K2pi net vn khai thác một số tính chất hình học trong tọa độ phẳng

Gi¸o viªn Tr-êng THPT DiÔn Ch©u 2- NguyÔn V¨n Minh 1 Khai thác một số tính chất hình học trong tọa độ phẳng nhằm phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh trọng.. Việc tạo ra bài toán m

Gi¸o viªn Tr-êng THPT DiÔn Ch©u 2- NguyÔn V¨n Minh 1

Khai thác một số tính chất hình học trong tọa độ phẳng nhằm phát triển

tƣ duy sáng tạo cho học sinh

trọng Nó là một mảng bắt buộc trong các đề thi đại học & cao đẳng, ngoài ra nó còn là

cơ sở để giải quyết một số bài toán ở các lớp trên như: Bài toán phụ trong khảo sát hàm

số ở giải tích 12 như cực trị, tương giao và phương trình tiếp tuyến , biểu diễn hình học của số phức và nó có thể giúp dạy học đạt được các mục tiêu trên

Việc tạo ra bài toán mới thông qua các bài toán quen thuộc, từ các tính chất đặc biệt, đặc trưng của hình, từ các mối quan hệ giữa các yếu tố cơ bản để hình tồn tại hoặc các tính chất khác của hình , sẽ giúp học sinh phát triển được tư duy phương pháp, tư duy tìm lời giải cho một bài toán đặc biệt là tư duy sáng tạo Đồng thời giúp học sinh hiểu một cách sâu sắc, có cái nhìn tổng quan về một vấn đề toán học, nhằm khắc phục

yếu điểm mà học sinh thường mắc phải đó là “thấy cây mà không thấy rừng” Ngoài ra,

việc tạo ra hệ thống bài tập từ đơn giản đến phức tạp xuất phát từ bài toán cơ bản còn giúp học sinh phát triển tư duy hệ thống, học sinh có thể nhìn rõ hơn các yếu tố cốt lõi của một vấn đề toán học, thông qua hệ thống tương đối đầy đủ các bài toán liên quan

Chính vì vậy, trong quá trình dạy học giáo viên cần tìm cách tiếp cận vấn đề sao cho học sinh có thể đạt được hiệu quả cao nhất trong việc tiếp thu và nắm bắt được các kiến thức trong đó Qua thực tiễn giảng dạy nhiều lần vấn đề này, tôi nhận thấy nếu giáo viên có thể giúp học sinh nhìn thấy được một số nguồn gốc của bài toán hoặc giáo viên giúp các em tạo ra một hệ thống các bài toán thông qua việc khai thác phù hợp các bài toán đơn giản, cơ bản thì học sinh sẽ cảm thấy hứng thú hơn, hiểu và nhớ lâu hơn vấn

đề đó Đồng thời, qua đề tài này tôi cũng mong muốn giúp cho các em học sinh hiểu hơn về cách thức tạo ra một bài toán, để từ đó các em có thể tự mình tạo ra các bài toán mới, giúp các em phát triển tư duy sáng tạo và rèn luyện cho các em khả năng tự học, tự nghiên cứu các vấn đề toán học phổ thông Đó là lí do cơ bản khiến tôi chọn đề tài

“ Khai thác một số tính chất hình học trong tọa độ phẳng nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh’’

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 10 ở trường THPT Diễn Châu 2, cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy, tôi đã tổng hợp , khai thác và hệ thống hoá lại các

Gi¸o viªn Tr-êng THPT DiÔn Ch©u 2- NguyÔn V¨n Minh 2

kiến thức thành một chuyên đề: “ Khai thác một số tính chất hình học trong tọa độ phẳng nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh’’

- Trong đề tài này tôi thực hiện hai nội dung chính như sau:

Thứ nhất: Áp dụng một số tính chất đặc biệt, đặc trưng của các hình đa giác vào mặt

phẳng tọa độ để tạo ra các bài toán tọa độ mới

Thứ hai: Từ điều kiện để tồn tại của một đa giác ta hình thành hệ thống bài toán tọa độ

3 ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU :

- Tập trung khai thác các tính chất đặc biệt, đặc trưng của tam giác và tứ giác nhằm áp dụng vào mặt phẳng tọa độ để tạo ra hệ thống các bài toán mới tương ứng

- Các yếu tố tối thiểu để một tam giác tồn tại từ đó áp dụng vào trong mặt phẳng tọa độ

nhằm tạo ra các bài toán mới

5 NHIỆM VỤ- YÊU CẦU CỦA ĐỀ TÀI:

- Sáng kiến kinh nghiệm nhằm thực hiện nhiệm vụ: giúp cho giáo viên thực hiện tốt nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục và giúp cho học sinh hình thành tư duy logic, tư duy tìm lời giải và sáng tạo bài toán mới Đồng thời, giúp các em hình thành kỹ năng phân tích để đi đến một hướng giải đúng, tối ưu, các em biết cách chuyển bài toán từ dạng phức tạp đưa về dạng đơn giản, cơ bản và từ đó giải được một cách dễ dàng Muốn vậy, người giáo viên phải hướng cho học sinh biết các tính chất đặc trưng, đặc biệt của các hình và biết cách khai thác giả thiết để đưa về các bài toán quen thuộc, cơ bản

