Đề cương ôn tập mon toán lớp 12 (6)

Hình thang cong giới hạn bởi đồ thị C, trục hoành và 2 đường thẳng x=a ; x=b có diện tích S được tính theo công thức : dx x f S 2, Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đuờng co

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HK 2 MÔN TOÁN LỚP 12

TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG

CHƯƠNG III: GUYÊN HÀM –TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG

1 1

Nếu hai hàm số u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

Chú ý: Công thức trên còn viết được dưới dạng:

u x





 Khi đó :

1 1

d x d u

u x

1.Định nghĩa: “Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử F(x) là một nguyên

hàm của f(x) trên đoạn [a; b] Hiệu số

F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) củahàm số f(x), ký hiệu: ( )

b a

f x dx



Ta còn ký hiệu: F x( )b a F b( )  F a( ).Vậy: ( ) ( ) ( ) ( )

b

b a a

1 Phương pháp đổi biến số:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử hàm số x = (t) có đạo hàm liên tục trênđoạn [; ] sao cho () = a; () = b và a  (t)  b với mọi t thuộc [; ] Khi đó:

' ( ) ( ( )) ( )

u b

u a

g u du





2 1

2 3

dx K

16 16

x dx

3 3 3 3

3 2 1

5 2

3 2

4sin 4sin sin 4(1 cos ).sin

4(1 cos ).(1 cos ).sin

(e 0) e x e (e 1) 1

Đặt

PHẦN II: BÀI TẬP TỰ LUYỆN

d) xlnxdx

e x 1

Cho (C) : y = f(x) liên tục trên

đoạn [a;b] Hình thang cong giới

hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và

2 đường thẳng x=a ; x=b có diện

tích S được tính theo công thức :

dx x f S

2, Diện tích của hình phẳng giới hạn

bởi hai đuờng cong.

Cho hai hàm số y=f(x),y=g(x) liên tục trên [a;b]

Trong trường hợp f(x) ≥ g(x) x[a;b] Diện

tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y=f(x), y=g(x), x=a, x=b là:

.)]

()([

dx x g x f S

( ) (

Do đó để tính diện tích S theo công thức trên ta cần khử dấu trị tuyệt đối dưới tích phân bằng cách :

• Giải phương trình f(x) – g(x) = 0 , giả sử pt có các nghiệm c , d (a < c < d < b).

• Trên từng đoạn [a;c], [c;d], [d;b] thì f(x) – g(x) không đổi dấu.

• Đưa dấu trị tuyệt đối ra khỏi tích phân trên từng đoạn.

Cho (C) : y = f(x) ; các công thức tính diện tích các

hình phẳng (không còn dấu trị tuyệt đối)

f(x)dx [-f(x)]dx

f(x)dx [-f(x)]dx

S )]

( [

dx

x

f

S

Cho hai đường cong (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x); các công thức tính diện tích các hình phẳng

(không còn dấu trị tuyệt đối)

y = (x )

y =

y = (x )

)] ( ) ( [ )]

( ) ( [ )]

( ) ( [

a b

a

dx x g x f x

f x g S dx

x g x f S

B BÀI TẬP

PHẦN I: BÀI TẬP MẪU

Bài 1:

a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số

b)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:(C), các đường x = 0, x = 3,Ox

1 1

x y x





Giải:

1 2 3 4 5 6

-1 -2 -3 -4

Bài 2.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = -x 2 + 4x -3

Và các tiếp tuyến của nó tại các điểm M 1 (0; -3), M 2 (3; 0).

-1 1 2 3 4

-1

-2

-3 -4

PT hoành độ giao điểm của 2

tiếp tuyến trên:

3 0

Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 3 , trục hoành và 2 đường thẳng x=-1 ;

x=2

Giải : Vì x 3 ≤ 0 trên đoạn [-1;0]

và x 3 ≥ 0 trên đoạn [0;2] nên:

4

174

x4

x

S

dxx)dxx(dx

1

4

2

0 3 2

1

0

1

3 3

4

) 2 (

) 2 (

2

1

0 2 3 4 0

2 2 3

4

1

0

2 3 0

x

x

S

dx x x x dx x x

x

S

dx x x

2.

