SKKN tìm tọa độ của điểm, viết phương trình đường thẳng trong không gian

Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011 Trang 1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh còn gặp nhiều lúng túng khi tìm tọa độ của đ

Trang 1

Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011 Trang 1

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh còn gặp nhiều lúng túng khi tìm tọa độ của điểm hoặc viết phương trình đường thẳng trong không gian thỏa mãn tính chất nào đó; việc vận dụng các quan hệ vuông góc, song song của các em vào các bài toán còn nhiều hạn chế Hơn nữa, kể từ khi học sinh học sách giáo khoa theo chương trình phân ban mới thì phương trình tổng quát của đường thẳng trong không gian không được sử dụng nữa nên các bài toán dạng:

" Tìm tọa độ của điểm, viết phương trình đường thẳng trong không gian" chủ yếu

sử dụng phương trình tham số của đường thẳng

Với suy nghĩ trên tôi xin trình bày một số kinh nghiệm của mình vể việc

sử dụng phương trình tham số của đường thẳng vào giải các bài toán: " Tìm tọa độ của điểm, viết phương trình đường thẳng trong không gian" nhằm trao đổi với

các thầy giáo, cô giáo; đồng thời giúp các em học sinh 12 ôn tập tốt hơn, nâng cao chất lượng học tập

Trong phần phương pháp tọa độ trong không gian khi phải “Tìm tọa độ một điểm, Viết phương trình một đường thẳng trong không gian ” ngoài việc sử dụng

các kiến thức ở sách giáo khoa ta nên chú ý đến tính chất của quan hệ vuông góc, quan hệ song song và tính đối xứng của hai điểm, của điểm và đường thẳng, của đường thẳng và mặt phẳng rồi kết hợp với tọa độ của điểm theo phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán Khi đó bài toán hình học sẽ đơn giản và

được “đại số hóa” nên học sinh tiếp cận nhanh hơn và cách giải bài toán gọn gàng

Trang 2

-

NỘI DUNG ĐỀ TÀI

A CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC

Bài toán 1: Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(6; -1; -5) trên

mp(P): 2x + y -2z - 3 = 0

● Nhận xét: Bài toán này ta viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông

góc với mp(P) khi đó hình chiếu H là giao điểm của d và mp(P)

●Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P) có phương

t y

t x

2 5

1

2 6

● Nhận xét: Ta có d // (P) nên ta lấy Md, tìm hình chiếu của M trên (P), khi

đó hình chiếu của đường thẳng d trên mp(P) là đường thẳng qua H và song song với

Gọi H là hình chiếu của M trên (P) suy ra: H(2; -3; -1) (Bài toán 1)

Hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng qua H và song song với d nên có phương

t y

t x

3 1

2 3

4 2

(P)

Trang 3

Bài toán 3: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:

●Hướng dẫn giải:

Gọi A là giao điểm của d và (P)

Ta có: A d suy ra: A(6-5t; -1+2t; -5+5t)

Vì A (P)  2(6-5t) + (-1+2t) - 2(-5+5t) - 3 = 0

 t = 1

Do đó A(1; 1; 0)

Ta lại có: M(6; -1; -5) d

Gọi H là hình chiếu của M trên (P) suy ra: H(2; -3; -1) ( Bài toán 1)

Hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng qua H và có VTCP AH= (1; -4; -1)

t y

t x

1

4 3

t y

t x

1

2 2

3 2

● Nhận xét: Bài toán này ta lấy Hd, khi đó H là hình chiếu của M trên đường thẳng d khi và chỉ khi ur MHuuuur = 0 (ur là VTCP của d)

A d

H M

(P)

Trang 4

-

Vậy H(1; 0; 2)

* Cách khác: - Tính độ dài đoạn MH

- Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn MH theo t, từ đó suy ra tọa độ điểm H

NHẬN XÉT: Từ 4 bài toán nêu ra ta thấy: Với các bài toán dạng này, ta

chọn điểm trên đường thẳng cho trước sau đó dựa vào quan hệ vuông góc giữa

điểm với đường thẳng, đường thẳng với mặt phẳng để tìm hình chiếu vuông góc

của điểm đó trên đường thẳng hay mặt phẳng Từ đó kết luận (nếu bài toán tìm

hình chiếu) hoặc viết phương trình hình chiếu của đường thẳng dựa vào hình

chiếu vừa tìm được và vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:

1

3 3

phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mp(P)

Bài 3: Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M(1; -1; 2) trên

1 2

Trang 5

B CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỐI XỨNG

Bài toán 5: Tìm tọa độ điểm M ' đối xứng với điểm M(6; -1; -5) qua mp(P): 2x + y - 2z - 3 = 0

● Nhận xét: Bài toán này ta viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông

góc với mp(P), lấy M ' d (M 'M) , khi đó M ' đối xứng với M qua (P) khi và chỉ khi d(M;(P))=d(M ';(P))

● Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P) có phương

t y

t x

2 5

1

2 6

CHÚ Ý: Có thể giải theo phương pháp sau:

 Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc ( P)

 Tìm giao điểm H giữa d và ( P)

 Dùng công thức trung điểm suy ra tọa độ điểm M’

Bài toán 6: Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng với đường thẳng d:

(P)

d' M'

(P)

Trang 6

-

Đường thẳng d ' qua M ' và song song với d nên có phương trình:

t y

t x

3 3

2 5

4 2

Gọi A là giao điểm của d và (P)

Ta có: A d suy ra: A(6-5t; -1+2t; -5+5t)

A (P)  2(6-5t) + (-1+2t) - 2(-5+5t) - 3 = 0

 t = 1

Do đó A(1; 1; 0)

Ta lại có: M(6; -1; -5) d

Gọi M ' đối xứng với điểm M qua (P)

suy ra: M '(-2;-5;3) ( Bài toán5)

t y

t x

3

2 5

t y

t x

2 1

●Nhận xét: Bài toán này ta lấy Hd, H là hình chiếu của A lên đường thẳng d khi và chỉ khi ur uuurAH = 0 (u là VTCP của d), ta có H là trung điểm của AA/

từ đó suy ra tọa độ của A/

d' (P)

Trang 7

/ / /

A A A

z y

x

Vậy: A/ (-3 ; 2 ; 1)

NHẬN XÉT: Từ 4 bài toán nêu ra ta thấy: Với các bài toán dạng này, ta lấy điểm cho trước hoặc chọn điểm trên đường thẳng cho trước sau đó tìm điểm đối xứng của điểm đó qua đường thẳng hay mặt phẳng Từ đó kết luận (nếu bài toán tìm điểm đối xứng) hoặc viết phương trình đường thẳng đối xứng dựa vào điểm đối xứng vừa tìm được và vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng, giữa 2 đường thẳng

t y

t x

2 1

2

a/ Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của điểm A trên đường thẳng 

b/ Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với A qua đường thẳng 

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 2; 3) và 2 đường

thẳng: d1:

1

3 1

2 2

1 1

a/ Tìm tọa độ A/ đối xứng với A qua đường thẳng d1

b/Viết phương trình đường thẳng  qua A vuông góc với đường thẳng d1

và cắt đường thẳng d2 (Đề thi ĐH khối D năm 2006)

Bài 3: Cho điểm M(2; 1; 0) và mặt phẳng () : x + 3y - z - 27 = 0 Tìm tọa

Trang 8

-

Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng với đường thẳng d:

b/ Viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d1 qua d2

C CÁC BÀI TOÁN VỀ CẮT NHAU, VUÔNG GÓC, SONG SONG:

Bài toán 9: Cho đường thẳng d và mp (P) có phương trình: d:

a/ Xác định tọa độ giao điểm A của d và (P)

b/ Viết phương trình đường thẳng d ' đi qua A, nằm trong (P) và vuông góc với d

● Nhận xét: Bài toán này ta tìm tọa độ của A, khi đó đường thẳng d ' qua A và

có véctơ chỉ phương vr   u nr r, ; trong đó ur là VTCP của d, nr là VTPT của mp(P)

Đường thẳng d ' (P) và d 'd nên d ' có véctơ chỉ phương vr   u nr r, = (2; 1; -4)

Đường thẳng d ' qua A có VTCP vr nên có phương trình :

t y

t x

4 3 2

2 1

(P)

d

A d'

Trang 9

Bài toán 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :

1

3 2

(Đề thi ĐHCĐ khối A năm 2005)

