Viết phương trình đường thẳng AB và tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng P.. Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với P.. Viết phương trình mặt cầu S có tâm
Trang 1Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian
Đề Thi Đại Học (2010 – 2015)
Câu 1 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho các điểm A (1;-2;1), B(2;1;3) và
mặt phẳng (P) x y 2z 3 0 Viết phương trình đường thẳng AB và tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (P)
(2015)
a) AB đi qua A (1; -2; 1) và có 1 VTCP AB=(1; 3; 2) nên có pt: 1 2 1
x y z
b) Tọa độ giao điểm M của AB và (P) là nghiệm hệ phương trình:
2 3 0
(0; 5; 1)
M
Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x+y–2z–1=0 và
đường thẳng (d): x 2 y z 3
Tìm tọa độ giao điểm d và (P) Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) và vuông góc với (P)
(Khối A – 2014)
Gọi M là giao điểm của (d) và (P) M thuộc d → M(2 + t; –2t; –3 + 3t)
M thuộc (P) <=> 2(2 + t) – 2t – 2(–3 + 3t)–1 = 0 <=> –6t + 9 = 0 <=> t = 3/2 Vậy giao điểm d và (P) là M(7/2; –3; 3/2)
Gọi (α) là mặt phẳng chứa (d) và vuông góc với mặt phẳng (P) Mặt phẳng (α) nhận d
u = (1; –2; 3) và nP = (2; 1; –2) làm 2 vector chỉ phương Mặt phẳng (α) đi qua N(2; 0; –3) thuộc d và nhận [u ; n ]d P = (1; 8; 5) làm vector pháp tuyến, có phương trình là (α): x – 2 + 8y + 5(z + 3) = 0 <=> x + 8y + 5z + 13 = 0
Câu 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 0; –1) và đường thẳng
d: x 1 y 1 z
Viết phương trình mặt phẳng đi qua và vuông góc với d Tìm tọa
độ hình chiếu vuông góc của A trên d
(Khối B – 2014)
Mặt phẳng (α) đi qua A(1; 0; –1) và có VECTOR PHÁP TUYẾN là ud = (2; 2; –1) (α): 2(x – 1) + 2y – (z + 1) = 0 <=> 2x + 2y – z – 3 = 0
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d → H là giao điểm của d và mặt phẳng (α)
→ H thuộc d → H(1 + 2t; –1 + 2t; –t)
H thuộc (α) → 2(1 + 2t) + 2(–1 + 2t) + t – 3 = 0 → t = 1/3 → H(5/3; –1/3; –1/3)
Trang 2Câu 4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 6x+3y–2z – 1 = 0
và mặt cầu (S): x² + y² + z² – 6x – 4y – 2z – 11 = 0 Chứng minh mặt phẳng (P) cắt
mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn (C) Tìm tọa độ tâm của (C)
(Khối D – 2014)
Mặt cầu (S) có tâm I(3; 2; 1) và bán kính 2 2 2
R 3 2 1 115 Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n = (6; 3; –2)
d(I, (P)) =
6.3 3.2 2.1 1
6 3 ( 2)
Vì d(I, (P)) < R nên mặt cầu (S) cắt (P) theo giao tuyến là một đường tròn (C)
Gọi J là tâm đường tròn (C), ta có J là hình chiếu của I trên (P)
Đường thẳng IJ qua I(3; 2; 1) và vuông góc (P) nên nhận n = (6; 3; –2) làm vectơ
chỉ phương
nên J(3 + 6t; 2 + 3t; 1 – 2t)
J thuộc (P) nên 6(3 + 6t) + 3(2 + 3t) – 2(1 – 2t) – 1 = 0
→ 49t + 21 = 0 → t = –3/7
Do đó J(3/7; 5/7; 13/7)
Câu 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
Δ: x 6 y 1 z 2
và điểm A(1; 7; 3) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A
và vuông góc với Δ Tìm tọa độ điểm M thuộc Δ sao cho AM = 2 30.