- Yêu cầu của sáng kiến kinh nghiệm: Sáng kiến đã giới thiệu được một số hướng khai thác, đưa ra được một số giải pháp và một số ví dụ minh hoạ nhằm tạo ra bài toán mới Đó là hướng đi mới đầy sáng tạo của đề tài này

- Đề tài được sử dụng để giảng dạy và bồi dưỡng cho các em học sinh khối 10 hệ THPT và làm tài liệu tham khảo cho các thầy cô giảng dạy môn Toán Các thầy cô và

Gi¸o viªn Tr-êng THPT DiÔn Ch©u 2- NguyÔn V¨n Minh 3

học sinh có thể sử dụng các bài toán trong đề tài này làm bài toán gốc để đặt và giải quyết các bài tập cụ thể Cũng theo cách khai thác này, giáo viên có thể thực hiện cho các bài toán hoặc các vấn đề khác một cách tương tự

6 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

Phương pháp:

- Nghiên cứu lý luận chung

- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học

- Tổng hợp so sánh , đúc rút kinh nghiệm

Cách thực hiện:

- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn

- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy

- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 10 trong năm học 2013-2014

7 THỜI GIAN NGHIÊN CỨU

Trong suốt thời gian giảng dạy tại trường THPT Diễn Châu 2 , đặc biệt là khối lớp 10, tôi đã nghiên cứu đề tài này

Gi¸o viªn Tr-êng THPT DiÔn Ch©u 2- NguyÔn V¨n Minh 4

PHẦN II: NỘI DUNG

tu x x

* Phương trình đường thẳng  đi qua M0(x0 ; y0) và có hệ số góc k là: y – y0 = k(x – x0)

* Phương trình của đường thẳng  đi qua điểm M0(x0 ; y0) và có vtpt là n (a;b) là: a(x – x0) + b(y – y0) = 0 ( a2 + b2  0 )

* Phương trình ax + by + c = 0 với a2

+ b2  0 là phương trình tổng quát của đường thẳng nhận n (a;b) làm VTPT; a( b; -a ) làm vectơ chỉ phương

 Chú ý: Cho (d) : ax+by+c=0 khi đó

Nếu // d thì phương trình là ax+by+m=0(mc)

Nếu  d thì phươnh trình là : bx-ay+m=0

* Đường thẳng  cắt Ox và Oy lần lượt tại A(a ; 0) và B(0 ; b) có phương trình theo đoạn chắn là :   1 (a,b 0 )

b

y a x

2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1: a x1 b y1  c1 0 vµ 2: a x2 b y2 c2 0

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng 1và2 ta xét số nghiệm của hệ phương trình

1 1 1

c y b x

a

c y b x

a

(I)

 Chú ý: Nếu a2b2c2  0 thì :

2 1 2 1 2

1 2 1

2 1 2 1 2

1 2 1

2 1 2

1 2 1

//

c

c b

b a a

c

c b

b a a b

b a a

Gi¸o viªn Tr-êng THPT DiÔn Ch©u 2- NguyÔn V¨n Minh 5

|

b a

c by ax

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có AB=kAC (k≠0) khi đó ta có các tính chất sau:

i) ABC vuông tại A tan ABC AC 1

  ii) Nếu lấy M và N lần lượt thuộc cạnh AB và BC thỏa mãn BM=kMN thì AC//MN

Hướng dẫn:

+) Tính chất i) là một tính chất cơ bản trong tam giác vuông

+) Giã sử AC không song song với MN  BM MN

Bài toán 1.1 Trong mp Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A có AB=3AC Biết AB có

phương trình là x-y-2=0 và điểm I(-1;1) là trung điểm của BC Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Hướng dẫn:

Cách 1 Nhìn nhận theo tính chất trên, ta có định hướng giải như sau:

+) ABC vuông tại A nên tan ABC AC 1 cosABC 3

+) Gọi vtpt của BC là:   2 2

n a;b , a b  0 pt BC : a(x+1)+b(y-1)=0

Gi¸o viªn Tr-êng THPT DiÔn Ch©u 2- NguyÔn V¨n Minh 6

+) a=-2b  BC : 2x-y+3=0 B(-5 ;-7) C(3 ;9) A(7 ;5)

b=-2a cách làm tương tự  B(7 ;5), A(-5 ;-7) và C(-9 ;-3)

Ngoài ra chúng ta còn có một số cách giải sau :

