Oxyz phuong trinh mat cau ly thuyet trac nghiem dap an va bai giai chi tiet

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN4.. Phương trình mặt cầu  S có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông là:.. Phương tr

3 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu S I R ;  và mặt phẳng  P Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên  P  d IH là

khoảng cách từ I đến mặt phẳng  P Khi đó :

+ Nếu d R : Mặt cầu và mặt

phẳng không có điểm chung

+ Nếu d R : Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu Lúc đó:  P là mặt phẳng

tiếp diện của mặt cầu và H là tiếp điểm

R I

H P

d

r I' α

R I

Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó

được gọi là đường tròn lớn

Cho điểm I cố định và một số thực dương R Tập hợp tất cả

những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi

là mặt cầu tâm I, bán kính R

Kí hiệu: S I R ; S I R ;   M IM| R

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

4 Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu S I R ;  và đường thẳng  Gọi H là hình chiếu của I lên  Khi đó :

+ IH R:  không cắt mặt

cầu

+ IH R:  tiếp xúc với mặt cầu

 là tiếp tuyến của (S) và H là tiếp điểm

+ IH R:  cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt

ĐƯỜNG TRÒN TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

* Đường tròn (C) trong không gian Oxyz, được xem là giao tuyến của (S) và mặt phẳng( )

5/ Điều kiện tiếp xúc : Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R

+ Đường thẳng  là tiếp tuyến của (S)  d I ;  R

+ Mặt phẳng  là tiếp diện của (S)  d I ;  R

* Lưu ý: Tìm tiếp điểm M0x y z0; 0; 0



R I

* Thuật toán 2: Gọi phương trình ( ) : S x2y2z22ax2by2czd 0

Phương trình (S) hoàn toàn xác định nếu biết được a b c d (, , , a2b2c2d ) 0

Bài tập 1 : Viết phương trình mặt cầu (S), trong các trường hợp sau:

Bài tập 2 : Viết phương trình mặt cầu (S) , trong các trường hợp sau:

a) (S) qua A3;1; 0 ,  B5;5;0 và tâm I thuộc trục Ox

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Mặt cầu tâm O0; 0;0 và bán kính R 3, có phương trình (S) : 2 2 2

9

x y z  c) Chọn 1;1; 0  0; 1; 0 

a) Cách 1: Gọi I x y z ; ;  là tâm mặt cầu (S) cần tìm

Theo giả thiết:

Gọi I t ; 1;   t là tâm mặt cầu (S) cần tìm

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Gọi It; 2t1;t2d: là tâm của mặt cầu (S) và R là bán kính của (S)

Theo giả thiết :     2 2

I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho IAB vuông tại I

Bài tập 10: (Khối A- 2011) Cho mặt cầu (S): x2y2z24x4y4z0 và điểm A4; 4;0 Viết

phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều

Bài giải :

(S) có tâm I2; 2; 2 , bán kính R2 3 Nhận xét: điểm O và A cùng thuộc (S)

Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp / 4 2

Mặt phẳng (P) đi qua O có phương trình dạng :  2 2 2   

c Theo (*), suy ra  P :x  y z 0 hoặc x  y z 0

Chú ý: Kỹ năng xác định tâm và bán kính của đường tròn trong không gian

Cho mặt cầu (S) tâm I bán kính R Mặt phẳng (P) cắt (S) theo một đường tròn (C)

Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng (P)

Bước 2: Tâm I’ của đường tròn (C) là giao điểm của d và mặt phẳng (P)

Bước 3: Gọi r là bán kính của (C): 2     2

Ta có : dI P,   1 2Rmặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là 1 đường tròn (đ.p.C m)

* Đường thẳng d qua I1; 0; 0 và vuông góc với (P) nên nhận  1;0;0

0 2; 0; 00

z

z x

+ Ta có: d I P ,   Gọi r là bán kính của (C), ta có : 1 2     2

r R d I P  

Dạng 2 : SỰ TƯƠNG GIAO VÀ SỰ TIẾP XÚC

Phương pháp: * Các điều kiện tiếp xúc:

+ Đường thẳng là tiếp tuyến của (S)  d I ;  R

+ Mặt phẳng( ) là tiếp diện của (S)  d I ;  R

* Lưu ý các dạng toán liên quan như tìm tiếp điểm, tương giao

Bài tập 1: Cho đường thẳng  : 1 2

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Vì d I ,   R nên   không cắt mặt cầu  S

172

d và điểm I(4;1; 6) Đường thẳng d cắt mặt cầu  S có

tâm I, tại hai điểm A, B sao cho AB6 Phương trình của mặt cầu  S là:

d Phương trình mặt cầu  S có tâm I

và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:

Bài tập 9: Cho mặt cầu 2 2 2

( ) :S x y z 4x2y6z 5 0 Viết phương trình tiếp tuyến của mặt cầu

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Bài tập 10: Cho ( ) : S x2y2z2 6x6y2z 3 0 và hai đường thẳng 1: 1 1 1;

