SKKN Tinh chia het(09-10)

Phơng trình vô tỉ là một dạng phơng trình đã đợc đề cập trong chơng trình toán THCS, nó là một nội dung đợc sử dụng nhiều trong việc bồi dỡng học sinh giỏi, học sinh năng khiếu.. Qua thờ

Trang 1

Lời nói đầu

Toán học có vị trí, vai trò quan trọng trong khoa học kỹ thuật và đời sống, nó giúp học sinh tiếp thu một cách dễ dàng các môn khoa học khác có hiệu quả

Trong bộ môn toán phơng trình đợc coi là có vị trí quan trọng trong suốt chơng trình toán học ở THCS Phơng trình vô tỉ là một dạng phơng trình đã

đợc đề cập trong chơng trình toán THCS, nó là một nội dung đợc sử dụng nhiều trong việc bồi dỡng học sinh giỏi, học sinh năng khiếu Tuy nhiên vấn

đề này đa vào chơng trình THCS một cách cha tờng minh, ít tài liệu viết về phơng pháp giải phơng trình này, vì vậy học sinh tiếp cận nó còn gặp nhiều khó khăn

Qua thời gian giảng dạy, bồi dỡng học sinh giỏi, tự đúc rút kinh nghiệm của bản thân, đợc sự giúp đỡ của đồng nghiệp, các em học sinh ở trờng THCS Thanh Uyên nhiệt tình giúp đỡ để tôi thực nghiệm hoàn thành sáng

kiến kinh nghiệm Một số ph“ ơng pháp giải phơng trình vô tỉ trong chơng trình toán THCS” Hy vọng đây là tài liệu tham khảo bổ ích cho đồng

Vì vậy , đối với những ngời làm công tác giáo dục luôn luôn phải chăm

lo đến chất lợng dạy và học, luôn học hỏi, trau rồi những kinh nghiệm, tìm ra những phơng pháp, hình thức giảng dạy, phù hợp với trình độ và khả năng nhận thức của học sinh , nhằm tạo cho học sinh niềm say mê , hứng thú trong học tập Trong lĩnh vực giảng dạy toán ở trờng THCS dạng toán :Giải phơng trình vô tỉ là một mảng kiến thức hay , khó và phong phú, nó có mặt trong nhiều chơng trình bồi dỡng, thi vào các lớp 10 THPT chuyên Đặc biệt

đối với các thầy giáo , cô giáo khi bồi dỡng học sinh giỏi, học sinh năng khiếu nó càng thiết thực hơn.Muốn tạo điều kiện tốt nhất giúp các em tự tin khi học tập thì thầy , cô giáo cần phải cung cấp cho các em đầy đủ những kiến thức cơ bản nhất,giúp các em định

hớng cho mình những dạng toán cơ bản để có thể vận dụng vào giải toán Vì vậy mỗi giáo viên nói chung và giáo viên giảng dạy bộ môn toán nói riêng phải luôn luôn tìm tòi, sáng tạo, đổi mới phơng pháp dạy học để đáp ứng với chủ chơng đổi mới của Đảng và Nhà nớc đặt ra

Trong chơng trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về giải phơng trình vô tỉ không nhiều song lại rất quan trọng, đó là những tiền đề cơ bản

để học sinh học nâng cao môn toán và tiếp tục học lên ở THPT

Trang 3

Khi giải các bài toán về: Giải phơng trình vô tỉ đòi hỏi học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về :Khái niệm phơng trình vô tỉ, các dạng phơng trình vô tỉ, các kiến thức bổ trợ Học sinh biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo… …các kiến thức, kỹ năng từ đơn giản đến phức tạp

“Một số phơng pháp giảii phơng trình vô tỉ ” giúp học sinh có đợc phơng pháp giải phơng trình vô tỉ nhanh, chính xác , ngắn gọn ngoài ra qua tìm hiểu phơng pháp giải toán này giúp học sinh phát triển

t duy, phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo trong giải toán Đồng thời giáo dục t tởng, ý thức, thái độ, lòng say mê học toán cho học sinh

2 Cơ sở thực tiễn:

Phơng trình vô tỉ là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó, nhiều học sinh không biết giải phơng trình vô tỉ nh thế nào?, có những phơng pháp giải nào?