Cách 2 Gọi H là trung điểm của AB  IH AB và IH=1  

Gi¸o viªn Tr-êng THPT DiÔn Ch©u 2- NguyÔn V¨n Minh 7

Từ đó ta có một số giả thiết sau là tương đương :

iii) S ABC=48 (vì AB=3AC=6d(I ;AB)= 12 2 )

Từ bài toán 1.1 ta được một số kết quả sau :

Kết quả 1.1.1 Trong mp Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A có cosABC 3

10

 Biết

AB có phương trình là x-y-2=0 và điểm I(-1;1) là trung điểm của BC Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Kết quả 1.1.2 Trong mp Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A có diện tích tam giác

bằng 48 Biết AB có phương trình là x-y-2=0 và điểm I(-1;1) là trung điểm của BC Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Kết quả 1.1.3 Trong mp Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A , AB có phương trình là

x-y-2=0 và điểm I(-1;1) là trung điểm của BC Biết khoảng cách từ I đến AC bằng 6 2 , tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Ba kết quả trên có cách giải tương tự với bài toán 1.1

Kết quả 1.1.4 Trong mp Oxy, cho tam giác ABC có AB=3AC Điểm I(-1 ;1) và H(1;-1)

lần lượt là trung điểm của BC và AB Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Hướng dẫn : AB đi qua H và HI pt AB : x-y-2=0 bài toán trở về bài toán 1.1

Kết quả 1.1.5 Trong mp Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(-1 ;1) Biết AB=3AD

và phương trình cạnh AB là x-y-2=0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật đó

Hướng dẫn : Từ cách giải bài toán 1.1  tìm được tọa độ 3 đỉnh A, B và D

 tọa độ đỉnh C

Tiếp tục khai thác tính chất i) ta được bài toán :

Bài toán 1.2 Trong mp Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A(2 ;3), có AB=2AC Gọi M

là trung điểm của cạnh AB, hình chiếu vuông góc của M lên BC là H(4 ;9) Tìm tọa độ đỉnh B và C

Hướng dẫn : Đây là một bài toán khó đòi hỏi học sinh phải biết cách khai thác tốt các

giả thiết Muốn làm được điều đó thì học sinh cần trả lời được câu hỏi : Điểm B và C

có mối liên hệ như thế nào với điểm A và H ? AB=2AC được sử dụng như thế nào ?đây

là một gt liên quan đến tỉ số nên ta thường dùng đến tính chất i) hoặc tam giác đồng dạng từ đó ta có định hướng giải như sau :

Gi¸o viªn Tr-êng THPT DiÔn Ch©u 2- NguyÔn V¨n Minh 8

Cách 1 +) Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên BC  H là trung điểm của BK

MH là đường trung bình của ABKAK=2MH (1)

+) ABC vuông tại A nên tan B AC 1

Kết hợp (1) BH=HK=AKAKH vuông cân tại K

 K(6 ;5) và K(0 ;7) Tọa độ điểm B(2 ;13) và B(8 ;11) và phương trình BC C

Khai thác cách giải bài toán 1.2 ta đƣợc kết quả sau :

Kết quả 1.2.1 Trong mp Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A(2 ;3), có cosB 2

5

 Gọi

M là trung điểm của cạnh AB, hình chiếu vuông góc của M lên BC là H(4 ;9) Tìm tọa

độ đỉnh B và C

Gi¸o viªn Tr-êng THPT DiÔn Ch©u 2- NguyÔn V¨n Minh 9

Hướng dẫn : ABC vuông tại A có cosB 2

5

  AB= 2 BC AC 1 BC

AB=2AC bài toán 1.2

Kết quả 1.2.2 Trong mp Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A(2 ;3), có AB=2AC Gọi

K(6 ;5) là hình chiếu vuông góc của A lên BC Tìm tọa độ đỉnh B và C

Hướng dẫn : +) Gọi H là trung điểm của BK AHK vuông cân tại K

 tọa độ điểm H  B, C

Bằng cách thu hẹp vào trong ABK ta được kết quả sau :

Kết quả 1.2.3 Trong mp Oxy, cho tam giác ABK vuông tại K, có đỉnh A(2 ;3) và

Hướng dẫn : Cách giải tương tự như bài toán 1.2

Khai thác tính chất ii) ta được kết quả sau:

Bài toán 1.3 Trong mp Oxy, cho tam giác ABC có phương trình AC là x-y-2=0 , BC

là x+2y-2=0 và AB đi qua điểm M(-1 ;1) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết AB=3AC

Hướng dẫn : Đây là bài toán khá phức tạp, để giải quyết nó ta cần nắm được tính chất

ii), định hướng lời giải như sau :

AH là độ dài đường cao và AH=d(A;BC)

Gắn bài toán với tính chất đặc trưng trên vào hệ trục tọa độ ta được một số kết quả sau:

Gi¸o viªn Tr-êng THPT DiÔn Ch©u 2- NguyÔn V¨n Minh 10

Bài toán 2.1 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(2;-3), B(3;-2) và diện tích

