Phân loại và hướng dẫn học sinh giải các bài tập liên quan đến tính chia hết

Lý do chọn đề tài Đối với học sinh lớp 6, trong chơng I "Ôn tập và bổ túc về số tự nhiên", sau 17 tiết ôn tập và bổ túc về tập hợp số tự nhiên và các phép tính trên tập hợp đó, ch -ơng t

I Phần mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài

Đối với học sinh lớp 6, trong chơng I "Ôn tập và bổ túc về số tự nhiên", sau

17 tiết ôn tập và bổ túc về tập hợp số tự nhiên và các phép tính trên tập hợp đó, ch

-ơng trình tiếp tục với 6 tiết về tính chất chia hết của một tổng và dấu hiệu chia hết Thực ra ở Tiểu học học sinh đã đợc học các dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9, nhờ các bảng chia nhng do cha học các tính chất chia hết của một tổng nên cha đủ cơ sở lý luận để giải thích đợc các dấu hiệu chia hết đó Các hạn chế đó đợc khắc phục ở lớp 6 Trong chơng I, dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5 học sinh đợc học trong một bài; dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9 cũng vậy, nhờ đó vừa giảm đợc một

số tiết học, vừa làm nổi bật nét chung của hai dấu hiệu chia hết

Tuy chỉ với 6 tiết đợc bố trí song những kiến thức đợc trang bị này có môt ý nghĩa rất lớn chúng làm cơ sở cho việc trình bày và tiếp thu nhiều kiến thức cơ bản

về sau nh: số nguyên tố - Hợp số, ƯC-BC, ƯCLN-BCNN, rút gọn, quy đồng so sánh, cộng trừ phân số ở lớp 6; phân tích đa thức thành nhân tử, quy đồng mẫu thức ở lớp 8 Mặt khác nó góp vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu về đa thức, phân thức ở môn đại số các lớp sau

Phần kiến thức này có một ý nghĩa đặc biệt là trang bị cho học sinh phơng pháp t duy có hệ thống, logic chặt chẽ, giúp học sinh phơng pháp suy luận mới từ

dự đoán -> chứng minh, từ phân tích -> tổng hợp, từ cụ thể -> khái quát Mở rộng khả năng đào sâu suy nghĩ, phát hiện và vận dụng những vấn đề mới có liên quan Rèn luyện khả năng sử dụng ngôn ngữ chính xác, bồi dỡng phát triển năng lực t duy, óc linh hoạt, tính độc lập và sáng tạo bớc đầu hình thành thói quen tự học, tự nghiên cứu, biết diễn đạt chính xác, khoa học ý tởng của mình và hiểu ý tởng của ngời khác

Chơng trình Số học 6 góp phần giúp học sinh chủ động khám phá kiến thức mới Khai thác những kiến thức cơ bản áp dụng vào việc hoàn chỉnh các bài toán liên quan bằng việc xây dựng quy trình suy luận có lý xuất phát từ những điều đã biết để đi đến kết quả cuối cùng

1.2 Tính cần thiết của đề tài

Trong quá trình giảng dạy tôi thấy có nhiều vấn đề nảy sinh: Học sinh lớp 6 mới chỉ tiếp cận với các phơng pháp suy luận cụ thể, giải quyết các bài toán đơn lẻ Suy luận logic còn hạn chế ảnh hởng đến năng lực tiếp thu và mở rộng kiến thức của học sinh trung bình, khá Đối với học sinh khá giỏi các em có nhu cầu đợc tìm hiểu những kiến thức cao hơn song sách giáo khoa cha đáp ứng (sách giáo khoa mới chỉ dừng ở các kiến thức cơ bản) Sử dụng những kiến thức này các em mới chỉ

giải quyết đợc những bài tập ứng dụng đơn thuần Đối với các bài tập đòi hỏi có sự suy luận và phát triển thì hầu hết học sinh gặp khó khăn Vì vậy các em thờng trình bày không rõ ràng, giải thích thiếu hệ thống các vấn đề Ví dụ: Học sinh sẽ gặp nhiều lúng túng khi giải quyết bài tập: Chứng minh rằng: Với mọi n  N thì số 5n

-14 hay chứng minh rằng số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27

Mặt khác sau chơng I, học sinh lại tiếp tục đợc làm việc với bài toán chia hết (ớc và bội) của số nguyên Vậy làm thế nào để vừa sử dụng tốt kiến thức cơ bản vừa khai thác sâu chúng để phát triển, mở rộng theo một hệ thống chặt chẽ giúp học sinh phát huy tích cực, chủ động tìm tòi vận dụng sáng tạo vào việc giải các bài tập

có nội dung liên quan, đồng thời dễ dàng tiếp thu kiến thức mới

Số học quả là mênh mông! Kiến thức thì vô tận! Trong phạm vi đề tài này tôi

trình bày một số kinh nghiệm của bản thân về "Phân loại và hớng dẫn học sinh

giải các bài tập liên quan đến tính chia hết" Hy vọng những kiến thức này sẽ

giúp đỡ phần nào cho các em trong quá trình vơn lên chinh phục những đỉnh cao kiến thức của nhân loại

1.3 Mục đích nghiên cứu đề tài

Dựa trên cơ sở khoa học và thực tiễn giảng dạy, để góp phần nâng cao chất l-ợng dạy và học trong giảng dạy tôi luôn có ý thức tìm ra biện pháp thích hợp và hiệu quả nhất bằng cách:

- Khắc sâu kiến thức cơ bản và mở rộng phát triển từ cái đã biết: Tính chất chia hết của một tổng, các dấu hiệu chia hết, sau đó khai thác hớng dẫn cho học sinh phát hiện tính chia hết có liên quan đến những kiến thức nào

- Hớng dẫn học sinh phân loại đợc các dạng bài tập khác nhau liên quan đến chia hết và giải chúng nh thế nào? Từ đó xây dựng lời giải hoàn thiện bằng hệ thống t duy logic chặt chẽ với mục đích là học sinh xây dựng đợc phơng pháp t duy tích cực trong học toán và giải toán Từ đó các em phấn khởi tự tin hình thành thói quen phân tích tổng hợp khi học toán

1.4 Đối t ợng, phạm vi, kế hoạch, thời gian nghiên cứu

4.1 Đối tợng nghiên cứu: Học sinh khối 6

4.2 Phạm vi nghiên cứu: Trong 2 lớp 6A1, 6A2 - Trờng THCS Mạo Khê 2 4.3 Thời gian nghiên cứu: 3 năm (2008 - 2010)

1.5 Đóng góp về mặt lý luân thực tiễn

Môn số học thực sự là một lĩnh vực có nhiều hấp dẫn chỉ từ những con số quen thuộc, đơn giản Song chúng đã tạo ra một thế giới đầy bí ẩn và có sức thu hút

kỳ diệu Nghiên cứu nó, ta thấy có nhiều tính chất hay, quy luật đẹp đến bất ngờ Vì vậy thông qua các bài tập liên quan đến tính chất chia hét, giúp học sinh phát huy đợc tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo trong học tập Đồng thời rèn

luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn Tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh

II Phần nội dung

II.1 Thực trạng vấn đề

II.1.1 Sơ lợc về trờng THCS Mạo Khê 2

Trường THCS Mạo Khờ II cú 1018 học sinh chia làm 28 lớp theo cỏc khối 6,7,8,9 mỗi khối 7 lớp Những vấn đề lớn nhà trường quan tõm là duy trỡ chất lượng đại trà hàng năm đó đạt: Tốt nghiệp 99 - 100% Lờn lớp 98% giữ vững chất lượng mũi nhọn 8 - 10% học sinh đạt học sinh giỏi cỏc cấp hàng năm Năm học

2008 - 2009 học sinh giỏi cấp huyện cú 43 em (lớp 9); Tỉnh cú 21 em (lớp 9) Giữ vững nề nếp kỷ cương trong dạy và học, tăng cường cỏc hoạt động giỏo dục ngoài giờ và quản lý học sinh đặc biệt là đưa cỏc nội dung dạy phỏp luật cú chất lượng hơn Thực hiện tốt một số chuyờn đề lớn như giỏo dục dõn số mụi trường -phũng chống ma tuý Phấn đấu theo khẩu hiệu nhà trường “Một địa chỉ tin cậy của nhõn dõn trong khu vực” Do đú với nhiệm vụ đỏp ứng nhu cầu bậc học trung học

cơ sở ở khu trung tõm thị trấn và phấn đấu đạt chuẩn quốc gia giai đoạn 2 của ngành Nhà trường phải tăng cường cơ sở vật chất: đến năm 2015 tăng 100% số phũng học (28 lớp), đủ cỏc phũng thiết bị bộ mụn Tiếp tục bồi dưỡng chuẩn hoỏ đội ngũ giỏo viờn đạt 50% đại học 2015 Tớch cực thực hiện đổi mới phương phỏp dạy học và tăng cường ứng dụng cụng nghệ thụng tin đỏp ứng việc đổi mới chương trỡnh THCS của Bộ

II.1.2 Một số thành tựu đạt đợc:

Sau khi giảng dạy về tính chất chia hết của một tổng và các dấu hiệu chia hết, HS ở hai lớp 6A1, 6A2 đã vận dụng thành thạo các tính chất và dấu hiệu chia hết vào giải các bài tập có liên quan Đặc biệt HS làm bài diễn đạt chính xác, có nhiều cách giải hay, lập luận logic, hợp lý các em hăng hái xây dựng bài, tạo ra các giờ học thoải mái, tiếp thu kiến thức một cách nhẹ nhàng, từ đó giúp các em thêm yêu bộ môn Toán hơn và bớc đầu hình thành khả năng vận dụng kíên thức toán học vào đời sống và các môn khoa học khác

II.1.3 Một số tồn tại và nguyên nhân

Học sinh ở 2 lớp 6A1, 6A2 học lực không đồng đều, còn một số học sinh cha chăm học: Trong lớp còn hay nói chuyện, ghi bài không đầy đủ, lời học bài và làm

bài tập Một số em này do hổng kiến thức từ cấp 1, gia đình thiếu quan tâm đôn

đốc, mải chơi => kết quả học tập cha cao

II.1.4 Vấn đề đặt ra

GV cần giúp học sinh suy đoán, suy diễn, hoạt động t duy để dẫn đến các tính chất chia hết, từ đó học sinh vận dụng dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9 vào các tình huống cụ thể của hoạt động giải toán Rèn luyện t duy linh hoạt sáng tạo: tìm thêm các cách giải khác và chọn cách giải tối u Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả hay phơng pháp cho các bài toán khác, đề xuất bài toán mới

II.2 á p dụng trong giảng dạy

II.2.1 Các bớc tiến hành

Qua khảo sát chất lợng đầu năm học, tôi thu đợc kết quả nh sau:

6A1

6A2

43 39

23 22

39.5%

53.3%

45.9%

28.9%

7.6%

15.3%

7%

2.5%

0 0

II.2.2 Bài dạy minh hoạ

1 Kiến thức cơ bản

1.1 Định nghĩa: Cho 2 số tự nhiên a; b (b  0) ta nói a chia hết cho b nếu

tồn tại số tự nhiên q sao cho a = b.q

1.2 Các tính chất

1.2.1 Tính chất chung:

1.2.1.1 Bất cứ số nào khác 0 cũng chia hết cho 1 và chính nó

1.2.1.2 Số 0 chia hết cho mọi số khác 0 1.2.1.3 Tính chất bắc cầu: a b và b  c thì a  c

1.2.2 Tính chất chia hết của tổng và hiệu:

1.2.2.1 a  m; b  m => a + b  m; a - b  m (a  b)

* Hệ quả: Nếu a + b  m và a  m thì b  m 1.2.2.2 a / m; b  m => a + b / m; a - b / m (a  b) 1.2.2.3 Tính chất chia hết của một tích

+ Nếu a  m => ab  m + Nếu b  m và b  n => ab  mn

* Hệ quả: Nếu a  b thì an bn

1.3 Một số dấu hiệu chia hết:

1.3.1 n  2  Chữ số tận cùng của n chẵn

=> n : 2 d r => n = 2k + r (kN), r = 0;1

1.3.2 n  5  Chữ số tận cùng của n là 0 hoặc 5

=> n : 5 d r => n = 5k + r (kN), r = 0;1;2;3;4

1.3.3 n  4  Số tạo bởi hai chữ số tận cùng của n chia hết cho 4

1.3.4 n  25  Số tạo bởi hai chữ số tận cùng của n chia hết cho 25.

1.3.5 n  8  Số tạo bởi ba chữ số tận cùng của n chia hết cho 8

1.3.6 n  2k  Số tạo bởi k chữ số tận cùng của n chia hết cho 2k

1.3.7 n  5k  Số tạo bởi k chữ số tận cùng của n chia hết cho 5k

1.3.8 n  3  Tổng các chữ số của n chia hết cho 3

1.3.9 n  9  Tổng các chữ số của n chia hết cho 9

n  9 => n  3 Điều ngợc lại không đúng 1.3.10 n  11 Tổng các  Tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ có hiệu chia hết cho 11

2 Nội dung các bài toán cụ thể liên quan đến tính chia hết 2.1 Bài toán về chữ số tận cùng:

2.1.1 Ví dụ 1: Cho A = 51n + 47102 ( n N) Chứng tỏ A  10

* H ớng dẫn : Mấu chốt của bài toán này là học sinh phải nắm đợc một số nh

thế nào thì chia hết cho 10 Trong trờng hợp này muốn chứng tỏ A  10 thì ta cần giải theo hớng đi tìm chữ số tận cùng của A Bài toán này trở về bài toán dạng: Tìm chữ số tận cùng của A Nếu A có chữ số tận cùng bằng 0 thì chứng tỏ A10

Ta có: 51n có tận cùng là 1

47102 = 47100 472 = (474)25.472 = ( 1).( 9) 0= số có tận cùng là 9

=> A = 1 + 9 có tận cùng là 0 nền A  10

2.1.2 Ví dụ 2 Cho A = 2 + 22 + 23 + +220

Tìm chữ số tận cùng của A

* H ớng dẫn : Bài toán này thuộc loại toán tìm chữ số tận cùng của tổng các

luỹ thừa của 2 nên ta phải xét xem tổng đó có đặc điểm gì? Tìm chữ số tận cùng bằng cách nào?

* Lời giải: Bài tập này có nhiều cách giải, song nên hớng dẫn học sinh theo

hai cách cơ bản sau:

* Cách 1:

A = (2 + 22 + 23 + 24) + (25 + +28)+ +(217 + 218+219+220)

= (2 + 22 + 23 + 24) + (1 + 24 + +216)

= 30(1 + 24 + +216)

Mà 30  10 => A  10 => A có tận cùng là 0

* Cách 2:

A = 2 + 22 + 23 + +220

=> 2A = 22 + 23+ + 221

2A - A = 221 - 2

A = 221 - 2 = (24)5.2 - 2

A = 165.2 - 2 = 2 - 2 = số có tận cùng là 0

* Nhận xét: Bản chất đều là dạng toán: Tìm chữ số tận cùng, giải quyết thông qua

tính chất chia hết

Hai bài toán có yêu cầu ngợc nhau: Để có sự chia hết phải tìm chữ số tận cùng ( Ví dụ 1) Để biết chữ số tận cùng phải xét tính chia hết (ví dụ 2) Tuy nhiên bản chất hai bài toán này đều là xác định chữ số tận cùng

Để thành thạo loại toán này đòi hỏi học sinh phải xác dịnh đợc chữ số tận cùng của một luỹ thừa, một tích từ đó định hớng cách giải

2.2.3 Bài toán t ơng tự

2.2.3.1 - Cho A = 119 + 118 + 117 + + 11 + 1 Chứng minh rằng A chia hết cho 5

* H ớng dẫn : Tìm chữ số tận cùng của A bằng cách nhóm các số hạng rồi chứng

minh A có tận cùng là 0 nên chia hết cho 5

2.2.3.2 Chứng minh rằng: n  N thì n2 + n + 6 / 5

* H ớng dẫn : Lu ý n2 + n = n(n+1), tích 2 số tự nhiên liên tiếp chỉ tận cùng bằng 0; 2; 6

=> n2 + n + 6 chỉ tận cùng bằng 6; 8; 2 /5

2.2.3.3 Chứng tỏ rằng: 175 + 244 - 1321  10

* H ớng dẫn : Tơng tự nh ví dụ 1

2.2 Bài toán về số nguyên tố

Ngoài các tính chất đã nêu ở trên, với các kiến thức về số nguyên tố, nguyên tố cùng nhau ta cần chú ý thêm một số tính chất về chia hết sau:

1) Nếu một tích chia hết cho số nguyên tố p thì tồn tại một thừa số của tích chia hết cho p

* Hệ quả: an+  p => a p

2) Nếu ab  m ; (b,m) = 1 => a  m

2.2.1 Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên n sao cho 18n + 3  7

* H ớng dẫn :

* Cách 1: 18n + 3  7

 14n + 4n + 3  7

 4n + 3  7

 4n + 3 - 7 7

 4n -7 7

 4(n - 1)  7 Do (4;7) = 1 nên n - 1  7 Vậy n = 7k + 1 (n N)

* Cách 2: 18n + 3  7

 18n + 3 - 21 7

 18n -18  7

 18(n -1)  7

Do (18;7) = 1 => n = 7k + 1 ( k N)

Đây là bài tập không khó Nó khắc sâu cho học sinh các tính chất chia hết có tổng (hiệu) mối quan hệ giữa số nguyên tố, các số nguyên tố cùng nhau

- Việc thêm bớt các bội của 7 trong hai cách giải trên nhằm đi đến một bài toán chia hết cho 7 mà ở đó hệ số của n bằng 1

2.2.2 Ví dụ 2: Cho a + 4b  13 ( a, b N) Chứng minh : 10a + b  13

* H ớng dẫn : Đặt 











y b a

x b a

10 4

(1)

* Cách 1:

Từ (1) => 











y b a

x b

a

10

10 40

10

=> 10x - y = 39b  13

=> 10 x - y  13 mà x  13 => y  13 hay 10a + b  13

* Cách 2:

Từ (1) => 











b a y

b a x

4 40 4

4

=> 4y - x = 39a  13

Do x  13 => 4y  13 13 Do (4;13) = 1 => y  13 (đpcm)

* Cách 3:

Xét: 3x + y = 2(a+4b) + 10a + b = 13a + 13b = 13(a + b)  13

Nh vậy: 3x + y  13

Do x  13 => 3x  13

* Cách 4:

Xét x + 9y = a + 4b + 9 (10a+b) = 91a + 13b = 13(7a + b)  13

Do x  13 => 9y 13 mà (9;13) = 1 => y  13

* Nhận xét: Trong các cách giải trên ta đã đa ra các bài toán mà sau khi rút gọn có

một số hạng là bội của 13; khi đó số hạng thứ hai (nếu có) cũng là bội của 13

Hệ số của a ở x là 1; hệ số của a ở y là 10; nên xét bài toán 10x - y nhằm tạo

ra hệ số của a bằng 13

Hệ số của b ở x là 4; hệ số của b ở y là 1 nên xét bài toán 4y - x nhằm khử b, xét bài toán x + 9y nhằm tạo ra hệ số của b bằng 13 Bài toán có thể giải đợc bằng cách khác nhờ việc chọn hệ số phù hợp

2.2.3 Ví dụ 3:

Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p-1)(p+1)  24

* H ớng dẫn : Giáo viên gợi mở học sinh thông qua các câu hỏi:

1) p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì chẵn hay lẻ?

2) Từ đó suy ra p - 1 và p + 1 là số chẵn hay lẻ?

3) Hai số chẵn liên tiếp khi chia cho 4 có đặc điểm gì? Tích của chúng có chia hết cho 8 không?

Cụ thể: Ta có (p-1)p(p+1)  3 mà (p;3) = 1

nên (p-1)(p+1)  3 (1)

p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ => p -1 và p + 1 là 2 số chẵn liên tiếp Trong 2 số chẵn liên tiếp sẽ có 1 số chia hết cho 4 nên tích của chúng chia hết cho

8 (2)

Do (3;8) = 1

Từ (1) và (2) => (p-1)(p+1)  3.8

Hay (p-1)(p+1)  24

2.3 Bài toán về ƯCLN, BCNN

Trên cơ sở những kiến thức SGK về chia hết, về ƯC-BC, ƯCLN-BCNN, trên thực tế tôi đã cung cấp thêm cho học sinh tính chất sau:

* Nếu a  m và a  n => a  BCNN(m,n)

* Nếu ƯCLN (a,b) = d   a', b'  N/a = da' ; b = db'; (a',b') = 1

2.3.1 Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên b biết rằng chia 326 cho b thì d 11; còn chia 553

cho b thì d 13

* H ớng dẫn : Mấu chốt của bài toán là ở chỗ: giáo viên hớng dẫn học sinh biến đổi

đa phép chia có d về chia hết Sau đó dẫn dắt đến phơng pháp làm: b có quan hệ nh thế nào với 315; 540?

Tìm ƯC?

* Cách giải:

326 chia cho b d 11 => 326 - 11 = 315  b (b > 11)

553 chia cho b d 13 => 553 - 13 = 540  b (b + 13)

=> b  ƯC(315;540) với b > 13 ta tìm đợc ƯCLN (315;540) = 45

=> ƯC(315;540) = ƯC(45) = {1;3;5;9;15;45}

=> b  {1;3;5;9;15;45} Do b > 13 => b  {15;45}

Bài toán có hai đáp số

2.3.2 Ví dụ 2: Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 84; ƯCLN của

chúng bằng 6

* H ớng dẫn : Giáo viên gợi mở

Giả sử hai số là a,b (ab) ƯCLN (a;b) = 6 Mối quan hệ của a và b với 6? Hãy thiết lập mối tơng quan giữa a và b với 84?

Cụ thể: Gọi 2 số đó là a và b (ab) Ta có: (a,b) = 6 nên:









' 6 ' 6

b b

a a

với (a',b') = 1; (a',b',a,b N; a'  b')

Do a + b = 84 => 6(a'+b') = 84 => a'+b' = 14

Lập bảng xét các trờng hợp Sau đó chọn cặp số a',b' nguyên tố cùng nhau có tổng bằng 14 (a' b'), ta đợc:

Do đó

b 78 66 54

2.3.3 Ví dụ 3: Tìm hai số tự nhiên biết: ƯCLN của chúng bằng 15 và BCNN của

chúng bằng 300

* H ớng dẫn : Giống nh bài trên: Giáo viên hớng dẫn học sinh:

- Tạo ra hai số cần tìm

? ƯCLN của chúng bằng 15 suy ra điều gì?

? Quan hệ giữa ƯCLN và BCNN?

* Cách giải:

Gọi các số phải tìm là a, b (ab)

Ta có (a,b) = 15 nên a = 15a'; b=15b' (a'bvà ('a',b')=1)

Do đó: ab=[a,b].(a,b) = 300.15 = 4500

ab = 225 a'b'

=> a'b' = 20 Lập bảng xét các trờng hợp Ta chọn các trờng hợp:

* Nhận xét: Trong cách giải này: Giáo viên củng cố thêm cho học sinh tính

chất: ab = ƯCLN(a,b) BCNN(a,b) Với học sinh đại trà chỉ yêu cầu công nhận công thức, với học sinh giỏi giáo viên có thể hớng dẫn để học sinh chứng minh cụ thể Loại toán này đòi hỏi học sinh thật sự nhuần nhuyễn kiến thức về chia hết, số nguyên tố, nguyên tố cùng nhau, ƯCLN, BCNN, mối quan hệ giữa ƯC-ƯCLN và

BC - BCNN từ đó giải quyết các bài toán

2.3.4 Bài toán t ơng tự

2.3.4.1 Tìm hai số biết hiệu của chúng là 90 và ƯCLN của chúng là 105 2.3.4.2 Tìm hai số tự nhiên biết tích của chúng là 8748 và ƯCLN của chúng là 27

2.3.4.3 Tìm hai số tự nhiên biết tích của chúng là 2940 và BCNN của chúng

là 210

* H ớng dẫn : Cách làm các bài này nh ví dụ 2.3.2

2.3.4.4 Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất có 3 chữ số chia cho 11 thì d 5, chia cho

13 thì d 8

* H ớng dẫn : Phân tích suy ra cách làm nh ví dụ 2.3.1 (song ở đây liên quan

đến BCNN)

2.4 Bài toán về tìm điều kiện của biến trong biểu thức:

2.4.1 Ví dụ 1: Tìm các số x, y  N sao cho: (3x - 2)(2y-3) = 1

* H ớng dẫn : Giáo viên chỉ rõ cho học sinh thấy rằng nếu đi biến đổi vế trái

bằng cách áp dụng việc nhân phá ra thì sẽ dẫn đến một biểu thức vô cùng phức tạp, việc giải bài toán đó để tìm x, y là rất khó khăn thậm chí đi đến bế tắc

Giáo viên gợi mở cho học sinh nh sau:

1) (3x-2) và (2y-3) có quan hệ gì với 1?

2) Nhận xét gì về thừa số (2y - 3)

* Cách giải: x, y  N => (3x - 2)(2y-3) là các ớc của 1

Trong N số 1 chỉ có 1 ớc là chính nó Nên có bảng sau:

Vậy có 1 cặp số 



 2 1

y x

thoả mãn

* Nhận xét: Dới sự phân tích và hớng dẫn của giáo viên bài toán này tơng

đối đơn giản song trong thực tế dạy và học toán có những bài toán phức tạp hơn Chẳng hạn:

2.4.2 Ví dụ 2: Tìm x, y  N nếu biết: (x+1)(2y-5) = 143

* H ớng dẫn : Nh ví dụ 2.4.1

* Cách giải: x, y  N => 2y - 5 và x + 1 là các ớc của 143 (y >

2

5 )

ƯC (143) = {1;11;13;143}

Mặt khác 2y - 5 là số lẻ => 2y - 5  {11;13;143}

Lập bảng

Nhận xét Thoả mãn Thoả mãn Thoả mãn Vậy có các cặp số (x,y) thoả mãn là: 



 8 14

y x

; 



 9 10

y x

; 



 74 0

y x

* Nhận xét: Với dạng toán này trong tập số N còn có thể mở rộng trong tập

số nguyên Z Cách làm tơng tự Song có một số bài tập phức tạp đòi hỏi ngời học sinh phải linh hoạt, sáng tạo để tìm ra hớng giải quyết nếu không rất dễ rơi vào bế tắc

2.4.3 Bài tập t ơng tự

2.4.3.1 Tìm số x, y  N sao cho:

a) (2x+1)(y-3) = 10

b) (x+1)(2y-1) = 12

c) (x-3) = y(x+2)

d) x + 6 = y(x-1)

Riêng phần c, d ta có thể phân tích theo cácch khác nh sau:

x+6 = y(x-1) => x + 6  x - 1 => x - 1 + 7  x - 1

=> 7  x - 1 => x - 1  Ư(7)

2.4.3.2 Tìm x, y  Z biết:

a) (x+2)(y-3) = 5 b) (x+1)(xy-1) = 3