DABTTL su tuong giao ham trung phuong

Các bài đ c tô màu đ là các bài t p m c đ nâng cao

Bài 1 Cho hàm s : yx42m x2 21(1)

CMR: V i m i giá tr c a m thì đ ng th ng y = x + 1 luôn c t đ th hàm s (1) t i 2 đi m phân bi t

Gi i

S giao đi m c a 2 đ th t ng ng v i s nghi m c a ph ng trình:

x  m x    x x x  m x  (*)

0

x







Ph ng trình (*) có m t nghi m x = 0

Ta s ch ng minh ph ng trình 3 2

x  m x  (**) có đúng m t nghi m x  0 v i m i giá tr c a m

- N u m = 0 thì (**) tr thành x3– 1 = 0  x = 1 => Ph ng trình (*) có đúng 2 nghi m

- N u m  0 t 3 2

f x x  m x Hàm s này liên t c trên R và ta có f(0) (1)f  ( 1).2m20=> Ph ng trình f(x) = 0 có nghi m thu c kho ng (0;1)

M t khác f x( )3x22m2   0 x R=> f(x) là hàm đ ng bi n trên R

Nh v y ph ng trình (**) có v trái luôn đ ng bi n còn v ph i là h ng s nên nghi m thu c (0, 1) nói trên là duy nh t

V y (*) luôn có 2 nghi m phân bi t v i m i m (đi u ph i ch ng minh)

 nh lý SGK l p 11 (H qu c a đ nh lý v giá tr trung gian c a hàm s liên t c)

N u hàm s f(x) liên t c trên [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì t n t i ít nh t m t đi m C a b, sao cho f(c) = 0 (t c c là nghi m c a ph ng trình f(x) = 0)

Bài 2 Cho hàm s : y  x4 2mx22m1 (Cm)

Tìm m đ (Cm) c t tr c hoành t i 4 đi m, t o thành 3 đo n th ng có đ dài b ng nhau (4 đi m có hoành đ

l p thành 1 c p s c ng)

Gi i

– (Cm) c t Ox t i 4 đi m phân bi t thì ph ng trình:

x  mx  m  (1) ph i có 4 nghi m phân bi t

2

     (2) ph i có 2 nghi m d ng phân bi t (đ t 2

x X X )

Áẫ ÁN BÀI T P T LUY N

Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH NG

Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng S t ng giao c a đ th hàm trùng ph ng thu c

khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn s d ng hi u

qu , B n c n h c tr c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này

2 ' 0

1

m b

a

m m

P

a

        





- G i nghi m c a (1) là x1, x2, x3, x4 (x1 < x2 < x3 < x4)

G i nghi m c a (2) là X1, X2 (X1 < X2 )

Và g i 4 giao đi m đó theo th t là A, B, C, D

=> A(x1,0), B(x2,0), C(x3,0), D(x4,0)

4 đi m này t o thành 3 đo n th ng có đ dài b ng nhau

 AB = BC = CD

     

Mà theo Viet ta l i có:

2 1

2

2

m



2

5

9

m

m







 



Bài 3 Cho hàm s yx42(m1)x22m1

Tìm m đ hàm s c t Ox t i 3 đi m phân bi t có hoành đ nh h n 3

Gi i

Xét ph ng trình hoành đ giao đi m : 4 2

x  m x  m 

t t x2 (t0) thì ( 1) tr thành : f t( ) t2 2(m1)t2m 1 0

Hàm s c t Ox t i 3 đi m phân bi t có hoành đ nh h n 3

( ) 0

f t

  có 2 nghi m phân bi t t t1; 2 sao cho : 1 2

t t

  



   

 Xét (2)

2

2 (0) 2 1 0

m

m

 Thay m vào ph ng trình ta th y (2) th a mãn

Xét (3) : ( ) 0 1

t

f t





 , do đó (3)   0 1 9 2m   1 m 4

2

m   m

Bài 4 : Cho hàm s y f x( )x4mx3(2m1)x2mx1

Xác đ nh m sao cho đ th hàm s c t tr c hoành t i hai đi m phân bi t có hoành đ l n h n 1

Gi i

Xét ph ng trình hoành đ giao đi m : 4 3 2

x mx  m x mx 

t t x 1; '( ) 1t x 12 0

     , do đó khi x 1 t x( )t(1) 0

Bây gi (2) có d ng : t2mt(2m 1) 0 (3)

V y đ (1) có hai nghi m l n h n 1, ph ng trình (3) ph i có hai nghi m d ng

2

2

4(1 2 ) 0

1

1

2



yx  m x  m Tìm m đ đ ng th ng y  c1 t đ ng cong trên t i

4 đi m phân bi t, trong đó có 2 đi m có hoàng đ l n h n 1

2

Gi i

ng th ng y  c t đ ng cong trên t i 4 đi m phân bi t khi và ch khi ph ng trình : 1

x  m x  m  có 4 nghi m phân bi t, đi u đó x y ra khi và ch khi ph ng trình :

t2(3m2)t3m 1 0 có 2 nghi m d ng và l n h n 1

4

T c là :

1

2

1 1 4

1 1

4

0

t

m

m m

  







Bài 6: Cho hàm s yx42(m1)x22m1

Tìm m không âm đ hàm s c t tr c Ox t i 4 đi m có hoành đ là : x x x x1; 2; 3; 4 sao cho :

x x x x đ t giá tr nh nh t

Gi i

Xét ph mg trình hoành đ giao đi m : 4 2

x  m x  m 

t t x2, t0 thì (1) thành : ( ) 2 2( 1) 2 1 0 1

t





 (vì m không âm)

x x x x  t t   m    m

Do đó t ng này đ t giá tr nh nh t là 4 khi m 0

V y m = 0

ÁP ÁN M T S BÀI T P THAM KH O THÊM

Bài 1 Cho hàm s : yx42m x2 2m42m (1), v i m là tham s

Ch ng minh đ th hàm s (1) luôn c t tr c Ox t i ít nh t hai đi m phân bi t, v i m i m < 0

B n đ c t gi i

Bài 2 Cho hàm s 4 2

yx  x  Tìm s th c d ng a đ đ ng th ng yac t (C) t i hai đi m A, B sao cho tam giác OAB vuông t i g c t a đ O

H ng d n gi i:

Hoành đ giao đi m c a đ ng th ng y a v i (C) là nghi m c a ph ng trình 4 2

x  x  a, hay

x  x   a (1)

Rõ ràng v i m i a  ph0 ng trình (1) có hai nghi m th c trái d u, ngh a là đ ng th ng yac t (C) t i hai đi m phân bi t A x a v B x a x( A; ) à ( B; ), A xB

Ta có: xAxB 0 (2) àv OA(x a OBA; ), (x aB; )

Theo gi thi t tam giác OAB vuông t i O nên OA OB  0

hay x xA Ba2 0

K t h p v i (2) ta đ c xA a x; B a Do x xA, B là nghi m c a (1) nên

a43a2   a 2 0 (a2)(a32a2    a 1) 0 a 2 (vì a > 0)

V y a = 2 th a mãn đi u ki n bài toán

Bài 3: (D-2009) Cho hàm s y = x4– (3m + 2)x2+ 3m có đ th là (Cm), m là tham s

Tìm m đ đ ng th ng y = -1 c t đ th (Cm) t i 4 đi m phân bi t đ u có hoành đ nh h n 2

H ng d n gi i:

Ph ng trình hoành đ giao đi m c a (Cm) và đ ng th ng y = - 1: 4 2

x  m x  m 

t tx t2, 0; ph ng trình tr thành: 2

t  m t m    ho c t 1 t3m 1

Yêu c u c a bài toán t ng đ ng: 0 3 1 4

m m





1

    

Bài 4: Cho hàm s : yx42(m1)x22m1 có đ th là (Cm)

Tìm m đ đ th (Cm) c t tr c hoành t i 4 đi m phân bi t có hoành đ l p thành c p s c ng

H ng d n gi i:

Xét ph ng trình hoành đ giao đi m: 4 2

x  m x  m 

t tx t2, 0 thì (1) : f t( ) t2 2(m1)t2m 1 0

(Cm) c t Ox t i 4 đi m phân bi t thì ( ) 0f t  ph i có 2 nghi m d ng phân bi t

(1)



2

m

m

     

    

V i (*), g i t1t2 là 2 nghi m c a ( )f t 0, khi đó hoành đ giao đi m c a (Cm) v i Ox l n l t là

x   t x   t x  t x  t

1; 2; 3; 4

x x x x l p thành c p s c ng x2 x1 x3x2 x4x3  t2 9t1

9

m







9

m  

Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph ng

Ngu n : Hocmai.vn