PHẦN II: BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

c y 1  1  x2 và y=x2

d y= x3-1 và tiếp tuyến với y=x3-1 tại điểm (-1 ;-2)

Bài 3: Tínhdiện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

Bài 1:Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi mỗi hình

phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi nó quay quanh Oy

a) y = e x , y = 0, x = 0, x = 1 khi nó quay quanh trục Ox

Bài 2: Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi

elip sau khi nó quay quanh Ox

Bài 3 Cho miền D được giới hạn bởi 2 đường x2 + y – 5 = 0;

Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2 – x2, y = 0, x = 0, x = 1

Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi cho D quay quanh Oy.

Gọi V1là thể tích vật thể tròn xoay sinh

ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các

PHẦN II: BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Tính thể tích các khối tròng xoay khi quay hình phẳng xác định bởi:

a)y=2x-x2, y=x,quanh trục Ox

b)y=lnx, y=0, x=e, quanh trục Oy

c)y=x2, x=y2, quanh trục Ox

Bài 2: Tính V của vật thể do (H) giới hạn bởi: y2 = x3(y≥0) , y = 0, x= 1

Bài 3: Tính thể tích của vật thể do các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay

quanh trục Ox:

2 2

x 2 1

2 2 2

2 3

e : Kq 0 y , 2 x , 1 x , e x y

f)

6 1 : Kq 1

4

y 9

x : (E)

e)

3

32 : Kq x y , 4x y

d)

6

625 : Kq 0

y , x 5x y

c)

14

23 : Kq 1 x , 0 x , 0 y , 1 x y

b)

12 : Kq 4

x , 1 x , 0 y , x

4 y

z là số thực  phần ảo của z bằng 0;

z là số ảo phần thực của z bằng 0

 Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi với a,bR được biểu diễn bởi điểm

Nếu z biểu diễn bởi 

u, z biểu diễn bởi 

Chia số phức c + di cho số phức a + bi khác 0 là tìm số phức z sao cho c + di = (a +

bi)z Số phức z được gọi là thương trong phép chia c + di cho a + bi và kí hiệu là

3 5

1 5

3 4

2

2 2 3 1 3 2

y x y

x y x

y x y x

y x y

Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức

z thỏa mãn điều kiện: z  1 và phần ảo của z thuộc đoạn

Điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện của đề bài thuộc miền giới hạnbởi hình tròn

tâm O bán kính 1, và 2 đường thẳng y = -1/2, y = 1/2

 Ví dụ 5:

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) 5 - 2ix = (3 + 4i) (1 - 3i) b) (3 + 4i) x = (1 + 2i) (4 + i)

Giải

a) 5 - 2ix = (3 + 4i) (1 - 3i)

i x

i ix

i ix

i i ix

i i ix

5 2

5

5 10 2

) 5 15 ( 5

2

) 12 4 9 3 ( 5

2

) 3 1 )(

4 3 ( 5

i i

i x

i x

i

i i x

i

25

19 25

42 4 3

9 2

9 2 )

4

3

(

) 2 8 4 ( )

) 3 1 )(

2 3 (

i i

i i

i i

i i

i

i i

4

3 9 11 4

3 7 17

4

) 2 ( 4 ) 3 9 7 ( ) 3 7 9 (

) 2 ( 4

) 3 1 )(

7 9 ( ) 2 ( 3

1

) 3 1 )(

2 3 (

1 Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:

a) ( 2 i) 3  ( 3  i) 3 ; b) i i ii





 2 1

a) đối xứng với nhau qua trục Ox;

b) đối xứng với nhau qua trục Oy;

c) đối xứng với nhau qua gốc tọa độ

4 Hãy biểu diễn các số phức z trên mặt phẳng tọa độ, biết z  2và

a) Phần ảo của z lớn hơn 1

b) b) Phần ảo của z nhỏ hơn 1, phần thực của z lớn hơn 1

5 Tìm số phức z biết:

a) z  2và z là số thuần ảo

b) z  5và phần thực của z bằng 2 lần phần ảo của nó

6 Các điểm A, B, C và A’, B’, C’ trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số1- i, 2 + 3i, 3 + i và 3i, 3 - 2i, 3 + 2i Chứng minh rằng hai tam giác ABC vàA’B’C’ có cùng trọng tâm

7 Các điểm A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các

số 1 + 2i, 1  3 i, 1  3  i, 1 - 2i Chứng minh rằng ABCD là một tứ giác nội tiếpđường tròn Hỏi tâm đường tròn đó biểu diễn số phức nào?