Các bài toán về phơng trình vô tỉ là một dạng toán hay và khó, có nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT Tuy nhiên, các tài liệu viết về vấn đề này rất hạn chế hoặc cha hệ thống thành các phơng pháp nhất định gây nhiều khó khăn trong việc học tập của học sinh, cũng nh trong công tác tự bồi dỡng của giáo viên

Mặt khác, việc tìm hiểu các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ hiện nay còn ít giáo viên nghiên cứu

Vì vậy việc nghiên cứu các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ là rất thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung và xác định đợc phơng pháp giảng dạy phần này đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lợng dạy và học, đặc biệt

là chất lợng học sinh giỏi và giáo viên giỏi ở các trờng THCS

Ngời thực hiện: trần quốc đạt-tổ khtn trờng THCs thanh uyên - Tam Nông- Phú Thọ

=============================================

Trang 4

II Mục đích nghiên cứu

+ Nghiên cứu về Ph“ ơng pháp giải phơng trình vô tỉ trong chơng trình toán THCS”: Giúp cho giáo viên nâng cao năng lực tự nghiên cứu, đồng thời

vận dụng tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết Từ đó có phơng pháp dạy học phần này có hiệu quả

+ Nghiên cứu vấn đề này để nắm đợc những thuận lợi, khó khăn khi dạy học phần phơng trình vô tỉ trong bồi dỡng học sinh khá giỏi, từ đó định hớng nâng cao chất lợng dạy và học môn toán

+ Nghiên cứu vấn đề này còn giúp giáo viên có t liệu tham khảo và dạy thành công về phơng trình vô tỉ

Trang 5

III Nhiệm vụ nghiên cứu

1 Nghiên cứu về tình hình dạy và học vấn đề này ở nhà trờng

2 Hệ thống hoá một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ

3 Tìm hiểu mức độ và kết quả đạt đợc khi triển khai sáng kiến kinh nghiệm

4 Phân tích rút ra bài học kinh nghiệm

Ngời thực hiện: trần quốc đạt-tổ khtn trờng THCs thanh uyên - Tam Nông- Phú Thọ

=============================================

Trang 6

IV Phạm vi và đối tợng nghiên cứu

1 Đối tợng nghiên cứu:

a Các tài liệu có liên quan đến giải phơng trình vô tỉ

b Giáo viên, học sinh khá giỏi,học sinh năng khiếu ở trờng THCS Thanh Uyên( 20 em học sinh lớp năng khiếu)

2 Phạm vi nghiên cứu:

a.Thời gian : từ tháng 2 năm 2006 đến tháng 2 năm 2007

b Các phơng pháp để giải giải phơng trình vô tỉ ở THCS

V Phơng pháp nghiên cứu

1 Phơng pháp nghiên cứu tài liệu

2 Phơng pháp điều tra, khảo sát

3 Phơng pháp thử nghiệm

4 Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm

Phần II: nội dung

Trang 7

Chơng I: Thực trạng vấn đề cần nghiên cứu

I Thực trạng qua điều tra 1- Về giáo viên:

- ý thức chấp hành quy chế chuyên môn tốt

- Có ý thức rèn luyện nâng cao tay nghề

-Có ý thức tìm tòi mua sắm, nghiên cứu tài liệu

-Những năm gần đây phong trào dạy và học học sinh năng khiếu, học sinh giỏi có những chuyển biến tích cực

- Không còn có tình trạng giáo viên trung bình chủ nghĩa, chậm tiến hoặc không tập trung vào chuyên môn

2- Về học sinh:

- Các em nhận thức còn rất chậm, nhiều em ý thức tự học tập, tự nghiên cứu cha cao

- Đa số các em không có tài liệu tham khảo, không có đủ những tài liệu cần thiết tối thiểu đáp ứng cho vấn đề học nâng cao kiến thức

- Nhiều em học sinh không thích học toán nâng cao và phát triển nhất

là chuyên đề giải phơng trình vô tỉ các em lại càng không thích học hơn

*/ Qua điều tra thăm nắm tình hình khi dạy vấn đề này của giáo viên trong việc bồi dỡng học sinh giỏi, bồi dỡng học sinh năng khiếu nhận thấy còn nhiều giáo viên lúng túng, gặp khó khăn khi tiếp cận các bài toán giải phơng trình vô tỉ trong các đề thi học sinh giỏi, giáo viên giỏi, thi vào lớp 10, trong các tài liệu tham khảo…

*/ Qua điều tra tình hình học của học sinh nhận thấy học sinh nắm bắt vấn

đề này cha tốt, cảm thấy rất khó, nhiều bài toán trong các đề thi cha giải đợc, thờng mắc các sai lầm, cha chặt chẽ hoặc không tìm đợc lời giải khoa học

II Kết quả khảo sát đội tuyển học sinh giỏi lớp 9

năm học 2005 - 2006

Đề khảo sát

(Thời gian làm bài 90 phút) Tổng số học sinh tham gia: 5 em

Trang 9

Giải các phơng trình sau:

1 1 2

2 5 21 10 5 7 6 3

1 2 4 2 2

1 5

4 4

3

2 2

2

=

− +

−

−

−

= + + +

+ +

=

−

− +

x x x

x x

x

x x

x x

* Khái niệm: Phơng trình vô tỉ là phơng trình đại số chứa ẩn trong dấu

căn thức (ở đây tôi chỉ đề cập đến những phơng trình mà ẩn nằm dới dấu căn bậc hai và căn bậc ba)

* Phơng trình vô tỉ rất phong phú và đa dạng, hớng chung để gải quyết phơng trình vô tỉ là làm cho phơng trình đợc chuyển về dạng hữu tỉ

Ngời thực hiện: trần quốc đạt-tổ khtn trờng THCs thanh uyên - Tam Nông- Phú Thọ

=============================================

(2,5 điểm) (2,5 điểm) (2,5 điểm) (2,5 điểm)

1)

2)

3)

4)

0 )(

)(

)(

xg xf xg

xf xg xf

0 1 5

0 1

x x

−+

−

=

−

2 2

2

)72()21315

(4

072

21315

272

)15)(

23(215231

x x

x x

x x

x

x x

x x

(1)

Trang 11

7

; 1

0 ) 7 )(

1 (

0 ) 7 )(

1 (

2 7

1

2 7 1

2 1

3

3 3 3 3

3 3

⇔

=

− +

⇔

=

− + +

⇔

=

− + +

⇔

x x

x x

x x

x x

x x

3 Chú ý:

- Khi bình phơng hai vế của phơng trình cần chú ý điều kiện hai vế

cùng dơng

- Trớc khi lên luỹ thừa cần biến đổi phơng trình về dạng thuận lợi nhất

để hạn chế các trờng hợp hoặc có lời giải ngắn gọn

4 Bài tập tơng tự: Giải các phơng trình sau:

Sử dụng phép bình phơng:

10 5

2 1

7 7

2 2 1 6

8 2

1 8 4

2 2

2

2 2

2

+

− +

= +

− +

=

− +

−

+

=

− + + +

−

=

−

x x

x x

x x

x x x

x x

x x

x x x

Sử dụng phép lập phơng:

1 1

1

1 1

3 1

5 1 1

3 2 2 1

3 3

3 3

3

3 3

3

3 3

3

=

− + +

−

= + + +

=

− + +

−

=

− +

−

x x

x x

x

x x

x

x x

x

II Phơng trình đa về phơng trình chứa ấn

trong dấu giá trị tuyệt đối

)

( ) ( )

x f

x

f x f x

1) 2) 3) 4)

1) 2) 3) 4)

0 ) (x ≥

f

0 ) (x <

f

(1)

1 3 2 2

=

−

− +

−

−

⇔

x x

x x

Cách 1: Chia các trờng hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức | a | + | b |≥| a + b |, dấu “=” xảy ra khi

+ Có những phơng trình cần phải biến đổi mới có dạng trên

4 Bài tập áp dụng: Giải các phơng trình sau:

2 2 5 2 2 5

2 3 2

2 1 1

2 1 2 1

2

2 2

2 2

=

−

−

− +

− +

= +

− + + +

x x

x x

x x x

x

x x x

(1)

⇔

= +

⇔

= +

−

⇒

≥

= +

−

2 5 5 2 5 5

0 5 5

4 9 5 2 4 4

9 5 0

9 5

0 4

11 2

5 9

5

2 2 2

2 2

2

2 2

x x

x x

x x

y

y y

y x

x y

x x

x x

x

4

1 2

+ + x x x

Giải:

0 7 4 4

2 ) 2

1 ( 4 1 4 1

0 4

1 4 1

2

2 2

2

=

− +

⇔

= + +

−

≥

y y

y y

y x

y x

0 2

1 2 2

y y

2 2

2

1 2 2 4 1

⇒

x x

Vậy nghiệm của phơng trình là: x= 2 − 2

Ví dụ 6: Giải phơng trình: 3 x+ 1 + 3 x+ 2 + 3 x+ 3 = 0

Giải:

y y

y

y x

−

= + +

−

⇔

= +

3 3

3 3 3

1 1

1

y y

y

y y y

Ngời thực hiện: trần quốc đạt-tổ khtn trờng THCs thanh uyên - Tam Nông- Phú Thọ

Trang 14

1 1

2 0

2 0

6 6

3 6 2 3

⇔

=

y y y

y

x x

2 4

15 2 2 4

28 ) 2 4 ( 2 15 2 ) 1 (

2

15 0

15 2

+

= +

− +

= +

y y

x y

x x

x x

+

= +

+

= +

+

= +

15 2 )2 4(

15 2 )2 4(

15 2 )2 4(

15 2 )2 4(

2 2 2 2

x y

y x

x y

y x

Trừ vế với vế của (4) và (5) ta đợc: (x−y)( 8x+ 8y+ 9 ) = 0

0 11 14 16

y x y

x x

0 35 72 64

9 8 8

0 9 8 8

x x

x y

y x

221 9

x

x

16

221 9

2 1

e dx v ux r b ax

+

= +

+ + +

= +

3 3

) 3 2 ( 5 2

) 3 2 ( 5 3

) 3 2 ( 5 2

) 3 2 ( 5 3

5 3 3 2

2 )

3 2 ( 5 3 ) 1 (

x x

y

y x

x x

y

y x

x y

x x

x

Trừ vế với vế của (3) và (4) ta đợc:

0 ) 1 )(

(x−y P2 +Q2 +P Q+ =

3 2

3 2

y P

(5)

Trong đó :

v ux Q

v uy P

rQ rPQ rP

x y u

Trang 16

lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1)

2

3 5

; 2

3 5

; 2

0 ) 11 20 8

)(

2 (

) 5 (

0 1

3 2

1 2

2 2

−

= +

=

=

⇔

= +

x x

x

x x

x

y x

Q P Q P

1

2 2

3 2

2

3 3

=

−

⇒

= +

⇒

≥

= +

z x z

x

y x y x

3 2 1 0 3

3

3 2

x z y z

y z

z y

VÝ dô 10: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2

2

1 1

Trang 17

2

3 1

;

= x x

2 ,1 2

2 2

2

S P

S P P S

P S

3 Chú ý:

* Giải phơng trình vô tỉ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ giúp ta giải đợc nhiều bài toán khó, tuy nhiên để đặt cái gì làm ẩn phụ và có mấy ẩn phụ thì phải biết nhận xét và tìm mối liên quan giữa các biểu thức trong phơng trình, liên quan giữa các ẩn

* Cần phải có kỹ năng giải phơng trình và hệ phơng trình

4 Bài tập áp dụng:

20 2

1 13

10 2 3 2

3

1 2 5

2

3 3

2 2

−

x x x x

x x x x

x x

Điều kiện:

(I)

Trang 18

3 3

2

2 3

2 3

2 3

2 3 3 2

5 3

4

5 13 4

1 3

1 1 2

1 1 1

) 2 ( 2 1 5

4 6 2 8 3

−

= +

−

= +

=

− +

−

=

− +

−

+

= +

+

−

= +

x x

x x

x

x x

x

x x

x x x

x

x x

x x x

Nếu: F(x) ≥ k, dấu đẳng thức xảy ra khi x = a

G(x) ≤ k, dấu đẳng thức xảy ra khi x = b

5 9 4 9 ) 1 ( 5 4 ) 1 ( 3

2 2

2 2

≤ +

≥ + + + + +

x x

x

x x

Do đó cả hai vế đều bằng 5 khi x = - 1, với giá trị này cả hai bất đẳng thức trên đều là đẳng thức

Vậy x = - 1 là nghiệm của phơng trình

* Ví dụ 13: Giải phơng trình: 6 −x+ x+ 2 =x2 − 6x+ 13 (1)

Giải:

2 2 1 2 2 2 1 2 2 1

1

b

a b

a

= ).

4 4 ) 3 ( 13 6 2

2 6

4 2 6

1 1 2 6

2 2

2 2

≥ +

−

= +

− +

≤ + +

−

x x

x x

x x

x x x

x

Dấu “=” xảy ra khi x = 3

Vậy phơng trình vô nghiệm

c Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

* Ta chỉ ra nghiệm cụ thể và chứng minh đợc các trờng hợp khác của ẩn không là nghiệm của phơng trình

* Ví dụ 14: Giải phơng trình: 3 x− 2 + x+ 1 = 3 (1)

Giải:

Ta thấy x = 3 nghiệm đúng phơng trình

+ Với x > 3 thì 3 x− 2 > 1 , x+ 1 > 2 ⇒ vế trái của (1)lớn hơn 3

Ngời thực hiện: trần quốc đạt-tổ khtn trờng THCs thanh uyên - Tam Nông- Phú Thọ

Trang 20

, thoả mãn (2)

+ Với - 1 ≤ x < 3 thì 3 x−2 <1 , x+1<2⇒ vế trái của (1) nhỏ hơn 3

Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phơng trình

d Sử dụng điều kiện xảy ra dấu = ở bất đẳng thức không chặt.“ ”

* Ví dụ 15:

1 4 1

− x

x x

≥ +

>

a

b b a

x

2 1 4 1

− x

x x

x

3 2

0 1 4

1 4

x x

Vậy nghiệm của phơng trình là: x= 2 ± 3

e Bài tập áp dụng:

665 1

3 82

665

1225 1

4 3

16

5

2 4 ) 5 3 )(

1 ( 2 3 1

.

