SKKN Tính chia hết

Cuộc cách mạng về phương pháp giáo dục phải hướng vào người học, rèn luyện và phát triển khả năng suy nghĩ, khả năng giải quyết vấn đề một cách năng động,độc lập sáng tạo ngay trong quá

PHẦN THỨ NHẤT :

NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG CỦA ĐỀ TÀI

1 TÊN ĐỀ TÀI

Hướng dẫn giải dạng “toán chia hết” trong chương trình toán THCS

2 TÍNH CẤP THIẾT CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

2.1 Lí do về mặt lí luận:

Nghị quyết hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành Trung ưng Đảng Cộng SảnViệt Nam (khoá VII, 1993) đã chỉ ra:

Mục tiêu GD – ĐT phải hướng vào đào tạo những con người lao động, tựchủ, sáng tạo có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đĩ mà gĩpphần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh, xã hộicơng bằng văn minh

Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng Sản ViệtNam (khĩa VII, 1997) khẳng định rõ hơn

Cuộc cách mạng về phương pháp giáo dục phải hướng vào người học, rèn luyện

và phát triển khả năng suy nghĩ, khả năng giải quyết vấn đề một cách năng động,độc lập sáng tạo ngay trong quá trình học tập ở nhà trường phổ thơng Áp dụngnhững phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duysáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề

Điều 24 Luật giáo dục (1998) viết: Phương pháp giáo dục phổ thơng phải pháthuy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc điểmcủa từng lớp học, mơn học

RajaRoy singh trong cuốn “Nếu giáo dục cho thế kỷ XXI Những trển vọng củaChâu Á – Thái Bình Dương” đã khảng định

Để đáp ứng được những địi hỏi mới được đặt ra cho sự bùng nổ kiến thức vàsáng tạo kiến thức mới, cần phải phát triển năng lực tư duy, năng lực giải quyếtvấn đề và tính sáng tạo Các năng lực này cĩ thể quy gọn về năng lực giải quyếtvấn đề

Khả năng giáo dục của môn Toán rất to lớn, nó có khả năng phát triển tưduy lôgíc, khái quát hoá, phân tích tổng hợp, so sánh dự đoán, chứng minh vàbác bỏ Nó còn có vai trò rèn luyện phương pháp suy nghĩ, suy luận,…

Ơû bậc trung học cơ sở việc dạy dạng “toán chia hết” cho học sinh là rất cầnthiết nhằm mục đích phát triển cho học sinh đầy đủ các yếu tố nêu trên

Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán THCS”

2.2 Lí do về mặt thực tiễn:

Thực tiễn dạy và học bộ môn Toán ở Trường THCS Tân Thanh – Lâm Hàcó nhiều vấn đề phải quan tâm, giải quyết lâu dài, kỹ năng giải toán, các phépbiến đổi cơ bản, phương pháp giải toán, của học sinh khối 6 còn yếu rất nhiều,theo cuộc điều tra về việc giải toán của học sinh hai lớp sáu vừa qua thì có tớihơn 50% học sinh đạt điểm dưới trung bình Còn các lớp trên cũng được liệt kêrất nhiều học sinh yếu toán Vậy vấn đề đặt ra là nếu chúng ta cứ lo phụ đạohọc sinh yếu toán mà không chăm lo bỗi dưỡng học sinh học khá, giỏi môn toánthật là một thiệt thòi lớn đối với các em vấn đề này phải thực hiện song songvới nhau Nhận thức vấn đề trên, Tôi muốn truyền đạt cho các em nhiều dạngtoán để cung cấp cho các em những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo để giải toán,…Một trong dạng toán đó là “Dạng toán chia hết”

3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

Hướng dẫn giải dạng toán “chia hết” cho học sinh khá, giỏi trong chươngtrình toán bậc trung học cơ sở

4 PHẠM VI NGHIÊN CỨU.

Thời gian nghiên cứu từ 10 tháng 9 năm 2005 đến 25 tháng 11 năm 2006.Địa điểm tại trường THCS Tân Thanh gồm các khối lớp 6 đến lớp 9

5 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.

Giúp các em học sinh nắm chắc các phương pháp giải dạng toán “chia hết”,hình thành cho các em các kỹ năng suy luận, biến đổi, nhận dạng và thể hiệntốt lời giải bài toán

PHẦN THỨ II:

NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

Phương pháp giải toán:

Là toàn bộ những thủ thuật toán được sắp xếp theo trình tự nhất định vàvận dụng sáng tạo để tìm ra kết quả bài toán

Thủ thuật : Phép giải mang tính linh hoạt, hợp lí, sáng tạo để giải quyết

một khâu hay cả bài toán

Giải bài toán:

Là việc làm tìm ra ẩn số, tức tìm ra đáp số của bài toán Muốn tìm ra ấn sốphải là một quá trình suy luận Chính vì thế nên gọi việc giải toán là một quátrình hoạt động trí tuệ của học sinh

Trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán giáo viên cũng phải truyềnthụ cho học sinh những tri thức phương pháp để học sinh biết cách học, biếtcách suy luận, vận dụng cái đã biết để tìm những kiến thức mới có tính chấtthuật toán Đặc biết khi hướng dẫn giải toán giải toán cần coi trọng phươngpháp có tính chất tìm tìm đoán, và ngầm thể hiện cho học các bước giải toáncủa “Polya” Học sinh cần được rèn luyện các thao tác tư duy, phân tích, tổnghợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự, quy lạ về quen Trong chương trìnhtoán (THCS), có rất nhiều dạng toán thể hiện mục tiêu trên, một trong số đó códạng “Toán chia hết” là một trong số các dạng toán quan trọng trong chươngtrình toán THCS Nó có mặt nhiều trong các lần kiểm tra định kỳ, thi học kỳ, thihọc sinh giỏi, thi vào trường chuyên, lớp chất lượng cao, và một số đề thi cấpHuyện, Tỉnh ,… Điều này còn được thể hiện ở chỗ lượng bài tập trong sách giáokhoa, sách bài tập khá nhiều và rất phong phú Dạng toán chia hết được đề cậpngay từ học kỳ I của lớp 6 và nó trải xuyên suốt cả chương trình toán THCS và

ở mỗi khối học, yêu cầu về mặt kiến thức cũng khác nhau, mức độ yêu cầucũng khác nhau Nhưng kiến thức đòi hỏi có sự kế thừa, cái này là cơ sở của cáikia, chúng bổ trợ cho nhau Chính điều này yêu cầu người học phải nắm chắcđược kiến thức cơ bản, được cụ thể hoá trong từng bài và tóm tắt trong từngchương của sách giáo khoa từng khối lớp, biết vận dụng linh hoạt các phươngpháp để giải quyết tốt được bài tập dạng này Có thể nói rằng dạng “toán chiahết” luôn là dạng toán khó đối với học sinh và không ít học sinh cảm thấy sợkhi học dạng toán này

Hửụựng daón giaỷi daùng “Toaựn chia heỏt” trong chửụng trỡnh Toaựn THCS”

Laứ moọt giaựo vieõn daùy toaựn toõi muoỏn caực em chinh phuùc ủửụùc noự, vaứ khoõngchuựt ngaàn ngaùi khi gaởp daùng toaựn naứy Nhaốm giuựp cho caực em phaựt trieồn tử duysuy luaọn, oực phaựn ủoaựn, kyừ naờng trỡnh baứy linh hoaùt Hệ thống các bài tập tôi đa

ra đều từ dễ đến khó, bên cạnh đó còn có các bài tập nâng cao cho học sinh giỏi ợng bài tập áp dụng tơng tự cũng tơng đối nhiều, neõn caực em coự theồ tửù hoùc, tửùchieỏm lúnh tri thửực thoõng qua heọ thoỏng baứi taọp aựp duùng naứy điều đó giúp các emhứng thú học tập hơn rất nhiều