● Nhận xét: Câu a ta lấy Id và sử dụng công thức khoảng cách, câu b cùng cách làm của bài toán 9

t y

t x

3

2 3 1

Id suy ra: I(1-t; -3 + 2t; 3+t)

Khoảng cách từ I đến mp(P) bằng 2 nên:

2 3

9 ) 3 ( 2 ) 2 3

Đường thẳng  (P) và  d nên  có véctơ chỉ phương vr   u nr r, =(-5; 0; -5)

Phương trình của đường thẳng :

y

t x

4 1

Trang 10

-

Bài toán 11: Viết phương trình đường thẳng  qua I(-1; -2; 4) vuông góc và

t y

t x

1

2 2

3 2

) (tR

●Nhận xét: Bài toán này ta lấy Hd, khi đó H  khi và chỉ khi u

r.uuur IH = 0

Đường thẳng qua I và có VTCP IH uuur=(2; 2; -2) nên có phương trình :

t y

t x

4 2

t y

t x

4

2 1

3

) (tR và vuông góc với đường thẳng d2:

t y

t x

5 3

4 1

) (tR

● Nhận xét: Bài toán này ta lấy Hd1, khi đó H  khi và chỉ khi u

r.uuur AH = 0

t = -3 suy ra H(0; 5; 1)

d



H I

d2

d1

H A



Trang 11

Đường thẳng qua A và có VTCP uuur AH =(2; -4; -4) = 2(1; -2; -2) nên có

t y

t x

2 3

2 1

4

3 1

2 1

t z

t y

t x

và song song với đường thẳng d:

1

4 2

1 3 3 3

t t

t y

t x

2 1

3 1

Bài toán 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng d1:

1

2 1

z

t y

t x

Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y - 4z = 0

và cắt 2 đường thẳng d1 , d2 (Đề thi ĐH khối A năm 2007)

Trang 12

-

●Nhận xét: Đây là đề thi ĐHCĐ, ngoài cách giải của đáp án, tương tự bài

toán 13, ta có thể giải nhanh hơn bằng cách lấy Ad1, Bd2 khi đó A, Bd khi và chỉ

khi ur, uuur ABcùng phương ( ur là VTCP của d); đường thẳng d qua A và có VTCP ur

2 1 2

t z

t y

t x

Gọi Ad1 suy ra: A(2t/ ; 1- t/ ; -2+ t/ )

Bd2 suy ra: B(-1+ 2t ; 1+ t ; 3)

nên: uuur AB= (2t - 2t/ - 1; t + t/ ; 5 - t/ )

A, B    u

r, uuur ABcùng phương



4

5 1 7

1 2

5

5 3

4 / /

t t

t y

t x

4 1

7 2

t y

t x

2

3 5

) (tR và d/ :

4

3 7 2

t z

t y

t x

) (t/R

● Nhận xét: Bài toán này học sinh lấy Ad1, Bd2; AB là đường vuông góc

B

Trang 13

) 9 3

( 3 ) 7 3 (

0 ) 4 (

) 9 3

( ) 7 3 ( 3

/ /

/

/ /

/

t t t

t t

t

t t t

t t

26 11 5 / /

t t

t

suy ra: A(2; 1; -1); uuur AB=(-1; 1; 2)

Đường vuông góc chung qua A và có VTCP uuur AB=(-1; 1; 2) nên có phương

t y

t x

2 1 1

2

) (tR

NHẬN XÉT: Từ các bài toán nêu ra ta thấy các bài toán dạng này có độ khó hơn Tuy nhiên phương pháp chung để giải là: Chọn điểm hoặc các điểm (có chứa tham số) trên đường thẳng hoặc các đường thẳng bị cắt (cho trước), sau đó dựa vào các yếu tố song song, vuông góc để tìm tham số Từ đó viết phương trình đường thẳng theo yêu cầu bài toán

MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d1 và cắt cả

hai đường thẳng d 2 và d 3 , biết phương trình d 1, d 2 và d 3 là:

t y

x

1

4 2

1

; d 2:

3

2 4

2 1

' 5 4

t z

t y

t x

t y

t x

4 1 1

2 3

, Viết phương trình đường thẳng đi qua A, cắt và vuông góc với

đường thẳng d (Đề thi ĐHCĐ khối B năm 2004)

Trang 14

-

Bài 3: Cho hai đường thẳng: d 1:

t y

t x

8

2 5

8

và d2:

3

1 2

1 7

3 x  y  z Viết

phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó

Bài 4: Cho hai đường thẳng: d:

3

6 2

1 1

t y

t x

3 2

1

a.Viết phương trình đường vuông góc chung của d và d'

b Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả d và d'

Bài 5: Viết phương trình đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng tọa độ

t y

t x

5 4 3

2 1

t z

t y

t x

Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng :

1 1

và mặt phẳng (P) : x + 2y - 3z + 4 = 0 Viết phương trình đường

thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng 

(Đề thi ĐH khối D năm 2009)

D CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ

Bài toán 16: Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho

điểm M(1; 3; -2) và đường thẳng d:

5 3 2 2

Trang 15

 u MHuuuur = 0  3(4+3t) + (-1 + t) - (- t) = 0 t = - 1

Vậy H(2; 1; -1)

*CÁCH KHÁC: - Tính độ dài đoạn MH

- Tìm giá trị nhỏ nhất của MH theo t

Bài toán 17: Trong không gian Oxyz cho M (1; 2; 3), và N ( 4; 4; 5) Tìm điểm

I mp(Oxy) sao cho IM + IN nhỏ nhất

●Nhận xét: Bài toán này ta kiểm tra M, N nằm về một hay hai phía của mặt

phẳng Nếu M, N nằm về hai phía của mặt phẳng thì I là giao điểm của MN và mặt phẳng, nếu M, N nằm về một phía của mặt phẳng thì I là giao điểm của M 'N và mặt phẳng trong đó M '

là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng đó

● Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = 0 Trước hết ta xét xem M và N có ở một trong hai phía với mp (Oxy) hay không? Dể thấy zM zN = 3 5 = 15>0  M, N ở về một phía với mp (Oxy)

Đường thẳng d qua M và vuông góc mp(Oxy) có pt:

1 2 3

x y

Gọi M' đối xứng với M qua mp(Oxy)

H là trung điểm của MM' nên M' (1; 2; -3) và M Nuuuuur' = (3; 2; 8)

Ta có IM + IN = IM' + IN  M'N  Min ( IM + IN) = M'N  I là giao điểm của

M'N và mp(Oxy)

M'N qua M ' có VTCP M Nuuuuur' = (3; 2; 8) nên có phương trình:

, , ,

d

Trang 16

Tìm điểm I d sao cho: IM + IN nhỏ nhất

●Nhận xét: Ta có MNd nên IM + IN nhỏ nhất khi và chỉ khi I = d (P) trong đó (P) là mặt phẳng qua MN và vuông góc với d

Bài toán 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 điểm A(-3; 0; 1),

B(1; -1; 3) và mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - 5 = 0 Trong các đường thẳng qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến

đường thẳng đó là nhỏ nhất (Đề thi ĐH khối B năm 2009)

● Nhận xét: Ta gọi d là đường thẳng cần tìm; d chứa trong mp(Q) qua A và

song song với (P), khoảng cách từ B đến đường thẳng d là nhỏ nhất khi và chỉ khi d

đi qua H (H là hình chiếu của B trên (Q))

(P)

Trang 17

a/ Tìm tọa độ điểm Md sao cho MA MBuuuruuur nhỏ nhất

b/ Tìm tọa độ điểm Id sao cho diện tích AIB nhỏ nhất

c/ Viết phương trình đường thẳng qua A và cắt d sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng đó đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

● Nhận xét: Ta lấy M  d; câu a, ta tìm MAuuur +MBuuur  MA MBuuuruuur suy ra M

- Câu b, c ta tìm diện tích AIB, khoảng cách rồi vận dụng bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, từ đó suy ra kết quả

Trang 18

-

 Gọi H là trung điểm đoạn AB, ta có: MA MBuuuruuur = 2MH

 Suy ra Min MA MBuuuruuur khi MH nhỏ nhất, điều này xảy ra khi MH vuông góc với d hay MH auuuur r  0, từ đó suy ra tọa độ điểm M

b/ Id  I(1-t; -2+t; 2t) ta có: uurAI= (- t; - 6 + t; - 2 + 2t) và uuurAB= ( -2; -2; 2)

2 2

t t

28/ 3 12

+ -2 0

Định dạng
Số trang	21
Dung lượng	643,56 KB