Về phía ngoài của hình bình hành ta dựng các tam giác vuông cân BAE và BCF đỉnh B.. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên BA và BC a So sánh diện tích tam giác DEF và d
Trang 5Vậy giá trị lớn nhất của A là 1 x = y = z = 1
Bài 1 ( 4,0 điểm): Cho biểu thức:
Trang 7b c
c a b
c ab
ab
ac ab cb b
c b a
c ab
c +
ab
c b
Trang 8P = a2 – 2ab + 3b2 -2a + 2009,5 = a2 -2(b + 1)a + 3b2 + 2009,5
= (a-b-1)2 + 2(b -
2
1
)2 + 2009 2009V× (a-b-1)2 0 vµ 2(b -
b b a
b a
y x
2
(
1 )
) 1 3 (
3 6 10
) 1 3 ).(
1 3 ( 5 5 2 6
) 1 3 (
3 6 10
Câu 5 ( điểm): Cho ∆ ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường
phân giác Biết IA = 2 5cm, IB = 3cm Tính độ dài AB
Câu 5:
Kẻ AM AB, M thuộc tia BI
Chứng minh được ∆ AMI cân tại A AM = AI = 2 5
C B
A
Trang 92 4
3
2 2
6 2
3
2 2
2 2
2
2 2
2 4
x
x x
x x
x
b (0,5®) A =
3
6 3
2 3
2
x x
2
1 4
4 1
) 1 2 ( 4 1
) 1 2 ( ) 1 ( 4 1
3
4
2
2 2
2 2
x
x x
x x
1 1
) 2 ( 1 1
) 2 ( ) 1 ( 1
3
4
2 2 2
2 2
x
x x
x x
x
x
A
0,5 đ
Bài 5: (1,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD Về phía ngoài của hình bình
hành ta dựng các tam giác vuông cân BAE và BCF đỉnh B Chứng minh rằng:
Trang 10Ta có: BE = AB (vì tam giác ABE vuông cân)
g c CDB BEF
B F H H B F
EF BD đó Do F
H
ˆ 900
0,5 đ
Bài 6: (1,5điểm )Cho hình vuông ABCD Trên đoạn AC lấy điểm M Gọi E
và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên BA và BC
a) So sánh diện tích tam giác DEF và diện tích tứ giác AEFC
b)Xác định vị trí của M để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất
E
B A
a) So sánh diện tích tam giác DEF và diện tích tứ giác
Theo chứng minh trên ta có:
SDEF = SAEFC = SABC – SBEF
Diện tích DEF nhỏ nhất khi diện tích BEF lớn nhất
Trang 11Bài 7: (1điểm) Tìm số chính phương có 4 chữ số, biết rằng khi tăng thêm
mỗi chữ số 1 đơn vị thì số mới được tạo thành cũng là một số chính phương.Gọi số có 4 chữ số cần tìm là a, theo giả thiết ta có: a = m2, với 32
556
loai m
56
chon m
Vì n, n + 1, n + 2, n + 3 là 4 số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho
3, có hai số chẵn liên tiếp nên một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4
Suy ra n ( n + 1) ( n + 2 ) ( n + 3 ) 24 hay n4 6n3 11n2 6n 24
Câu 4: Tính tổng: 10 10 10 10
56 140 260 1400
Trang 13ta được số 19202122……….787980 Số này có chia hết cho 1980 hay không?
Bài 1:
a) Chứng minh n 5 m – nm 5
30 với mọi n, m Z
Ta có: n 5 m – nm 5 = mn(n 4 – m 4 ) = mn[(n 4 – 1) – (m 4 – 1)] = mn (n 4 – 1) – mn(m 4 – 1)
Trang 14Vậy: với mọi x > 1, biểu thức D không phụ thuộc vào x.
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1, ta có:
Trang 15* m = 1, ta có: 0x > 8: bất phương trình này vô nghiệm.
** m = –1, ta có: 0x > –8 : bất phương trình này có vô số nghiệm b) m 2 – 1 > 0 m 2 > 1 m > 1 hoặc m < -1 Khi đó:
- Với m = 1: Bất phương trình đã cho vô nghiệm.
- Với m = -1: Bất phương trình đã cho có vô số nghiệm.
Trang 16- Với m > 1 hoặc m < -1: Nghiệm của bất phương trình là: x > 82
Bài 3: Cho x, y là hai số nguyên dương sao cho:
71 880
Bài 1:Chứng minh rằng: n3 – n + 6 chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n
Bài 1:Chứng minh rằng: n 3 – n + 6 chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n
Ta có: n 3 – n + 6 = n(n 2 – 1) + 6 = n(n + 1)(n – 1) + 6
Vì: n(n + 1)(n – 1) 6 , với mọi số tự nhiên n (tích 3 số tự nhiên liên tiếp) Nên: n(n + 1)(n – 1) + 6 chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n
Vậy: n 3 – n + 6 chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n
Bài 2: Cho ab > 1 Chứng minh rằng:
Trang 17
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của A.
Bài 3: Cho A = 2( 22 1)
1
a a a
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của A.
Vậy: Max A = 3 khi a = 1
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A Từ B và C kẻ các đường phân giác cắt AC ở
D và cắt AB ở E Từ D và E hạ các đường vuông góc với BC cắt BC ở M và N Tính góc MAN.
Bài 4: Tính góc MAN
2 1
2 1
2 1
3 2 1
A
D E
M N
* Xét ABD và MBD có:
Trang 18+
1 2
+ BD chung + A M
1 3
B A ( vì cùng phụ với góc ADB) Mặt khác: ABC vuông tại A 0
Trang 19Lời giải :
Do là số chính phương nên = k2
Lại vì : 10001 ≤ ≤ 99999, => 101 ≤ k < 317 Vậy k phải là số có ba chữ
số Đặt k = Cũng từ giả thiết bài toán là số chính phương nên a thuộc {1, 4, 5, 6, 9}
+) Nếu a = 1 thì : 100 < < 142 (trong đó p = 1 hoặc p = 9)
Với p = 1, ta có các số thỏa mãn điều kiện bài toán là : 1012 = 10201, 1112 =
12321, 1212 = 14641 ; còn với p = 9 ta thấy không có số nào thỏa mãn điều kiện đề bài
+) Nếu a = 4 thì : 200 < < 224 (p = 2 hoặc p = 8) Thử trực tiếp ta có các
Nhận xét :
- Nếu bài toán có thêm điều kiện a, b, c đôi một khác nhau thì chỉ có 5 số thỏa mãn đề bài
Bài 3(2) : Cho tam giác ABC Các điểm M, N theo thứ tự thuộc các cạnh
AB, AC sao cho diện tích tam giác AMN bằng một nửa diện tích tam giác ABC (M ≠ B ; N ≠ C) Chứng minh : Trọng tâm của tam giác ABC nằm trong tam giác AMN
Trang 20Lời giải : (của bạn Nguyễn Thị Quỳnh Mai, 6B, THCS Bán công Hương
OB/OL < GB/GL => OB/OL + 1 < GB/GL + 1 => BL/OL < BL/GL
=> GL < OL => G thuộc đoạn OL => G thuộc tam giác AMN (đpcm)
Nhận xét :
1) Bài này có khá nhiều bạn tham gia giải, tất cả đều giải đúng Tuy nhiên, nhiều bạn giải quá dài và phức tạp
2) Ngoài cách giải trên còn một hướng giải khác nữa
Đặt P là giao điểm của AG và BC ; Q là giao điểm của AP và MN
Ta có đẳng thức quen thuộc :
AB/AM + AC/AN = 2.AP/AQ (3)
Theo giả thiết :
S(ABC) / S(AMN) = 2 => AB/AM AC/AN = 2 (4)
Từ (3), (4), sau một vài biến đổi đại số, ta có : AG < AQ Từ đó => đpcm
Bài 4(2) : Giải phương trình :
Trang 21Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi y = -1 và 3 ≥ x ≥ -1
Bài 1 (3) : Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm (x, y) sao cho : x - y = x2
Tóm lại : Có hai cặp số (0, 0); (1, 0) thỏa mãn đề bài
Bài 2(4) : Cho a, b, c là 3 số thỏa mãn điều kiện :
Tính tổng : a2001 + b2002 + c2003
Lời giải :
Từ (1) => a, b, c ≤ 1 Trừ từng vế của (1) cho (2) ta có : a2002(1 - a) + b2002(1 b) + c2002(1 - c) = 0 (3)
-Vì a, b, c ≤ 1 nên a2002(1 - a) ≥ 0 ; b2002(1 - b) ≥ 0 ; c2002(1 - c) ≥ 0
Trang 22Bài 4(4) : Cho ΔABC nhọn, ba đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H
Qua A vẽ các đường thẳng song song với BE, CF lần lượt cắt các đường thẳng CF, BE tại P và Q Chứng minh rằng PQ vuông góc với trung tuyến
AM của ΔABC
Lời giải :
Vì ΔABC nhọn nên trực tâm H nằm trong ΔABC (hình dưới).
Lần lượt đặt I là giao điểm của AH và PQ ; K là giao điểm của AM và PQ
Từ giả thiết => tứ giác APHQ là hình bình hành, nên I là trung điểm của
AH
Trang 23Cũng từ giả thiết => AP vuông góc với AC ; AQ vuông góc với AB => BAC = AQH; ACB = AHQ (các cặp góc có hai cạnh tương ứng vuông góc)
=> ΔABC đồng dạng với ΔQAH (g.g) => AB/QA = BC/AH = AC/AH Mặt khác M, I lần lượt là trung điểm của BC, AH nên :
AM/QI = BC/AH = MC/IH => AM/QI = MC/IH = AC/QH
=> ΔAMC đồng dạng với ΔQIH (c.c.c)
=> CAM = HQI hay EAK = EQK => tứ giác KAQE nội tiếp
=> AKQ = AEQ = 90o (cùng chắn cung AQ, BQ vuông góc với AC) =>
PQ vuông góc với AM (đpcm)
Bài 3(5) : So sánh A và B biết :
A = (20032002 + 20022002)2003
B = (20032003 + 20022003)2002
Lời giải : (của bạn Võ Văn Tuấn)
Ta sẽ chứng minh bài toán tổng quát :
(an + bn)n + 1 > (an + 1 + bn + 1)n với a, b, n là các số nguyên dương
Thật vậy, không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b (an + bn)n + 1 = (an + bn)n.(an
+ bn) > (an + bn)n.an = [(an + bn)a]n = (an.a + bn.a)n ≥ (an.a + bn.b)n = (an + 1 + bn +
1)n
Với a = 2003, b = n = 2002, ta có A > B
Bài 4(5) : Tam giác ABC có E là trung điểm cạnh BC sao cho EAB =
15o , EAC = 30 Tính C
Lời giải : (của bạn Phạm Thị Hồng Anh)
Gọi F là điểm đối xứng của C qua AE và I là giao điểm của CF và AE, =>
AI vuông góc với CI Xét tam giác vuông IAC, vuông tại I, có IAC = 30o
=> ACF = ACI = 60o (1)
Ta có AI là trung trực của CF nên ΔAFC cân, từ (1) => ΔAFC đều
Trang 24Nhận xét rằng, IE là đường trung bình của ΔBFC nên IE // FB, mà IE vuông góc với FC => BF vuông góc với FC hay ΔBFC vuông tại F => góc BFC =
90o ; ΔAFC đều => CFA = CAF = 60o , => :
BFA = BFC + CFA = 90o + 60o = 150o
FAB = CAF - CFA - BAE = 60o - 30o - 15o = 15o
Xét ΔFBA, BFA = 150o và FAB = 15o => FBA = 15o su ra ΔFBA cân tại F => FB = FA = FC Từ đó, ΔBFC vuông cân tại F => BCF = 45o
Bài 4(8) : Cho hình chữ nhật ABCD (như hình vẽ), biết rằng AB = 30 cm,
AD = 20 cm, AM = 10 cm, BP = 5 cm, AQ = 15 cm Tính diện tích tam giácMRS
Lời giải : Giả sử đường thẳng PQ cắt các đường thẳng CD, AB tương ứng
tại E, F
Ta có : DE/EC = QD/CP = 5/15 = 1/3 , hay DE/DC = 1/2 => DE = 15 cm
Ta thấy tam giác QDE = tam giác PBF => BF = DE = 15 cm
Trang 25SMRS/SMCD = (MR/MD).(MS/MC) = 7/10 7/16 = 47/160
Do đó, từ (3) ta có :
SMRS = 300 (49/160) = 91,875 (cm2)
Bài 5(8) : Cho tam giác ABC không vuông Các đường cao BB’, CC’ cắt
nhau tại H Gọi K là trung điểm của AH, I là giao điểm của AH và B’C’ Chứng minh rằng : I là trực tâm của tam giác KBC
Lời giải :
Trường hợp 1 : Tam giác ABC nhọn (hình vẽ) Gọi L là điểm đối xứng của
H qua BC
Ta có : BLC = BHC = B ' HC ' (đối đỉnh) = 180o - BAC (Vì AC 'HB ' nội tiếp)
Theo giả thiết, tam giác AHB’ vuông tại B’, B’K là trung tuyến nên KB’ =
KH => KB 'H = KHB ' = BHL = BLH (vì tam giác BLH cân tại B)
=> tứ giác KB’LB nội tiếp , suy ra B 'BK = B 'LK (4)
Từ (3) và (4) => tứ giác BCB’E nội tiếp (E là giao của CI và BK)
=> BEC = BB 'C = 90o => CI vuông góc với BK
Chú ý rằng : KI vuông góc với BC
Vậy I là trực tâm của tam giác KBC
Trường hợp 2 : Tam giác ABC tù, chứng minh hoàn toàn tương tự như
trường hợp 1
Trang 26Bài 1(11) : Phân tích số 8030028 thành tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên
Bài 4(11) : Tính góc A của tam giác ABC biết rằng O1OO2 = 90o với O1,
O, O2 lần lượt là tâm của các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp và bàng tiếp (trong góc A) của tam giác ABC
Lời giải :Gọi I là giao điểm của AO2 với đường tròn (O)
Ta thấy : IBO1 = IO1B ( = ( A + B)/2 ) => ΔIBO1 cân tại I, từ đó IB
Trang 27Do đó OI = BI = OB = R (bán kính của đường tròn (O)) => ΔBIO đều => BOI = 60o , => BAI = 30o Vậy BAC = 60o
Bài 5(11) : Về phía ngoài của tam giác ABC ta dựng các tam giác vuông
đồng dạng ABE, ACF ( ABE = ACF = 90o)
Chứng minh rằng : BF, CE và đường cao AH của tam giác đồng quy
Lời giải :
Cách 1 : (của bạn Võ Văn Tuấn, 7A5, THCS Buôn Hồ, KRông Buk, Đắk
Lắk)
Vì ΔBEA đồng dạng với ΔCFA nên AB / EB = AC / FC
Trên tia đối của tia AH lấy điểm K sao cho : AK = AB/EB.BC = AC/FC.CB
(hình 1)
Vì AK = AB/EB.BC nên AK/AB = BC/BE (1)
Mặt khác : KAB = CBE (2) (hai góc có cạnh tương ứng vuông góc và cùng tù)
Từ (1), (2) => : ΔKAB đồng dạng với ΔCBE
=> : ABK = BEC => ABK + EBK = BEC + EBK
=> : 90o = ENB (N là giao điểm của EC và BK) => CE vuông góc với
BK
Tương tự như vậy : BF vuông góc với CK
Vậy BF, CE, AH là ba đường cao của ΔBCK => BF, CE, AH đồng quy
Cách 2 : (của các bạn Huỳnh Quốc Uy và Trần Lương Khiêm, 9A, THCS
Trần Hưng Đạo, Quảng Ngãi)
Đặt I = BF giao với CE Gọi M, N là hình chiếu của A trên CE, BF (hình 2).
Trang 28Dễ thấy các tứ giác AMBE, ANCF, AMIN, AMHC nội tiếp Vì các tứ giác AMBE, ANCF nội tiếp và vì ΔABE đồng dạng với ΔACF nên ta có :
BME = BAE = CAF = CNF => BMC = BNC
=> Tứ giác BMNC nội tiếp => MNB = MCB (1)
Vì tứ giác AMIN nội tiếp nên : MNB = MAI (2)
Vì tứ giác AMHC nội tiếp nên : MCB = MAH (3)
Từ (1), (2), (3) => : MAI = MAH => tia AI trùng tia AH => I thuộc AH
=> BF, CE, AH đồng quy
Trên đây, ta mới chỉ vẽ hình và giải bài toán trong trường hợp các góc ABC,ACB < 90o Nếu ACB ≥ 90o hoặc ACB ≥ 90othì ta cũng có lời giải tương tự
Bài 1(12) : Cho số tự nhiên N = 20032004 Viết N thành tổng của k số tự nhiên nào đó n1, n2, …, nk S = n13 + n23 + … + nk3 Tìm số dư của phép chia
S cho 6
Lời giải :
Vì a3 - a = a.(a2 -1) = (a - 1).a.(a + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên a 3
- a chia hết cho 6 với mọi số nguyên a
Đặt N = n1 + n2 + … + nk, ta có :
S - N = (n13 + n23 + … + nk3) - (n1 + n2 + … + nk) = (n13 - n1) + (n13 - n1) + … + (nk3 - nk) chia hết cho 6 => S và N có cùng số dư khi chia cho 6
Mặt khác, 2003 chia cho 6 dư 5 => 20032 chia cho 6 dư 1 => N = 20032004 = (20032)1002 chia cho 6 dư 1 Vậy : S chia cho 6 dư 1
Bài 4(12) : Cho hình thang vuông ABCD có AD // BC, AB vuông góc với
AD, AD = 4 cm, AB = BC = 2 cm Hãy tìm một con đường ngắn nhất đi từ đỉnh A tới một điểm M trên cạnh DC, rồi tới điểm N trên cạnh AB, quay lại một điểm P trên cạnh DC và trở về A
Lời giải : Bài toán đưa về tìm giá trị nhỏ của tổng T = AM + MN + NP +
PA
Trang 29Ta cần kết quả sau
Bổ đề : Trong một hình thang vuông, độ dài đoạn thẳng nối hai điểm nằm
trên hai cạnh bên không nhỏ thua độ dài đáy nhỏ (các bạn tự chứng minh bổ
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi P, M, C trùng nhau và N trùng với B
Vậy con đường ngắn nhất thỏa mãn điều kiện đề bài dài chính làcon đường : A đến C đến B đến C đến A
Bài 5(13) : Cho hình thang ABCD có AB song song và bằng một nửa CD H
là trung điểm của CD Điểm M nằm ngoài hình thang sao cho MH vuông góc và bằng một phần tư CD
Bên ngoài hình thang, ta dựng các tam giác ADE, BCF vuông cân tại E, F Chứng minh rằng tam giác MEF vuông cân tại M
Lời giải :
Cách 1 : (của bạn Chu Toàn Thắng) Trước hết, ta nhắc lại một bổ đề quen
thuộc
Bổ đề (*) : Cho tam giác ABC Về phía ngoài của tam giác, ta dựng các tam
giác ABE, ACF vuông cân tại E, F M là trung điểm của AB Khi đó, tam giác MEF vuông cân
Trở lại bài toán
Trên tia đối của tia MD, lấy điểm K sao cho : MK = MD (hình 1) Dễ thấy :
KC vuông góc với DC (1) và CK = 2MH (2)
Trang 30dd>Từ (1) => : KCF = 360o - KCD - DCB - BCF = 360o - 90o (180o - CBA) - 45o = 45o + CBA = FBC + CBA = ABF Vậy: KCF = ABF
=> Δ AKF vuông cân tại F
áp dụng bổ đề (*) cho tam giác ADK và các tam giác ADE, AKF vuông cân tại E, F ta có : Δ MEF vuông cân tại M
Cách 2 : (của bạn Nguyễn Tài Đại)
Trang 31Gọi K là trung điểm của AB Lấy điểm N nằm ngoài hình thang ABCD sao
cho NK = AB ; NK vuông góc với AB (hình 2)
Dễ thấy : tam giác MHC = tam giác BKN => MC = NB ; mặt khác, AB //
CD và tam giác BCF vuông cân tại F nên Δ FMC = Δ FNB (c.g.c) => Δ MFN vuông cân tại F (bạn đọc tự chứng minh)
Tương tự như vậy, Δ MEN vuông cân tại E
=> MENF là hình vuông => tam giác MEF vuông cân tại M
Bài 1(14) : Cho x ; y thỏa mãn :
Hãy tính giá trị của biểu thức sau :
T = x2003 + y2003
Lời giải : Nhận xét :
Do đó kết hợp với giả thiết ta suy ra :
Cộng theo từng vế của hai đẳng thức trên ta có : y + x = - x - y
Trang 32Suy ra x + y = 0 Do đó T = x2003 + y2003 = x2003 + (- x)2003 = x2003 - x2003 = 0
Bài 4(14) : Cho ∆ABC Trên các tia đối của các tia CB, AC, BA lần lượt lấy
các điểm A1, B1, C1 sao cho AB1 = BC1 = CA1 Chứng minh rằng nếu
∆A1B1C1 đều thì ∆ABC cũng đều
Lời giải :
Giả sử ∆A1B1C1 đều Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết :
Khi đó : CB1 ≥ AC1 ≥ BA1 hay CA ≥ AB ≥ BC (do AB1 = BC1 = CA1), suy
ra
Mặt khác, từ (*) suy ra : (do ∆A1B1C1 đều) Nhưng
Từ (1), (2) suy ra ∆ABC đều (đpcm)
Bài 5(14) : Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, AB = BC Một đường tròn (O)
đi qua A, B Các tiếp tuyến với (O) kẻ từ A, C cắt nhau tại S T là tiếp điểm của SC và (O) SB cắt (O) tại E (E khác B) Chứng minh rằng : ET // AB
Lời giải :