4

1 2

6

3

5 13 4 6

12 3

2

27 10 6

4

1

2

2 2

2 2

−

− +

+ +

−

−

−

= +

= +

− + +

−

z y

x z

y x

x x

x x x

x

x x x

y y x

x

x x x x

Trang 21

+ Không chú ý đến điều kiện có nghĩa của căn thức

+ Không đặt điều kiện để biến đổi tơng đơng

* Để giải phơng trình vô tỉ thành thạo thì các kiến thức sau cần nắm vững

+ Các phép biến đổi căn thức

+ Các phép biến đổi biểu thức đại số

+ Các kiến thức và phơng pháp giải các phơng trình và hệ phơng trình.+ Các kiến thức về bất đẳng thức…

Chơng III: thử nghiệm

Ngời thực hiện: trần quốc đạt-tổ khtn trờng THCs thanh uyên - Tam Nông- Phú Thọ

=============================================

5 4 13 1 3

0 1 1

2

3 2 2 1

1 1

2

3 3

2

3 3

−

=

− + +

x x x

x x x

x x

x

x x

x

x x

(2 ®iÓm) (2 ®iÓm)

Trang 23

I Bài học kinh nghiệm

* Phơng trình vô tỉ là một dạng toán không thể thiếu đợc trong chơng trình bồi dỡng học sinh giỏi THCS Nếu chỉ dừng lại yêu cầu trong sách giáo khoa thì cha đủ, vì vậy đòi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo thờng xuyên bổ xung kiến thức và tích luỹ kinh nghiệm về vấn đề này

* Để dạy cho học sinh hiểu và vận dụng tốt phơng pháp giải phơng trình vô tỉ thì bản thân mỗi giáo viên phải hiểu và nắm vững về phơng trình vô tỉ: Các dạng phơng trình vô tỉ, phân biệt sự khác nhau giữa phơng trình vô tỉ với các dạng phơng trình khác, đồng thời phải nắm vững các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ

* Qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho bản thân nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ, giúp cho việc bồi dỡng học sinh giỏi có hiệu quả, ngoài ra còn giúp bản thân nâng cao phơng pháp tự học, tự nghiên cứu

để có thể tiếp tục nghiên cứu các vấn đề khác tốt hơn trong suốt quá trình dạy học của mình

II Kiến nghị và đề xuất

1 Đối với tổ chuyên môn:

Ngời thực hiện: trần quốc đạt-tổ khtn trờng THCs thanh uyên - Tam Nông- Phú Thọ

=============================================

2 Đối với nhà trờng:

+ Tạo điều kiện thuận lợi để giáo viên đợc nghiên cứu, tự học

+ Hỗ trợ kinh phí để giáo viên có đủ tài liệu và các phơng tiện trong quá trình nghiên cứu

+ Động viên, khen thởng kịp thời những sáng kiến kinh nghiệm có chất lợng, áp dụng có hiệu quả

ảnh hởng đến vấn đề tiếp thu kiến thức ở các lớp trên Để thực hiện tốt công tác giảng dạy, đặc biệt là công tác bồi dỡng học sinh giỏi ngời thầy phải th-ờng xuyên học hỏi, học tập, nghiên cứu.

Trong quá trình giảng dạy, học sinh học tập, học bồi dỡng, đọc tài liệu tham khảo tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nêu trên Hy vọng sáng kiến…

kinh nghiệm Một số ph“ ơng pháp giải phơng trình vô tỉ” làm một kinh

nghiệm của mình để giúp học sinh tiếp thu vấn đề này, phần nào nâng cao năng lực t duy, sự sáng tạo và rèn kỹ năng giải các phơng trình vô tỉ cho học sinh

Trong quá trình nghiên cứu không thể tránh khỏi sai sót, hạn chế rất mong đợc sự giúp đỡ, góp ý của đồng nghiệp để SKKN của tôi có tính khả thi hơn

Để hoàn thành SKKN này tôi xin đợc cảm ơn:

*/ Tổ KHTN trờng THCS Thanh Uyên

*/ BGH trờng THCS Thanh Uyên

*/Nhóm giáo viên dạy toán cụm chuyên môn liên trờng số 1

*/Học sinh năng khiếu, học sinh đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 năm học 2006-2007

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn.