Bai Phuong trinh mat cau

Chào mừng quý Thầy Cô đã đến dự giờ... PHƯƠNGTRÌNH MẶT CẦU: Bài 10: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU... PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU: Bài 10: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU... PHƯƠNG TRÌNH MẶT C

Chào mừng quý Thầy Cô

đã đến dự giờ

I : tâm của mặt cầu (S)

I MẶT CẦU:

1 ĐỊNH NGHĨA:

Trong không gian cho điểm I

cố định và một số thực

dương R

(S) = {M / IM = R}

R : bán kính của mặt cầu (S)

I

M

R

2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU :

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a; b ; c) và bán kính R là:

(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2

a) ĐỊNH LÝ :

M(x ; y ; z)∈(S) ⇔ IM = R ⇔ IM 2 = R 2

⇔ (x – a) 2 + (y – b) 2 + (z – c) 2 = R 2

a + b + c − d

Bài 10: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

I .

R

M

* Chứng minh:

Phương trình : x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by –2cz + d = 0

•

* Nhận xét:

⇔ (x – a) (với a2 + b2 + (y – b )2 + c2 – d > 0) là phương trình mặt cầu 2 + (z – c)2 = a2 + b2 + c2 – d

(S) có tâm I(a ; b ; c) và bán kính

R =

b) HỆ QUẢ:

* Mặt cầu có tâm O, bán kính R có phương trình là:

x2 + y2 + z2 = R2

2 PHƯƠNGTRÌNH MẶT CẦU:

Bài 10: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

x

y z

R

I

a

b

c

Mặt cầu có tâm

I(a ; b ; c) và tiếp

xúc với mp(Oxy) H

K

K( a ; b ; 0 )

 IK = OH

= ?

b) HỆ QUẢ:

* Mặt cầu có tâm O, bán kính R có phương trình là:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

* Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và tiếp xúc với (Oxy)

(hoặc (Oxz) ; (Oyz)) có phương trình : (x – a) 2 + (y – b) 2 + (z – c) 2 = c 2 ( hoặc b 2 ; a 2 )

2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU:

Bài 10: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

x

y z

a

b c

Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và tiếp xúc với trục Oz

I R

H

K

H( 0 ; 0 ; c )

R = IH = OK = ?

* Mặt cầu có tâm I (a; b; c) và tiếp xúc với trục Ox (hoặc Oy ; Oz) có phương trình:

(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = b2 + c2

hoặc (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = a2 + c2

hoặc (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = a2 + b2

b) HỆ QUẢ:

* Mặt cầu có tâm O, bán kính R có phương trình là:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

* Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và tiếp xúc với (Oxy) (hoặc (Oxz) ; (Oyz)) có phương trình :

(x – a)2 + (y – b)2 +(z – c)2 = c2 ( hoặc b2 ; a2 )

2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU:Bài 10: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) trong các

trường hợp sau:

Giải

Bán kính R =

(x + 1)2 + (y – ) 1 2 + (z – 4)2 = 17

2

Vậy phương trình mặt cầu (S) là:

a +c = 1+16 = 17

a) (S) có tâm I( –1 ; ; 4) và tiếp xúc với trục Oy1

2

b) (S) có đường kính AB với A(3 ; 2 ; – 4) ;

B(– 3 ; 0 ; –2)

Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) trong các

trường hợp sau:

Giải

Tâm I của (S) là trung điểm của AB ⇒ I (0 ; 1; –3)

Vậy phương trình mặt cầu (S):

x2 + (y – 1)2 + (z + 3)2 = 11

A

B

2

Bán kính R =

36 4 4 11

2

+ +

II GIAO CỦA MỘT MẶT CẦU VỚI MỘT MẶT PHẲNG:

Cho mặt cầu (S) : (x – a) 2 + (y – b) 2 + (z – c) 2 = R 2

H

và mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0

Gọi H là hình chiếu của tâm I mặt cầu (S) lên mặt phẳng (α)

⇔ ( α ) ∩ (S) = ∅

Bài 10: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

M

II GIAO CỦA MỘT MẶT CẦU VỚI MỘT MẶT PHẲNG:

Cho mặt cầu (S) : (x – a) 2 + (y – b) 2 + (z – c) 2 = R 2

và mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0

Gọi H là hình chiếu của tâm I mặt cầu (S) lên mặt phẳng (α)

R

H

Khi đó ( α ) gọi là tiếp diện

của mặt cầu (S) và H gọi là

tiếp điểm.

 IH = R ⇔ ( α ) ∩ (S) = {H} I.

Bài 10: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

M

 IH < R

II GIAO CỦA MỘT MẶT CẦU VỚI MỘT MẶT PHẲNG:

Cho mặt cầu (S) : (x – a) 2 + (y – b) 2 + (z – c) 2 = R 2

và mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0

Gọi H là hình chiếu của tâm I mặt cầu (S) lên mặt phẳng (α)

α

R

I

Khi đó (α) cắt (S) theo thiết

diện là một đường tròn (C)

có tâm là H và bán kính r = R 2 − IH 2

⇔ ( α ) ∩ (S) =

(C)

H

r M

Bài 10: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

II GIAO CỦA MỘT MẶT CẦU VỚI MỘT MẶT PHẲNG:

Cho mặt cầu (S) : (x – a) 2 + (y – b) 2 + (z – c) 2 = R 2

và mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0

Gọi H là hình chiếu của tâm I mặt cầu (S) lên mặt phẳng (α)

Bài 10: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

 IH > R ⇔ ( α ) ∩ (S) = ∅

Khi đó ( α ) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S)

và H gọi là tiếp điểm.

 IH = R ⇔ ( α ) ∩ (S) = {H}

 IH < R

Khi đó ( α ) cắt (S) theo thiết diện là một

đường tròn (C) có tâm là H và bán kính

r =

⇔ ( α ) ∩ (S) =

(C)

R − IH

Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho

mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 6x + 4y – 2z – 86 = 0 và mặt phẳng (α) : 2x – 2y – z + 9 = 0

đường tròn (C)

Giải

Ta có d(I; (α)) = = 6 < R6 4 1 9 18

3

4 4 1

+ − +

= + +

Do đó (α) cắt (S) theo thiết diện là một

đường tròn (C).

Mặt cầu (S) có tâm I(3; –2; 1) , bán kính R = 10

R

H r

I

b) Tìm tâm và bán kính của (C)

Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho

mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 6x + 4y – 2z – 86 = 0 và mặt phẳng (α) : 2x – 2y – z + 9 = 0

Giả

i

tròn (C)

Bán kính r = R 2 − IH 2 = 100 36 8− =

Giao điểm H của (d) và (α ) ứng với giá trị t là

nghiệm của phương trình:

Gọi (d) là đường thẳng qua I và vuông góc với (α )

Phương trình tham số của (d) là: x 3 2t

z 1 t

= +

=− −

= −





2(3 + 2t) – 2(–2 – 2t) – (1 – t ) + 9 = 0 ⇔ t = –2

Vậy: H (–1 ; 2 ; 3)

R

H r

I

Cám ơn quý Thầy Cô

đã đến dự giờ