Kết luận: Vậy tồn tại 2 mặt phẳng là : 2x y 2z 7 0, 2 x y 2z170

Bài tập 11: Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu   2 2 2

:   2 4 6  5 0

diện:

a) qua M1;1;1

b) song song với mặt phẳng (P) : x2y2z 1 0

b) vuông góc với đường thẳng : 3 1 2

m

* Với m 6 suy ra mặt phẳng có phương trình : x2y2z 6 0

* Với m12 suy ra mặt phẳng có phương trình : x2y2z120

c) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là  2;1; 2 

m m

* Với m 3 suy ra mặt phẳng có phương trình : x2y2z 3 0

* Với m15 suy ra mặt phẳng có phương trình : x2y2z150

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

:    4 0

S x y z và 4 điểm M1; 2;0 ,  N0;1; 0 ,  P1;1;1, Q1; 1; 2 

Trong bốn điểm đó, có bao nhiêu điểm không nằm trên mặt cầu  S ?

Câu 24 Phương trình mặt trình mặt cầu có đường kính AB với A1;3; 2 ,  B3;5;0 là:

d và điểm A5; 4; 2  Phương trình mặt cầu đi qua điểm

A và có tâm là giao điểm của d với mặt phẳng Oxy là:

Câu 28 Cho ba điểm A2; 0;1 , B1; 0;0 , C1;1;1 và mặt phẳng  P :xy  z 2 0 Phương trình

mặt cầu đi qua ba điểm A B C và có tâm thuộc mặt phẳng , ,  P là:

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Câu 35 Cho mặt cầu ( ) :S x2y2z2 2x4y6z 2 0 và mặt phẳng ( ) : 4 x3y12z100

Mặt phẳng tiếp xúc với ( )S và song song với ( )  có phương trình là:

Câu 39 Cho đường thẳng : 5 7

d và điểm I4;1; 6 Đường thẳng d cắt mặt cầu ( )S tâm

I tại hai điểm A, B sao cho AB6 Phương trình của mặt cầu ( )S là:

Mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng  P và tiếp xúc với mặt phẳng  Q tại điểm M , biết rằng

M thuộc mặt phẳng Oxy và có hoành độ x M 1, có phương trình là:

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A

3 4

1 6 1

trên mặt phẳng  P Phương trình mặt cầu ( )S có diện tích 784 và tiếp xúc với mặt phẳng

 P tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt cầu là:

A x82y82z12 196 B x82y82z12 196

C x162y42z72 196 D x162y42z72 196

Câu 49 Cho mặt phẳng  P : 2xy  z 5 0 và các điểm A0; 0; 4 ,  B2; 0; 0 Phương trình mặt cầu

đi qua O A B và tiếp xúc với mặt phẳng , ,  P là:

A x12y12z22 6 B x12y12z22 6

C x12y12z22 6 D x12y12 z22 6

cho mặt cầu tâm B, tiếp xúc với mặt phẳng  P có bán kính bằng 2 Tọa độ điểm B là:

A 0;1; 0  B 0; 4; 0  

C 0; 2;0 hoặc 0; 4; 0   D 0; 2; 0 

tiếp xú c vớ i mă ̣t phẳng ( )P ta ̣i điểm A1; 1;1  và có tâm thuô ̣c mă ̣t phẳng ( )Q là:

Phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt

đường thẳng d tại hai điểm A B sao cho tam giác , IAB vuông là:

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

d Phương trình mặt cầu  S có tâm I

và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho AB4 là:

d Phương trình mặt cầu  S có tâm I

và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho AB6 là:

d Phương trình mặt cầu  S có tâm I

và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông là:

Phương trình mặt cầu  S có tâm I và cắt

đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:

Phương trình mặt cầu  S có tâm I và

cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông là:

d Phương trình mặt cầu  S có tâm I

và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là:

d Phương trình mặt cầu  S có tâm I

và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho 30o

IAB là:

A x12y12z22 72 B x12y12z22 36

C x12y12z22 66 D x12y12z22 46

Câu 63 Phương trình mặt cầu có tâm I3; 3; 7  và tiếp xúc trục tung là:

Điểm nào sau đây thuộc mặt cầu (S):

A 2;1;1  B 2;1; 0  C 2; 0; 0  D 1; 0; 0 

Điểm nào sau đây không thuộc mặt cầu (S):

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

d Phương trình mặt cầu có tâm I và cắt

đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác diện tích tam giác IAB bằng 2 6015 là:

điểm A, B và tâm thuộc trục hoành có đường kính là:

hai điểm A, B và tâm thuộc đường thẳng d thì tọa độ tâm là:

Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông

góc chung của đường thẳng d và trục Ox là:

Câu 80 Cho hai đường thẳng

2:4

Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn

thẳng vuông góc chung của đường thẳng d và d’ là:

1169

967.2

Gọi  S là mặt cầu đi

qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d.Đường kính mặt cầu  S bằng:

là phương trình của mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (Oxy):

C x12y22z32 9 D x12y22z32 9

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

phương trình mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua trục Oz:

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

 Trung điểm của đoạn thẳng AB là I2; 4;1, AB  2222 ( 2)2 2 3

 Mặt cầu đường kính AB có tâm I2; 4;1, bán kính 3

Lưu ý : Để làm được bài này học sinh phải nhớ được phương trình tổng quát của mặt phẳng

Oxy và loại ngay được đáp án D

Lưu ý : Ở bài này máy tính Casio giúp chúng ta giải nhanh chóng hệ phương trình bậc nhất ba

ấn được tạo ra để tìm các hệ số của phương trình mặt cầu tổng quát (Ta cũng có thể dùng máy tính cầm tay thay trực tiếp tọa độ các điểm vào từng đáp án và tìm ra đáp án đúng)

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Lưu ý : Ở câu này nếu nhanh trí chúng ta có thể sử dụng máy tính cầm tay thay ngay tọa độ

tâm của các mặt cầu ở 4 đáp án trên vào phương trình mặt phẳng  P để loại ngay được các đáp án có tọa độ tâm không thuộc mặt phẳng  P

D ( thỏa điều kiện)

 Vậy phương trình mặt phẳng ( ) : 4 x3y12z780 hoặc ( ) : 4 x3y12z260

Lưu ý: Nếu hình dung phác họa hình học bài toán được thì ta có thể dự đoán được có 2 mặt

phẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài

Nên mặt cầu ( )S cắt trục Oz tại A0; 0; 3  và B0; 0;3

Gọi ( ) là tiếp diện của mặt cầu ( ) S tại B

 Mặt phẳng ( ) qua B0; 0;3 và có vectơ pháp tuyến     2;1;3

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

a là vectơ chỉ phương của d

 Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d là trung điểm của ABHA3

 Vì M Oxy và có hoành độ bằng 1 nên M1; ; 0y 

 Lại có, mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng  Q nên M Q M1; 5;0 

 Gọi I a b c ; ;  là tâm của mặt cầu ( )S cần tìm

Ta có ( )S tiếp xúc với mp  Q tại M nên IM  Q

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

và song song với mặt phẳng  P nên

đường thẳng d có vettơ chỉ phương   , 4; 6; 1  

 Gọi ,I R lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu

Theo giả thiết diện tích mặt cầu bằng 784 , suy ra 4 R2 784 R14

Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng  P tại H nên IH ( )P  I d

Do đó tọa độ điểm I có dạng I2 6 ;5 3 ;1 2 t  t  t, với t 1

 Theo giả thiết, tọa độ điểm I thỏa mãn:

 Vì B thuộc tia Oy nên B0; b;0 (với b0)

 Bán kính của mặt cầu tâm B, tiếp xúc với  P là  ,   2 2

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

 Gọi d đường thẳng đi qua A và vuông góc với ( )P , ta có :

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

2

362

Gọi H là hình chiếu của I3; 3; 7  trên Oy  H0; 3; 0RIH  58

Vậy phương trình mặt cầu là: x32y 32z72 58

Gọi H là hình chiếu của I 5;3;9 trên Ox  H 5;0; 0RIH  90

Vậy phương trình mặt cầu là: x 52y32z92 90

Gọi H là hình chiếu của I 6; 3; 2 1  trên OzH0; 0; 2 1 RIH 3

Vậy phương trình mặt cầu là:   2  2 2

80202

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

R  Vậy   S : x22y42z62 36

Mặt cầu tâm I2; 4;6, bán kính R và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) : y0Rd I Oxz ;  

441

Mặt cầu  S tâm I1; 2;3, bán kính R3 Do mặt cầu  S' đối xứng với  S qua mặt phẳng

(Oxy) nên tâm I' của  S' đối xứng với I qua (Oxy), bán kính R'R3

Ta có : I' 1; 2; 3   Vậy   S : x12y22z32 9

Lưu ý: Để ý thấy rằng trung điểm II  thuộc mặt phẳng Oxy và II Oxy

Cả 4 đáp án trên đều có thể dễ dàng tìm được tọa độ I  nên nếu tinh ý ta sẽ tiết kiệm được thời gian hơn trong việc tìm đáp án

Mặt cầu  S tâm I1;1; 2, bán kính R2 Do mặt cầu  S' đối xứng với  S qua trục Oz nên tâm I' của  S' đối xứng với I qua trục Oz, bán kính R'R2

Ta có : I' 1; 1; 2   Vậy   S : x12y12z22 4

Lưu ý: Sẽ vất vả hơn rất nhiều nếu học sinh không nhớ được tính chất đối xứng, tọa độ của

một điểm đối xứng qua các trục tọa độ

Mặt cầu  S tâm I1; 2;3, bán kính R4 Ta có : d I Oxy ;   z I 3

Gọi r là bán kính đường tròn (C) giao tuyến của mặt cầu  S và mặt phẳng (Oxy), ta suy ra :

r R d I Oxy Vậy chu vi (C) bằng : 2 7 

Lưu ý: Để hiểu và làm nhanh bài này học sinh nên vẽ minh họa hình học và từ đó rút ra công

thức tổng quát xác định bán kính đường tròn giao tuyến như hướng dẫn giải ở trên