(Khối A – 2013) CB
Δ nhận (–3; –2; 1) làm vector chỉ phương
mặt phẳng (P) đi qua A(1; 7; 3) và vuông góc với Δ, nhận (–3; –2; 1) làm vector
pháp tuyến
mặt phẳng (P) có phương trình –3(x–1)–2(y–7)+z–3=0 hay (P): –3x–2y+z+14=0
M thuộc Δ → M(6 – 3t; –1 – 2t; –2 + t)
AM=2 30<=>(5–t)²+(2t+8)²+(t–5)²=120<=>14t²–8t–6=0<=>t=1 hoặc t= –3/7
Suy ra M(3; –3; –1) hoặc M(51/7; –1/7; –17/7)
Câu 6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x+3y+z-11=0 và
mặt cầu (S): x² + y² + z² – 2x + 4y – 2z – 8 = 0 Chứng minh (P) tiếp xúc với (S)
Tìm tọa độ tiếp điểm của (P) và (S)
(Khối A – 2013) NC
(S) có tâm I(1; –2; 1) và bán kính R = 14
d(I, (P)) =
2 2 2
2.1 3( 2) 1 11
14
= R → (P) tiếp xúc với (S) Đường thẳng Δ qua I và vuông góc với (P) đi qua tiếp điểm M của (P) và (S)
Trang 3Câu 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 5; 0) và mặt phẳng
(P): 2x + 3y – z – 7 = 0 Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với
(P) Tìm tọa độ điểm đối xứng của A qua (P)
(Khối B – 2013)
Đường thẳng d đi qua A(3; 5; 0) và vuông góc với (P), nhận nP = (2; 3; –1) làm
vector chỉ phương
Đường thẳng d có phương trình là: x 3 y 5 z
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (P) Gọi H là trung điểm của A’A
A’ thuộc d → A’(3 + 2t; 5 + 3t; –t) → H(3 + t; 5 + 3t/2; –t/2) thuộc (P)
<=>6+2t + 15 + 9t/2 + t/2 – 7 = 0 <=> 7t + 14 = 0 <=> t = –2 suy ra A’(–1; –1; 2)
Câu 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; –1; 1), B(–1; 2; 3)
và đường thẳng Δ: x 1 y 2 z 3
Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với hai đường thẳng AB và Δ
(Khối B – 2013)
AB = (–2; 3; 2) và Δ nhận u = (–2; 1; 3) làm vector chỉ phương
Đường thẳng d vuông góc với AB và Δ, nhận v [AB, u] = (7; 2; 4) làm vector chỉ
phương
đường thẳng d có phương trình là x 1 y 1 z 1
Câu 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(–1; –1; –2), B(0; 1;
1) và mặt phẳng (P): x + y + z – 1 = 0 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên
(P) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P)
(Khối D – 2013)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(–1; –1; –2), B(0; 1; 1) và mặt
phẳng (P): x + y + z – 1 = 0 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P) Viết
phương trình mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với (P)
Đường thẳng d qua A vuông góc với (P) nhận n = (1; 1; 1) làm vector chỉ phương
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) H thuộc d → H(–1 + t; –1 + t; –2 + t)
H thuộc (P) <=> 3t – 5 = 0 <=> t = 5/3 Suy ra H(2/3; 2/3; –1/3)
AB = (1; 2; 3) và [AB, n] = (–1; 2; –1)
mặt phẳng (α) đi qua A, B và vuông góc với (P), nhận nα = (1; –2; 1) làm vector
pháp tuyến
phương trình mặt phẳng (α): x – 2y + z + 1 = 0
Trang 4Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–1; 3; –2) và mặt phẳng
(P): x – 2y – 2z + 5 = 0 Tính khoảng cách từ A đến (P) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với (P)
(Khối D – 2013)
d(A, (P)) =
1 2.3 2.( 2) 5
1 ( 2) 2
= 2/3 mặt phẳng (α) đi qua A(–1; 3; –2) và song song với (P) nhận n = (1; –2; 2) làm vector pháp tuyến
phương trình mặt phẳng (α): x – 2y + 2z + 3 = 0
Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x 1 y z 2
và điểm I(0; 0; 3) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I
(Khối A – 2012) CB
đường thẳng d nhận u = (1; 2; 1) làm vector chỉ phương Gọi H là trung điểm của
AB → IH vuông góc với AB H thuộc d nên H(–1+t;2t;2+t) →IH = (t – 1; 2t; t – 1)
IH vuông góc với d nên IH.u = 0 <=>t–1+4t+t–1 = 0<=>t=1/3
nên IH = (–2/3; 2/3; –2/3)
Tam giác IAH vuông cân tại H nên bán kính mặt cầu (S) là R = IA = IH 2 = 2 6
3 Vậy phương trình mặt cầu (S) là x² + y² + (z – 3)² = 8/3
Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x 1 y z 2
, mặt phẳng (P): x + y – 2z + 5 = 0 và điểm A(1; –1; 2) Viết phương trình đường thẳng Δ cắt d và (P) lần lượt tại M, N sao cho A là trung điểm của đoạn MN
(Khối A – 2012) NC
M thuộc d nên có dạng M(–1 + 2t; t; 2 + t);
MN nhận A làm trung điểm suy ra N(3 – 2t; –2 – t; 2 – t)
N thuộc (P) <=> 3 – 2t – 2 – t – 4 + 2t + 5 = 0 <=> t = 2 → M(3; 2; 4)
Đường thẳng Δ đi qua A và nhận AM = (2; 3; 2) làm vector chỉ phương có phương trình là
Δ: x 1 y 1 z 2
Trang 5Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x 1 y z
và hai điểm A(2; 1; 0), B(–2; 3; 2) Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d
(Khối B – 2012)
Gọi (S) là mặt cầu đi qua A, B và có tâm I thuộc đường thẳng d
→ I(1 + 2t; t; –2t)
IA = IB <=> IA² = IB² <=> (1 – 2t)² + (1 – t)² + (2t)² = (–3 – 2t)² + (3 – t)² + (2 + 2t)²
<=> t = –1 → I(–1; –1; 2)
Bán kính của (S) là R = IA = 17
Phương trình mặt cầu (S) là: (x + 1)² + (y + 1)² + (z – 2)² = 17
Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; 3), M(1; 2; 0) Viết
phương trình mặt phẳng (P) đi qua A cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM
(Khối B – 2012)
AM = (1; 2; –3) nên đường thẳng AM có phương trình x y z 3
Vì B thuộc Ox, C thuộc Oy nên chúng có dạng B(b; 0; 0), C(0; c; 0)
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Suy ra G(b/3; c/3; 1)
G thuộc đường thẳng AM nên b c 1 3
→ b = 2 và c = 4
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là x/2 + y/4 + z/3 = 1 hay (P): 6x + 3y + 4z – 12 =
0
Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x+y–2z+10= 0
và điểm I(2; 1; 3) Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt mặt phẳng (P) theo một
đường tròn có bán kính bằng 4
(Khối D – 2012)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 10 = 0 và điểm I(2; 1; 3) Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt mặt phẳng (P) theo một đường tròn có bán kính bằng 4
Gọi I là hình chiếu vuông góc của I trên (P) Suy ra H là tâm đường tròn giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) cần viết phương trình
Ta có IH = d(I, (P)) = 3
Bán kính của mặt cầu (S) là R = 2 2
IH 4 = 5 (S) có phương trình là (x – 2)² + (y – 1)² + (z – 3)² = 25
Trang 6Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
(d): x 1 y 1 z
và hai điểm A(1; –1; 2), B(2; –1; 0) Xác định tọa độ điểm M
thuộc d sao cho tam giác AMB vuông tại M
(Khối D – 2012)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d): x 1 y 1 z
và hai điểm A(1; –1; 2), B(2; –1; 0) Xác định tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam giác
AMB vuông tại M
Do M thuộc d nên M(1 + 2t; –1 – t; t)
AM = (2t; –t; t – 2), BM = (2t – 1; –t; t) ΔAMB vuông tại M khi và chỉ khi
AM.BM = 0
<=> 6t² – 4t = 0 <=> t = 0 hoặc t = 2/3
Vậy M(1; –1; 0) hoặc M(7/3; –5/3; 2/3)
Câu 17 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 1), B(0; –2; 3)
và mặt phẳng (P): 2x–y–z+4=0 Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho
MA=MB= 3
(Khối A – 2011) CB
Gọi (α) là mặt phẳng trung trực của AB, I là trung điểm của AB → I(1; –1; 2)
AB = (–2; –2; 2) = –2(1; 1; –1)
Mặt phẳng (α) đi qua I(1; –1; 2) và nhận (1; 1; –1) làm vector pháp tuyến, có
phương trình x + y – z + 2 = 0
Vì MA = MB nên M thuộc (α); mà M thuộc (P) suy ra M thuộc đường giao tuyến d
của (α) và (P)
Dễ thấy (α) và (P) nhận N(0; 1; 3) là điểm chung
(P) nhận np = (2; –1; –1) làm vector pháp tuyến
(α) nhận nα = (1; 1; –1) làm vector pháp tuyến
[n , np α] = (2; 1; 3)
Giao tuyến d đi qua N(0; 1; 3) và nhận (2; 1; 3) làm vector chỉ phương M thuộc d
nên M(2t; 1 + t; 3 + 3t)
MA = 3 <=> MA² = 9 <=> (2t – 2)² + (1 + t)² + (2 + 3t)² = 9 <=> 14t² + 6t = 0
<=> t = 0 hoặc t = –3/7
Vậy M(0; 1; 3) hoặc M(–6/7; 4/7; 12/7)
Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + z² – 4x –
4y – 4z = 0 và điểm A(4; 4; 0) Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết B thuộc
(S) và tam giác OAB đều
(Khối A – 2011) NC
Trang 7ΔOAB đều có bán kính đường tròn ngoại tiếp r = OA 4 2
3 3
Gọi (α) là mặt phẳng đi chứa O, A, B
d(I, α) = 2 2 2
3
mặt phẳng (α) đi qua O có dạng (α): ax + by + cz = 0 (a² + b² + c² ≠ 0)
A thuộc (α) suy ra b = –a
d(I, α) =
2 2
3 2a c
→ c² = a² → c = a hoặc c = –a
Với c = a: phương trình mặt phẳng (α) là x – y + z = 0
Với c = –a: phương trình mặt phẳng (α) là x – y – z = 0
Câu 19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: x 2 y 1 z
và mặt phẳng (P): x + y + z – 3 = 0 Gọi I là giao điểm của Δ và (P) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MI vuông góc với Δ và MI = 4 14
(Khối B – 2011) CB
I thuộc Δ → I(2 + t; –1 – 2t; –t)
I thuộc (P) → 1 – 2t – 3 = 0 <=> t = –1 <=> I(1; 1; 1)
Gọi M(a + 1, b + 1, c + 1) thuộc (P) sao cho MI vuông góc với Δ và MI = 4 14
Ta có
→ a = 4 hoặc a = –4
Với a = 4, b = 8; c = –12: M(5; 9; –11)
Với a = –4; b = –8; c = 12: M(–3; –7; 13)
Vậy M(5; 9; –11) hoặc M(–3; –7; 13)
Câu 20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ:
x 2 y 1 z 5
và hai điểm A(–2; 1; 1), B(–3; –1; 2) Tìm tọa độ điểm M thuộc Δ sao cho tam giác MAB có diện tích là 3 5
(Khối B – 2011)
M thuộc Δ → M(–2 + t; 1 + 3t; –5 – 2t)
Ta có AM = (t; 3t; –6 – 2t) và BM = (t + 1; 3t + 2; –7 – 2t)
[AM, BM] = (–t – 12; t + 6; t)
SMAB = 1 2
3t 36t 180
SMAB = 3 5 <=> 3t² + 36t + 180 = 180
<=> t² + 12t = 0 <=> t = 0 hoặc t = –12
Vậy M(–1; 1; –5) hoặc M(–14; –35; 19)
Trang 8Câu 21 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng
d: x 1 y z 3
Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với d và cắt
trục Ox
(Khối D – 2011)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng d:
x 1 y z 3
Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với d và cắt trục Ox
mặt phẳng (P) đi qua A(1; 2; 3), vuông góc với d, có phương trình là 2(x – 1) + y –
2 – 2(z – 3) = 0 hay (P): 2x + y – 2z + 2 = 0
mặt phẳng (P) cắt trục Ox tại B(–1; 0; 0) Gọi Δ là đường thẳng cần viết phương trình Suy ra Δ đi qua A và B
AB = (–2; –2; –3), phương trình của đường thẳng Δ là x 1 y z
Câu 22 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: x 1 y 3 z
và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z = 0 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc Δ, có
bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng (P)
(Khối D – 2011)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: x 1 y 3 z
và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z = 0 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc Δ, có bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng (P)
Gọi I là tâm mặt cầu (S) cần viết phương trình I thuộc Δ → I(1 + 2t; 3 + 4t; t) Mặt cầu (S) tiếp xúc mặt phẳng (P) <=> d(I, (P)) = 1 <=> 2(1 2t) (3 4t) 2t
3
= 1
<=> |2t – 1| = 3 <=> t = –1 hoặc t = 2 → I(–1; –1; –1) hoặc I(5; 11; 2)
phương trình mặt cầu (S) là: (x + 1)² + (y + 1)² + (z + 1)² = 1
hoặc (x – 5)² + (y – 11)² + (z – 2)² = 1
Câu 23 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: x 1 y z 2
và mặt phẳng (P): x – 2y + z = 0 Gọi C là giao điểm của ∆ với (P), M là điểm thuộc ∆ Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC = 6
(Khối A – 2010) CB
Đường thẳng Δ có vector chỉ phương là u = (2; 1; –1) và mặt phẳng (P) có vector pháp tuyến là n = (1; –2; 1) cos (u, n) = u.n 2 2 1 1
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (P) Suy ra cos CMH = |cos (u, n)| = 1/6
Trang 9Câu 24 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; –2) và đường thẳng ∆:
Tính khoảng cách từ A đến Δ Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ tại hai điểm B và C sao cho BC = 8
(Khối A – 2010) NC
Đường thẳng Δ đi qua điểm M(–2; 2; –3) và nhận u = (2; 3; 2) làm vector chỉ phương
Ta có MA = (2; –2; 1) và [u, MA] = (7; 2; –10)
d(A, Δ) = [u, MA] 49 4 100
= 3 Gọi (S) là mặt cầu tâm A cắt Δ tại B, C sao cho BC = 8
Bán kính của (S) là R = AB = 2 BC 2
[d(A, Δ)] ( )
2
Vậy phương trình mặt cầu (S) là x² + y² + (z + 2)² = 25
Câu 25 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0;
c) trong đó b, c dương và mặt phẳng (P): y – z + 1 = 0 Xác định b, c biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) là 1/3
(Khối B – 2010) CB
Phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng x + y/b + z/c – 1 = 0
mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) nên 1/b – 1/c = 0 hay b = c
d(O, (ABC)) = 1/3 <=>
3
1 1 / b 1 / c
suy ra 1 + 2/b² = 9
<=> b² = 1/4 <=> b = 1/2 (vì b > 0) Vậy b = c = 1/2
Câu 26 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆: x y 1 z
Xác định tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến Δ bằng OM
(Khối B – 2010) NC
Δ đi qua A(0; 1; 0) và nhận u = (2; 1; 2) làm vector chỉ phương
M thuộc Ox, có dạng M(m; 0; 0) → AM = (m; –1; 0)
Suy ra [u, AM] = (2; 2m; –2 – m)
d(M, Δ) = u, AM 5t2 4t 8
Ta có: d(M, Δ) = OM <=> 5m2 4m 8 m
3
<=> m² – m – 2 = 0
<=> m = –1 hoặc m = 2 → M(–1; 0; 0) hoặc M(2; 0; 0)
Trang 10Câu 27 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z 3
= 0 và (Q): x y + z 1 = 0 Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và
(Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2
(Khối D – 2010)
(P) nhận nP = (1; 1; 1) làm vector pháp tuyến
(Q) nhận nQ = (1; –1; 1) làm vector pháp tuyến
P Q
[n , n ] = (2; 0; –2) = 2(1; 0; –1)
mặt phẳng (R) vuông góc với (P), (Q) nên nhận n = (1; 0; –1) làm vector pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng (R) có dạng là x – z + D = 0
Ta có d(O, (R)) = 2 → D 2
2 <=> D = 2 2 Vậy mặt phẳng (R) có phương trình x – z + 2 2 = 0 hoặc x – z – 2 2 = 0
Câu 28 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng Δ1:
x 3 t
y t
z t
và
Δ2: x 2 y 1 z
Tìm tọa độ điểm M thuộc Δ
1 sao cho khoảng cách từ M đến Δ2
là 1
(Khối D – 2010)
Tìm tọa độ điểm M thuộc Δ1 sao cho khoảng cách từ M đến Δ2 là 1
M thuộc Δ1 → M(3 + t; t; t) Δ2 đi qua A(2; 1; 0) và nhận u = (2; 1; 2) làm vector chỉ phương
→ AM = (1 + t; t – 1; t), [u, AM] = (–t + 2; 2; t – 3)
d(M, Δ2) = [u, AM 2t2 10t 17
suy ra 2t² – 10t + 17 = 9
<=> t² – 5t + 4 = 0 <=> t = 1 hoặc t = 4
Vậy M(4; 1; 1) hoặc M(7; 4; 4)