i i

3 4 2

1

) 2 1

9 Giải các phương trình sau trên tập số phức:

1 (   i ; e) 3

5 ) 1 (

) 1 (





;b) Từ câu a) suy ra rằng nếu  0

 Căn bậc hai của số phức

z là một căn bậc hai của số phức w  z 2 w

 Các căn bậc hai của số thực a < 0 là i a

 Xét phương trình bậc hai ax2 bxc 0 với a,b,cR;a 0

2

2 , 1

2

2 , 1

1 2

27 1

; 2

3 3 2

1 2

27 1

4

4 4 2

'

+ Trường hợp   0 ta có hai nghiệm thực z b a

a

b z

2 ' , 2

zz ba   ba  a ba b

2

2 2

2 '

4

4 4

4 4

2 2

'

+ Trường hợp   0 ta có

a

i b z a

i b z

2 '

, 2

b a

i b a

ac a

b ac b

a

b a

i b a

i b a

2 2 2

2 2

4

4 4

4 4

4 2

2

'

.

C BÀI TẬP LUYỆN THÊM

1 Tìm các căn bậc hai của các số phức sau: - 7; - 8; -121; - 1 + 4 3i;

; 5 6

1

1 2 2 3 3

§ 1 TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A TÓM TẮT PHƯƠNG PHÁP:

I TOẠ ĐỘ ĐIỂM, TOẠ ĐỘ VECTƠ:

1 Biểu thức toạ độ của vectơ:

z z

y y

x x v

u

3 Tích vô hướng của hai vectơ, góc giữa hai vectơ :

Cho hai vectơ u (x,y,z)và v (x' ,y' ,z' ) Ta có:

u.v xx' yy' zz' 2 2 2 ' 2 ' 2 2

' ' ' )

, cos(

z y x z y x

zz yy xx v

4 Toạ độ của vectơ xác định bởi hai điểm:

Cho A(xA, yA, zA) và B(xB,, yB, zA) Khi đó toạ độ vectơ AB là:

AB (x B x A,y B y A,z B z A)

5 Chia đoạn thẳng theo tỷ số cho trước:

Điểm M chia đoạn AB theo tỷ số k  1 Trung điểm I của đoạn AB:

z

k ky y

y

k kx x

x

B A

M

B A

M

B A

M

1 1

B A

I

B A

I

B A

I

z z

z

y y

y

x x

x

6 Toạ độ các điểm đặc biệt:

a) Một số trường hợp đặc biệt lưu ý:

 Điểm M  mp(xOy) thì toạ độ M có dạng M(x, y, 0)

 Điểm M  mp(xOz) thì toạ độ M có dạng M(x, 0, z)

 Điểm M  mp(yOz) thì toạ độ M có dạng M(0, y, z)

II TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG:

1 Tích có hướng của hai vectơ:

Cho hai vectơ u (x,y,z)và v (x' ,y' ,z' ) Tích có hướng của hai vectơ uvà v là mộtvectơ xác định:

; ' '

; ' '

,

y

y x

x x

x z

z z

z y

y v

u

* Nhận xét: u,vu và u,vv

2 Hai vectơ cùng phương - Ba điểm thẳng hàng:

 u cùng phương v  u,v 0

* Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi AB cùng phương AC

3 Điều kiện ba vectơ đồng phẳng:

là mặt cầu tâm I(- A; - B; - C), bán kính R = A2B2C2 D

2 Vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu:

Cho mặt cầu S(I; R) và mặt phẳng () Gọi H là hình chiếu của tâm I lên mặt phẳng() Đặt d = IH = d(I, (α)).Ta có:)).Ta có:

+ d > R  ( )  ( S) = 

+ d = R  ( ) tiếp xúc (S) và H là tiếp điểm

+ d < R  ( ) cắt (S) bởi đường tròn tâm H, bán kính r = 2 2

d

R 

B BÀI TẬP MẪU:

Ví dụ 1: Trong không gian cho bốn điểm A(-1; -2; 3), B(0; 3; 1) và C(4; 2; 2)

a) Tính tích vô hướng AB AC

2 2 2

AC AB BAC

Ví dụ 2: Cho A(0; 1; 3), B(2: 0; -1) và C(1; 1; 0)

a) Gọi M(x; y; z) Chưng minh rằng M, A, B, và C đồng phảng khi và chỉ khi 3x + 2y + z

- 5 = 0

b) Xác định toạ độ trực tâm H của tam giác ABC

c) Tìm toạ độ tâm và tính độ dài bán kính đường tòn ngoại tiếp tam giác ABC

2 3 5 3 4 )

y x z x z y x ABC

(

2 2 2 2 2 2

z y

x

z y x z y

2

3

8 6

2

5 8 2

4

z y z

y x

z x

y x

Vậy tâm I(2 ; 3/2 ; 2) và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R = IA = 325

Thể tích khối tứ diện ABCD là:

V = 61 |[AB, .AC ] AD| = 61 (đvtt)

b) Diện tích tam giác ABC là S = 21 |[AB, .AC ]| = 214

Thể tích khối chóp D.ABC là V = 31S d(D, (ABC))

Do đó d(D, (ABC)) = 3  114

S V

Ví dụ 4: Viết phương trình mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau:

a) Có tâm I(-2; 3; 1) và có bán kính R = 3

b) Đi qua ba điểm A(1; 0; 1), B(0; 0; 1), C(1; 2; 0) và có tâm I thuộc mp(Oxy).c) Đi qua bốn điểm M(0; 1; 2), B(1; 2; 0), P(1; 1; 1) và Q(0; 0; 1)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

) 2 ( ( ( )1 (

)1 )1 )1 (

b a b a

b a b a CI AI BI AI

Vậy I(12 ; 21 ; 0) và R = IA = 26 vậy phương trình mặt cầu là:

2 2

4 2

4 2

4 2

2

C B B

A

C B A

C B

Bài 5: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1, 2, 3), B(1, 2, -3) và C(7, 4, -2).

a) Tìm tọa độ điểm D sao cho AC  BD

b) Tìm toạ độ điểm E sao cho CE 2EB

c) Hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’ nằm trên mặt phẳng Oxy Hãy xác định A’, B’ vàC’

Bài 6: Cho A(-1, -2, 3) ; B(0, 3, 1) ; C(4, 2, 2) Tính diện tích tam giác ABC và độ hài

đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC

Bài 7: Cho A(1, 2, 0) ; B(2, -2, 3), C(1; 1; 1)

a) Tính thể tích khối tứ diện OABC và độ dài đường cao hạ từ đỉnh O của tứ diện.b) Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm O, A, B, C

Bài 8: Cho tam giác ABC có A(2, -1, 3) ; B(4, 0, 1) ; C(1, 2, 1)

a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳngOxz

b) Chúng minh rằng mặt phẳng Oxy cắt mặt cầu (S) bởi một đường tròn (C) Tìm toạ

độ tâm và tính độ dài bán kính của đường tròn (C)

Bài 9: Cho tam giác ABC có toạ độ các đỉnh là: A(1, -1, -3), B(2, 1, -2), C(-10, 5, 3)

a) Hãy tìm độ dài đường phân giác trong của góc A

b) Xác định toạ ssộ trực tâm H của tam giác ABC

Bài 10: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho 3 điểm A(1, 2, 1), B(-2, -1, 4), C(4,

2, 0)

a) Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của tam giác

b) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC

c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC

d) Tìm toạ độ điểm D để ABCD là hình bình hành

Bài 11: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho 3 điểm A(2, 1, -3), B(3, -2, 2) và

C(4, 0, 1)

a) Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của tam giác

b) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC

c) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A

Bài 12: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(2, -1, 3), B(4, 0, 1) và C(-10, 5, 3).

a) Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của tam giác

b) Tìm toạ độ điểm D để ABCD là hình bình hành

c) Tìm m, n để điểm A, C và M(2m - 1, 2, n + 2) thẳng hàng

d) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A

Bài 13:

a) Tìm trên trục tung những điểm cách đều hai điểm A(1, -3, 7) và B(5, 7, -5).

b) Tìm trên trục Ox những điểm cách đều hai điểm A(3, 1, 0) và B(-2, 4, 1)

c) Tìm trên mặt phẳng (Oyz) những điểm cách đều ba điểm A(3, 1, 2), B(4, -2, -2) vàC(0, 3, 1)

d) Tìm trên mp(Oxy) những điểm cách đều ba điểm A(-1, 0, 1), B(3, 1, 2) và C(0, 0, -2)

