằm trờn đường thẳng d x1: − =3 0; B thuộc đường thẳng d2: 3x y− − =4 0; D thuộc x y+ − =6 0 Tỡm tọa độ cỏc đỉnh hỡnh thoi

11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hỡnh thang cõn ABCD cú hai đỏy là AB và CD Biết AC vuụng gúc với BD, (0;3), (3;4)A B và C thuộc trục hoành Tỡm tọa độ điểm D.

12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC cú phương trỡnh đường cao và trung tuyến kẻ từ

A lần lượt là x−2y− =13 0 và 13x−6y− =9 0 Tỡm tọa độ B, C biết điểm

K(-5;1) là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC

13 Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú B(-3;0), C(7;0) và bỏn kớnh đường trũn nội tiếp 5( 2 1)

r= − Tỡm tọa độ điểm A

Dạng 5: Tham số húa tọa độ.

1 Cho đường thẳng :d x−3y− =4 0 và đường trũn 2 2

( ) :C x +y −4y=0 Tỡm điểm điểm M thuộc

d , điểm N thuộc ( ) C sao cho hai điểm này đối xứng nhau qua điểm (3;1) A .

2 Cho tam giỏc ABC vuụng tại (3; 2)C , nhận điểm (1; )3

2

I là tõm đường trũn ngoại tiếp và điểm A thuộc đường thẳng x−2y− =1 0 Tỡm A

3 Cho tam giỏc ABC cú (2;3)A , trọng tõm (2;0)G và B thuộc d x y1: + + =5 0, C thuộc

d x+ y− = Tỡm B, C.

4 a) Tỡm tọa độ cỏc đỉnh B, C tam giỏc ABC biết (2;1)A , đường cao qua B là d x1: −3y− =7 0; trung tuyến qua C là d x y2: + + =1 0

b) Tỡm tọa đọ cỏc đỉnh tam giỏc ABC biết phương trỡnh AB x: +4y− =2 0, phương trỡnh đường cao AK: 2x−3y+ =7 0, phương trỡnh trung tuyến BM: 2x+3y− =9 0

5 a) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đờng thẳng d : 1 x y− =0 , d : 22 x y+ − =1 0 Tìm toạ

độ các đỉnh hình vuông ABCD biết A thuộc d , C thuộc 1 d còn B, D thuộc trục hoành (A-2005)2 b) Cho d x y1: + − =2 0;d2: 2x y− + =3 0,d3: 3x y− − =5 0 Tỡm tọa độ cỏc đỉnh hỡnh vuụng ABCD biết A C d B d D d, ∈ 1; ∈ 2; ∈ 3.

c) Cho d1: 3x y− − =4 0;d x y2: + − =6 0,d3: 2x y+ − =6 0 Tỡm tọa độ cỏc đỉnh hỡnh vuụng ABCD biết A C d B d D d, ∈ 3; ∈ 1; ∈ 2 và A cú tung độ dương.

6 a) Cho tam giỏc ABC cú (0;3)A , trực tõm (0;1)H và điểm M(1;0)là trung điểm BC Tỡm tọa độ

B, C biết B cú hoành độ õm

b) Cho tam giỏc ABC cú trọng tõm (3; 4)G , trực tõm (1; 2)H và điểm M(2; 1)− là trung điểm BC Tỡm tọa độ B, C biết B cú hoành độ õm

7 Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú A d x y∈ 1: − + =3 0( cú hoành độ dương), B thuộc trục

hoành, trung điểm M của AB thuộc d2: 3x−4y+ =8 0 và điểm (1; )3

2

K là tõm đường trũn ngoại

tiếp Tỡm tọa độ A, B, C

8 Cho tam giỏc ABC cõn tại A(6;6) biết đường thẳng :d x y+ − =4 0 đi qua trung điểm của AB,

AC và điểm E(1;-3) thuộc đường thẳng chứa đường cao đi qua đỉnh C Tỡm tọa độ B, C (A-2010)

9 Cho tam giỏc ABC cú ( 1; 1)C − − , AB= 5, phươnng trỡnh đường thẳng AB là x+2y− =3 0 và trọng tõm G thuộc đường thẳng x y+ − =2 0

10 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có phơng trình cạnh BC là

3x y− − 3 0= , các đỉnh A, B thuộc trục hoành và bán kính đờng tròn nội tiếp bằng 2 Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC

11 Tỡm tọa độ cỏc đỉnh tam giỏc ABC biết trung tuyến kẻ từ C, trung trực BC, đường cao hạ từ B

cú phương trỡnh lần lượt là x+3y− = =3 0 0,5x y+ − =2 0,x−3y− =1 0

12* Cho d1: 3x y+ − =8 0;d x y2: − =0;d x3: −3y+ =4 0, tam giỏc ABC vuụng tại A cú trọng tõm G(1;5

3) và A, B, C lần lượt thuộc cỏc đường thẳng d d d Tỡm tọa độ A, B, C.1, ,2 3

13* Tỡm tọa độ cỏc đỉnh tam giỏc ABC biết trung tuyến kẻ từ A, phõn giỏc trong gúc B, đường cao hạ từ C cú phương trỡnh lần lượt là 7x−5y=0,x−2y−30 0,= x y− + =16 0

Cõu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hỡnh thoi ABCD cú phương trỡnh đường thẳng

AClà x+7y−31=0, hai đỉnh B, D lần lượt thuộc cỏc đường thẳng d1:x+y−8=0,d2:x−2y+3=0

Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của hỡnh thoi biết rằng diện tớch hỡnh thoi bằng 75 và đỉnh A cú hoành độ õm.