Từ bài toán trên ta có trọng tâm của tam giác ABC là G(2 ;-2) và G(1 ;-5)

Kết quả 2.1.1 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(2;-3), B(3;-2) và diện tích

tam giác bằng 3

2 Tìm tọa độ điểm C biết trọng tâm G thuộc đường thẳng d: 3x-y-8=0

Hướng dẫn : Gd G(t ;3t-8)  C(3t-5;9t-19) giải tương tự như bài toán 2.1

Bài toán 2.2 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(2;4) và diện tích tam giác

bằng 7

2 Đường thẳng  đi qua trung điểm của AB và AC có phương trình là

4x-6y+9=0, trung điểm của cạnh BC nằm trên đường thẳng d : 2x-2y-1=0 Tìm tọa độ điểm B và C biết C có hoành độ lớn hơn 1

Hướng dẫn : +) Gọi A’ đối xứng với A qua  A' 40 31;

Gi¸o viªn Tr-êng THPT DiÔn Ch©u 2- NguyÔn V¨n Minh 11

KL : B(1 ;1) và C(4 ;3)

Từ cách giải bài toán 2.2 ta suy ra một số bài toán sau :

Kết quả 2.2.1 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(2;4) và đường thẳng d : 2x-3y+1=0

Tìm trên d hai điểm B và C đối xứng nhau qua M 5;2

2, biết C có hoành độ lớn hơn 1

Kết quả 2.2.2 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có B(1 ;1), đường cao AH có

phương trình là 3x+2y-14=0 và diện tích tam giác bằng 7

2 Tìm tọa độ điểm A và C biết

C thuộc đường thẳng d : 2x-y-5=0

Ví dụ 3 Cho tam giác ABC nhọn, H là trực tâm của tam giác thì ta có các tính chất

sau :

i) H là tâm đường tròn nội tiếp PEF với P, E, F lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh của tam giác ABC

ii) Đường tròn Euler đi qua 9 điểm 3 chân các đường cao,

3 trung điểm của 3 cạnh tam giác và 3 trung điểm của

3 đoạn thẳng nối trực tâm và các đỉnh

Chứng minh

i) +) 4 điểm B,P,H,F nội tiếp trong đường tròn

nên HPFHBF 1 

4 điểm C,P,H,E nội tiếp trong một đường tròn nên HPEHCE 2 

4 điểm B,C,E,F nội tiếp trong một đường tròn nên HBFHCE 3 

Tự (1),(2),(3)  HPFHPE HP là đường phân giác trong của góc EPF

Tương tự  H là tâm đường tròn nội tiếp PEF (đpcm)

ii) +) Hai tứ giác MNSR và MQSK là hai hình chữ nhật  6 điểm M, K, N, S, Q và R cùng thuộc một đường tròn đường kính MS

+) 3 điểm P, E, F nhìn MS dưới một góc vuông nên 9 điểm M,K,P,N,S,E,Q,F,R cùng thuộc một đường tròn đường kính MS, tương tự ta có các đường kính là KQ và NR

Gắn bài toán với tính chất đặc trưng trên vào hệ trục tọa độ ta được một số kết quả sau:

Gi¸o viªn Tr-êng THPT DiÔn Ch©u 2- NguyÔn V¨n Minh 12

Bài toán 3.1 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H và các chân

đường cao từ A, B, C lần lượt là P, E, F Biết P(2;-14), E(-2;14) và F(-5;-7), hãy tìm tọa

độ các đỉnh của tam giác ABC

Hướng dẫn: +) Theo t/c i) thì H là tâm đường tròn nội tiếp PEF H(-2;-6)

+) AB đi qua F(-5;-7) và HF pt AB: 3x+y+22=0

AC đi qua E(-2;14) và HE pt AC: y-14=0

BC đi qua P(2 ;-14) và HP pt BC : x-2y-30=0

A=ABAC A(-12 ;14), B(-2 ;-16) và C(58 ;14)

Trong một tam giác ta đã biết nếu biết tọa độ hai đỉnh và tâm đường tròn nội tiếp thì tìm được đỉnh thứ 3 (sự tồn tại hình sẽ được tác giả làm rõ ở phần 2 của đề tài này) nên ta có một số kết quả sau:

Kết quả 3.1.1 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(-2;-6) và các

chân đường cao từ A, B lần lượt là P(2;-14) và E(-2;14) Hãy tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Hướng dẫn: Tìm tọa độ điểm F(-5;-7) bài toán 3.1

Kết quả 3.1.2 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(-2;-6) và các

chân đường cao từ A, C lần lượt là P(2;-14) và F(-5;-7) Hãy tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Kết quả 3.1.3 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(-2;-6) và các

chân đường cao từ B, C lần lượt là E(-2;14) và F(-5;-7) Hãy tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Khai thác tính chất ii) ta được bài toán sau:

Bài toán 3.2 (Trích đề thi HSG Tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2010 - 2011)