Bài 14: Cho 4 điểm A(0, 0, 3) ; B(1, 1, 5) ; C(-3, 0, 0) và D(0, -3, 0).

a) Tính (AB.BC) CA + 2

CD AB

b) Tính diện tích tam giác ACD

c) Chứng minh 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng

Bài 15: Trong kgian Oxyz cho 4 điểm A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) và D(-2, 1, -1)

a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện

b) Tìm góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD

c) Tính thể tích tứ diện ABCD và tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh A của tứ diện

Bài 16: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(1, 0, 1), B(1, 1, 2) C(1, 1, 0) , D(2, 1,

-2)

a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện

b) Tính thể tích tứ diện ABCD và tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh A của tứ diện.c) Tính đường cao của tam giác BCD hạ từ đỉnh D

Bài 17: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(2, 3, 1), B(4, 1, -2), C(6, 3, 7) , D(1, -2, 2).

a) Tìm độ dài đường cao hạ từ A của tứ diện ABCD

b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Bài 18: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình:

b) Đường kính AB với A(3, 2, 3); B(-1, 2, -1),

c) Qua A(2, -1, -3) và có tâm I(3, -2, 1)

d) Tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) và có tâm I(0, 1, 1)

Bài 20: Lập phương trình mặt cầu (S):

a) Qua 4 điểm A(6, -2, 3), B(0, 1, 6), C(2, 0, -1) và D(4, 1, 0)

b) Đi qua điểm A(1 ; 0 ; 2), B(2 ; -1 ; 1) và có tâm thuộc trục Oz

c) Qua 3 điểm A(1, 2, -4), B(1, -3, 1), C(2, 2, 3) và có tâm nằm trên mp (Oxy)

d) Có tâm I(6, -8, 3) và tiếp xúc với trục Oz

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

b Nếu a a a1 , , 2 3 đều khác 0 thì ta viết phương trình của đường thẳng dưới dạng chính tắc

DẠNG 2: Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng  và ' trong không gian.

PP: - Xác định điểm cố định M0 (x0;y0; z0) và vectơ chỉ phương

0

n M

DẠNG 3: Xét vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng

PP: Cho đường thẳng d đi qua điểm M0 (x0;y0; z0) và có vectơ chỉ phương

Ax + By + Cz + D = 0Gọi n A B C( ; ; ) là vectơ pháp tuyến của ( )  Để xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d vàmặt phẳng ( )  ta có các cách sau:

TH2: (1) có 1 nghiệm t = t0  d cắt ( )  tại điểmM x0 ( 0 t a y0 1 ; 0 t a z0 2 ; 0 t a0 3 )

TH3: (1) có vô số nghiệm  d nằm trong ( ) 

TH4: (A; B; C) = k(a1; a2; a3)  d vuông góc với ( ) 

C1: - Viết ptmp ( )  chứa A và vuông góc với 

- Tìm giao điểm H của và ( ) 

4.2 Để tính khoảng cách giữa đường thẳng  và mp ( )  // 

ta thực hiện các bước sau:

- Lấy M0 (x0;y0; z0) tùy ý trên .

- Khoảng cách giữa  và ( )  chính là khoảng cách từ M0 đến

- Khoảng cách giữa  và '

 chính là khoảng cách từ điểm M0' đến ( ) 

II BÀI TẬP MẪU

2.1 Viết ptts và ptct của đt d đi qua 2 điểm A(1; 2; 3) , B(3; 5; 7)

Vậy d và d4 chéo nhau.

2.3 Xét vị trí tương đối của đt d:

1 2

2 4 3

Gọi ( )  là mp chứa d và // với d’ Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên ( )  là:

' (2; 1;0); ( 1;1;1)



Suy ra ( )  có vectơ pháp tuyến n a a.'   ( 1; 2;1) 

Mp ( )  chứa d nên đi qua điểm M0 (1;-1;1) Pt ( )  có dạng:

III BÀI TẬP TỰ LUYỆN

3.1 Viết ptts, ptct của đt d trong các trường hợp sau:

a) d đi qua điểm A(1;2;3) và có vtcp a (3;3;1);

b) d đi qua điểm B(1;0;-1) và vuông góc với mp ( )  :