hứng mình bât đăng thức (BĐT) là dạng toán
('
“ khó, thường gặp trong các kì thi vào lớp 10 THPT chuyên Có nhiều bài chứng mình bắt dang thức mà các biên tham gia có vai trò như nhau Khi
đó ta có thể dựa vào vai trò như nhau của chúng
mà sắp xếp chúng theo một thứ tự Liệc sắp xếp này tuy là rất don giản nhưng đôi khi lại giúp ta giải quyết được nhiêu bài toản khó Sau đây là một vài thi dụ ứng dụng phương pháp trên
SỬ DỤNG VAI TRO NHU NHAU CUA CÁC BIẾN
dé chung minh bat dang thure
*& Thi du 1 (BDT Schur) Cho cdc sé thirc
a, b, c không âm Chứng mình răng
q(a — b\Xa— e)~ b(b — cX(b — a) * c(c — a(c — b) > 0
Lời giải Do vai trò của a, b c là như nhau
nên có thê giả sử a > ÖÒ > e
« Nêu có hai trong ba sô a, b, c băng nhau thì
BĐT hiên nhiên đúng
e Nêu a > b > c chia hai vê BĐT cân chứng
minh cho (a — ð)(b — c)(a — c) ta được BĐT
b-c a-c a-b
tương đương
Bắt đăng thức trên luôn đúng do
= > va >0
0<b-—c<a-—c b-c a-c
* Thí dụ 2 Cho các số thực a, b, ¢ d6i mét
khác nhau thuộc đoạn [Ô : 2] Chứng mình
(a—by (b-c)” (c-a)” 4
răn
Loi giai Sx dung BDT Cauchy voi x > 0, y > 0
ta co
“
CAO VĂN DŨNG
(GV THPT Quang Trung, Đống Đa, Hà Nội)
Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y
Do vai trò của a, ö, c là như nhau nên cô thê
gia sta > b>c Ap dung BDT (1) cho cap sé dương a — b và b - c ta có
1 1, 8 _ 8
(a-b) (b-c) (a-b+b-c)’ (a-c)”
Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi a-b=b—e
(a-—by) (b-c) (e-a)
Caney L= a
Mặt khác do a, c e [0 : 2] và a> c nên
0<a-—c <2 Dang thức xảy ra khi và chỉ khi
a=2vac=0
(a—b) (b-c) (c-a) Iv
Đăng thức xay ra khi (a: b;c)=(2;:1;:0) và các hoán vị
* Thí dụ 3 Cho ba số đương a, b, e thoả mãn a + b + e + abc = 4 Chứng mình răng
a+*~b+>c> ab + bc + ca.
Trang 2Loi giai Do vai tro cua a, b, c là như nhau
nên ta giả sử a>b>c Từ giả thiệt ta có
3c +c3<4=a+b+c+ abc < 3a + a
Suy ra a > Ì và c < Ì
e Nêu a>b> l>c, ta có4>a+b >2^(ab,
suy ra aÖ < 4 Do đó
(a+b~2}ˆ >4(a~1)(b~1)>ab(a-1)(b—1)
c©(a >*b— ab)(ab + 1) >(4—a— b)(a+* b— 1)
4-a-b,
ab+1 ( ) ( )
4-a-b
Mặt khác từ giả thiết suy ra c=
ab+1
Kết hợp với (1) ta có
a+b-ab>c(a+b-1)
©a*bö*c> ab * bc * ca (äpcm)
e Nêu a>1>b>c, ta có
(a— 1)(5 — 1)(ce— 1)>0
=>ar+b+e2zab+be+ca+1-—-abe (2)
Mặt khác áp dụng BĐT Cauchy cho các sô
dương ta có
4=a+b+ec+abe > 4Ä|abcabc Suy ra abe = 1
Kết hợp với (2) ta có điêu phải chứng minh
Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = e = 1
* Thí dụ 4 Cho ba số thực dương a, b, c thoả
man abc = 1 Chứng mình răng
Pe re Fs
xl+a? afl +b? : l+c2 2
Loi gidi Vi vai tro cua a, b,c là như nhau
nén co thé gia sta => b>c Do abe = 1 nên
bc < lvà a> 1 Ta có
Fetes) 1)
Sere “VI: lags)
> " £ N
4 4a
he | la:
fl+a2 l+a
„ÑZ „ 8
l+a 1+4 “FR Thật vậy BĐT (3) tương đương với 1+3a-2, |2a (I+a)>0
© (\J2a-^ll+a)' >0 (luôn đúng)
Vậy BĐT (3) được chứng minh Từ (1), (2)
và (3) suy ra điêu phải chứng minh Đăng thức xảy ra khi và chi khi a= b=c= 1
Mặt khác, ta có
Ta sẽ chứng minh 2
* Thí dụ § Cho các số thực dương a, b, ec
thoả a + b +c = 3 Chứng mình răng
a2 + bˆ + c? + abc > 4
Lời giải Do vai trò của a, b c là như nhau nên ta giả sử a > ö > c Suy ra c < 1, ta có
aˆ + bˆ + cˆ + abc = 9 — 2(ab + be + ca) + abe
a+b\ (=] c
Lại có a<|= vảc— 2 <0 nên
"
a- + b? + c2 + abe
oy 9+(c—2)| =
~
~2cl-©) (1)
Ta sẽ chứng minh
s-(e-2| : 1d
Thật vậy (2) © (e — 1)°(c + 2) > 0 (luôn đúng)
2c(3-c)>4 @)
Từ (1) và (2) suy ra điêu phải chứng minh Đăng thức xảy ra khi và chi khi a= b=e = 1
# Thí dụ 6 Cho a, b, e là các sô thực không
âm thoả mãn aˆ + bˆ + cˆ = 3 Chứng mình răng
ab*~bcˆ~caˆ<2~abc
Trang 3Lời giải Do vai trò a, b, e là hoán vị vòng
quanh nên có thê giả sử a=max{d.b,c} Xét
hai khả năng
a(b — a)(b - e) < 0 © a“b + qbe > aÈ“ + caˆ
© ab? +be*+ca*<a*h+be* +abe (1)
ma a*b+be*-2=b(3-b*)-2
Từ (1) và (2) suy ra điêu phải chứng minh
s«Vớia>c>b>0 Khi đó
b(c—đ)(c—b)<0
© ab*+be*+ca* <ca*+cb*+abe (3)
Lai c6 ca*+cb’-2=c(3-c*)-2
Từ (3) và (4) suy ra điêu phải chứng minh
Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi
(1:42; 0)
Cuôi cùng, mời các bạn cùng luyện tập thông qua các bài toán sau
1 Cho a, 5 e là các sô thực không âm thoa
mãn a + ö + c = 1 Chứng minh răng
ab+be+ca-3abe 2
2, Giả sử a, b, e là các sô thực không âm thoả
man a*+b*+c*+abc=4 Ching minh răng
abe+22ab+be+cazabe
3, Cho ba sô thực a, b, ¢ thuộc đoạn [-1 ; 1]
Chứng minh răng [a-ö)(b~e)|~{b~e)(e=aÌle=a)(a~»|
>s|a-Jð-e)(e-a]
4 Chứng minh ring với ba sô thực a b, e bât
kỉ thuộc đoạn [1 ; 2] ta có bât đăng thức
\a b
5, Cho các sô thực a, 0, c thuộc đoạn [0 ; 1]
Chứng minh răng
đ(I=b)+b(I—£)+e(I-a) <1