L-II THệẽC TRAẽNG CUÛA VAÁN ẹEÀ

Daùng toaựn “Chia heỏt” ủửụùc ủeà caọp trong saựch giaựo khoa ngay tửứ ủaàu lụựp 6ủeỏn lụựp 9, vaứ moói lụựp coự yeõu caàu khaực nhau neõn laứm cho ngửụứi hoùc vaứ ngửụứidaùy raỏt vaỏt vaỷ nhaỏt laứ caực em hoùc sinh khoỏi 8 vaứ khoỏi 9 Thoõng thửụứng khi daùydaùng toaựn naứy giaựo vieõn laùi phaỷi nhaộc laùi caực kieỏn thửực cụ baỷn hoùc ụỷ lụựp dửụựilaứm maỏt raỏt nhieàu thụứi gian cho tieỏt daùy Kyừ naờng bieỏn ủoồi ủeồ laứm xuaỏt hieọn caựcyeỏu toỏ chia heỏt trong bieồu thửực soỏ hay bieồu thửực ủaùi soỏ cuỷa caực em coứn chửa linhhoaùt, coự nhửừng baứi toaựn raỏt ủụn giaỷn maứ caực em bieỏn ủoồi chửựng minh raỏt daứidoứng vaứ phửực taùp, thửùc chaỏt neỏu caực em naộm chaộc caực phửụng phaựp giaỷi daùngtoaựn chia heỏt thỡ chửựng minh raỏt ủụn giaỷn Trong quaự trỡnh giaỷng daùy nhieàu giaựovieõn khoõng hay ủeồ yự tụựi daùng toaựn naứy, vỡ daùng toaựn naứy thửụứng ủửụùc ủaởt dửụựibaứi toaựn cuù theồ trong saựch giaựo khoa neõn khoõng nghú ủoự laứ troùng taõm cuỷa baứi.Beõn caùnh ủoự neỏu coự giaỷi thỡ cuừng chửa yeõu caàu hoùc sinh laứm theõm trong saựchbaứi taọp hay ra ngoaứi phaùm vi saựch giaựo khoa ủeồ reứn luyeọn kyừ naờng, phaựt trieồn tửduy cho hoùc sinh Maởt khaực taứi lieọu tham khaỷo vieỏt veà daùng toaựn naứy haàu nhửkhoõng coự trong thử vieọn nhaứ trửụứng, caực chuỷ ủeà tửù choùn cuừng chửa ủửụùc giaựovieõn naứo ủeà caọp tụựi maứ yeõu caàu veà boài dửụừng hoùc sinh gioỷi laùi coự daùng toaựn “Chia heỏt” trong chửụng trỡnh Tửứ nhửừng suy nghú ủoự vaứ thửùc teỏ giaỷng daùy toõi ủaừmaùnh daùn vieỏt ủeà taứi naứy

III GIAÛI QUYEÁT VAÁN ẹEÀ

A Cụ sụỷ lyự thuyeỏt

Để học sinh học tốt, làm tốt đợc dạng “Toán chia hết ” này tôi trang bị cho các

em nội dung kiến thức sau, đó là nền tảng, là cơ sở để áp dụng giải các bài tập dạngnày

1.Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, một tích.

- Nếu 

m b

m a





m b

a 



- Nếu 

m b

m a





m b

m a



  b a m

- Nếu a m anm (n là số tự nhiên)

2.Dấu hiệu chia hết cho 2; 4; 5; 6; 3; 9; 8.

* Dấu hiệu chia hết cho 2 là: Một số chia hết cho 2 khi và chỉ chi số ấy có chữ

Hửụựng daón giaỷi daùng “Toaựn chia heỏt” trong chửụng trỡnh Toaựn THCS”

*Có thể nhân từng vế các đồng d thức có cùng mô đun Tức là: Nếu a  b (modm) , c  d ( mod m) thì ac  bd (mod m)

4 Nguyên tắc đirichlê:

Nội dung nguyên tắc này đợc phát biểu dới dạng bài toán sau: Nếu nhốt n thỏvào m lồng (với n > m) nghĩa là số thỏ nhiều hơn số lồng thì ít nhất cũng có mộtlồng nhốt không ít hơn 2 con thỏ

