Bài tập phương trình mặt cầu có đáp án thầy nguyễn bá tuấn

Bài 1 Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đi m I(1; 2;3) Vi t ph ng trình m t c u tâm I và ti p

xúc v i tr c Oy

HD

G i M là hình chi u c a I(1; 2;3) lên Oy, ta có: M(0; 2;0)

IM ( 1;0; 3)  R IM 10 là bán kính m t c u c n tìm

K t lu n: PT m t c u c n tìm là x( 1)2 (y 2)2 (z 3)2 10

Bài 2 Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho đi m A(1; –2; 3) và đ ng th ng d có ph ng trình

 Tính kho ng cách t đi m A đ n đ ng th ng d Vi t ph ng trình m t c u tâm A,

ti p xúc v i d

HD

d(A, (d)) = BA a

a

4 1 1

 

PT m t c u tâm A (1; –2; 3), bán kính R = 5 2: x( –1)2 (y 2)2( –3)z 2 50

Bài 3 Trong không gian Oxyz, cho đ ng th ng d: x11 y12  và m t ph ng (P): 1z

2  –2  2 0 L p ph ng trình m t c u (S) có tâm n m trên d, ti p xúc v i m t ph ng (P) và đi qua

đi m A(2; –1; 0)

HD

G i I là tâm c a (S)  I1 ; –2;t t t Ta có d(I, (P)) = AI  t 1; t 7

13

V y: S( ) : ( –2) x 2 (y 1)2( –1)z 2  1

PH NG TRÌNH M T C U

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N

Giáo viên: NGUY N BÁ TU N

Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng Ph ng trình m t c u thu c khóa h c Luy n thi

THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Nguy n Bá Tu n – Phan Huy Kh i – Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn

s d ng hi u qu , B n c n h c tr c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này

Bài 4 Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho đ ng th ng d:xt y;  1;z t và 2 m t ph ng (P): x2y2z 3 0 và (Q): x2y2z 7 0 Vi t ph ng trình m t c u (S) có tâm I thu c đ ng

th ng (d) và ti p xúc v i hai m t ph ng (P) và (Q)

HD

Gi s : I t( ; 1; )  t d Vì (S) ti p xúc v i (P) và (Q) nên d I P( ,( ))d I Q( ,( ))R

 1 t  5 t 

3 3 t  Suy ra: R3 2, (3; 1; 3)I

3

V y ph ng trình m t c u (S): x 3   2 y 1 2 z 32 4

9

Bài 5 Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho t di n ABCD v i A(2; 1; 0), B(1; 1; 3), C(2;–1; 3),

D(1;–1; 0) Tìm t a đ tâm và bán kính c a m t c u ngo i ti p t di n ABCD

HD

Ta tính đ c AB CD  10,ACBD 13,ADBC 5 V y t di n ABCD có các c p c nh

đ i đôi m t b ng nhau T đó ABCD là m t t di n g n đ u Do đó tâm c a m t c u ngo i ti p c a t

di n là tr ng tâm G c a t di n này

V y m t c u ngo i ti p t di n ABCD có tâm là G 3;0;3

 , bán kính là R GA

14 2

Bài 6 Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho 3 đi m A(3;1;1), B(0;1;4), C(–1;–3;1) L p ph ng trình

c a m t c u (S) đi qua A, B, C và có tâm n m trên m t ph ng (P): x + y – 2z + 4 = 0

HD

PT m t c u (S) có d ng: x2 + y2 + z2– 2ax – 2by – 2cz + d = 0

(S) qua A: 6a + 2b + 2c – d – 11 = 0

(S) qua B: 2b + 8c – d – 17 = 0

(S) qua C: 2a + 6b – 2c + d + 11 = 0

Tâm I  (P): a + b – 2c + 4 = 0

Gi i ra ta đ c: a = 1, b = –1, c = 2, d = –3 V y (S): x2

+ y2 + z2– 2x + 2y – 4z – 3 = 0

Bài 7 Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho m t ph ng (P): x2y2z10 0 , hai đ ng th ng

     



1 : x 2 y z 1

1 1 1 ,  2 : x2  y z3

1 1 4 Vi t ph ng trình m t c u (S) có tâm thu c  1 , ti p xúc v i  2 và m t ph ng (P)

HD

x t

y t

1

2 :

1

    

  



; 2 đi qua đi m A(2;0; 3) và có VTCP u2 (1;1;4)

Gi s I(2 ; ;1 )t t   là tâm và R là bán kính c a m t c u (S) t 1

Ta có: AI ( ; ;4 )t t  t AI u, 2(5 4;4 5 ;0) =>t  t d I AI u t

u

2 2

2

( , )

3

     

d I P( ,( )) 2 2 2(1 ) 10 10

3

1 4 4

 

(S) ti p xúc v i 2 và (P) d I( , )2 d I P( ,( ))  5 4t  t 10









  



t t

7 2

1

+ V i t 7

2

I 11 7; ; 5

2 2 2 , R

9 2



=> PT m t c u (S): x y z

+ V i t 1 => I(1; 1;2), R  => PT m t c u (S): x3 ( 1)2 (y 1)2 (z 2)2  9

Bài 8 Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho m t ph ng (P): 2x – 2y – z – 4 = 0 và m t c u (S): x2

+

y2 + z2– 2x – 4y – 6z – 11 = 0 Ch ng minh r ng m t ph ng (P) c t m t c u (S) theo m t đ ng tròn Xác

đ nh t a đ tâm và tính bán kính c a đ ng tròn đó

HD

I (1; 2; 3); R = 1 4 9 11    ; d (I; (P)) = 5 2(1) 2(2) 3 4 3

4 4 1



  < R = 5

V y (P) c t (S) theo đ ng tròn (C)

Ph ng trình d qua I, vuông góc v i (P) : y x t t

1 2

2 2 3

  

  



  



G i J là tâm, r là bán kính đ ng tròn (C) J  d  J (1 + 2t; 2 – 2t; 3 – t)

J  (P)  2(1 + 2t) – 2(2 – 2t) – 3 + t – 4 = 0  t = 1

V y tâm đ ng tròn là J (3; 0; 2) , bán kính r = R2IJ2 4

Bài 9 Trong không gian v i h to đ Oxyz, cho ba đi m A(2;0;0), C(0;4;0), D(0; 0; 4) Tìm t a đ đi m

B trong mp(Oxy) sao cho t giác OABC là hình ch nh t Vi t ph ng trình m t c u đi qua b n đi m O,

B, C, D

HD

OABC là hình ch nh t  B(2; 4; 0)  T a đ trung đi m H c a OB là H(1; 2; 0), H chính là tâm

đ ng tròn ngo i ti p tam giác vuông OCB

+ ng th ng vuông góc v i mp(OCB) t i H c t m t ph ng trung tr c c a đo n OD (mp có ph ng

trình z = 2 ) t i I  I là tâm m t c u đi qua 4 đi m O, B, C, D

+ Tâm I(1; 2; 2) và R = OI = 1 2 222   (S): x3 ( 1)2 (y 2)2 (z 2)2  9

Ngu n : Hocmai.vn