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(1; 2) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Biết đường tròn đi qua ba trung điểm của ba đoạn thẳng HA, HB, HC có phương trình là: : 2 2

x y 2x4y 4 0 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Gi¸o viªn Tr-êng THPT DiÔn Ch©u 2- NguyÔn V¨n Minh 13

+) Ta cm được tứ giác IKHQ là hình bình hành

nên tâm T của đường tròn (T) là trung điểm

của KQ củng là trung điểm của HI

Bình luận: Đây là bài toán khó để giải quyết được đòi hỏi phải nắm kỹ tinh chất ii) và

các tính chất liên quan đến đường tròn Euler

Khai thác lời giải bài toán 3.2 ta được bài toán sau:

Kết quả 3.2.1 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(1; 2) Gọi H là

trực tâm của tam giác ABC và K(0;-2) là trung điểm của BC Biết đường tròn đi qua ba trung điểm của ba đoạn thẳng HA, HB, HC có phương trình là: 2 2

x  y 2x 4y 4 0   Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Hướng dẫn:

+) Từ lời giải trên ta có I(1;10) H(1;-14)

+) Do T(1;-2) là trung điểm của KQ nên Q(2;-2)

Mà Q là trung điểm của AH nên A(3;10)

H là trực tâm ABC nên BHAC t= ? B và C

Nhận xét : Gọi K, S, R lần lượt là trung điểm của BC, CA và AB thì trọng tâm G của

ABC cũng là trọng tâm của RKS và tâm đường tròn ngoại tiếp I của ABC là

trực tâm của RKS nên ta có TI 3TG .Mà ta đã có IH 3IG , do vậy nếu biết tọa độ 2 trong 4 điểm T,G, I ,H thì tìm được tọa độ điểm còn lại Từ đó ta được một số kết quả sau :

Gi¸o viªn Tr-êng THPT DiÔn Ch©u 2- NguyÔn V¨n Minh 14

Kết quả 3.2.2 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(1; 2) và đường

tròn ngoại tiếp ABC có phương trình là (x-1)2

+(y-10)2=4 Hãy viết phương trình đường tròn đi qua các trung điểm của các cạnh tam giác ABC

Kết quả 3.2.3 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3 ;10), trọng tâm

G(1; 2) và tâm đường tròn đi qua trung điểm ba cạnh của tam giác là T(1 ;-2) Tìm tọa

iii) d(I;BC) ad(I;AB) 

iV) d(M;BC)=ad(N;AB) biết MAD và NCD

Gắn bài toán với tính chất đặc trưng trên vào hệ trục tọa độ ta được một số bài toán sau:

Bài toán 1 Cho hình chữ nhật ABCD tâm I(1; 0

2 ), AB=2AD và AB: x-2y+2=0 Tìm tọa

độ bốn đỉnh của hình vuông biết rằng đỉnh A có hoành độ âm

Gi¸o viªn Tr-êng THPT DiÔn Ch©u 2- NguyÔn V¨n Minh 15

 đường thẳng AC đi qua I và tạo với AB một góc BAC thỏa mãn cosBAC 2

5



 Phương trình AC  A=ACAB Tọa độ điểm C  B và D

Cách 3

+) Gọi J là hình chiếu vuông góc của I lên AB J(0;1)

+) Do AB=2AD nên AJ=2JI=2d(I;AB)= 5  A và B thuộc đường tròn (T) tâm J bán kính JA= 5

 A,B =(T)AB với xA<0. tọa độ điểm C và D

Đặc biệt hóa bài toán 1 trên khi AB=AD ta có kết quả sau:

Kết quả 1.1 Cho hình vuông ABCD biết tâm I(1; 0

2 ) và AB: x-2y+2=0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông biết đỉnh A có hoành độ âm

Trong bài toán 1 ta thay giả thiết AB=2AD bằng giả thiết góc BAC ta được kết

quả sau:

Kết quả 1.2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có M(2;2) thuộc

AB, N(1;4) thuộc BC, tâm hình chữ nhật là I(1; 0

2 ) và cosBAC 2

5 Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật biết đỉnh A có hoành độ âm

Hướng dẫn:

+) cosBAC 2

5  d(I;BC)=2d(I;AB) +) AB: a(x-2)+b(y-2)=0 và BC: b(x-1)-a(y-4)=0

+) d(I;BC)=2d(I;AB)  pt AB và BC  tọa độ điểm B  D A và C

Cùng cách khai thác đó ta có một số kết quả tương tự:

Kết quả 1.3 Cho hình chữ nhật ABCD có AB=2BC, đường thẳng AB, BC và CD lần lượt

đi qua các điểm M 4;1

  Hãy tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông

Kết quả 1.4 Cho hình chữ nhật ABCD có các cạnh AB, BC, CD và DA lần lượt đi qua

các điểm M(4;5), N(6;5), P(5;2) và Q(2;1) Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật biết diện tích bằng 16