Bửụực 1: Giaỷ sửỷ ngửụùc laùi P sai

Bửụực 2: Tửứ giaỷ sửỷ P sai, chuựng ta suy ra ủieàu voõ lyự

Bửụực 3: ủieàu voõ lyự ủoự chửựng toỷ raống P khoõng sai, tửực laứ khaỳng ủũnh P ủuựng

B Caực daùng toaựn

Trong phaàn naứy toõi chia theo tửứng daùng ủeồ deó daứng cho ngửụứi daùy vaứ ngửụứihoùc tham khaỷo, lửùa choùn moọt soỏ baứi ủeồ cho hoùc sinh laứm tửứ deó ủeỏn khoự Moọt baứicoự theồ vaọn duùng theo nhieàu caựch khaực nhau, phaựt trieồn cho hoùc sinh tớnh linhhoaùt trong quaự trỡnh giaỷi toaựn

1 Dạng1: Tìm các chữ số cha biết của một số

Bài toán 1: Tìm các chữ số a và b sao cho 19ab chia hết cho 5 và chia hết cho8

Để tìm đợc a và b học phải thấy đợc 2 dấu hiệu cơ bản đó là số đó chia hết cho 5

và cho 8

Vì 19ab chia hết cho 5 nên chữ số tận cùng b = 0 hoặc b = 5

Vì 19ab chia hết cho 8 nên suy ra b = 0

Mặt khác 19a0 chia hết cho 8 suy ra 19a0chia hết cho 4

0

19a chia hết cho 4  a0 chia hết cho 4 suy ra a  0, 2, 4, 6, 8}

Ta có 19a0 chia hết cho 8  9a0 chia hết cho 8 nên a = 2 hoặc a = 6

Hửụựng daón giaỷi daùng “Toaựn chia heỏt” trong chửụng trỡnh Toaựn THCS”

Từ (**) suy ra 9q  28 (q>1) Vậy q = 2 hoặc q = 3

nguyên hay a + q – 2 8+Nếu q = 2 thì a = 0 hoặc a = 8

Vì 1234ab chia hết cho 8 và cho 9 nên 1234ab chia hết cho 72

Vậy 64 + ab chia hết cho 72 Vì 64 < 64 + ab 163 nên 64 + ab bằng 72hoặc 144

+ Nếu 64 + ab = 72 thì ab = 08

+ Nếu 64 + ab = 144 thì ab = 80

KL: Vậy các số thoả mãn đề bài là: 123480, 123408

Bài toán 5: Tìm các số a,b sao cho:

1) a – b = 4 và 7a5b1 chia hết cho 32) a – b = 6 và 4a7 + 1b5 chia hết cho 9

2) 4a7 + 1b5 chia hết cho 9 khi và chỉ khi ( 4 + a + 7 + 1 + b + 5 ) chia hếtcho 9 hay ( a + b + 8 ) chia hết cho 9

Bài 2 : Tìm chữ số x để x1994 chia hết cho 3 nhng không chia hết cho 9

HD: Vì x1994 chia hết cho 3  (x + 1 + 9 + 9 + 4) chia hết cho 3

Hay (x + 25) chia hết cho 3

HD: Tổng các chữ số của 1994 là 23 khi chia cho 3 thì d 2

Nếu viết k lần số 1994 liên tiếp nhau thì tổng các chữ số của số nhận đợc cócùng số d với 2k khi chia cho3.Để số nhận đợc chia hết cho 3 thì 2k phải chia hếtcho 3, nên số nhỏ nhất là 3, tức là ít nhất phải viết 3 lần số 1994 liên tiếp nhau

Bài 4 : Tìm 3 chữ số tận cùng của tích 4 số tự nhiên liên tiếp khác không, bết

rằng tích này chia hết cho 125 Tích này nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

HD: Tích 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 8 thì tích 4 số tự nhiên liên tiếpcũng chia hết cho 125 nên 3 chữ số tận cùng là 000

Trong tích của 4 số tự nhiên tiếp không thể có 2 số chia hết cho 5 nên phải cómột số chia hết cho 125

Tích nhỏ nhất là: 125.126.127.128

Dạng 2: Chứng minh chia hết đối với biểu thức số.

Hửụựng daón giaỷi daùng “Toaựn chia heỏt” trong chửụng trỡnh Toaựn THCS”

Bài toán 1:Chứng minh rằng: 21 39 + 39 21 chia hết cho 45.

Nh vậy: 2139 + 3921 = 10K + 1 + 9 = 10K + 10 chia hết cho 5

Nh vậy 2139 + 3921 chia hết cho 20; do đó 2139 + 3921 chia hết cho 5 (*)Tơng tự ta chứng minh 2139 + 3921 chia hết cho 9

KL: Vậy 2139 + 3921 chia hết cho 45

Bài toán 2: Chứng minh rằng: 43 43 - 17 17 chia hết cho 5

Vì 174 có chữ số tận cùng là 1 nên (174)4 cũng có chữ số tận cùng là chữ số 1hay 1716 có chữ số tận cùng là 1

Suy ra: 1716.17 có chữ số tận cùng là 7

Hai số 4343 và 1717có chữ số tận cùng giống nhau nên 4343 - 1717 có chữ sốtận cùng là chữ số 0

KL: Vậy 4343 - 1717 chia hết cho 5

Bài toán 3: Cho A = 2 + 2 2 + 2 3 + … + 2 60

Chứng minh rằng: A chia hết cho 3,7 và 15.

Chứng minh rằng C chia hết cho 5

Bài 3 Chứng minh rằng A chia hết cho B với

A = 13 + 23 + 33 + …+ 993 + 1003

B = 1 + 2 + 3 + …+ 99 + 100

Dạng 3: Chứng minh chia hết đối với biểu thức chứa chữ

Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán THCS”

*C¸ch 1: V× (2,3) = 1 nªn chØ cÇn chøng minh n3 – n chia hÕt cho 2 vµ chiahÕt cho 3

Ta cã n3 – n = n(n2 – 1) = n(n + 1)(n - 1)

Mµ n, n + 1, n – 1 lµ 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp nªn n(n + 1)(n - 1)2

MỈt kh¸c: n cã thĨ biĨu diƠn thµnh mét trong c¸c d¹ng sau 3k, 3k + 1, 3k +2 (k

 Z)

+ NÕu n = 3k th× n3 – n = (3k)2- 3k = 3k (9k2 – 1) 3

+ NÕu n = 3k + 1 th× n3 – n = n(n + 1)(n - 1) =3k(3k + 1)( 3k + 2) 3

+ NÕu n = 3k + 2 th× n3 – n = n(n + 1)(n - 1) = (3k + 1)( 3k + 2)( 3k + 3) = 3(k + 1)( 3k + 1)( 3k + 2) 3 KL: VËy n3 – n 6 víi n nguyªn

*C¸ch 2: NÕu n lµ sè nguyªn th× chØ cã thĨ biĨu diƠn thµnh mét trong c¸c d¹ng

sau 6p, 6p + 1, 6p + 2, 6p + 3, 6p + 4, 6p + 5 ( do phÐp chia mét sè cho 6)

C¸ch 3: Ta chøng minh n3 – n chia hÕt cho 2 vµ chia hÕt cho 3

NÕu n  0 (mod 2) th× n3 – n  03 – 0  0 (mod 2)

NÕu n  1 (mod 2) th× n3 – n  13 – 1  0 (mod 2)

Nh vËy víi n nguyªn, n3 – n  0 (mod 2) nghÜa lµ n3 – n chia hÕt cho 2

MỈt kh¸c:

+ NÕu n  0 (mod 3) th× n3 – n  03 – 0  0 (mod 3)

+ NÕu n  1 (mod 3) th× n3 – n  13 – 1  0 (mod 3)

+ NÕu n  2 (mod 3) th× n3 – n  23 – 2  0 (mod 3)

Víi n nguyªn n3 – n  0 (mod 3) nghÜa lµ n3 – n chia hÕt cho 3

KL: VËy n3 – n chia hÕt cho 6 víi n nguyªn

Bµi to¸n 2: Chøng minh r»ng 2n + 

nchuso

1

11 - n chia hÕt cho 9.

Ta cã: 2n + 

nchuso

1

11 = 3n + (

nchuso

1

99 - 9n + 27n = 9(

nchuso

1

11 - n) + 27n

Mµ 27n chia hÕt cho 27 nªn (

nchuso

1

11 - n) chia hÕt cho 9 suy ra 9(

nchuso

1

VËy 10n + 18 n-1 chia hÕt cho 27

Bµi to¸n 4: Víi mäi n nguyªn d¬ng chøng minh:

B = 7n +3n -1chia hÕt cho 9

C¸ch 1: (Dïng ph¬ng ph¸p chøng minh quy n¹p)

+NÕu n = 1 th× B = 7 + 3 - 1 = 9 9

Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán THCS”

Bµi 1: Chøng minh rằng :

a)-10n + 72n -1 chia hÕt cho 91

b)- 22n +15n-1 chia hÕt cho 9 víi mäi n nguyªn d¬ng

Bµi 2: Chøng minh r»ng víi mäi n tù nhiªn th×:

Hửụựng daón giaỷi daùng “Toaựn chia heỏt” trong chửụng trỡnh Toaựn THCS”

Bài toán đợc chứng minh

Bài toán 5: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì.

= (34)k+1 -1+ 16k = 81k+1 -1 +16k V× hiÖu (81k+1 -1)  80 nªn (81k+1 -1)  16VËy víi n lÎ th× 4 32n+2 + 32b – 36  64

KÕt luËn: VËy víi mäi sè tù nhiªn n; 4(32n+2+8n -9)  64

Bµi to¸n 6: Chøng minh tæng k sè nguyªn liªn tiÕp (k lÎ) th× chia hÕt cho k.

Gäi k sè nguyªn liªn tiÕp lµ n, n+1, n+2, … N+k-1

1 1 (k  k 

= kn +

2

) 1 ( k k

Hửụựng daón giaỷi daùng “Toaựn chia heỏt” trong chửụng trỡnh Toaựn THCS”

Nh vậy kn +

2

) 1 ( k k

= kn + kp =k(n+p)

Điều naứy chứng tỏ rằng khi k lẻ, tổng k số nguyên liên tiếp  k

+Chú ý: Đây là bài toán tổng quát, từ bài toán này ta có thể yêu cầu học sinh

chứng minh các trờng hợp riêng của bài toán tổng của ba, năm, bảy,… Số nguyênliên tiếp thì  cho 3,5,7,…

Bài toán 7: Chứng minh rằng tích của k số nguyên liên tiếp thì  k

Cách 1: Gọi k số nguyên lẻ liên tiếp là : a, a+1, a+2, … , a+ k -1

Tích của chúng là : a (a+1) (a+2)… ( a+k -1)

Ta cần chứng minh : a (a+1) (a+2) ….(a+1 -1)  k

+Nếu a  k thì bài toán đã giải xong

+Nếu a không chia hết cho k thì a=qk +r ( 0<r<k)

Thừa số (a+k+r) có mặt trong tích đang xét và a+k-r=qk+r+k-r

=k(q+1)  k Điều đó chứng tỏ rằng trong tích đang xét luôn luôn tồn tại một

Khi đó (a+h) – (a+l) k hay k-l k Vô lý vì 0 < h  l < k

+Chú ý: Từ bài toán này có thể đa ra các trờng hợp riêng của bài toán đã quenthuộc đối với học sinh đó là: Chứng minh tích hai, ba, bốn, năm… số nguyên liêntiếp  2,3,4,5……

Bài toán 8: Cho a và b là các số nguyên, hãy chứng minh rằng:

Nếu 2a +3b  17 thì 9a + 5b  17 và đảo lại

Giải:

Chứng minh: Nếu (2a +3b)  17 thì 9a +5b  17

Nếu (2a+3b)  17 thì 8(2a+3b) 17

Rõ ràng (34a +34b)  17