Phương trình ñư3ng th%ng IH ñưVc cho bci:.
Trang 1Bài 1: Trong không gian v i h t a ñ Oxyz , cho m t c u (S): x2+y2+z2−2x+4y+2z− = và m t 3 0 ph%ng (P): 2x− +y 2z−14= 0
a Vi*t phương trình m t ph%ng (Q) ch/a tr0c Ox và c1t (S) theo m t ñư3ng tròn có bán kính b9ng 3
b Tìm t a ñ ñi:m M thu c m t c u (S) sao cho kho=ng cách t> M ñ*n m t ph%ng (P) l n nh@t
Gi i:
a Vi*t phương trình m t ph%ng (Q)
( ) : (S x−1) +(y+2) +(z+1) = có tâm I(1; 2; 1) và bán kính R = 3 9
M t ph%ng (Q) c1t (S) theo ñư3ng tròn có bán kính R = 3 nên Q ch/a I
(Q) có c p vectơ chH phương là: OI =(1; 2; 1),− − i=(1; 0; 0)
⇒ Vectơ pháp tuy*n cJa (Q) là: n =(0; 1; 2)−
Phương trình cJa (Q) là: 0.(x−0) 1(− y−0) 2(+ z−0)= ⇔ −0 y 2z= 0
b Tìm t a ñ ñi:m M thu c m t c u sao cho kho=ng cách l n nh@t
G i d là ñư3ng th%ng ñi qua I và vuông góc v i (P) ðư3ng th%ng d c1t (S) tOi hai ñi:m A, B
NhSn xét: n*u d A p( ; ( ))≥d M P( , ( )) thì d(M,(P)) l n nh@t khi M ≡ A
Phương trình ñư3ng th%ng d: 1 2 1
x− = y+ = z+
−
T a ñ giao ñi:m cJa d và (S) là nghi m cJa h :
Gi=i h ta tìm ñưVc giao ñi:m A( 1; 1; 3), B(3; 3; 1)
Ta có: d A P( , ( ))= ≥7 d B P( , ( ))= 1
VSy kho=ng cách t> M ñ*n (P) l n nh@t khi M( 1; 1; 3)
Bài 2: Cho m t c u (S): x2+y2+z2−2x−2y−2z+ = 2 0
Xét vZ trí tương ñ[i cJa ñi:m A ñ[i v i m t c u (S) trong các trư3ng hVp sau:
a ði:m A(1; 1; 0) b ði:m 1;1;1
2
A
c ði:m A(3; 5; 0)
Gi i:
a ði:m A(1; 1; 0) ⇒P A S/( ) = + − − + = ⇒ A n9m trên m t c u 1 1 2 2 2 0
b ði:m 1;1;1
2
A
A S
P
⇒ = + + − − − + < ⇒ A n9m trong m t c u
BÀI GI NG 11
TÌM T A ð ðI M M THU C M T C U
(HƯ(NG D,N GI.I BÀI T1P T3 LUY7N)
Trang 2c ði:m A(3; 5; 0) ⇒P A S/( ) = +9 25 6 10 2− − + > ⇒ A n9m ngoài m t c u 0
Bài 3: Tìm t a ñ ñi:m M thu c m t c u (S): x2+y2+z2− = sao cho kho=ng cách MA ñOt giá trZ l n 1 0 nh@t, nh_ nh@t, bi*t:
a A(1; 0; 0)
b A(1; 1; 0)
Gi i:
Xét m t c u (S), có tâm O(0; 0; 0) và bán kính R = 1
a) ði:m A(1; 0; 0) ⇒P A S/( ) = ⇔ n9m trên m t c u 0 A
Khi ñó:
• MA nh_ nh@t = 0, ñOt ñưVc khi M ≡ A
• MA l n nh@t = 2R ñOt ñưVc khi M ≡M1( 1; 0; 0)− là ñi:m ñ[i x/ng v i A qua O
b ði:m A(1; 1; 0) ⇒P A S/( ) > ⇔ n9m ngoài m t c u 0 A
• Phương trình ñư3ng th%ng AO cho bci:
x y z
(0; 0; 0)
(1;1; 0)
0
x t qua O
vtcp OA
z
=
=
• Gi= sd (AO)∩( )S ={M M1; 2} Thay phương trình cJa (AO) vào phương trình cJa (S) ta ñưVc:
2
; ; 0 & 2 1
1
1 0
; ; 0 & 2 1
Khi ñó, v i ñi:m M thu c (S) ta có:
▪ MA min = Min {M A M A =1 , 2 } 2 1,− ñOt ñưVc khi M ≡M1
▪ MA max = Max {M A M A =1 , 2 } 2 1,+ ñOt ñưVc khiM ≡M2
Bài 4: Cho m t c u (S): x2+y2+z2−2x−4y+2z+ = Tìm t a ñ ñi:m M thu c (S) sao cho kho=ng 5 0 cách t> M ñ*n (d) ñOt giá trZ l n nh@t, nh_ nh@t Bi*t:
a
1
:
1
d y t
z
= −
=
= −
b
1
1
2
z
= +
= −
= −
Gi i:
Trang 3M t c u (S) có tâm I(1; 2; 1) và bán kính R = 1
a G i a là m t vectơ chH phương cJa d, ta có: a ( 1; 1; 0)
G i H là hình chi*u vuông góc cJa I lên (d) ⇒H∈ do ñó: d
(1 ; ; 1) ( ; 2; 0)
H −t t − ⇒IH = −t t−
Vì IH ⊥ ⇔a IH a = ⇔ − − + − = ⇔ = 0 t( 1) t 2 0 t 1
Suy ra H(0;1; 1),− IH = − −( 1; 1; 0) &IH = 2 > = 1 R
• Phương trình ñư3ng th%ng (IH) ñưVc cho bci:
1
x t qua H
vtcp IH
z
=
• Gi= sd: IH∩( )S ={M M1; 2} B9ng cách thay ; ;x y z t> phương trình tham s[ cJa IH vào phương trình
cJa (S), ta ñưVc: 1,2 1 1
2
t = ±
Suy ra: 1 1 1 ; 2 1 ; 1 1 2 1
M + + − ⇒ M H = +
M − − − ⇒ M H = −
Khi ñó, v i ñi:m M thu c mc(S) ta có d(M, d) = MH và:
▪ MH min = Min (M1H; M2H) = 2 1− , ñOt ñưVc khi M ≡M2
▪ MH max = Max (M1H; M2H) = 2 1+ , ñOt ñưVc khi M ≡M1
b G i a là m t vectơ chH phương cJa d, ta có: a (1; 1; 0)
G i H là hình chi*u vuông góc cJa I lên (d) ⇒H∈ do ñó: d
H +t − −t ⇒IH = t −t
2
IH ⊥ ⇔a IH a= ⇔t + −t − + = ⇔ = t
Suy ra (1; 2; 1), (0; 0; ) &1 1 1
Xác ñZnh M ñ: MH min
Gi= sd: ( )d ∩( )S ={A B; } B9ng cách thay ; ;x y z t> phương trình tham s[ cJa IH vào phương trình cJa
(S), ta ñưVc: 1,2 3
8
t = ±
V i ñi:m M thu c (S) ta có d(M, (d) min = 0, ñOt ñưVc khi M ≡ ho c M A ≡ B
• Xác ñZnh M ñ: MH max
Phương trình ñư3ng th%ng (IH) ñưVc cho bci:
Trang 41
x qua H
vtcp IH
=
• Gi= sd: IH∩( )S ={M M1; 2} B9ng cách thay ; ;x y z t> phương trình tham s[ cJa IH vào phương trình
cJa (S), ta ñưVc:t1,2 = ± 1
Suy ra: 1( ) 1
1 1; 2; 0
2
M ⇒M H=
3 1; 2; 2
2
M − ⇒M H =
Khi ñó, v i ñi:m M thu c mc(S) ta có d(M, d) = MH và:
▪ MH max = Max (M1H; M2H) =3
2, ñOt ñưVc khi M ≡M2 =(1; 2; 2)−
Bài 5: Cho m t c u (S): x2+y2+z2−2x−2y−2z− = Tìm t a ñ ñi:m M thu c (S) sao cho kho=ng 1 0 cách t> M ñ*n mp(P) ñOt giá trZ l n nh@t, nh_ nh@t Bi*t:
a (P): x+2y+2z+ = 4 0
b (P): 3x−4y− = 9 0
c (P): 2x−2y− − = z 2 0
Gi i:
M t c u (S) có tâm I(1; 1; 1) và bán kính R = 2
a) Kho=ng cách t> I t i mp(P) ñưVc cho bci:
1 2 1 4
1 4 4
d I mp P + + + R
+ +
G i (d) là ñư3ng th%ng th_a mãn:
1
( )
1 2
qua I
d mp P
= +
Gi= sd d∩( )S ={M M1; 2} B9ng cách thay ; ;x y z t> phương trình tham s[ cJa (d) vào phương trình cJa
(S), ta ñưVc: 1,2 2
3
t = ±
Suy ra: 1 5 7 7; ; 1 ( 1, ( )) 5
3 3 3
M ⇒ = d d M mp P =
M − − ⇒d =d M mp P =
Khi ñó, v i ñi:m M thu c (S) ta có:
▪ d(M, (P)) min = Min{d d1; 2}= , ñOt ñưVc khi 1 M ≡M2
▪ d(M, (P)) max = Max{d d1; 2}= , ñOt ñưVc khi 5 M ≡M1
b Kho=ng cách t> I t i mp (P) ñưVc cho bci:
Trang 53 4 9
9 16
d I mp P − − R
+
G i (d) là ñư3ng th%ng th_a mãn:
1 3
( )
1
qua I
d mp P
z
= +
Gi= sd d∩( )S ={M M1; 2} B9ng cách thay ; ;x y z t> phương trình tham s[ cJa (d) vào phương trình cJa
(S), ta ñưVc: 1,2 2
5
t = ±
Suy ra: 1 11; 3;1 1 ( 1, ( )) 1
M − ⇒d =d M mp P =
1 13
5 5
M − ⇒d =d M mp P =
Khi ñó, v i ñi:m M thu c (S) ta có:
▪ d(M, (P)) min = Min{d d1; 2}= , ñOt ñưVc khi 0 M ≡M2
▪ d(M, (P)) max = Max{d d1; 2}= , ñOt ñưVc khi 2 M ≡M1
c) Kho=ng cách t> I t i mp (P) ñưVc cho bci:
2 2 1 2
1 4 4
d I mp P − − − R
+ +
Xác ñZnh M ñ: MH min
V i ñi:m M thu c (S) ta có: d(M, P) = 0, ñOt ñưVc khi M∈( )C =( )S ∩( )P , có phương trình:
x y z
Xác ñZnh M ñ: MH max
G i (d) là ñư3ng th%ng th_a mãn:
1 2
( )
1
qua I
d mp P
z t
= +
Gi= sd d∩( )S ={M M1; 2} B9ng cách thay ; ;x y z t> phương trình tham s[ cJa (d) vào phương trình cJa
(S), ta ñưVc: 1,2 2
3
t = ±
Suy ra: 1 7; 1 1; 1 ( 1, ( )) 1
3 3 3
M − ⇒d =d M mp P =
1 7 5
3 3 3
M − ⇒d =d M mp P =
Khi ñó, v i ñi:m M thu c (S) ta có:
▪ d(M, (P)) max = Max{d d1; 2}= , ñOt ñưVc khi 3 M ≡M2
Giáo viên: Tr%n Vi't Kính Ngu.n : Hocmai.vn