Kết quả 1.5 Cho hình vuông ABCD có tâm I 3 1;

2 2

 , các đường thẳng AB, CD lần lượt

đi qua các điểm M(-4;-1) và N(-2;-4) Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông đó biết B có

Gi¸o viªn Tr-êng THPT DiÔn Ch©u 2- NguyÔn V¨n Minh 16

hoành độ âm

Nhận xét: Trong bài 3 nếu IM  IN thì ta sẽ có vô số hình vuông ABCD nên khi tạo ra bài toán mới chúng ta cần tránh trường hợp này

Ví dụ: Cho hình vuông ABCD có tâm I(4;3) Tìm tọa độ đỉnh D của hình vuông biết

đường thẳng AB và BC lần lượt đi qua các điểm M(2;4) và N(3;1)

Trong kết quả 1 ta có giả thiết AB=2AD  AC 2 =5AB 2 AC = 5AB , ngược lại cho AC thì ta được kết quả sau:

Kết quả 1.6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có M(2;2) thuộc

AB, N(1;4) thuộc BC, tâm hình chữ nhật là I(1; 0

2 ) và độ dài đường chéo AC bằng 5 Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật biết đỉnh A có hoành độ âm

Khai thác tính chất ii) ta được kết quả sau:

Kết quả 1.7 (Trích đề thi HSG tỉnh lớp 11 NA-2014)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm A(1 ;3) Biết M(6 ;4) thuộc cạnh BC và N 17 9;

Hướng dẫn: +) AB: a(x-1)+b(y-3)=0 và AD: b(x-1)-a(y-3)=0

+) ABCD là hình vuông nên d M;AD  d N;AB2 5b a 15a 3b

Gi¸o viªn Tr-êng THPT DiÔn Ch©u 2- NguyÔn V¨n Minh 17

Từ cách giải Kq 1.7 ta có bài toán tổng quát sau:

Kết quả 1.8 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình các cạnh của hình vuông

ABCD biết rằng AB,BC,CD và DA lần lượt đi qua các điểm P(2;4), M(6;4), N 17 9;

Cách giải hoàn toàn tương tự như KQ1.3

Ví dụ 2 Ta xét tính chất sau: Cho hình vuông ABCD M, N lần lượt là trung điểm của

Tính chất 2 có thể tổng quát được như sau: M và N là hai điểm bất kì trên 2 cạnh BC

và CD sao cho CM=CN thì ta luôn có AMBN

Bài toán 2.1 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD, gọi M và N lần lượt là

trung điểm của BC và CD Biết N 5; 1

2

  

  và phương trình AM là 7x-4y-2=0 Hãy tìm

tọa độ các đỉnh của hình vuông đó biết A có hoành độ nguyên

Hướng dẫn:

+) Gọi vtpt của AN là   2 2

n a;b ,a b  0 pt AN: a(x-5

2)+b(y+1)=0

Gi¸o viªn Tr-êng THPT DiÔn Ch©u 2- NguyÔn V¨n Minh 18

+) AB đi qua A và tạo với AM một góc thỏa mãn: cos BAM 2

5



+) Theo tính chất ii) ta có BNAM phương trình BN B=ABBNB(-1;1)

 C(1;-2) và D(4;0)

Khai thác kết quả của bài toán trên ta có kết quả sau:

Kết quả 2.1.1 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD, gọi M và N lần lượt là

trung điểm của BC và CD Biết M(0; 1

Với 4a=7b  AM: 7x-4y-2=0  A(2;3) (t/m)

28a=-29b  AM: 29x-28y-14=0  A 246 439;

253 253

  (loại)

+) Tìm B,C, D tương tự như bài trên

Trong bài toán 2.1 với TH tổng quát của tính chất ii) khi đó CMkCB, CNkCD

Gi¸o viªn Tr-êng THPT DiÔn Ch©u 2- NguyÔn V¨n Minh 19

 ;  và phương trình AM là 22x-7y-23=0 Hãy tìm tọa độ các đỉnh của

hình vuông đó biết A có hoành độ nguyên

Bình luận: Với tính chất tổng quát của t/cii) ta có thể cho k các giá trị khác nhau để

tạo ra được một hệ thống bài toán tương tự nhau về cách giải

Trong ví dụ 2 nếu ta thay điểm N là trung điểm của CD bằng điểm N thuộc canh

CD sao cho CN=2ND thì tình chất i) trở thành : 1 0

2

Ta đƣợc bài toán sau:

Bài toán 2.2 (Trích đề thi ĐH & CĐ KA-2012)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND Giả sử M 11 1;



2 – 8t – 3 = 0 (với t = a

Gi¸o viªn Tr-êng THPT DiÔn Ch©u 2- NguyÔn V¨n Minh 20

Ví dụ 3 Cho hình vuông ABCD, hai điểm E và F thỏa mãn BE 1BC

3

 vàCF 1CD

2

  Gọi I là giao điểm của AE và BF Chứng minh rằng góc 0

Bài toán 3.1 Trong mp Oxy, Cho hình vuông ABCD có điểm A(-1;3) và điểm C thuộc

đường thẳng  có phương trình 2x-y-2=0, E và F là hai điểm xác định bởi

BC3BE, CD 2CF Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AE và BF Biết I(1;1), hãy tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông biết điểm D có hoành độ dương

 pt BD: 3x-y+1=0  D(a;3a+1)  DA   1 a;2 3a , DC  2 a;1 3a  

 ABCD là hình vuông nên ADDC  DA.DC 0 a 1(tm)

Gi¸o viªn Tr-êng THPT DiÔn Ch©u 2- NguyÔn V¨n Minh 21

Bài toán 3.2 Trong mp Oxy, Cho hình vuông ABCD có điểm A(-1;3), E và F là hai

điểm xác định bởi BC 3BE, CD  2CF Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AE

và BF Đường tròn (T) ngoại tiếp tam giác ACI có phương trình là

+) Do ABCD là hình vuông nên BD đi qua J và AC nên BD : 3x-y+1=0

+) B,D (T) nên B,D là giao điểm của đường thẳng BD và (T)

Mà xD>0 nên B(0;1) và D(1;4)

Vậy B(0;1), C(2;2) và D(1;4)

* Nhận xét:

i) Nếu hai bài trên không phát hiện ra ACI vuông tại I thì rất khó giải quyết nó

ii) Thay đổi giả thiết bài toán trên ta được hệ thống bài toán sau mà cách giải hoàn

toàn tương tự:

Kết quả 3.2.1 Trong mp Oxy, Cho hình vuông ABCD, E và F là hai điểm xác định bởi

BC3BE, CD 2CF Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AE và BF Đường trong (T) ngoại tiếp tam giác ACI có phương trình là

Kết quả 3.2.2 Trong mp Oxy, Cho hình vuông ABCD có điểm A(-1;3) và C(2;2) , E và

F là hai điểm xác định bởi BC 3BE, CD  2CF Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AE và BF Biết điểm I(1;1), tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông trong đó điểm D có hoành độ dương

Kết quả 3.2.3 Trong mp Oxy, Cho hình vuông ABCD có điểm B(0;1) và D(1;4) , E và

F là hai điểm xác định bởi BC 3BE, CD  2CF Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AE và BF Biết điểm I(1;1), tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông trong đó điểm C có hoành độ dương

Gi¸o viªn Tr-êng THPT DiÔn Ch©u 2- NguyÔn V¨n Minh 22

Kết quả 3.2.4 Trong mp Oxy, Cho hình vuông ABCD có điểm B(0;1) và C(2;2) , E và F

là hai điểm xác định bởi BC 3BE, CD  2CF Gọi I là giao điểm của hai đường

thẳng AE và BF Biết điểm I(1;1), tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông

Kết quả 3.2.5 Trong mp Oxy, Cho hình vuông ABCD có điểm B(0;1), E và F là hai

điểm xác định bởi BC 3BE, CD  2CF Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AE

và BF Biết điểm I(1;1) và điểm E 2 4;

3 3

 , tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông

Kết quả 3.2.6 Trong mp Oxy, Cho hình vuông ABCD có điểm A(-1;3), E và F là hai

điểm xác định bởi BC 3BE, CD  2CF Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AE

và BF Biết điểm I(1;1) và F 5;1

2

 

 

 , tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông trong đó

điểm D có hoành độ dương

Kết quả 3.2.7 Trong mp Oxy, Cho hình vuông ABCD, E và F là hai điểm xác định bởi

BC3BE, CD 2CF Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AE và BF Biết điểm

I(1;1), J 1 5; và F 5;1

    ,tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông

Kết quả 3.2.8 Trong mp Oxy, Cho hình vuông ABCD, E và F là hai điểm xác định bởi

BC3BE, CD 2CF Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AE và BF Biết điểm

II Mối quan hệ giữa các yếu tố cơ bản từ sự xác định hình

1 Bài toán cơ bản 1: Trong mp Oxy, cho tam giác ABC biết rằng A(-1;2), B(2;-4) và

C(1;0) Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp I và nội tiếp J của tam giác

Gi¸o viªn Tr-êng THPT DiÔn Ch©u 2- NguyÔn V¨n Minh 23

x y 2ax 2by  c 0 a b  c 0 là đường tròn ngoại tiếp

ABC  A,B,C(T) hệ phương trình

Dễ thấy B và C nằm về 2 phía của d2 nên d2 là đường phân giác trong của góc A

Tương tự : d : 2 173  4 5 x  17 5 y 4 50 là phương trình đường phân giác trong của góc B  J=d2d3 tọa độ của J

Cách 2 : Ta lập phương trình đường tròn (T1) nội tiếp ABC

+) Gọi J(a ;b)

+) (T1) nội tiếp trong ABC  AB, AC và BC là 3 tiếp tuyến của (T1)

 d J;AB  d J;AC d J;BC r tìm được a,b J

Cách 3 Dùng đẳng thức véc tơ a.JA b.JB c.JC 0  

Tuy nhiên việc chứng minh đẳng thức trên là bài toán không đơn giản

* Kết luận : Một tam giác luôn tồn tại khi biết tọa độ 3 đỉnh hay ta sẽ tìm được tất cả

các yếu tố liên quan đến tam giác đó khi biết tọa độ 3 đỉnh tam giác Vấn đề là khi ta

Gi¸o viªn Tr-êng THPT DiÔn Ch©u 2- NguyÔn V¨n Minh 24

giảm bớt giả thiết thì trong trường hợp đó ta cần thay bằng giả thiết nào thì tam giác

đó sẽ tồn tại, để giải quyết vấn đề này sau đây ta xét cụ thể các trường hợp như sau :

Hướng khai thác thứ nhất Giữ nguyên tọa độ hai đỉnh, thay tọa độ một đỉnh bằng một giả thiết khác

Trường hợp 1 Thay giả thiết tọa độ đỉnh C bằng tọa độ các điểm đặc biệt trong tam

giác như trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp I, tâm đường tròn nội tiếp J, thì ta được kết quả sau :

Thay giả thiết tọa độ đỉnh C bằng tọa độ trọng tâm G ta được kết quả sau:

Kết quả 1.1 Trong mp Oxy, cho tam giác ABC biết rằng A(-1;2), B(2;-4) và trọng tâm

  Tìm tọa độ đỉnh C, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I, nội tiếp J

của tam giác

Thay giả thiết tọa độ đỉnh C bằng tọa độ trực tâm H ta được kết quả sau:

Kết quả 1.2 Trong mp Oxy, cho tam giác ABC biết rằng A(-1;2), B(2;-4) và trực tâm

H(11 ;5) Tìm tọa độ đỉnh C, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp I, nội tiếp J của tam giác

Hướng dẫn :

+) AC đi qua A(-1 ;2) và có vtpt là BH 9;9  pt AC : x+y-1=0

+) BC đi qua B(2 ;-4) và có vtpt là AH12;3 pt BC : 4x+y-4=0

+) C=ACBC C(1 ;0) tọa độ điểm G 2; 2

Thay giả thiết tọa độ đỉnh C bằng tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp I

Vấn đề đặt ra : Thay giả thiết tọa độ điểm C bằng tâm đường tròn ngoại tiếp I thì bài

toàn có giải quyết được không ?

Nhận xét : Dễ thấy khi biết A,B và I thì viết được phương trình đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC, với C là một điểm tùy ý trên đường tròn không trùng với A và B vì vậy không tìm được điểm C Do đó ta phải thêm giả thiết khác nữa thì mới tìm được tọa độ điểm C, cụ thể như sau :

Gi¸o viªn Tr-êng THPT DiÔn Ch©u 2- NguyÔn V¨n Minh 25

Kết quả 1.3 Trong mp Oxy, cho tam giác ABC biết rằng A(-1;2), B(2;-4) , tâm đường

tròn ngoại tiếp I 9; 7

  

  và điểm C thuộc đường thẳng d :x+y-1=0 Tìm tọa độ đỉnh

C, trọng tâm G và trực tâm H của tam giác

Hướng dẫn :

+) C là giao điểm của đường thẳng d và đường tròn tâm I bán kính IA=IB

Kết quả 1.4 Trong mp Oxy, cho tam giác ABC biết rằng A(-1;2), B(2;-4) , tâm đường

tròn ngoại tiếp I 9; 7

  

  và tam giác ABC cân tại A Tìm tọa độ đỉnh C, trọng tâm G

và trực tâm H của tam giác

Hướng dẫn :

+) Đường thẳng BC đi qua B và AI  BC : 4x+y-4=0

+) C=BC đường tròn tâm I, bán kính R=IA=IB

Kết quả 1.5 Trong mp Oxy, cho tam giác ABC biết rằng A(-1;2), B(2;-4) , tâm đường

tròn ngoại tiếp I 9; 7

  

  và diện tích tam giác ABC bằng 3 Tìm tọa độ đỉnh C, trọng

tâm G và trực tâm H của tam giác

Hướng dẫn :

+) Viết pt đường tròn (T) ngoại tiếp ABC và gọi C(a ;b)

+) C thuộc đường tròn (T) 1 phương trình 2 ẩn a và b (1)

Kết quả 1.6 Trong mp Oxy, cho tam giác ABC biết rằng A(-1;2), B(2;-4) Tìm tọa độ

đỉnh C, trọng tâm G và trực tâm H của tam giác Biết rằng điểm C thuộc đường thẳng

d : x-y-1=0 và diện tích tam giác ABC bằng 3